L∞ — Fondasi Teori Ukuran

Ruang Banach klasik kedua dalam teori ukur yang saya bahas adalah ruang \(L^{\infty}\). Sebagaimana akan tampak di bawah, \(L^{\infty}\) merupakan pasangan polar dari \(L^1\), yakni lawan yang terkait; untuk ruang ukur ‘biasa’, ruang ini sebenarnya merupakan dual dari \(L^1\) (243F-243G).

243A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Misalkan \(\eusm L^{\infty}=\eusm L^{\infty}(\mu)\) himpunan fungsi \(f\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) yang terbatas secara esensial, yaitu sedemikian sehingga terdapat \(M\ge 0\) dengan \(\{x:x\in\dom f,\,|f(x)|\le M\}\) koterabaikan, dan tuliskan

\(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu) =\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^{\infty}(\mu)\}\subseteq L^0(\mu)\).

Perhatikan bahwa jika \(f\in\eusm L^{\infty}\), \(g\in\eusm L^0\) dan \(g\eae f\), maka \(g\in\eusm L^{\infty}\); dengan demikian \(\eusm L^{\infty}=\{f:f\in\eusm L^0,\,f^{\ssbullet}\in L^{\infty}\}\).

243B Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Maka

(a) \(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\) merupakan subruang linear dari \(L^0=L^0(\mu)\).

(b) Jika \(u\in L^{\infty}\), \(v\in L^0\) dan \(|v|\le|u|\), maka \(v\in L^{\infty}\). Akibatnya, \(|u|\), \(u\vee v\), \(u\wedge v\), \(u^+\mskip5mu =u\vee 0\) dan \(u^-\mskip5mu =(-u)\vee 0\) termasuk dalam \(L^{\infty}\) untuk semua \(u\), \(v\in L^{\infty}\).

(c) Dengan menuliskan \(e=\chi X^{\ssbullet}\), yaitu kelas ekuivalensi dalam \(L^0\) dari fungsi konstan yang bernilai \(1\), suatu unsur \(u\) dari \(L^0\) termasuk dalam \(L^{\infty}\) jika dan hanya jika terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|u|\le Me\).

(d) Jika \(u\), \(v\in L^{\infty}\), maka \(u\times v\in L^{\infty}\).

(e) Jika \(u\in L^{\infty}\) dan \(v\in L^1=L^1(\mu)\), maka \(u\times v\in L^1\).

Bukti

(a) Jika \(f\), \(g\in\eusm L^{\infty}=\eusm L^{\infty}(\mu)\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(f+g\), \(cf\in\eusm L^{\infty}\). Bukti. Kita mempunyai \(M_1\), \(M_2\ge 0\) sedemikian sehingga \(|f|\le M_1\) hampir di mana-mana dan \(|g|\le M_2\) hampir di mana-mana. Sekarang

\(|f+g|\le|f|+|g|\le M_1+M_2\) hampir di mana-mana, \(|cf|\le|c|M_1\) hampir di mana-mana,

sehingga \(f+g\), \(cf\in\eusm L^{\infty}\). ∎ Segera diperoleh bahwa \(u+v\), \(cu\in L^{\infty}\) setiap kali \(u\), \(v\in L^{\infty}\) dan \(c\in\Bbb R\).

(b)(i) Ambil \(f\in\eusm L^{\infty}\), \(g\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) sedemikian sehingga \(u=f^{\ssbullet}\) dan \(v=g^{\ssbullet}\). Maka \(|g|\leae|f|\). Misalkan \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|f|\le M\) hampir di mana-mana; maka \(|g|\le M\) hampir di mana-mana, sehingga \(g\in\eusm L^{\infty}\) dan \(v\in L^{\infty}\).

(ii) Sekarang \(|\,|u|\,|=|u|\), sehingga \(|u|\in L^{\infty}\) setiap kali \(u\in L^{\infty}\). Selain itu, \(u\vee v=\bover12(u+v+|u-v|)\) dan \(u\wedge v=\bover12(u+v-|u-v|)\) termasuk dalam \(L^{\infty}\) untuk semua \(u\), \(v\in L^{\infty}\).

(c)(i) Jika \(u\in L^{\infty}\), ambil \(f\in\eusm L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). Maka terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|f|\le M\) hampir di mana-mana, sehingga \(|f|\leae M\chi X\) dan \(|u|\le Me\). (ii) Tentu saja \(\chi X\in\eusm L^{\infty}\), sehingga \(e\in L^{\infty}\), dan jika \(u\in L^0\) serta \(|u|\le Me\), maka \(u\in L^{\infty}\) menurut (b).

