Ukuran Hausdorff dari permukaan — Fondasi Teori Ukuran

Dalam bagian ini saya menyajikan versi baru argumen-argumen §263, kali ini bukan untuk membenarkan integrasi dengan substitusi, melainkan untuk memberikan metode yang efektif dalam praktik guna menghitung ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) dari permukaan mulus berdimensi \(r\) dalam ruang berdimensi \(s\). Kasus dasar yang patut diingat adalah \(r=2\), \(s=3\), meskipun kombinasi lain yang mudah Anda bayangkan juga akan sangat membantu intuisi. Saya memberikan teorema fundamental (265E) yang menyediakan rumus yang dapat digunakan untuk menghitung ukuran berdimensi \(r\) dari permukaan dalam ruang berdimensi \(s\) yang diparameterkan oleh fungsi terdiferensialkan, lalu mengerjakan beberapa perhitungan untuk permukaan bola berdimensi \(r\) (265F-265H).

265A Ukuran Hausdorff ternormalisasi

Seperti yang saya kemukakan pada akhir bagian sebelumnya, ukuran Hausdorff, sebagaimana didefinisikan dalam 264A-264C, bukanlah ukuran yang paling sesuai untuk pekerjaan kita di sini; karena itu dalam bagian ini saya akan menggunakan ukuran Hausdorff ternormalisasi, yang berarti \(\nu_r=2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}\), dengan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) (ditafsirkan dalam ruang mana pun yang sedang ditinjau) dan \(\beta_r=\mu_rB(\tbf{0},1)\) ukuran Lebesgue dari setiap bola berjari-jari \(1\) dalam \(\BbbR^r\). Akan memudahkan jika kita mengambil \(\beta_0=1\). Seperti ditunjukkan dalam 264H-264I, normalisasi ini membuat \(\nu_r\) pada \(\BbbR^r\) sama dengan ukuran Lebesgue \(\mu_r\). Perhatikan bahwa tentu saja \(\nu_r^*=2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}^*\) (264Fb).

265B Subruang linear

Sama seperti dalam §263, langkah pertama adalah menangani operator linear.

Teorema Misalkan \(r\), \(s\) adalah bilangan bulat dengan \(1\le r\le s\), dan \(T\) adalah matriks real berukuran \(s\times r\); pandang \(T\) sebagai operator linear dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\). Tetapkan \(J=\sqrt{\det T\trs T}\), dengan \(T\trs \) transpos dari \(T\). Tuliskan \(\nu_r\) untuk ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\), \(\Tau_r\) untuk domainnya, dan \(\mu_r\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Maka

\(\nu_r T[E]=J\mu_rE\)

untuk setiap himpunan terukur \(E\subseteq\BbbR^r\). Jika \(T\) injektif (yakni jika \(J\ne 0\)), maka

\(\nu_rF=J\mu_rT^{-1}[F]\)

kapan pun \(F\in\Tau_r\) dan \(F\subseteq T[\BbbR^r]\).

Bukti

Rumus untuk \(J\) mengandaikan bahwa \(\det T\trs T\) nonnegatif, yang belum kita ketahui; tetapi argumen berikut akan segera membuktikannya dengan memadai. (a) Misalkan \(V\) adalah subruang linear dari \(\BbbR^s\) yang terdiri atas vektor \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_s)\) sedemikian sehingga \(\eta_i=0\) kapan pun \(r<i\le s\). Misalkan \(R\) adalah matriks \(r\times s\), \(\langle\rho_{ij}\rangle_{i\le r,j\le s}\), dengan \(\rho_{ij}=1\) jika \(i=j\le r\), dan \(0\) jika tidak; maka matriks \(s\times r\) \(R\trs \) dapat dipandang sebagai bijeksi dari \(\BbbR^r\) ke \(V\). Misalkan \(W\) adalah subruang linear berdimensi \(r\) dari \(\BbbR^s\) yang memuat \(T[\BbbR^r]\), dan misalkan \(P\) adalah matriks ortogonal \(s\times s\) sedemikian sehingga \(P[W]=V\). Maka \(S=RPT\) adalah matriks \(r\times r\). Kita mempunyai \(R\trs Ry=y\) untuk \(y\in V\), sehingga \(R\trs RPT=PT\) dan

\(S\trs S=T\trs P\trs R\trs RPT=T\trs P\trs PT=T\trs T\);

jadi

\(\det T\trs T=\det S\trs S=(\det S)^2\ge 0\)

dan \(J=|\det S|\). Pada saat yang sama,

\(P\trs R\trs S=P\trs R\trs RPT=P\trs PT=T\).

Perhatikan bahwa \(J=0\) jika dan hanya jika \(S\) tidak injektif, yakni jika dan hanya jika \(T\) tidak injektif.

(b) Jika kita memandang matriks \(s\times r\) \(P\trs R\trs \) sebagai pemetaan dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), tampak bahwa \(\phi=P\trs R\trs \) adalah isometri antara \(\BbbR^r\) dan \(W\), dengan invers \(\phi^{-1}=RP\restrp W\). Karena itu \(\phi\) adalah isomorfisme antara ruang ukur \((\Bbb R^r,\mu_{Hr}^{(r)})\) dan \((W,\mu_{HrW}^{(s)})\), dengan \(\mu_{Hr}^{(r)}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^r\) dan \(\mu_{HrW}^{(s)}\) ukuran subruang pada \(W\) yang diinduksi oleh ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) \(\mu_{Hr}^{(s)}\) pada \(\BbbR^s\).

Bukti. (i) Jika \(A\subseteq\BbbR^r\) dan \(A'\subseteq W\),

\(\mu_{Hr}^{(s)*}(\phi[A])\le\mu_{Hr}^{(r)*}(A)\), \(\mu_{Hr}^{(r)*}(\phi^{-1}[A'])\le\mu_{Hr}^{(s)*}(A')\),

dengan menggunakan 264G dua kali. Jadi \(\mu_{Hr}^{(s)*}(\phi[A])=\mu_{Hr}^{(r)*}(A)\) untuk setiap \(A\subseteq \BbbR^r\).

