Ukuran Hausdorff — Fondasi Teori Ukuran

Pokok berikutnya yang ingin saya bahas adalah persoalan ‘ukuran permukaan’; contoh yang berguna untuk terus diingat sepanjang bagian ini dan bagian berikutnya ialah gagasan luas bagi daerah-daerah pada permukaan bola, tetapi setiap permukaan dua dimensi lain yang melengkung mulus dalam ruang tiga dimensi juga sama baiknya. Menurut saya, sangatlah masuk akal bahwa konsep intuitif kita tentang ‘luas’ permukaan demikian seharusnya bersesuaian dengan ukuran yang tepat. Namun, memformalkan intuisi ini tidak sepele, terutama jika kita menginginkan keumuman yang diarahkan oleh gagasan geometris sederhana; maksud saya, kita tidak berpuas diri dengan argumen yang bergantung pada sifat khusus permukaan bola, misalnya, untuk menguraikan luas permukaan bola. Saya membagi persoalan ini menjadi dua bagian. Dalam bagian ini saya akan menguraikan suatu konstruksi yang memungkinkan kita mendefinisikan ukuran berdimensi \(r\) dari suatu permukaan berdimensi \(r\)—di antara hal-hal lain—dalam ruang berdimensi \(s\). Dalam bagian berikutnya saya akan menyajikan teorema-teorema dasar yang memungkinkan ukuran-ukuran ini dihitung secara efektif dalam kasus-kasus utama.

264A Definisi

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(r>0\). (Perhatian utama saya adalah \(r\) yang bulat, tetapi saya tidak akan mensyaratkan hal ini sebelum benar-benar diperlukan, sebab ada beberapa gagasan yang sangat menarik yang melibatkan ‘dimensi’ tak bulat \(r\).) Untuk sebarang \(A\subseteq \BbbR^s\), \(\delta>0\), tetapkan

\[\begin{aligned}\theta_{r\delta}A =\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r:\sequencen{A_n} &\text{ adalah barisan subhimpunan }\BbbR^s\text{ yang meliput }A,\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\diam A_n\le\delta\text{ untuk setiap } n\in\Bbb N\}.\\\end{aligned}\]

Dalam konteks ini, akan memudahkan jika kita mengatakan bahwa \(\diam\emptyset=0\). Sekarang tetapkan

\(\theta_rA=\sup_{\delta>0}\theta_{r\delta}A\);

\(\theta_r\) adalah ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\).

264B

Tentu saja kita harus segera memeriksa hal berikut:

Lema \(\theta_r\), sebagaimana didefinisikan dalam 264A, selalu merupakan ukuran luar.

Bukti

Anda seharusnya sudah terbiasa dengan argumen-argumen ini, tetapi terdapat satu langkah tambahan dalam argumen ini, jadi saya menguraikan rinciannya.

(a) Dengan menafsirkan diameter himpunan kosong sebagai \(0\), kita mempunyai \(\theta_{r\delta}\emptyset=0\) untuk setiap \(\delta>0\), sehingga \(\theta_r\emptyset=0\).

(b) Jika \(A\subseteq B\subseteq\BbbR^s\), maka setiap barisan yang meliput \(B\) juga meliput \(A\), sehingga \(\theta_{r\delta}A\le\theta_{r\delta}B\) untuk setiap \(\delta\) dan \(\theta_rA\le\theta_rB\).

(c) Misalkan \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan subhimpunan \(\BbbR^s\) yang gabungannya \(A\), dan ambil sebarang \(a<\theta_rA\). Maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(a\le\theta_{r\delta}A\). Sekarang \(\theta_{r\delta}A\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_{r\delta}(A_n)\). Bukti. Ambil \(\epsilon>0\), dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) pilih suatu barisan \(\sequence{m}{A_{nm}}\) himpunan yang meliput \(A_n\), dengan \(\diam A_{nm}\le\delta\) untuk setiap \(m\) dan \(\sum_{m=0}^{\infty}(\diam A_{nm})^r\le\theta_{r\delta}A_n+2^{-n}\epsilon\). Maka \(\langle A_{nm}\rangle_{m,n\in\Bbb N}\) merupakan peliput \(A\) oleh terhitung banyak himpunan berdiameter paling besar \(\delta\), sehingga

\(\theta_{r\delta}A \le\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}(\diam A_{nm})^r \le\sum_{n=0}^{\infty}(\theta_{r\delta}A_n+2^{-n}\epsilon) =2\epsilon+\sum_{n=0}^{\infty}\theta_{r\delta}A_n\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, kita memperoleh hasilnya. ∎

Dengan demikian,

\(a\le\theta_{r\delta}A \le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_{r\delta}A_n \le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_rA_n\).

Karena \(a\) sebarang,

\(\theta_rA\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_rA_n\);

karena \(\sequencen{A_n}\) sebarang, \(\theta_r\) merupakan ukuran luar.

264C Definisi

Jika \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(r>0\), maka ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\) adalah ukuran \(\mu_{Hr}\) pada \(\BbbR^s\) yang didefinisikan melalui metode Carathéodory dari ukuran luar \(\theta_r\) dalam 264A-264B.

264D Catatan

(a) Penting diperhatikan bahwa himpunan-himpunan yang digunakan dalam definisi \(\theta_{r\delta}\) tidak harus berupa bola; bahkan dalam \(\BbbR^2\), tidak setiap himpunan \(A\) dapat diliput oleh suatu bola yang berdiameter sama dengan \(A\).

264Db

(b) Dalam definisi-definisi di atas saya mensyaratkan \(r>0\). Kadang-kadang tepat untuk mengambil \(\mu_{H0}\) sebagai ukuran cacah. Ini hampir merupakan hasil penerapan rumus-rumus di atas dengan \(r=0\), tetapi dapat timbul kesulitan jika kita menafsirkannya terlalu harfiah.

264Dc (c)

Semua ukuran Hausdorff harus lengkap, karena semuanya didefinisikan melalui metode Carathéodory (212A). Untuk \(r>0\), semuanya tanpa atom (264Yg). Namun, ditinjau dari kriteria lain dalam §211, perilakunya sangat buruk; misalnya, jika \(r\), \(s\) bilangan bulat dan \(1\le r<s\), maka \(\mu_{Hr}\) pada \(\BbbR^s\) tidak semihingga. (Saya akan memberikan pembuktiannya dalam 439H pada Jilid 4.) Meskipun demikian, ukuran-ukuran tersebut memiliki beberapa sifat mencolok yang membuatnya cukup mudah ditangani.

264Dd (d)

Dalam 264A, perhatikan bahwa \(\theta_{r\delta}A\le\theta_{r\delta'}A\) ketika \(0<\delta'\le\delta\); akibatnya, misalnya, \(\theta_rA=\lim_{n\to\infty}\theta_{r,2^{-n}}A\). Saya telah mengizinkan himpunan sebarang \(A_n\) dalam peliput, tetapi hasilnya tidak berubah jika kita membatasi perhatian pada peliput yang terdiri atas himpunan terbuka atau himpunan tertutup (264Xc).

264E Teorema

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(r\ge 0\); misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\), dan \(\Sigma_{Hr}\) domainnya. Maka setiap subhimpunan Borel dari \(\BbbR^s\) termasuk dalam \(\Sigma_{Hr}\).

Bukti

Hal ini sepele jika \(r=0\); jadi selanjutnya andaikan bahwa \(r>0\).