(d) \(f\times g\in\eusm L^{\infty}\) setiap kali \(f\), \(g\in\eusm L^{\infty}\). Bukti. Jika \(|f|\le M_1\) hampir di mana-mana dan \(|g|\le M_2\) hampir di mana-mana, maka

\(|f\times g|=|f|\times|g|\le M_1M_2\) hampir di mana-mana. ∎

Jadi \(u\times v\in L^{\infty}\) untuk semua \(u\), \(v\in L^{\infty}\).

(e) Jika \(f\in\eusm L^{\infty}\) dan \(g\in\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\), maka terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|f|\le M\) hampir di mana-mana, sehingga \(|f\times g|\leae M|g|\); karena \(M|g|\) terintegralkan dan \(f\times g\) terukur secara virtual, \(f\times g\) terintegralkan dan \(u\times v\in L^1\).

243C Struktur terurut \(L^{\infty}\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Maka \(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\), sebagai subruang linear dari \(L^0=L^0(\mu)\), mewarisi suatu urutan parsial yang menjadikannya ruang linear terurut parsial (bandingkan 242Ca). Karena \(|u|\in L^{\infty}\) setiap kali \(u\in L^{\infty}\) (243Bb), \(u\wedge v\) dan \(u\vee v\) termasuk dalam \(L^{\infty}\) setiap kali \(u\), \(v\in L^{\infty}\), dan \(L^{\infty}\) merupakan ruang Riesz (bandingkan 242Cd).

Perilaku \(L^{\infty}\) sebagai ruang Riesz didominasi oleh fakta bahwa ruang ini mempunyai suatu satuan urutan \(e\) dengan sifat bahwa

untuk setiap \(u\in L^{\infty}\) terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|u|\le Me\).

(243Bc).

243D Norma \(L^{\infty}\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

243Da (a)

Untuk \(f\in\eusm L^{\infty}=\eusm L^{\infty}(\mu)\), katakanlah supremum esensial dari \(|f|\) adalah

\(\esssup|f|= \inf\{M:M\ge 0,\,\{x:x\in\dom f,\,|f(x)|\le M\}\) koterabaikan\(\}\).

Maka \(|f|\le\esssup|f|\) hampir di mana-mana. Bukti. Tetapkan \(M=\esssup|f|\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), terdapat \(M_n\le M+2^{-n}\) sedemikian sehingga \(|f|\le M_n\) hampir di mana-mana. Sekarang \(\{x:|f(x)|\le M\}=\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:|f(x)|\le M_n\}\) koterabaikan, sehingga \(|f|\le M\) hampir di mana-mana. ∎

243Db (b)

Jika \(f\), \(g\in\eusm L^{\infty}\) dan \(f\eae g\), maka \(\esssup|f|=\esssup|g|\). Dengan demikian kita dapat mendefinisikan suatu fungsional \(\|\,\|_{\infty}\) pada \(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\) dengan menetapkan \(\|u\|_{\infty}=\esssup|f|\) setiap kali \(u=f^{\ssbullet}\).

243Dc (c)

Untuk sebarang \(u\in L^{\infty}\), \(\|u\|_{\infty}=\min\{\gamma:|u|\le\gamma e\}\), dengan, seperti sebelumnya, \(e=\chi X^{\ssbullet}\in L^{\infty}\). Akibatnya \(\|\,\|_{\infty}\) merupakan suatu norma pada \(L^{\infty}\). Bukti.(i) Jika \(u\), \(v\in L^{\infty}\), maka \(|u+v|\le|u|+|v|\le(\|u\|_{\infty}+\|v\|_{\infty})e\) sehingga \(\|u+v\|_{\infty}\le\|u\|_{\infty}+\|v\|_{\infty}\). (ii) Jika \(u\in L^{\infty}\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(|cu|=|c||u|\le|c|\|u\|_{\infty}e\), sehingga \(\|cu\|_{\infty}\le|c|\|u\|_{\infty}\). (iii) Jika \(\|u\|_{\infty}=0\), terdapat \(f\in\eusm L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(|f|\le\|u\|_{\infty}\) hampir di mana-mana; sekarang \(f=0\) hampir di mana-mana, sehingga \(u=0\). ∎

243Dd (d)

Perhatikan pula bahwa jika \(u\in L^0\), \(v\in L^{\infty}\) dan \(|u|\le|v|\), maka \(|u|\le\|v\|_{\infty}e\), sehingga \(u\in L^{\infty}\) dan \(\|u\|_{\infty}\le\|v\|_{\infty}\); demikian pula,

\(\|u\times v\|_{\infty}\le\|u\|_{\infty}\|v\|_{\infty}\), \(\|u\vee v\|_{\infty}\le\max(\|u\|_{\infty},\|v\|_{\infty})\)

untuk semua \(u\), \(v\in L^{\infty}\). Dengan demikian \(L^{\infty}\) merupakan aljabar Banach komutatif (2A4J).