(ii) Sekarang, karena \(W\) tertutup dan dengan demikian berada dalam domain \(\mu_{Hr}^{(s)}\) (264E), ukuran subruang \(\mu_{HrW}^{(s)}\) tepat merupakan ukuran yang diinduksi oleh \(\mu_{Hr}^{(s)*}\restrp W\) melalui metode Carathéodory (214H(b-ii)). Karena \(\phi\) adalah isomorfisme antara \((\Bbb R^r,\mu_{Hr}^{(r)*})\) dan \((W,\mu_{Hr}^{(s)*}\restrp W)\), ia merupakan isomorfisme antara \((\BbbR^r,\mu_{Hr}^{(r)})\) dan \((W,\mu_{HrW}^{(s)})\). ∎

(c) Akibatnya, \(\phi\) juga merupakan isomorfisme antara versi ternormalisasi \((\BbbR^r,\mu_r)\) dan \((W,\nu_{rW})\), dengan \(\nu_{rW}\) ukuran subruang pada \(W\) yang diinduksi oleh \(\nu_r\).

Sekarang, jika \(E\subseteq\BbbR^r\) terukur Lebesgue, berdasarkan 263A kita mempunyai \(\mu_rS[E]=J\mu_rE\); sehingga

\(\nu_rT[E]=\nu_r(P\trs R\trs [S[E]])=\nu_r(\phi[S[E]]) =\mu_rS[E]=J\mu_rE\).

Jika \(T\) injektif, maka \(S=\phi^{-1}T\) juga harus injektif, sehingga \(J\ne 0\) dan

\(\nu_rF=\mu_r(\phi^{-1}[F]) =J\mu_r(S^{-1}[\phi^{-1}[F]])=J\mu_rT^{-1}[F]\)

kapan pun \(F\in\Tau_r\) dan \(F\subseteq W=T[\BbbR^r]\).

265C Akibat

Di bawah syarat-syarat 265B,

\(\nu_r^*T[A]=J\mu_r^*A\)

untuk setiap \(A\subseteq\BbbR^r\).

265D

Sekarang saya beralih ke lema yang bersesuaian dengan 263C.

Lema Misalkan \(1\le r\le s\) dan \(T\) adalah matriks \(s\times r\); tetapkan \(J=\sqrt{\det T\trs T}\), dan misalkan \(J\ne 0\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\zeta=\zeta(T,\epsilon)>0\) sedemikian sehingga

(i) \(|\sqrt{\det S\trs S}-J|\le\epsilon\) kapan pun \(S\) adalah matriks \(s\times r\) dan \(\|S-T\|\le\zeta\), dengan norma matriks didefinisikan seperti dalam 262H;

Bukti

(a) Karena \(\det S\trs S\) adalah fungsi kontinu dari koefisien-koefisien \(S\), 262Hb memberi tahu kita bahwa harus ada \(\zeta_0>0\) sedemikian sehingga \(|J-\sqrt{\det S\trs S}|\le\epsilon\) kapan pun \(\|S-T\|\le\zeta_0\).

(b) Karena \(J\ne 0\), \(T\) injektif, dan terdapat matriks \(r\times s\) \(T^*\) sedemikian sehingga \(T^*T\) adalah matriks identitas \(r\times r\). Ambil \(\zeta>0\) sedemikian sehingga \(\zeta\le\zeta_0\), \(\zeta\|T^*\|<1\), \(J(1+\zeta\|T^*\|)^r\le J+\epsilon\), dan \(1-J^{-1}\epsilon\le(1-\zeta\|T^*\|)^r\).

Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^s\) sedemikian sehingga \(\|\phi(x)-\phi(y)-T(x-y)\|\le\zeta\|x-y\|\) kapan pun \(x\), \(y\in D\). Tetapkan \(\psi=\phi T^*\), sehingga \(\phi=\psi T\). Maka

\(\|\psi(u)-\psi(v)\|\le(1+\zeta\|T^*\|)\|u-v\|\), \(\|u-v\|\le(1-\zeta\|T^*\|)^{-1}\|\psi(u)-\psi(v)\|\)

kapan pun \(u\), \(v\in T[D]\). Bukti. Ambil \(x\), \(y\in D\) sedemikian sehingga \(u=Tx\), \(v=Ty\); tentu saja \(x=T^*u\), \(y=T^*v\). Maka

\[\begin{aligned}\|\psi(u)-\psi(v)\| &=\|\phi(T^*u)-\phi(T^*v)\| =\|\phi(x)-\phi(y)\|\\ &\le\|T(x-y)\|+\zeta\|x-y\|\\ &=\|u-v\|+\zeta\|T^*u-T^*v\| \le\|u-v\|(1+\zeta\|T^*\|).\\\end{aligned}\]

Selanjutnya,

\[\begin{aligned}\|u-v\| &=\|Tx-Ty\| \le\|\phi(x)-\phi(y)\|+\zeta\|x-y\|\\ &=\|\psi(u)-\psi(v)\|+\zeta\|T^*u-T^*v\|\\ &\le\|\psi(u)-\psi(v)\|+\zeta\|T^*\|\|u-v\|,\\\end{aligned}\]

sehingga \((1-\zeta\|T^*\|)\|u-v\|\le\|\psi(u)-\psi(v)\|\) dan \(\|u-v\|\le(1-\zeta\|T^*\|)^{-1}\|\psi(u)-\psi(v)\|\). ∎

(c) Sekarang, dari 264G dan 265C kita melihat bahwa

\(\nu^*_r\phi[D] =\nu_r^*\psi[T[D]] \le(1+\zeta\|T^*\|)^r\nu_r^*T[D] =(1+\zeta\|T^*\|)^rJ\mu_r^*D \le(J+\epsilon)\mu_r^*D\),

dan (asalkan \(\epsilon\le J\))

\[\begin{aligned}(J-\epsilon)\mu_r^*D &=(1-J^{-1}\epsilon)\nu_r^*T[D] \le(1-J^{-1}\epsilon)(1-\zeta\|T^*\|)^{-r}\nu_r^*\psi[T[D]]\\ &\text{(dengan menerapkan 264G pada }\psi^{-1}:\psi[T[D]]\to T[D]\text{)}\\ &\le\nu_r^*\psi[T[D]] =\nu_r^*\phi[D].\\\end{aligned}\]

(Tentu saja, jika \(\epsilon\ge J\), maka pasti \((J-\epsilon)\mu_r^*D\le\nu_r^*\phi[D]\).) Jadi

\((J-\epsilon)\mu_r^*D\le\nu_r^*\phi[D] \le(J+\epsilon)\mu_r^*D\)

seperti yang diperlukan, dan kita mempunyai \(\zeta\) yang sesuai.