(a) Langkah pertama ialah memperhatikan bahwa jika \(A\), \(B\) merupakan subhimpunan \(\Bbb R^s\) dan \(\eta>0\) sedemikian sehingga \(\|x-y\|\ge\eta\) untuk semua \(x\in A\), \(y\in B\), maka \(\theta_r(A\cup B)=\theta_rA+\theta_rB\), dengan \(\theta_r\) ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\). Bukti. Tentu saja \(\theta_r(A\cup B)\le\theta_rA+\theta_rB\), karena \(\theta_r\) merupakan ukuran luar. Untuk ketaksamaan sebaliknya, kita dapat mengandaikan bahwa \(\theta_r(A\cup B)<\infty\), sehingga \(\theta_rA\) dan \(\theta_rB\) keduanya berhingga. Ambil \(\epsilon>0\) dan \(\delta_1\), \(\delta_2>0\) sedemikian sehingga

\(\theta_rA+\theta_rB\le \theta_{r\delta_1}A+\theta_{r\delta_2}B+\epsilon\).

Tetapkan \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2,\bover12\eta)>0\) dan misalkan \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan himpunan yang berdiameter paling besar \(\delta\), meliput \(A\cup B\), dan sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r\le\theta_{r\delta}(A\cup B)+\epsilon\). Tetapkan

\(K=\{n:A_n\cap A\ne\emptyset\}\), \(L=\{n:A_n\cap B\ne\emptyset\}\).

Karena

\(\|x-y\|\ge\eta>\diam A_n\)

setiap kali \(x\in A\), \(y\in B\) dan \(n\in\Bbb N\), kita mempunyai \(K\cap L=\emptyset\); dan tentu saja \(A\subseteq\bigcup_{n\in K}A_n\), \(B\subseteq\bigcup_{n\in L}A_n\). Akibatnya,

\[\begin{aligned}\theta_rA+\theta_rB &\le\epsilon+\theta_{r\delta_1}A+\theta_{r\delta_2}B\\ &\le\epsilon+\sum_{n\in K}(\diam A_n)^r+\sum_{n\in L}(\diam A_n)^r\\ &\le\epsilon+\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r \le2\epsilon+\theta_{r\delta}(A\cup B) \le 2\epsilon+\theta_r(A\cup B).\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta_r(A\cup B)\ge\theta_rA+\theta_rB\), sebagaimana diperlukan. ∎

(b) Diperoleh bahwa \(\theta_rA=\theta_r(A\cap G)+\theta_r(A\setminus G)\) setiap kali \(A\subseteq \BbbR^s\) dan \(G\) terbuka. Bukti. Seperti biasa, cukup dipertimbangkan kasus \(\theta_rA<\infty\) dan ditunjukkan bahwa dalam kasus ini \(\theta_r(A\cap G)+\theta_r(A\setminus G)\le\theta_rA\). Tetapkan

\(A_n=\{x:x\in A,\,\|x-y\|\ge 2^{-n}\) untuk setiap \(y\in A\setminus G\}\),

\(B_0=A_0\), \(B_n=A_n\setminus A_{n-1}\) untuk \(n>0\).

Perhatikan bahwa \(A_n\subseteq A_{n+1}\) untuk setiap \(n\) dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n=A\cap G\). Intinya ialah bahwa jika \(m\), \(n\in\Bbb N\) dan \(n\ge m+2\), serta jika \(x\in B_m\) dan \(y\in B_n\), maka terdapat \(z\in A\setminus G\) sedemikian sehingga \(\|y-z\|<2^{-n+1}\le 2^{-m-1}\), sedangkan \(\|x-z\|\) harus paling sedikit \(2^{-m}\), sehingga \(\|x-y\|\ge\|x-z\|-\|y-z\|\ge 2^{-m-1}\). Akibatnya, untuk setiap \(k\ge 0\),

\(\sum_{m=0}^k\theta_rB_{2m} =\theta_r(\bigcup_{m\le k}B_{2m})\le\theta_r(A\cap G)<\infty\),

\(\sum_{m=0}^k\theta_rB_{2m+1} =\theta_r(\bigcup_{m\le k}B_{2m+1})\le\theta_r(A\cap G)<\infty\),

(dengan melakukan induksi pada \(k\) dan menggunakan (a) di atas pada langkah induksi). Akibatnya \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_rB_n<\infty\).

Sekarang, jika \(\epsilon>0\) diberikan, terdapat \(m\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=m}^{\infty}\theta_rB_n\le\epsilon\), sehingga

\[\begin{aligned}\theta_r(A\cap G)+\theta_r(A\setminus G) &\le\theta_rA_m+\sum_{n=m}^{\infty}\theta_rB_n+\theta_r(A\setminus G)\\ &\le\epsilon+\theta_rA_m+\theta_r(A\setminus G) =\epsilon+\theta_r(A_m\cup(A\setminus G))\\ &\text{(berdasarkan (a) lagi, karena }\|x-y\|\ge 2^{-m}\text{ untuk }x\in A_m\text{, }y\in A\setminus G\text{)}\\ &\le\epsilon+\theta_rA.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta_r(A\cap G)+\theta_r(A\setminus G)\le\theta_rA\), sebagaimana diperlukan. ∎

(c) Bagian (b) menunjukkan tepat bahwa himpunan terbuka termasuk dalam \(\Sigma_{Hr}\). Langsung diperoleh bahwa aljabar-\(\sigma\) Borel dari \(\BbbR^s\) termuat dalam \(\Sigma_{Hr}\), sebagaimana dinyatakan.

264F Proposisi

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(r>0\); misalkan \(\theta_r\) ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\), dan tuliskan \(\mu_{Hr}\) untuk ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\), \(\Sigma_{Hr}\) untuk domainnya. Maka

(a) untuk setiap \(A\subseteq \BbbR^s\) terdapat suatu himpunan Borel \(E\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}E=\theta_rA\);

(b) \(\theta_r=\mu^*_{Hr}\), yaitu ukuran luar yang didefinisikan dari \(\mu_{Hr}\);

(c) jika \(E\in\Sigma_{Hr}\) dapat dinyatakan sebagai gabungan terhitung dari himpunan-himpunan berukuran berhingga, terdapat himpunan Borel \(E'\), \(E''\) sedemikian sehingga \(E'\subseteq E\subseteq E''\) dan \(\mu_{Hr}(E''\setminus E')=0\).

Bukti

(a) Jika \(\theta_rA=\infty\), hal ini sepele—ambil \(E=\BbbR^s\). Jika tidak, untuk setiap \(n\in\Bbb N\) pilih suatu barisan \(\sequence{m}{A_{nm}}\) himpunan berdiameter paling besar \(2^{-n}\), yang meliput \(A\), dan sedemikian sehingga \(\sum_{m=0}^{\infty}(\diam A_{nm})^r\le\theta_{r,2^{-n}}A+2^{-n}\). Tetapkan \(F_{nm}=\overline{A}_{nm}\), \(E=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\in\Bbb N}F_{nm}\); maka \(E\) merupakan suatu himpunan Borel dalam \(\BbbR^s\). Tentu saja

\(A\subseteq\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\in\Bbb N}A_{nm} \subseteq\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\in\Bbb N}F_{nm}=E\).

Untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(\diam F_{nm}=\diam A_{nm}\le 2^{-n}\) untuk setiap \(m\in\Bbb N\),

\(\sum_{m=0}^{\infty}(\diam F_{nm})^r =\sum_{m=0}^{\infty}(\diam A_{nm})^r \le\theta_{r,2^{-n}}A+2^{-n}\),

sehingga

\(\theta_{r,2^{-n}}E\le\theta_{r,2^{-n}}A+2^{-n}\).