243De (e)

Selain itu,

\(|\int u\times v|\le\int|u\times v| =\|u\times v\|_1\le\|u\|_1\|v\|_{\infty}\)

setiap kali \(u\in L^1\) dan \(v\in L^{\infty}\).

243Df (f)

Perhatikan bahwa jika \(u\), \(v\) merupakan anggota nonnegatif dari \(L^{\infty}\), maka

\(\|u\vee v\|_{\infty} =\max(\|u\|_{\infty},\|v\|_{\infty})\).

ini karena, untuk sebarang \(\gamma\ge 0\),

\(u\vee v\le\gamma e\,\iff\,u\le\gamma e\) dan \(v\le\gamma e\).

243E Teorema

Untuk sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), \(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\) merupakan kisi Banach di bawah \(\|\,\|_{\infty}\).

Bukti

(a) Kita telah mengetahui bahwa \(\|u\|_{\infty}\le\|v\|_{\infty}\) setiap kali \(|u|\le|v|\) (243Dd); jadi kita hanya perlu memeriksa bahwa \(L^{\infty}\) lengkap di bawah \(\|\,\|_{\infty}\). Misalkan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan Cauchy dalam \(L^{\infty}\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(f_n\in\eusm L^{\infty}=\eusm L^{\infty}(\mu)\) sedemikian sehingga \(f_n^{\ssbullet}=u_n\) dalam \(L^{\infty}\). Untuk semua \(m\), \(n\in\Bbb N\), \((f_m-f_n)^{\ssbullet}=u_m-u_n\). Akibatnya

\(E_{mn}=\{x:|f_m(x)-f_n(x)|>\|u_m-u_n\|_{\infty}\}\)

terabaikan, menurut 243Da. Ini berarti bahwa

\(E =\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:x\in\dom f_n,\,|f_n(x)|\le\|u_n\|_{\infty}\} \setminus\bigcup_{m,n\in\Bbb N}E_{mn}\)

koterabaikan. Namun, untuk setiap \(x\in E\), \(|f_m(x)-f_n(x)|\le\|u_m-u_n\|_{\infty}\) untuk semua \(m\), \(n\in\Bbb N\), sehingga \(\sequencen{f_n(x)}\) merupakan barisan Cauchy dengan limit dalam \(\Bbb R\). Jadi \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) terdefinisi hampir di mana-mana. Selain itu, setidaknya untuk \(x\in E\),

\(|f(x)|\le\sup_{n\in\Bbb N}\|u_n\|_{\infty}<\infty\),

sehingga \(f\in\eusm L^{\infty}\) dan \(u=f^{\ssbullet}\in L^{\infty}\). Jika \(m\in\Bbb N\), maka, untuk setiap \(x\in E\),

\(|f(x)-f_m(x)|\le\sup_{n\ge m}|f_n(x)-f_m(x)| \le\sup_{n\ge m}\|u_n-u_m\|_{\infty}\),

sehingga

\(\|u-u_m\|_{\infty}\le\sup_{n\ge m}\|u_n-u_m\|_{\infty} \to 0\)

ketika \(m\to\infty\), dan \(u=\lim_{m\to\infty}u_m\) dalam \(L^{\infty}\). Karena \(\sequencen{u_n}\) sembarang, \(L^{\infty}\) lengkap.

243F Dualitas antara \(L^{\infty}\) dan \(L^1\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

243Fa (a)

Saya telah menyatakan bahwa jika \(u\in L^{1}=L^{1}(\mu)\) dan \(v\in L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\), maka \(u\times v\in L^1\) dan \(|\int u\times v|\le\|u\|_1\|v\|_{\infty}\) (243Bd, 243De).

243Fb (b)

Kita mempunyai suatu operator linear terbatas \(T\) dari \(L^{\infty}\) ke dual ruang bernorma \((L^1)^*\) dari \(L^1\), yang diberikan dengan menuliskan

\((Tv)(u)=\int u\times v\) untuk semua \(u\in L^1\), \(v\in L^{\infty}\).