265E Teorema

Misalkan \(1\le r\le s\); tuliskan \(\mu_r\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), \(\nu_r\) untuk ukuran Hausdorff ternormalisasi pada \(\BbbR^s\), dan \(\Tau_r\) untuk domain \(\nu_r\). Misalkan \(D\subseteq\BbbR^r\) sebarang, dan \(\phi:D\to\BbbR^s\) adalah fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap domainnya pada setiap titik dalam \(D\). Untuk setiap \(x\in D\), misalkan \(T(x)\) adalah suatu turunan dari \(\phi\) di \(x\) relatif terhadap \(D\), dan tetapkan \(J(x)=\sqrt{\det T(x)\trs T(x)}\). Tetapkan \(D'=\{x:x\in D,\,J(x)>0\}\). Maka

(i) \(J:D\to\coint{0,\infty}\) adalah fungsi terukur;

(ii) \(\nu_r^*\phi[D]\le\int_DJ(x)\mu_r(dx)\),

dengan memperbolehkan \(\infty\) sebagai nilai integral;

(iii) \(\nu_r^*\phi[D\setminus D']=0\).

Jika \(D\) terukur Lebesgue, maka

(iv) \(\phi[D]\in\Tau_r\).

Jika \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif, maka

(v) \(\nu_r\phi[D]=\int_DJ\,d\mu_r\);

(vi) untuk setiap himpunan \(E\subseteq\phi[D]\), \(E\in\Tau_r\) jika dan hanya jika \(\phi^{-1}[E]\cap D'\) terukur Lebesgue, dan dalam hal ini

\(\nu_rE =\int_{\phi^{-1}[E]}J(x)\mu_r(dx) =\int_DJ\times\chi(\phi^{-1}[E])d\mu_r\);

(vii) untuk setiap fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(\phi[D]\),

\(\int_{\phi[D]}g\,d\nu_r=\int_DJ\times g\phi\,d\mu_r\)

jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan ketentuan bahwa kita menafsirkan \(J(x)g(\phi(x))\) sebagai nol ketika \(J(x)=0\) dan \(g(\phi(x))\) tidak terdefinisi.

Bukti

Saya akan mengikuti alur yang digariskan dalam bukti 263D.

(a) Sama seperti dalam 263D, kita tahu bahwa \(J:D\to\Bbb R\) terukur, sebab \(J(x)\) adalah fungsi kontinu dari koefisien-koefisien \(T(x)\), yang semuanya terukur berdasarkan 262P. Jika \(D\) terukur Lebesgue, terdapat barisan \(\sequencen{F_n}\) himpunan bagian kompak dari \(D\) sedemikian sehingga \(D\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) terabaikan terhadap \(\mu_r\). Sekarang \(\phi[F_n]\) kompak, sehingga termasuk dalam \(\Tau_r\), untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Adapun \(\phi[D\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]\), himpunan ini harus terabaikan terhadap \(\nu_r\) berdasarkan 264G, karena \(\phi\) merupakan gabungan terhitung dari fungsi-fungsi Lipschitz (262N). Jadi

\(\phi[D]=\bigcup_{n\in\Bbb N} \phi[F_n]\cup\phi[D\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]\in\Tau_r\).

Ini menangani (i) dan (iv).

(b) Untuk sementara, andaikan \(D\) terbatas dan \(J(x)>0\) untuk setiap \(x\in D\), serta tetapkan \(\epsilon>0\). Misalkan \(M^*_{sr}\) adalah himpunan matriks \(s\times r\) \(T\) sedemikian sehingga \(\det T\trs T\ne 0\), yakni pemetaan yang bersesuaian \(T:\BbbR^r\to\BbbR^s\) injektif. Untuk \(T\in M_{sr}^*\), ambil \(\zeta(T,\epsilon)>0\) seperti dalam 265D.

Ambil \(\sequencen{D_n}\), \(\sequencen{T_n}\) seperti dalam 262M, dengan \(A=M^*_{sr}\), sehingga \(\sequencen{D_n}\) adalah partisi \(D\) menjadi himpunan-himpunan yang relatif terukur dalam \(D\), dan setiap \(T_n\) adalah matriks \(s\times r\) sedemikian sehingga

\(\|T(x)-T_n\|\le\zeta(T_n,\epsilon)\) kapan pun \(x\in D_n\),

\(\|\phi(x)-\phi(y)-T_n(x-y)\|\le\zeta(T_n,\epsilon)\|x-y\|\) untuk semua \(x\), \(y\in D_n\).