Dengan membiarkan \(n\to\infty\),

\(\theta_rE=\lim_{n\to\infty}\theta_{r,2^{-n}}E \le\lim_{n\to\infty}\theta_{r,2^{-n}}A+2^{-n} =\theta_rA\);

tentu saja diperoleh bahwa \(\theta_rA=\theta_rE\), karena \(A\subseteq E\). Sekarang, berdasarkan 264E kita mengetahui bahwa \(E\in\Sigma_{Hr}\), sehingga kita dapat menuliskan \(\mu_{Hr}E\) sebagai pengganti \(\theta_rE\).

(b) Hal ini langsung diperoleh, karena kita mempunyai

\(\mu_{Hr}^*A =\inf\{\mu_{Hr}E:E\in\Sigma_{Hr},\,A\subseteq E\} =\inf\{\theta_rE:E\in\Sigma_{Hr},\,A\subseteq E\} \ge\theta_rA\)

untuk setiap \(A\subseteq \BbbR^s\). Di pihak lain, jika \(A\subseteq\BbbR^s\), kita mempunyai suatu himpunan Borel \(E\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\theta_rA=\mu_{Hr}E\), sehingga \(\mu_{Hr}^*A\le\mu_{Hr}E=\theta_rA\).

(c)(i) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(\mu_{Hr}E<\infty\). Berdasarkan (a), terdapat himpunan Borel \(E''\supseteq E\), \(H\supseteq E''\setminus E\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}E''=\theta_rE\),

\(\mu_{Hr}H=\theta_r(E''\setminus E) =\mu_{Hr}(E''\setminus E) =\mu_{Hr}E''-\mu_{Hr}E =\mu_{Hr}E''-\theta_rE =0\).

Jadi, dengan menetapkan \(E'=E''\setminus H\), kita memperoleh suatu himpunan Borel yang termuat dalam \(E\), dan

\(\mu_{Hr}(E''\setminus E')\le\mu_{Hr}H=0\).

(ii) Untuk kasus umum, nyatakan \(E\) sebagai \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) dengan \(\mu_{Hr}E_n<\infty\) untuk setiap \(n\); ambil himpunan Borel \(E'_n\), \(E_n''\) sedemikian sehingga \(E_n'\subseteq E_n\subseteq E_n''\) dan \(\mu_{Hr}(E_n''\setminus E_n')=0\) untuk setiap \(n\); dan tetapkan \(E'=\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\), \(E''=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n''\).

264G Fungsi Lipschitz

Definisi ukuran Hausdorff tepat disesuaikan dengan hasil berikut, yang bersesuaian dengan 262D.

Proposisi Misalkan \(m\), \(s\ge 1\) bilangan bulat, dan \(\phi:D\to\BbbR^s\) suatu fungsi \(\gamma\)-Lipschitz, dengan \(D\) suatu subhimpunan \(\BbbR^m\). Maka untuk sebarang \(A\subseteq D\) dan \(r\ge 0\),

\(\mu_{Hr}^*(\phi[A])\le\gamma^r\mu_{Hr}^*A\)

untuk setiap \(A\subseteq D\), dengan menuliskan \(\mu_{Hr}^*\) untuk ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) baik pada \(\BbbR^m\) maupun pada \(\BbbR^s\).

Bukti

(a) Kasus \(r=0\) sepele, sebab ketika itu \(\gamma^r=1\) dan \(\mu_{Hr}^*A=\mu_{H0}A=\#(A)\) jika \(A\) berhingga, dan \(\infty\) jika tidak, sedangkan \(\#(\phi[A])\le\#(A)\).

(b) Jika \(r>0\), ambil sebarang \(\delta>0\). Tetapkan \(\eta=\delta/(1+\gamma)\) dan tinjau \(\theta_{r\eta}:\Cal P\BbbR^m\to[0,\infty]\), yang didefinisikan seperti dalam 264A. Berdasarkan 264Fb kita mengetahui bahwa

\(\mu_{Hr}^*A=\theta_rA\ge\theta_{r\eta}A\),

sehingga terdapat suatu barisan \(\sequencen{A_n}\) himpunan, semuanya berdiameter paling besar \(\eta\), yang meliput \(A\), dengan \(\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r\le\mu_{Hr}^*A+\delta\). Sekarang \(\phi[A]\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi[A_n\cap D]\) dan

\(\diam \phi[A_n\cap D] \le\gamma\diam A_n\le\gamma\eta\le\delta\)

untuk setiap \(n\). Akibatnya,

\(\theta_{r\delta}(\phi[A])\le\sum_{n=0}^{\infty} (\diam \phi[A_n\cap D])^r \le\sum_{n=0}^{\infty}\gamma^r(\diam A_n)^r \le\gamma^r(\mu_{Hr}^*A+\delta)\),

dan

\(\mu_{Hr}^*(\phi[A]) =\lim_{\delta\downarrow 0}\theta_{r\delta}(\phi[A]) \le\gamma^r\mu_{Hr}^*A\),

sebagaimana dinyatakan.

264H

Langkah berikutnya ialah menghubungkan ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^r\) dengan ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Fakta dasar yang kita perlukan adalah sebagai berikut, dan gagasan dalam pembuktiannya bahkan lebih penting daripada hasilnya.

Teorema

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(A\) suatu subhimpunan terbatas dari \(\BbbR^r\); tuliskan \(\mu_r\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan \(d=\diam A\). Maka

\(\mu_r^*(A)\le\mu_rB(\tbf{0},\Bover{d}2)=2^{-r}\beta_rd^r\),

dengan \(B(\tbf{0},\bover{d}2)\) bola berpusat di \(\tbf{0}\) dan berdiameter \(d\), sehingga \(B(\tbf{0},1)\) merupakan bola satuan dalam \(\BbbR^r\), dan mempunyai ukuran

\[\begin{aligned}\beta_r &=\Bover{1}{k!}\pi^k\text{ jika }r=2k\text{ genap},\\ &=\Bover{2^{2k+1}k!}{(2k+1)!}\pi^k\text{ jika }r=2k+1\text{ ganjil}.\\\end{aligned}\]

Bukti

(a) Untuk perhitungan \(\beta_r\), lihat 252Q atau 252Xi.

(b) Kasus \(r=1\) elementer, sebab dalam kasus ini \(A\) termuat dalam suatu interval dengan panjang \(\diam A\), sehingga \(\mu_1^*A\le\diam A\). Jadi, selanjutnya andaikan bahwa \(r\ge 2\).

(c) Untuk \(1\le i\le r\), misalkan \(S_i:\BbbR^r\to\BbbR^r\) refleksi pada koordinat ke-\(i\), sehingga \(S_ix=(\xi_1,\ldots, \xi_{i-1},-\xi_i,\xi_{i+1}, \ldots, \xi_r)\) untuk setiap \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in \BbbR^r\). Kita katakan bahwa suatu himpunan \(C\subseteq\BbbR^r\) simetris pada koordinat-koordinat dalam \(J\), dengan \(J\subseteq\{1,\ldots,r\}\), jika \(S_i[C]=C\) untuk \(i\in J\). Sekarang, inti argumennya adalah fakta berikut: jika \(C\subseteq\Bbb R^r\) suatu himpunan terbatas yang simetris pada koordinat-koordinat dalam \(J\), dengan \(J\) suatu subhimpunan sejati dari \(\{1,\ldots,r\}\), dan \(j\in\{1,\ldots,r\}\setminus J\), maka terdapat suatu himpunan \(D\), yang simetris pada koordinat-koordinat dalam \(J\cup\{j\}\), sedemikian sehingga \(\diam D\le\diam C\) dan \(\mu_r^*C\le\mu^*_rD\).