Kemudian, dengan menetapkan \(J_n=\sqrt{\det T_n\trs T_n}\), kita mempunyai

\(|J(x)-J_n|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in D_n\),

\(|\nu_r^*\phi[D_n]-J_n\mu_r^*D_n|\le\epsilon\mu_r^*D_n\),

berdasarkan pemilihan \(\zeta(T_n,\epsilon)\). Jadi

\[\begin{aligned}\nu_r^*\phi[D] &\le\sum_{n=0}^{\infty}\nu_r^*\phi[D_n]\\ &\text{(karena }\phi[D]=\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi[D_n]\text{)}\\ &\le\sum_{n=0}^{\infty}(J_n\mu_r^*D_n+\epsilon\mu_r^*D_n) \le\epsilon\mu_r^*D+\sum_{n=0}^{\infty}J_n\mu_r^*D_n\\ &\text{(karena }D_n\text{ saling lepas dan relatif terukur dalam }D\text{)}\\ &=\epsilon\mu_r^*D+\int_D\sum_{n=0}^{\infty}J_n\chi D_nd\mu_r\\ &\le\epsilon\mu_r^*D+\int_DJ(x)+\epsilon\mu_r(dx) =2\epsilon\mu_r^*D+\int_DJ\,d\mu_r.\\\end{aligned}\]

Jika \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif, maka semua \(D_n\) adalah himpunan bagian \(\BbbR^r\) yang terukur Lebesgue, sehingga semua \(\phi[D_n]\) diukur oleh \(\nu_r\), dan himpunan-himpunan itu juga saling lepas. Oleh karena itu

\[\begin{aligned}\int_{D}J\,d\mu_r &\le\sum_{n=0}^{\infty}J_n\mu_r D_n+\epsilon\mu_r D\\ &\le\sum_{n=0}^{\infty}(\nu_r\phi[D_n] +\epsilon\mu_r D_n)+\epsilon\mu_rD =\nu_r\phi[D]+2\epsilon\mu_rD.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, kita memperoleh

\(\nu_r^*\phi[D]\le\int_DJ\,d\mu_r\),

dan jika \(D\) terukur serta \(\phi\) injektif,

\(\int_DJ\,d\mu_r\le\nu_r\phi[D]\);

jadi kita memperoleh (ii) dan (v), dengan asumsi bahwa \(D\) terbatas dan \(J>0\) pada setiap titik dalam \(D\).

(c) Sama seperti dalam bukti 263D, sekarang kita dapat melepaskan asumsi bahwa \(D\) terbatas dengan meninjau \(B_k=B(\tbf{0},k)\subseteq\BbbR^r\); asalkan \(J>0\) pada setiap titik dalam \(D\), kita memperoleh

\(\nu_r^*\phi[D] =\lim_{k\to\infty}\nu_r^*\phi[D\cap B_k] \le\lim_{k\to\infty}\int_{D\cap B_k}J\,d\mu_r =\int_DJ\,d\mu_r\),

dengan kesamaan jika \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif.

(d) Sekarang kita mendapati bahwa \(\nu_r^*\phi[D\setminus D']=0\).

Bukti. Misalkan \(\eta\in\ocint{0,1}\). Definisikan \(\psi_{\eta}:D\to\BbbR^{s+r}\) dengan menetapkan \(\psi_{\eta}(x)=(\phi(x),\eta x)\), dan identifikasikan \(\BbbR^{s+r}\) dengan \(\BbbR^s\times\BbbR^r\). \(\psi_{\eta}\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya pada setiap titik dalam \(D\), dengan turunan \(\tilde T_{\eta}(x)\), yaitu matriks \((s+r)\times r\) yang \(s\) baris atasnya terdiri atas matriks \(s\times r\) \(T(x)\), dan \(r\) baris bawahnya adalah \(\eta I_r\), dengan \(I_r\) matriks identitas \(r\times r\). (Gunakan 262Ib.) Tentu saja \(\tilde T_{\eta}(x)\), dipandang sebagai pemetaan dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^{s+r}\), injektif, sehingga

\(\tilde J_{\eta}(x) =\sqrt{\det\tilde T_{\eta}(x)\trs \tilde T_{\eta}(x)} =\sqrt{\det(T(x)\trs T(x)+\eta^2I)}>0\).

Kita mempunyai \(\lim_{\eta\downarrow 0}\tilde J_{\eta}(x)=J(x)=0\) untuk \(x\in D\setminus D'\).

Nyatakan \(T(x)\) sebagai \(\langle\tau_{ij}(x)\rangle_{i\le s,j\le r}\) untuk setiap \(x\in D\). Tetapkan

\(C_m=\{x:x\in D,\,\|x\|\le m,\,|\tau_{ij}(x)|\le m\) untuk semua \(i\le s,\,j\le r\}\)

untuk setiap \(m\ge 1\). Untuk \(x\in C_m\), semua koefisien \(\tilde T_{\eta}(x)\) mempunyai modulus paling besar \(m\); akibatnya (dengan menggunakan ketaksamaan paling kasar yang segera tersedia), semua koefisien \(\tilde T_{\eta}(x)\trs \tilde T_{\eta}(x)\) mempunyai modulus paling besar \((r+s)m^2\) dan \(\tilde J_{\eta}(x)\le\sqrt{r!(s+r)^r}m^r\). Karena itu kita dapat menggunakan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue untuk melihat bahwa

\(\lim_{\eta\downarrow 0}\int_{C_m\setminus D'}\tilde J_{\eta}d\mu_r=0\).

Misalkan \(\tilde\nu_r\) adalah ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^{s+r}\). Dengan menerapkan bagian (b) bukti ini pada \(\psi_{\eta}\restr C_m\setminus D'\), kita melihat bahwa

\(\tilde\nu_r^*\psi_{\eta}[C_m\setminus D'] \le\int_{C_m\setminus D'}\tilde J_{\eta}d\mu_r\).

Sekarang kita mempunyai pemetaan alami \(P:\BbbR^{s+r}\to\BbbR^s\) yang diberikan dengan menetapkan \(P(\xi_1,\ldots,\xi_{s+r})=(\xi_1,\ldots,\xi_s)\), dan \(P\) bersifat \(1\)-Lipschitz, sehingga dengan 264G sekali lagi kita mempunyai (dengan memperhitungkan konstanta normalisasi \(2^{-r}\beta_r\))

\(\nu_r^*P[A]\le\tilde\nu_r^*A\)

untuk setiap \(A\subseteq\BbbR^{s+r}\). Khususnya,

\(\nu_r^*\phi[C_m\setminus D'] =\nu_r^*P[\psi_{\eta}[C_m\setminus D']] \le\tilde\nu_r^*\psi_{\eta}[C_m\setminus D'] \le\int_{C_m\setminus D'}\tilde J_{\eta}d\mu_r \to 0\)

ketika \(\eta\downarrow 0\). Namun ini berarti \(\nu_r^*\phi[C_m\setminus D']=0\). Karena \(D=\bigcup_{m\ge 1}C_m\), \(\nu_r^*\phi[D\setminus D']=0\), seperti yang diklaim. ∎

(e) Ini membuktikan (iii) dalam teorema. Tentu saja ini cukup untuk memberikan (ii) dan (v), sebab (dengan menerapkan (b)-(c) pada \(\phi\restr D'\)) kita harus mempunyai

\(\nu_r^*\phi[D] =\nu_r^*\phi[D'] \le\int_{D'}J\,d\mu_r =\int_DJ\,d\mu_r\),

dengan kesamaan jika \(D\) (dan karena itu juga \(D'\)) terukur dan \(\phi\) injektif.

(f) Sekarang mari kita beralih ke bagian (vi). Andaikan \(D\) terukur dan \(\phi\) injektif.

Misalkan \(E\subseteq\phi[D]\) termasuk dalam \(\Tau_r\). Tetapkan

\(H_k=\{x:x\in D,\,\|x\|\le k,\,J(x)\le k\}\)

untuk setiap \(k\); maka setiap \(H_k\) terukur Lebesgue, sehingga (dengan menerapkan (iv) pada \(\phi\restr H_k\)) \(\phi[H_k]\in\Tau_r\), dan

\(\nu_r\phi[H_k]\le k\mu_rH_k<\infty\).

Jadi \(\phi[D]\) dapat ditutupi oleh suatu barisan himpunan berukuran berhingga terhadap \(\nu_r\), yang tentu saja juga berukuran berhingga terhadap ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\). Berdasarkan 264Fc, terdapat himpunan Borel \(E_1\), \(E_2\subseteq\BbbR^s\) sedemikian sehingga \(E_1\subseteq E\subseteq E_2\) dan \(\nu_r(E_2\setminus E_1)=0\). Sekarang \(F_1=\phi^{-1}[E_1]\), \(F_2=\phi^{-1}[E_2]\) adalah himpunan bagian terukur Lebesgue dari \(D\), dan

\(\int_{F_2\setminus F_1}J\,d\mu_r=\nu_r\phi[F_2\setminus F_1]=\nu_r(\phi[D]\cap E_2\setminus E_1)=0\).

Karena itu \(\mu_r(D'\cap(F_2\setminus F_1))=0\). Namun karena

\(D'\cap F_1\subseteq D'\cap\phi^{-1}[E] \subseteq D'\cap F_2\),

diperoleh bahwa \(D'\cap\phi^{-1}[E]\) terukur, dan bahwa

\[\begin{aligned}\int_{\phi^{-1}[E]}J\,d\mu_r &=\int_{D'\cap\phi^{-1}[E]}J\,d\mu_r =\int_{D'\cap F_1}J\,d\mu_r\\ &=\int_{D\cap F_1}J\,d\mu_r =\nu_r\phi[D\cap F_1] =\nu_rE_1 =\nu_rE.\\\end{aligned}\]

Selain itu, \(J\times\chi(\phi^{-1}[E]) =J\times\chi(D'\cap\phi^{-1}[E])\) terukur, sehingga kita dapat menulis \(\int J\times\chi(\phi^{-1}[E])\) sebagai pengganti \(\int_{\phi^{-1}[E]}J\).

Jika \(E\subseteq\phi[D]\) dan \(D'\cap\phi^{-1}[E]\) terukur, maka tentu saja

\(E=\phi[D'\cap\phi^{-1}[E]] \cup\phi[(D\setminus D')\cap\phi^{-1}[E]]\in\Tau_r\),

karena \(\phi[G]\in\Tau_r\) untuk setiap himpunan terukur \(G\subseteq D\) dan \(\phi[D\setminus D']\) terabaikan terhadap \(\nu_r\).

(g) Akhirnya, (vii) segera mengikuti dari (vi), dengan menerapkan 235J pada \(\mu_r\) dan ukuran subruang yang diinduksi oleh \(\nu_r\) pada \(\phi[D]\).

265F Permukaan bola

Untuk menunjukkan bagaimana gagasan-gagasan ini dapat diterapkan pada salah satu kasus dasar, saya memberikan rincian metode untuk mendeskripsikan ukuran permukaan bola dalam ruang berdimensi \(s\). Ambil \(r\ge 1\) dan \(s=r+1\). Tuliskan \(S_r\) untuk \(\{z:z\in\Bbb R^{r+1},\,\|z\|=1\}\), permukaan bola berdimensi \(r\). Maka kita mempunyai parametrisasi \(\phi_r\) dari \(S_r\) yang diberikan dengan menetapkan

\[\phi_r\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots\\ \xi_r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin\xi_1\sin\xi_2\sin\xi_3\ldots\sin\xi_r\\ \cos\xi_1\sin\xi_2\sin\xi_3\ldots\sin\xi_r\\ \cos\xi_2\sin\xi_3\ldots\sin\xi_r\\ \ldots\\ \cos\xi_{r-2}\sin\xi_{r-1}\sin\xi_r\\ \cos\xi_{r-1}\sin\xi_r\\ \cos\xi_r\end{pmatrix}.\]

Saya memilih perumusan ini karena saya ingin menggunakan argumen induktif yang didasarkan pada kenyataan bahwa

\(\phi_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin\xi\,\phi_r(x)\\ \cos\xi\end{pmatrix}\)

untuk \(x\in\BbbR^r\), \(\xi\in\Bbb R\). Setiap \(\phi_r\) terdiferensialkan, berdasarkan 262Id. Jika kita menetapkan

\[\begin{aligned}D_r =\{x:\xi_1&\in\ocint{-\pi,\pi},\,\xi_2,\ldots,\xi_r\in[0,\pi],\\ &\text{ jika }\xi_j\in\{0,\pi\}\text{ maka } \xi_i=0\text{ untuk }i<j\},\\\end{aligned}\]

maka mudah diperiksa bahwa \(D_r\) adalah himpunan bagian Borel dari \(\Bbb R^r\) dan \(\phi_r\restr D_r\) adalah bijeksi antara \(D_r\) dan \(S_r\). Sekarang misalkan \(T_r(x)\) adalah matriks \((r+1)\times r\) \(\phi_r'(x)\). Maka

\[T_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin\xi\,T_r(x)&\cos\xi\,\phi_r(x)\\ \tbf{0}&-\sin\xi\end{pmatrix}.\]