Bukti. (i) Karena ukuran Lebesgue invarian terhadap permutasi koordinat, cukup ditangani kasus \(j=r\). Mulailah dengan menuliskan \(F=\overline{C}\), sehingga \(\diam F=\diam C\) dan \(\mu_rF\ge\mu_r^*C\). Perhatikan bahwa karena \(S_i\) merupakan homeomorfisme untuk setiap \(i\),

\(S_i[F]=S_i[\overline{C}]=\overline{S_i[C]}=\overline{C}=F\)

untuk \(i\in J\), dan \(F\) simetris pada koordinat-koordinat dalam \(J\).

Untuk \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_{r-1})\in\BbbR^{r-1}\), tetapkan

\(F_y=\{\xi:(\eta_1,\ldots,\eta_{r-1},\xi)\in F\}\), \(f(y)=\mu_1F_y\),

dengan \(\mu_1\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tetapkan

\(D=\{(y,\xi):y\in\BbbR^{r-1},\,|\xi|<\Bover12f(y)\} \subseteq\BbbR^r\).

(ii) Jika \(H\subseteq\BbbR^r\) terukur dan \(H\supseteq D\), maka, dengan menuliskan \(\mu_{r-1}\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^{r-1}\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\mu_rH &=\int\mu_1\{\xi:(y,\xi)\in H\}\mu_{r-1}(dy)\\ &\text{(dengan menggunakan 251N dan 252D)}\\ &\ge\int\mu_1\{\xi:(y,\xi)\in D\}\mu_{r-1}(dy) =\int f(y)\mu_{r-1}(dy)\\ &=\int\mu_1\{\xi:(y,\xi)\in F\}\mu_{r-1}(dy) =\mu_rF \ge\mu^*_rC.\\\end{aligned}\]

Karena \(H\) sebarang, \(\mu_r^*D\ge\mu_r^*C\).

(iii) Langkah berikutnya ialah memeriksa bahwa \(\diam D\le\diam C\). Jika \(x\), \(x'\in D\), nyatakan keduanya sebagai \((y,\xi_r)\) dan \((y',\xi_r')\). Karena \(F\) suatu himpunan tertutup terbatas dalam \(\BbbR^r\), \(F_y\) dan \(F_{y'}\) merupakan subhimpunan tertutup terbatas dari \(\Bbb R\). Selain itu, baik \(f(y)\) maupun \(f(y')\) harus lebih besar dari \(0\), sehingga \(F_y\), \(F_{y'}\) keduanya tak kosong. Akibatnya,

\(\alpha=\inf F_y\), \(\beta=\sup F_y\), \(\alpha'=\inf F_{y'}\), \(\beta'=\sup F_{y'}\)

semuanya terdefinisi dalam \(\Bbb R\), dan \(\alpha\), \(\beta\in F_y\), sedangkan \(\alpha'\) dan \(\beta'\) termasuk dalam \(F_{y'}\). Kita mempunyai

\[\begin{aligned}|\xi_r-\xi_r'| &\le|\xi_r|+|\xi'_r| <\Bover12f(y)+\Bover12f(y')\\ &=\Bover12(\mu_1F_y+\mu_1F_{y'}) \le\Bover12(\beta-\alpha+\beta'-\alpha') \le\max(\beta'-\alpha,\beta-\alpha').\\\end{aligned}\]

Jadi, dengan mengambil \((\xi,\xi')\) sebagai salah satu dari \((\alpha,\beta')\) atau \((\beta,\alpha')\), kita dapat menemukan \(\xi\in F_y\), \(\xi'\in F_{y'}\) sedemikian sehingga \(|\xi-\xi'|\ge|\xi_r-\xi'_r|\). Sekarang \(z=(y,\xi)\), \(z'=(y',\xi')\) keduanya termasuk dalam \(F\), sehingga

\(\|x-x'\|^2=\|y-y'\|^2+|\xi_r-\xi_r'|^2 \le\|y-y'\|^2+|\xi-\xi'|^2 =\|z-z'\|^2 \le(\diam F)^2\),

dan \(\|x-x'\|\le\diam F\). Karena \(x\) dan \(x'\) sebarang, \(\diam D\le\diam F=\diam C\), sebagaimana dinyatakan.

(iv) Jelas bahwa \(S_r[D]=D\). Selain itu, jika \(i\in J\), maka (dengan menafsirkan \(S_i\) sebagai operator pada \(\BbbR^{r-1}\))

\(F_{S_i(y)}=F_y\) untuk setiap \(y\in\BbbR^{r-1}\),

sehingga \(f(S_i(y))=f(y)\) dan, untuk \(\xi\in \Bbb R\), \(y\in\BbbR^{r-1}\),

\((y,\xi)\in D\,\iff\,|\xi|<\bover12 f(y)\, \iff\,|\xi|<\bover12f(S_i(y)) \,\iff\,(S_i(y),\xi)\in D\),

sehingga \(S_i[D]=D\). Jadi \(D\) simetris pada koordinat-koordinat dalam \(J\cup\{r\}\). ∎

(d) Sisanya mudah. Mulai dengan sebarang himpunan terbatas \(A\subseteq\BbbR^r\); tetapkan \(A_0=A\) dan secara induktif konstruksikan \(A_1,\ldots,A_r\) sedemikian sehingga

\(d=\diam A=\diam A_0\ge\diam A_1\ge\ldots\ge\diam A_r\),

\(\mu_r^*A=\mu_r^*A_0\le\ldots\le\mu_r^*A_r\),

\(A_j\) simetris pada koordinat-koordinat dalam \(\{1,\ldots,j\}\) untuk setiap \(j\le r\).

Pada akhirnya, kita mempunyai \(A_r\) yang simetris pada koordinat-koordinat dalam \(\{1,\ldots,r\}\). Namun, ini berarti bahwa jika \(x\in A_r\), maka

\(-x=S_1S_2\ldots S_rx\in A_r\),

sehingga

\(\|x\|=\Bover12\|x-(-x)\| \le\Bover12\diam A_r\le\Bover{d}2\).

Jadi \(A_r\subseteq B(\tbf{0},\bover{d}2)\), dan

\(\mu_r^*A\le\mu_r^*A_r\le\mu_rB(\tbf{0},\Bover{d}2)\),

sebagaimana dinyatakan.

264I Teorema

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat; misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), dan misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^r\). Maka \(\mu\) dan \(\mu_{Hr}\) mempunyai himpunan-himpunan terukur yang sama dan

\(\mu E=2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}E\)

untuk setiap himpunan terukur \(E\subseteq\BbbR^r\), dengan \(\beta_r=\mu B(\tbf{0},1)\), sehingga faktor normalisasinya adalah

\[\begin{aligned}2^{-r}\beta_r &=\Bover{1}{2^{2k}k!}\pi^k\text{ jika }r=2k\text{ genap},\\ &=\Bover{k!}{(2k+1)!}\pi^k\text{ jika }r=2k+1\text{ ganjil}.\\\end{aligned}\]

Bukti

(a) Tentu saja jika \(B=B(x,\alpha)\) sebarang bola berjari-jari \(\alpha\),

\(2^{-r}\beta_r(\diam B)^r =\beta_r\alpha^r=\mu B\).

(b) Intinya ialah bahwa \(\mu^*=2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}^*\). Bukti. Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\).

(i) Misalkan \(\delta\), \(\epsilon>0\). Berdasarkan 261F, terdapat suatu barisan \(\sequencen{B_n}\) bola, semuanya berdiameter paling besar \(\delta\), sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n\le\mu^*A+\epsilon\). Sekarang, dengan mendefinisikan \(\theta_{r\delta}\) seperti dalam 264A,

\(2^{-r}\beta_r\theta_{r\delta}(A) \le 2^{-r}\beta_r\sum_{n=0}^{\infty}(\diam B_n)^r =\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n \le\mu^*A+\epsilon\).

Dengan membiarkan \(\delta\downarrow 0\),

\(2^{-r}\beta_r\mu^*_{Hr}A\le\mu^*A+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}^*A\le\mu^*A\).

(ii) Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu barisan \(\sequencen{A_n}\) himpunan berdiameter paling besar \(1\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r\le\theta_{r1}A+\epsilon\), sehingga

\(\mu^*A\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*A_n \le\sum_{n=0}^{\infty}2^{-r}\beta_r(\diam A_n)^r \le 2^{-r}\beta_r(\theta_{r1}A+\epsilon) \le 2^{-r}\beta_r(\mu_{Hr}^*A+\epsilon)\)

berdasarkan 264H. Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\mu^*A\le 2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}^*A\). ∎

(c) Karena \(\mu\), \(\mu_{Hr}\) merupakan ukuran yang didefinisikan dari ukuran luarnya masing-masing melalui metode Carathéodory, langsung diperoleh bahwa \(\mu=2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}\) dalam pengertian ketat yang diperlukan.

264J Himpunan Cantor

Dalam 264A saya menyatakan bahwa ‘dimensi’ pecahan \(r\) menarik. Saya tidak mempunyai ruang untuk membahasnya di sini, dan pokok itu berada di luar jalur utama jilid ini, tetapi saya akan memberikan satu hasil karena hasil itu menarik pada dirinya sendiri.

Proposisi Misalkan \(C\) himpunan Cantor dalam \([0,1]\). Tetapkan \(r=\ln 2/\ln 3\). Maka ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) dari \(C\) adalah \(1\).

Bukti

(a) Ingat bahwa \(C=\bigcap_{n\in\Bbb N}C_n\), dengan setiap \(C_n\) terdiri atas \(2^n\) interval tertutup yang panjangnya \(3^{-n}\), dan \(C_{n+1}\) diperoleh dari \(C_n\) dengan menghapus sepertiga tengah (terbuka) dari setiap interval dalam \(C_n\). (Lihat 134G.) Karena \(C\) tertutup, \(\mu_{Hr}C\) terdefinisi (264E). Perhatikan bahwa \(3^r=2\).

(b) Jika \(\delta>0\), ambil \(n\) sedemikian sehingga \(3^{-n}\le\delta\); maka \(C\) dapat diliput oleh \(2^n\) interval berdiameter \(3^{-n}\), sehingga

\(\theta_{r\delta}C\le 2^n(3^{-n})^r=1\).

Akibatnya,

\(\mu_{Hr}C=\mu_{Hr}^*C =\lim_{\delta\downarrow 0}\theta_{r\delta}C\le 1\).

(c) Kita memerlukan fakta elementer berikut: jika \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\ge 0\) dan \(\max(\alpha,\gamma)\le\beta\), maka \(\alpha^r+\gamma^r\le(\alpha+\beta+\gamma)^r\). Bukti. Karena \(0<r\le 1\),

\(\xi\mapsto(\xi+\eta)^r-\xi^r =r\biggerint_0^{\eta}(\xi+\zeta)^{r-1}d\zeta\)

tak menaik untuk setiap \(\eta\ge 0\). Akibatnya,

\[\begin{aligned}(\alpha+\beta+\gamma)^r-\alpha^r-\gamma^r &\ge (\beta+\beta+\gamma)^r-\beta^r-\gamma^r\\ &\ge(\beta+\beta+\beta)^r-\beta^r-\beta^r =\beta^r(3^r-2) =0,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan. ∎

(d) Sekarang andaikan bahwa \(I\subseteq\Bbb R\) sebarang interval, dan \(m\in\Bbb N\); tuliskan \(j_m(I)\) untuk banyaknya interval penyusun \(C_m\) yang termuat dalam \(I\). Maka \(2^{-m}j_m(I)\le(\diam I)^r\). Bukti. Jika \(I\) tidak bertemu \(C_m\), hal ini sepele. Jika tidak, lakukan induksi pada

\(l=\min\{i:I\) hanya bertemu dengan satu interval penyusun \(C_{m-i}\}\).

Jika \(l=0\), sehingga \(I\) hanya bertemu dengan satu interval penyusun \(C_m\), maka \(j_m(I)\le 1\), dan jika \(j_m(I)=1\), maka \(\diam I\ge 3^{-m}\) sehingga \((\diam I)^r\ge 2^{-m}\); dengan demikian induksi dimulai. Untuk langkah induksi menuju \(l>0\), misalkan \(J\) interval dalam \(C_{m-l}\) yang bertemu dengan \(I\), dan \(J'\), \(J''\) kedua interval dalam \(C_{m-l+1}\) yang termuat dalam \(J\), sehingga \(I\) bertemu dengan \(J'\) dan \(J''\), dan

\(j_m(I)=j_m(I\cap J)=j_m(I\cap J')+j_m(I\cap J'')\).

Berdasarkan hipotesis induksi,

\((\diam(I\cap J'))^r+(\diam(I\cap J''))^r \ge 2^{-m}j_m(I\cap J')+2^{-m}j_m(I\cap J'') =2^{-m}j_m(I)\).

Di pihak lain, berdasarkan (c),

\[\begin{aligned}(\diam(I\cap J'))^r+(\diam(I\cap J''))^r &\le(\diam(I\cap J')+3^{-m+l-1}+\diam(I\cap J''))^r\\ &=(\diam(I\cap J))^r \le(\diam I)^r\\\end{aligned}\]

karena \(J'\), \(J''\) keduanya berdiameter paling besar \(3^{-(m-l+1)}\), yaitu panjang interval di antara keduanya. Dengan demikian induksi berlanjut. ∎

(e) Sekarang andaikan bahwa \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu barisan \(\sequencen{A_n}\) himpunan yang meliput \(C\), sedemikian sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r <\mu_{Hr}C+\epsilon\).

Ambil \(\eta_n>0\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n+\eta_n)^r\le\mu_{Hr}C+\epsilon\), dan untuk setiap \(n\) ambil suatu interval terbuka \(I_n\supseteq A_n\) dengan panjang paling besar \(\diam A_n+\eta_n\) dan dengan kedua titik ujung tidak termasuk dalam \(C\); hal ini mungkin karena \(C\) tidak memuat interval nontrivial mana pun. Sekarang \(C\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n\); karena \(C\) kompak, terdapat \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(C\subseteq\bigcup_{n\le k}I_n\). Berikutnya, terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga tidak ada titik ujung \(I_n\), untuk \(n\le k\), yang termasuk dalam \(C_m\). Akibatnya, setiap interval penyusun \(C_m\) harus termuat dalam suatu \(I_n\), dan (dengan terminologi (d) di atas) \(\sum_{n=0}^kj_m(I_n)\ge 2^m\). Dengan demikian,

\(1 \le\sum_{n=0}^k2^{-m}j_m(I_n) \le \sum_{n=0}^k(\diam I_n)^r \le \sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n+\eta_n)^r \le\mu_{Hr}C+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\mu_{Hr}C\ge 1\), sebagaimana diperlukan.