Jadi

\[(T_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix})\trs T_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin^2\xi\,T_r(x)\trs T_r(x)&\sin\xi\cos\xi\,T_r(x)\trs \phi_r(x)\\ \cos\xi\sin\xi\,\phi_r(x)\trs T_r(x)&\cos^2\xi\phi_r(x)\trs \phi_r(x)+\sin^2\xi\end{pmatrix} .\]

Namun tentu saja \(\phi_r(x)\trs \phi_r(x)=\|\phi_r(x)\|^2=1\) untuk setiap \(x\), dan (dengan mendiferensialkan terhadap setiap koordinat \(x\), jika Anda ingin) \(T_r(x)\trs \phi_r(x)=\tbf{0}\), \(\phi_r(x)\trs T_r(x)=\tbf{0}\). Jadi kita memperoleh

\[(T_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix})\trs T_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin^2\xi\,T_r(x)\trs T_r(x)&\tbf{0}\\ \tbf{0}&1\end{pmatrix},\]

dan, dengan menulis \(J_r(x)=\sqrt{\det T_r(x)\trs T_r(x)}\),

\[J_{r+1}\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix}=|\sin^r\xi|J_r(x).\]

Pada titik ini kita melakukan induksi pada \(r\) untuk melihat bahwa

\(J_r(x) =|\sin^{r-1}\xi_r\sin^{r-2}\xi_{r-1}\ldots\sin\xi_2|\)

(karena tentu saja induksi dimulai dengan kasus \(r=1\),

\(\phi_1(x)=\begin{pmatrix}\sin x\\ \cos x\end{pmatrix}\), \(T_1(x)=\begin{pmatrix}\cos x\\ -\sin x\end{pmatrix}\), \(T_1(x)\trs T_1(x)=1\), \(J_1(x)=1\)).

Untuk mencari ukuran permukaan \(S_r\), kita perlu menghitung

\[\begin{aligned}\int_{D_r}J_rd\mu_r &=\int_0^{\pi}\ldots\int_0^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin^{r-1}\xi_r\ldots\sin\xi_2 d\xi_1d\xi_2\ldots d\xi_r\\ &=2\pi\prod_{k=2}^r\int_0^{\pi}\sin^{k-1}t\,dt =2\pi\prod_{k=1}^{r-1}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^kt\,dt\\\end{aligned}\]

(dengan menyubstitusikan \(\bover{\pi}{2}-t\) untuk \(t\)). Namun, dalam bahasa 252Q, ini tepat sama dengan

\(2\pi\prod_{k=1}^{r-1}I_k=2\pi\beta_{r-1}\),

dengan \(\beta_{r-1}\) volume bola satuan dari \(\BbbR^{r-1}\) (dengan menafsirkan \(\beta_0\) sebagai \(1\), jika Anda mau).

265G

Luas permukaan bola juga dapat dihitung melalui hasil berikut.

Teorema Misalkan \(\mu_{r+1}\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^{r+1}\), dan \(\nu_r\) ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^{r+1}\). Jika \(f\) adalah fungsi bernilai real yang terintegralkan secara lokal terhadap \(\mu_{r+1}\), \(y\in\BbbR^{r+1}\), dan \(\delta>0\),

\(\int_{B(y,\delta)}fd\mu_{r+1} =\int_0^{\delta}\int_{\partial B(y,t)}fd\nu_rdt\),

dengan \(\partial B(y,t)\) menyatakan permukaan bola \(\{x:\|x-y\|=t\}\) dan integral \(\int\ldots dt\) diambil terhadap ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\).

Bukti

Ambil sembarang fungsi terdiferensialkan \(\phi:\BbbR^r\to S_r\) bersama himpunan Borel \(F\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\phi\restr F\) merupakan bijeksi antara \(F\) dan \(S_r\); pasangan \((\phi,F)\) semacam itu dideskripsikan dalam 265F. Definisikan \(\psi:\BbbR^r\times\Bbb R\to\BbbR^{r+1}\) dengan menetapkan \(\psi(z,t)=y+t\phi(z)\); maka \(\psi\) terdiferensialkan dan \(\psi\restr F\times\ocint{0,\delta}\) merupakan bijeksi antara \(F\times\ocint{0,\delta}\) dan \(B(y,\delta)\setminus\{y\}\). Untuk \(t\in\ocint{0,\delta}\), \(z\in\BbbR^r\), tetapkan \(\psi_t(z)=\psi(z,t)\); maka \(\psi_t\restr F\) merupakan bijeksi antara \(F\) dan permukaan bola \(\{x:\|x-y\|=t\}=\partial B(y,t)\).

Turunan \(\phi\) di \(z\) adalah matriks \((r+1)\times r\), katakanlah \(T_1(z)\), dan turunan \(T_t(z)\) dari \(\psi_t\) di \(z\) tepat \(tT_1(z)\); turunan \(\psi\) di \((z,t)\) adalah matriks \((r+1)\times(r+1)\) \(T(z,t)=\begin{pmatrix}tT_1(z)&\phi(z)\end{pmatrix}\), dengan \(\phi(z)\) ditafsirkan sebagai vektor kolom. Jika kita menetapkan