264K Ruang metrik umum

Walaupun bab ini secara eksklusif membahas ruang Euklides, pembaca yang mengenal teori umum ruang metrik mungkin akan melihat sifat teori ini dengan lebih jelas jika mereka menggunakan bahasa ruang metrik dalam definisi dan hasil dasar. Karena itu, saya mengulang definisinya di sini dan menguraikan hasil-hasil yang bersesuaian dalam latihan 264Yb-264Yl.

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik, dan \(r>0\). Untuk sebarang \(A\subseteq X\), \(\delta>0\), tetapkan

\[\begin{aligned}\theta_{r\delta}A =\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r:\sequencen{A_n} &\text{ adalah barisan subhimpunan }X\text{ yang meliput }A,\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\diam A_n\le\delta\text{ untuk setiap } n\in\Bbb N\},\\\end{aligned}\]

dengan menafsirkan diameter himpunan kosong sebagai \(0\), dan \(\inf\emptyset\) sebagai \(\infty\), sehingga \(\theta_{r\delta}A=\infty\) jika \(A\) tidak dapat diliput oleh suatu barisan himpunan berdiameter paling besar \(\delta\). Katakan bahwa \(\theta_rA=\sup_{\delta>0}\theta_{r\delta}A\) adalah ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) dari \(A\), dan ambil ukuran \(\mu_{Hr}\) yang didefinisikan melalui metode Carathéodory dari ukuran luar ini sebagai ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\).

Latihan

264X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Tunjukkan bahwa semua fungsi \(\theta_{r\delta}\) dalam 264A merupakan ukuran luar. Tunjukkan bahwa dalam konteks tersebut, \(\theta_{r\delta}(A)=0\) jika dan hanya jika \(\theta_r(A)=0\), untuk sebarang \(\delta>0\) dan sebarang \(A\subseteq\BbbR^s\).

264Xb (b)

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(\BbbR^s\) sedemikian sehingga \(\theta(A\cup B)=\theta A+\theta B\) setiap kali \(A\), \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari \(\BbbR^s\) dan \(\inf_{x\in A,y\in B}\|x-y\|>0\). Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan Borel dari \(\BbbR^s\) diukur oleh ukuran yang didefinisikan dari \(\theta\) melalui metode Carathéodory.

264Xc (c) penting

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat dan \(r>0\); definisikan \(\theta_{r\delta}\) seperti dalam 264A. Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(A\subseteq\BbbR^s\), \(\delta>0\),

\[\begin{aligned}\theta_{r\delta}A &=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam F_n)^r:\sequencen{F_n} \text{ adalah barisan subhimpunan tertutup dari }\BbbR^s\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yang meliput }A,\diam F_n\le\delta \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}\\ &=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam G_n)^r:\sequencen{G_n} \text{ adalah barisan subhimpunan terbuka dari }\BbbR^s\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yang meliput }A,\diam G_n\le\delta \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}.\\\end{aligned}\]

264Xd (d) penting

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat dan \(r\ge 0\); misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^s\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(A\subseteq \BbbR^s\) terdapat suatu himpunan G\(_{\delta}\) (yakni, suatu himpunan yang dapat dinyatakan sebagai irisan suatu barisan himpunan terbuka) \(H\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}H=\mu^*_{Hr}A\). (Petunjuk: gunakan 264Xc.)

264Xe (e) penting

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(0\le r<r'\). Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq\BbbR^s\) dan ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\), yaitu \(\mu_{Hr}^*A\), dari \(A\) berhingga, maka \(\mu_{Hr'}^*A\) harus nol.

264Xf (f)

(i) Andaikan bahwa \(f:[a,b]\to\Bbb R\) mempunyai grafik \(\Gamma_f\subseteq\BbbR^2\), dengan \(a\le b\) dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa ukuran luar \(\mu_{H1}^*(\Gamma_f)\) dari \(\Gamma_f\) untuk ukuran Hausdorff berdimensi satu pada \(\BbbR^2\) paling besar \(b-a+\Var_{[a,b]}(f)\). Petunjuk: jika \(f\) mempunyai variasi berhingga, tunjukkan bahwa \(\diam(\Gamma_{f\restr\ooint{t,u}}) \le u-t+\Var_{\ooint{t,u}}(f)\); kemudian gunakan 224E. (ii) Misalkan \(f:[0,1]\to[0,1]\) fungsi Cantor (134H). Tunjukkan bahwa \(\mu_{H1}(\Gamma_f)=2\). Petunjuk: 264G.

264Xg (g)

Dalam 264A, tunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\theta_{r\delta}A =\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam A_n)^r:\sequencen{A_n} &\text{ adalah barisan himpunan konveks yang meliput }A,\\ &\qquad\qquad\qquad\quad\diam A_n\le\delta\text{ untuk setiap } n\in\Bbb N\}\\\end{aligned}\]

untuk sebarang \(A\subseteq\BbbR^s\).

264Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\theta_{11}\) ukuran luar pada \(\BbbR^2\) yang didefinisikan dalam 264A, dengan \(r=\delta=1\), dan \(\mu_{11}\) ukuran yang diturunkan dari \(\theta_{11}\) melalui metode Carathéodory, serta \(\Sigma_{11}\) domainnya. Tunjukkan bahwa setiap himpunan dalam \(\Sigma_{11}\) terabaikan atau koterabaikan.

264Yb (b)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r\ge 0\). Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq X\) dan \(\mu_{Hr}^*A<\infty\), maka \(A\) separabel.

264Yc (c)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik, dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\) sedemikian sehingga \(\theta(A\cup B)=\theta A+\theta B\) setiap kali \(A\), \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari \(X\) dan \(\inf_{x\in A,y\in B}\rho(x,y)>0\). (Ukuran luar demikian disebut ukuran luar metrik.) Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan terbuka dari \(X\) diukur oleh ukuran yang didefinisikan dari \(\theta\) melalui metode Carathéodory.

264Yd (d)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r>0\); definisikan \(\theta_{r\delta}\) seperti dalam 264K. Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(A\subseteq X\),

\[\begin{aligned}\mu_{Hr}^*A &=\sup_{\delta>0}\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam F_n)^r:\sequencen{F_n} \text{ adalah barisan subhimpunan tertutup dari }X\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yang meliput }A,\,\diam F_n\le\delta \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}\\ &=\sup_{\delta>0}\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}(\diam G_n)^r:\sequencen{G_n} \text{ adalah barisan subhimpunan terbuka dari }X\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yang meliput }A,\,\diam G_n\le\delta \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\}.\\\end{aligned}\]

264Ye (e)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r\ge 0\); misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(A\subseteq X\) terdapat suatu himpunan G\(_{\delta}\) \(H\supseteq A\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}H=\mu^*_{Hr}A\) merupakan ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) dari \(A\).

264Yf (f)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r\ge 0\); misalkan \(Y\) sebarang subhimpunan \(X\), dan lengkapi \(Y\) dengan metrik terinduksi \(\rho_Y\). (i) Tunjukkan bahwa ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) \(\mu^{(Y)*}_{Hr}\) pada \(Y\) tepat merupakan pembatasan pada \(\Cal PY\) dari ukuran luar \(\mu_{Hr}^*\) pada \(X\). (ii) Tunjukkan bahwa jika salah satu dari \(\mu_{Hr}^*Y<\infty\) atau \(\mu_{Hr}\) mengukur \(Y\) berlaku, maka ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) \(\mu^{(Y)}_{Hr}\) pada \(Y\) tepat merupakan ukuran subruang pada \(Y\) yang diinduksi oleh ukuran \(\mu_{Hr}\) pada \(X\).

264Yg (g)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r>0\). Tunjukkan bahwa ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\) bersifat tanpa atom. (Petunjuk: Misalkan \(E\in\dom\mu_{Hr}\). (i) Jika \(E\) tidak separabel, terdapat suatu himpunan terbuka \(G\) sedemikian sehingga \(E\cap G\) dan \(E\setminus G\) keduanya tidak separabel, sehingga keduanya tidak terabaikan. (ii) Jika terdapat \(x\in E\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}(E\cap B(x,\delta))>0\) untuk setiap \(\delta>0\), maka salah satu dari himpunan-himpunan ini mempunyai komplemen yang tidak terabaikan dalam \(E\). (iii) Jika tidak, \(\mu_{Hr}E=0\).)

264Yh (h)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(r\ge 0\); misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\). Tunjukkan bahwa jika \(\mu_{Hr}E<\infty\), maka \(\mu_{Hr}E=\sup\{\mu_{Hr}F:F\subseteq E\) tertutup dan terbatas total\(\}\). (Petunjuk: jika \(\epsilon>0\) diberikan, gunakan 264Yd untuk menemukan suatu himpunan tertutup dan terbatas total \(F\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}(F\setminus E)=0\) dan \(\mu_{Hr}(E\setminus F)\le\epsilon\), lalu terapkan 264Ye pada \(F\setminus E\).)

264Yi (i)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik lengkap dan \(r\ge 0\); misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\). Tunjukkan bahwa jika \(\mu_{Hr}E<\infty\), maka \(\mu_{Hr}E=\sup\{\mu_{Hr}F:F\subseteq E\) kompak\(\}\).

264Yj (j)

Misalkan \((X,\rho)\) dan \((Y,\sigma)\) ruang metrik. Jika \(D\subseteq X\) dan \(\phi:D\to Y\) suatu fungsi, maka \(\phi\) adalah \(\gamma\)-Lipschitz jika \(\sigma(\phi(x),\phi(x'))\le\gamma\rho(x,x')\) untuk setiap \(x\), \(x'\in D\). (i) Tunjukkan bahwa dalam hal ini, jika \(r\ge 0\), \(\mu_{Hr}^*(\phi[A])\le\gamma^r\mu_{Hr}^*A\) untuk setiap \(A\subseteq D\), dengan menuliskan \(\mu_{Hr}^*\) untuk ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\) maupun \(Y\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(X\) lengkap dan \(E\subseteq D\) dan \(\mu_{Hr}E\) terdefinisi dan berhingga, maka \(\mu_{Hr}(\phi[E])\) terdefinisi. (Petunjuk: 264Yi.)

264Yk (k)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik, dan untuk \(r\ge 0\) misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(X\). Tunjukkan bahwa terdapat tepat satu \(\Delta=\Delta(X)\in[0,\infty]\) sedemikian sehingga \(\mu_{Hr}X=\infty\) jika \(r\in\coint{0,\Delta}\), dan \(0\) jika \(r\in\ooint{\Delta,\infty}\).

264Yl (l)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(\phi:I\to X\) suatu fungsi kontinu, dengan \(I\subseteq\Bbb R\) suatu interval. Tuliskan \(\mu_{H1}\) untuk ukuran Hausdorff berdimensi satu pada \(X\). Tunjukkan bahwa

\(\mu_{H1}(\phi[I]) \le\sup\{\sum_{i=1}^n\rho(\phi(t_i),\phi(t_{i-1})):t_0,\ldots,t_n\in I,\,t_0\le\ldots\le t_n\}\),

yaitu panjang kurva \(\phi\), dengan kesamaan jika \(\phi\) injektif.

264Ym (m)

Tetapkan \(r=\ln 2/\ln 3\), seperti dalam 264J, dan tuliskan \(\mu_{Hr}\) untuk ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada himpunan Cantor \(C\). Misalkan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) (254J). Definisikan \(\phi:\{0,1\}^{\Bbb N}\to C\) dengan menetapkan \(\phi(x)=\bover23\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}x(n)\) untuk \(x\in\{0,1\}^{\Bbb N}\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan isomorfisme antara \((\{0,1\}^{\Bbb N},\lambda)\) dan \((C,\mu_{Hr})\), sehingga \(\mu_{Hr}\) merupakan ukuran subruang pada \(C\) yang diinduksi oleh ‘ukuran Cantor’ sebagaimana didefinisikan dalam 256Hc.

264Yn (n)

Tetapkan \(r=\ln 2/\ln 3\) dan tuliskan \(\mu_{Hr}\) untuk ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada himpunan Cantor \(C\). Misalkan \(f:[0,1]\to[0,1]\) fungsi Cantor dan misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\mu f[E]=\mu_{Hr}E\) untuk setiap \(E\in\dom\mu_{Hr}\) dan \(\mu_{Hr}(C\cap f^{-1}[F])=\mu F\) untuk setiap himpunan terukur Lebesgue \(F\subseteq[0,1]\).

264Yo (o)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik dan \(h:\coint{0,\infty}\to\coint{0,\infty},\ h(0)=0\) suatu fungsi tak menurun. Untuk \(A\subseteq X\), tetapkan

\[\begin{aligned}\theta_hA &=\sup_{\delta>0}\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}h(\diam A_n):\sequencen{A_n} \text{ adalah barisan subhimpunan dari }X\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ yang meliput }A,\,\diam A_n\le\delta \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\},\\\end{aligned}\]

dengan menafsirkan \(\diam\emptyset\) sebagai \(0\) dan \(\inf\emptyset\) sebagai \(\infty\) seperti biasa. Tunjukkan bahwa \(\theta_h\) merupakan ukuran luar pada \(X\). Nyatakan dan buktikan teorema-teorema yang bersesuaian dengan 264E dan 264F. Periksa 264X dan 264Y untuk mencari hasil lain yang mungkin dapat digeneralisasi, barangkali dengan asumsi bahwa \(h\) kontinu dari kanan.

264Yp (p)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik. Kita katakan bahwa jika \(a<b\) dalam \(\Bbb R\) dan \(f:[a,b]\to X\) suatu fungsi, maka \(f\) kontinu mutlak jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^n\rho(f(a_i),f(b_i))\le\epsilon\) setiap kali \(a\le a_0\le b_0\le\ldots\le a_n\le b_n\le b\) dan \(\sum_{i=0}^n(b_i-a_i)\le\delta\). Tunjukkan bahwa \(f:[a,b]\to X\) kontinu mutlak jika dan hanya jika fungsi itu kontinu dan bervariasi terbatas (dalam pengertian 224Ye) serta \(\mu_{H1}f[A]=0\) setiap kali \(A\subseteq[a,b]\) terabaikan Lebesgue, dengan \(\mu_{H1}\) ukuran Hausdorff berdimensi satu pada \(X\). (Bandingkan 225M.) Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(\mu_{H1}f[\,[a,b]\,]<\infty\).

264Yq (q)

Misalkan \(s\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(r\in\coint{s,\infty}\). Untuk \(x\), \(y\in\BbbR^s\), tetapkan \(\rho(x,y)=\|x-y\|^{s/r}\). (i) Tunjukkan bahwa \(\rho\) merupakan metrik pada \(\BbbR^s\) yang menginduksi topologi Euklides. (ii) Misalkan \(\mu_{Hr}\) ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa \(\mu_{Hr}B(\tbf{0},1)=2^s\).