\(J_t(z)=\sqrt{\det T_t(z)\trs T_t(z)}\), \(J(z,t)=|\det T(z,t)|\),

maka

\[\begin{aligned}J(z,t)^2 =\det T(z,t)\trs T(z,t) &=\det\begin{pmatrix}tT_1(z)\trs \\ \phi(z)\trs \end{pmatrix}\begin{pmatrix}tT_1(z)&\phi(z)\end{pmatrix}\\ &=\det\begin{pmatrix}t^2T_1(z)\trs T_1(z)&\tbf{0}\\ \tbf{0}&1\end{pmatrix} =J_t(z)^2,\\\end{aligned}\]

sebab ketika kita menghitung koefisien \((i,r+1)\) dari \(T(z,t)\trs T(z,t)\), untuk \(1\le i\le r\), koefisien itu adalah

\(\sum_{j=1}^{r+1}t\Pd{\phi_j}{\zeta_i}(z)\phi_j(z) =\Bover{t}2\Pd{}{\zeta_i}(\sum_{j=1}^{r+1}\phi_j(z)^2) =0\),

dengan \(\phi_j\) koordinat ke-\(j\) dari \(\phi\); sedangkan koefisien \((r+1,r+1)\) dari \(T(z,t)\trs T(z,t)\) tepat \(\sum_{j=1}^{r+1}\phi_j(z)^2=1\). Jadi sebenarnya \(J(z,t)=J_t(z)\) untuk semua \(z\in\BbbR^r\), \(t>0\).

Sekarang, untuk \(f\in\eusm L^1(\mu_{r+1})\), kita dapat menghitung

\[\begin{aligned}\int_{B(y,\delta)}fd\mu_{r+1} &=\int_{B(y,\delta)\setminus\{y\}}fd\mu_{r+1}\\ &=\int_{F\times\ocint{0,\delta}}f(\psi(z,t))J(z,t)\mu_{r+1}(d(z,t))\\ &\text{(berdasarkan 263D)}\\ &=\int_0^{\delta}\int_Ff(\psi_t(z))J_t(z)\mu_r(dz)dt\\ &\text{(dengan }\mu_r\text{ ukuran Lebesgue pada }\BbbR^r\text{, berdasarkan teorema Fubini, 252B)}\\ &=\int_0^{\delta}\int_{\partial B(y,t)}fd\nu_rdt\\\end{aligned}\]

berdasarkan 265E(vii).

265H Akibat

Jika \(\nu_r\) adalah ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^{r+1}\), maka \(\nu_rS_r=(r+1)\beta_{r+1}\).

Latihan

265X Latihan dasar (a)

Misalkan \(r\ge 1\), dan misalkan \(S_r(\alpha)=\{z:z\in\BbbR^{r+1},\,\|z\|=\alpha\}\) adalah permukaan bola berdimensi \(r\) dan berjari-jari \(\alpha\). Tunjukkan bahwa \(\nu_rS_r(\alpha)=2\pi\beta_{r-1}\alpha^r=(r+1)\beta_{r+1}\alpha^r\) untuk setiap \(\alpha\ge 0\).

265Xb (b) penting

Misalkan \(r\ge 1\), dan untuk \(a\in[-1,1]\) tetapkan \(C_a=\{z:z\in\BbbR^{r+1},\,\|z\|=1,\,\zeta_{r+1}\ge a\}\), dengan \(z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_{r+1})\) seperti biasa. (i) Tunjukkan bahwa

\(\nu_rC_a=r\beta_r\int_0^{\arccos a}\sin^{r-1}t\,dt\).

(ii) Hitung integral tersebut untuk kasus \(r=2\), \(r=4\).

265Xc (c) penting

Tuliskan lagi \(C_a=\{z:z\in S_r,\,\zeta_{r+1}\ge a\}\), dengan \(S_r\subseteq\BbbR^{r+1}\) permukaan bola satuan. Tunjukkan bahwa, untuk setiap \(a\in\ocint{0,1}\), \(\nu_rC_a\le\Bover{\nu_rS_r}{2(r+1)a^2}\). Petunjuk: hitung \(\sum_{i=1}^{r+1}\int_{S_r}\|\xi_i\|^2\nu_r(dx)\).

265Xd (d) penting

Misalkan \(\phi:\ooint{0,1}\to\BbbR^r\) adalah fungsi injektif yang terdiferensialkan. Tunjukkan bahwa ‘panjang’ atau ukuran Hausdorff satu-dimensi dari \(\phi[\,\ooint{0,1}\,]\) tepat sama dengan \(\int_0^1\|\phi'(t)\|dt\).

265Xe (e)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(I\) adalah matriks identitas \(r\times r\) dan \(z\in\BbbR^r\), maka \(\det(I+zz\trs )=1+\|z\|^2\). Petunjuk: lakukan induksi pada \(r\). (ii) Tuliskan \(U_{r-1}\) untuk bola satuan terbuka dalam \(\BbbR^{r-1}\), dengan \(r\ge 2\). Definisikan \(\phi:U_{r-1}\times\Bbb R\to S_r\) dengan menetapkan

\[\phi\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ \theta(x)\cos\xi \\ \theta(x)\sin\xi\end{pmatrix},\]

dengan \(\theta(x)=\sqrt{1-\|x\|^2}\). Tunjukkan bahwa

\[\phi'\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix}\trs \phi'\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I+\Bover1{\theta(x)^2}xx\trs & \tbf{0}\\ \tbf{0} & \theta(x)^2\end{pmatrix},\]

sehingga \(J\begin{pmatrix}x\\ \xi\end{pmatrix}=1\) untuk semua \(x\in U_{r-1}\), \(\xi\in\Bbb R\). (iii) Karena itu, tunjukkan bahwa ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) dari \(\{y:y\in S_r,\,\sum_{i=1}^{r-1}\eta_i^2<1\}\) tepat \(2\pi\beta_{r-1}\), dengan \(\beta_{r-1}\) ukuran Lebesgue dari \(U_{r-1}\). (iv) Dengan meninjau \(\psi z=\begin{pmatrix}z\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) untuk \(z\in S_{r-2}\), atau dengan cara lain, tunjukkan bahwa ukuran Hausdorff ternormalisasi berdimensi \(r\) dari \(S_r\) adalah \(2\pi\beta_{r-1}\). (v) Kali ini dengan menetapkan \(C_a=\{z:z\in\BbbR^{r+1},\,\|z\|=1,\,\zeta_1\ge a\}\), tunjukkan bahwa \(\nu_rC_a=2\pi\mu_{r-1}\{x:x\in\BbbR^{r-1},\,\|x\|\le 1,\,\xi_1\ge a\}\) untuk setiap \(a\in[-1,1]\).

265Xf (f)

Misalkan \(r\ge 2\). Dengan mengidentifikasikan \(\BbbR^r\) dengan \(\BbbR^{r-1}\times\Bbb R\), misalkan \(C_r\) adalah silinder \(B_{r-1}\times[-1,1]\supseteq B_r\), dan \(\partial C_r=(B_{r-1}\times\{-1,1\})\cup(S_{r-2}\times[-1,1])\) batasnya. Tunjukkan bahwa

\(\Bover{\mu_rB_r}{\mu_rC_r} =\Bover{\nu_{r-1}S_{r-1}}{\nu_{r-1}(\partial C_r)}\).

(Kasus \(r=3\) berasal dari Archimedes.)

265Y Latihan lanjutan (a)

Ambil \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa \(\phi:[a,b]\to\BbbR^r\) kontinu mutlak dalam pengertian 264Yp jika dan hanya jika semua koordinatnya \(\phi_i:[a,b]\to\Bbb R\), untuk \(i\le r\), kontinu mutlak dalam pengertian §225. (ii) Misalkan \(\phi:[a,b]\to\BbbR^r\) adalah fungsi kontinu, dan tetapkan \(F=\{x:x\in\ooint{a,b},\,\phi\) terdiferensialkan di \(x\}\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) kontinu mutlak jika dan hanya jika \(\int_F\|\phi'(x)\|dx\) berhingga dan \(\nu_1(\phi[[a,b]\setminus F])=0\), dengan \(\nu_1\) ukuran Hausdorff satu-dimensi (ternormalisasi) pada \(\BbbR^r\). (Petunjuk: 225K.) (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\phi:[a,b]\to\BbbR^r\) kontinu mutlak, maka \(\nu_1^*(\phi[D])\le\int_D\|\phi'(x)\|dx\) untuk setiap \(D\subseteq[a,b]\), dengan kesamaan jika \(D\) terukur dan \(\phi\restr D\) injektif.

265Yb (b)

Misalkan \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\), dan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) adalah fungsi kontinu bervariasi terbatas dengan grafik \(\Gamma_f\). Tunjukkan bahwa ukuran Hausdorff satu-dimensi dari \(\Gamma_f\) adalah \(\Var_{[a,b]}(f)+\int_a^b(\sqrt{1+(f')^2}-|f'|)\).

Catatan dan komentar

265 Catatan penutup untuk Bagian 265

Bukti 265B tampaknya menggunakan hampir seluruh paruh kedua alfabet. Gagasannya seharusnya cukup langsung. Karena \(T[\BbbR^r]\) berdimensi paling besar \(r\), himpunan itu dapat dirotasikan oleh transformasi ortogonal \(P\) ke dalam suatu subruang dari subruang kanonik berdimensi \(r\), \(V\), yang merupakan salinan alami dari \(\BbbR^r\); matriks \(R\) merepresentasikan proses penyalinan dari \(V\) ke \(\BbbR^r\), dan \(\phi\) atau \(P\trs R\trs \) merupakan salinan \(\BbbR^r\) ke suatu subruang yang memuat \(T[\Bbb R^r]\). Semua penyalinan bolak-balik ini dirancang untuk mengubah \(T\) menjadi operator linear \(S:\BbbR^r\to\BbbR^r\) yang dapat kita tangani dengan 263A, dan bagian (b) dalam bukti memeriksa bahwa kita menyalin ukuran sekaligus struktur linearnya.

Dalam 265D-265E saya berusaha mengikuti 263C-263D sedekat mungkin. Sebenarnya hanya diperlukan satu gagasan baru. Ketika \(s=r\), kita mempunyai argumen khusus untuk menunjukkan bahwa \(\mu_r^*\phi[D]\le J\mu_r^*D+\epsilon\mu_r^*D\) (dalam bahasa 263C), yang berlaku baik \(J=0\) maupun tidak. Ketika \(s>r\), pendekatan ini gagal, karena kita tidak lagi dapat menghampiri \(\nu_rT[B]\) dengan \(\nu_rG\) untuk \(G\supseteq T[B]\) terbuka. (Lihat bagian (b-i) bukti 263C.) Karena itu saya beralih ke argumen lain, yang hanya berlaku ketika \(J>0\), dan akibatnya harus mencari metode terpisah untuk menunjukkan bahwa \(\{\phi(x):x\in D,\,J(x)=0\}\) terabaikan terhadap \(\nu_r\). Karena kita bekerja tanpa batasan pada dimensi \(r\), \(s\) selain \(r\le s\), kita dapat menggunakan trik menghampiri \(\phi:D\to\BbbR^s\) dengan \(\psi_{\eta}:D\to\BbbR^{s+r}\), seperti dalam bagian (d) bukti 265E.

Saya memberikan tiga metode untuk menghitung luas permukaan bola berdimensi \(r\): pendekatan langsung (265F), metode silinder luar (265Xe), dan teorema integral berulang yang penting (265G). Dua metode pertama memberikan rumus untuk luas tudung (265Xb, 265Xe(v)). Metode silinder luar menarik karena Jacobiannya ternyata \(1\), yakni kita mempunyai fungsi pelestari ukuran melalui prapeta\. Saya mencatat bahwa meskipun telah mengembangkan teknik yang memperbolehkan domain tidak beraturan, singularitas dalam fungsi \(\theta\) pada 265Xe tetap memaksa saya menangani permukaan bola dalam dua bagian. Teorema 265G adalah kasus khusus Teorema Koarea (Evans & Gariepy 92, §3.4; Federer 69, 3.2.12).

Untuk langkah berikutnya dalam teori geometris ukuran pada ruang Euklides, lihat Bab 47 Jilid 4.