Catatan dan komentar

264 Catatan penutup untuk Bagian 264

Dalam bagian ini kita telah sampai pada langkah berikutnya dalam ‘teori ukuran geometris’. Saya membahasnya dengan sangat perlahan, karena terdapat kesulitan nyata dalam pokok ini, dan untuk keperluan jilid ini kita tidak perlu menguasai banyak darinya. Gagasannya di sini ialah menemukan suatu definisi ukuran Lebesgue berdimensi \(r\) yang ‘geometris’ dalam pengertian ketat, yakni hanya bergantung pada struktur metrik \(\BbbR^r\), dan karena itu dapat diterapkan pada himpunan yang mempunyai struktur metrik tetapi tidak mempunyai struktur linear. Seperti yang sudah terjadi sebelumnya, definisi ukuran Hausdorff dari suatu ukuran luar tidak menimbulkan masalah—satu-satunya gagasan baru dalam 264A-264C ialah penggunaan supremum \(\theta_r=\sup_{\delta>0}\theta_{r\delta}\) dari ukuran-ukuran luar—dan bagian sulitnya adalah membuktikan bahwa ukuran baru kita mempunyai sifat yang berguna. Mengenai sifat ukuran Hausdorff, terdapat dua sasaran pokok: pertama, memeriksa bahwa secara umum ukuran-ukuran ini memiliki bagian yang cukup besar dari sifat ukuran Lebesgue; dan kedua, membenarkan istilah ‘ukuran berdimensi \(r\)’ dengan menghubungkan ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) pada \(\BbbR^r\) dengan ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\).

Mengenai sifat ukuran Hausdorff umum, kita harus melangkah cukup hati-hati. Saya tidak memberikan contoh tandingan di sini karena contoh-contoh itu melibatkan konsep yang termasuk dalam Jilid 4 dan 5, bukan jilid ini, tetapi saya harus memperingatkan Anda agar mengantisipasi hal terburuk. Setidaknya, kita mengetahui bahwa himpunan terbuka terukur, sehingga semua himpunan Borel terukur (264E). Ukuran luar suatu himpunan \(A\) dapat didefinisikan melalui himpunan-himpunan Borel yang memuat \(A\) (264Fa), walaupun secara umum tidak melalui himpunan-himpunan terbuka yang memuat \(A\); tetapi ukuran suatu himpunan terukur \(E\) tidak selalu merupakan supremum ukuran himpunan-himpunan Borel yang termuat dalam \(E\), kecuali \(E\) berukuran berhingga (264Fc). Kita memang mendapati bahwa ukuran luar \(\theta_r\) yang didefinisikan dalam 264A merupakan ukuran luar yang didefinisikan dari \(\mu_{Hr}\) (264Fb), sehingga frasa ‘ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\)’ tidak ambigu. Salah satu sifat penting ukuran Lebesgue ialah bahwa ukuran suatu himpunan terukur \(E\) merupakan supremum ukuran subhimpunan kompak dari \(E\); sifat ini secara umum tidak dimiliki ukuran Hausdorff, tetapi berlaku untuk himpunan \(E\) berukuran berhingga dalam ruang lengkap (264Yi). Mengenai subruang, tidak terdapat masalah dengan ukuran luar, dan untuk himpunan berukuran berhingga, ukuran subruangnya juga konsisten (264Yf). Karena ukuran Hausdorff didefinisikan dalam istilah metrik, ia berperilaku teratur di bawah pemetaan Lipschitz (264G); salah satu kelas fungsi yang paling alami untuk dipertimbangkan ketika mempelajari ruang metrik adalah fungsi \(1\)-Lipschitz, sehingga (dalam bahasa 264G) \(\mu_{Hr}^*\phi[A]\le \mu_{Hr}^*A\) untuk setiap \(A\).

Sifat pokok kedua ukuran Hausdorff, yakni hubungannya dengan ukuran Lebesgue dalam dimensi yang sesuai, adalah Teorema 264I. Karena ukuran Hausdorff dan ukuran Lebesgue sama-sama invarian terhadap translasi, hal ini dapat dibuktikan dengan cara yang relatif elementer, kecuali dalam evaluasi konstanta normalisasi; kita hanya perlu mengetahui bahwa \(\mu\coint{0,1}^r=1\) dan \(\mu_{Hr}\coint{0,1}^r\) keduanya berhingga dan tidak nol, dan ini langsung. (Argumen bagian (a) pembuktian 261F relevan.) Untuk keperluan bab ini, menurut saya kita tidak harus mengetahui nilai konstanta tersebut; tetapi saya tidak dapat membiarkannya tak terselesaikan, dan karena itu memberikan Teorema 264H, yaitu ketaksamaan isodiametrik, untuk menunjukkan bahwa konstanta itu tepat merupakan ukuran Lebesgue dari bola berdimensi \(r\) dengan diameter \(1\), sebagaimana diharapkan. Langkah kritis dalam argumen 264H terdapat pada bagian (c) pembuktiannya. Langkah ini disebut ‘simetrisasi Steiner’; gagasannya ialah bahwa, setelah diberikan suatu himpunan \(A\), kita mentransformasi \(A\) melalui serangkaian langkah, pada setiap tahap menurunkan, atau setidaknya tidak menaikkan, diameternya, dan menaikkan, atau setidaknya tidak menurunkan, ukuran luarnya, dengan secara bertahap membuat \(A\) lebih simetris, sampai akhirnya diperoleh suatu himpunan yang cukup terkendala sehingga mudah ditangani. Operasi simetrisasi khusus yang digunakan dalam pembuktian ini cukup penting; tetapi gagasan regularisasi bertahap terhadap suatu objek merupakan salah satu metode paling ampuh dalam teori ukuran, dan Anda patut mencurahkan seluruh perhatian untuk menguasai setiap contoh yang Anda jumpai. Berdasarkan pengalaman saya, gagasan itu terutama berguna ketika mencari suatu ketaksamaan yang melibatkan besaran yang berbeda sifat—dalam contoh sekarang, diameter dan volume suatu himpunan.

Tentu saja tidak nyaman memiliki dua ukuran pada \(\BbbR^r\) yang berbeda sebesar suatu kelipatan konstan, dan untuk keperluan bagian berikutnya sebenarnya akan sedikit lebih mudah mengikuti Federer 69 dengan menggunakan ‘ukuran Hausdorff ternormalisasi’ \(2^{-r}\beta_r\mu_{Hr}\). (Untuk \(r\) tak bulat, kita dapat mengambil \(\beta_r=\pi^{r/2}/\Gamma(1+\bover{r}2)\), sebagaimana disarankan dalam 252Xi.) Namun, saya yakin ini merupakan pandangan minoritas, dan contoh mencolok ukuran Hausdorff pada himpunan Cantor (264J, 264Ym-264Yn) tampak jauh lebih baik dalam versi yang tidak dinormalisasi.

Ukuran Hausdorff berdimensi (\(\ln 2/\ln 3\)) pada himpunan Cantor tentu hanyalah satu, barangkali yang termudah, dari suatu kelas contoh yang besar. Karena ukuran luar Hausdorff berdimensi \(r\) dari suatu himpunan \(A\), jika dipandang sebagai fungsi \(r\), berperilaku secara drastis (turun dari \(\infty\) ke \(0\)) pada suatu nilai kritis \(\Delta(A)\) (lihat 264Xe, 264Yk), ukuran itu memberi kita suatu invarian ruang metrik dari \(A\); \(\Delta(A)\) adalah dimensi Hausdorff dari \(A\). Jelas bahwa dimensi Hausdorff dari \(C\) adalah \(\ln 2/\ln 3\), sedangkan dimensi Hausdorff ruang Euklides berdimensi \(r\) adalah \(r\).