Bukti. (i) Menurut (a), \((Tv)(u)\) terdefinisi dengan baik untuk \(u\in L^1\), \(v\in L^{\infty}\). (ii) Jika \(v\in L^{\infty}\), \(u\), \(u_1\), \(u_2\in L^1\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \[\begin{aligned}(Tv)(u_1+u_2) &=\int(u_1+u_2)\times v =\int(u_1\times v)+(u_2\times v)\\ &=\int u_1\times v+\int u_2\times v =(Tv)(u_1)+(Tv)(u_2),\\\end{aligned}\] \((Tv)(cu)=\int cu\times v=\int c(u\times v) =c\int u\times v=c(Tv)(u)\). Ini menunjukkan bahwa \(Tv:L^1\to\Bbb R\) merupakan fungsional linear untuk setiap \(v\in L^{\infty}\). (iii) Selanjutnya, untuk sebarang \(u\in L^1\) dan \(v\in L^{\infty}\), \(|(Tv)(u)|=|\int u\times v|\le\|u\times v\|_1 \le\|u\|_1\|v\|_{\infty}\), sebagaimana dinyatakan dalam (a). Ini berarti bahwa \(Tv\in (L^1)^*\) dan \(\|Tv\|\le\|v\|_{\infty}\) untuk setiap \(v\in L^{\infty}\). (iv) Jika \(v\), \(v_1\), \(v_2\in L^{\infty}\), \(u\in L^1\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \[\begin{aligned}T(v_1+v_2)(u) &=\int(v_1+v_2)\times u =\int(v_1\times u)+(v_2\times u)\\ &=\int v_1\times u+\int v_2\times u =(Tv_1)(u)+(Tv_2)(u)\\ &=(Tv_1+Tv_2)(u),\\\end{aligned}\] \(T(cv)(u)=\int cv\times u=c\int v\times u =c(Tv)(u)=(cTv)(u)\). Karena \(u\) sembarang, \(T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2\) dan \(T(cv)=c(Tv)\); jadi \(T:L^{\infty}\to(L^1)^*\) linear. (v) Dengan mengingat dari (iii) bahwa \(\|Tv\|\le\|v\|_{\infty}\) untuk setiap \(v\in L^{\infty}\), kita melihat bahwa \(\|T\|\le 1\). ∎

243Fc (c)

Kita mempunyai suatu operator linear \(T':L^1\to (L^{\infty})^*\), yang diberikan dengan menuliskan

\((T'u)(v)=\int u\times v\) untuk semua \(u\in L^1\), \(v\in L^{\infty}\),

dan bahwa \(\|T'\|\) juga paling besar \(1\).

243G Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(T:L^{\infty}(\mu)\to(L^1(\mu))^*\) peta kanonik yang diuraikan dalam 243F. Maka

(a) \(T\) injektif jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, dan dalam hal ini peta tersebut mempertahankan norma;

(b) \(T\) bijektif jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan, dan dalam hal ini peta tersebut merupakan isomorfisme ruang bernorma.

Bukti

(a)(i) Andaikan \(T\) injektif, dan \(E\in\Sigma\) mempunyai \(\mu E=\infty\). Maka \(\chi E\) tidak sama hampir di mana-mana dengan \(\tbf{0}\), sehingga \((\chi E)^{\ssbullet}\ne 0\) dalam \(L^{\infty}\), dan \(T(\chi E)^{\ssbullet}\ne 0\); misalkan \(u\in L^1\) sedemikian sehingga \(T(\chi E)^{\ssbullet}(u)\ne 0\), yaitu \(\int u\times(\chi E)^{\ssbullet}\ne 0\). Nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dengan \(f\) terintegralkan; maka \(\int_Ef\ne 0\), sehingga \(\int_E|f|\ne 0\). Misalkan \(g\) suatu fungsi sederhana sedemikian sehingga \(0\le g\leae|f|\) dan \(\int g>\int|f|-\int_E|f|\); maka \(\int_Eg\ne 0\). Nyatakan \(g\) sebagai \(\sum_{i=0}^na_i\chi E_i\) dengan \(\mu E_i<\infty\) untuk setiap \(i\); maka \(0\ne\sum_{i=0}^na_i\mu(E_i\cap E)\), sehingga terdapat \(i\le n\) sedemikian sehingga \(\mu(E\cap E_i)\ne 0\), dan sekarang \(E\cap E_i\) merupakan himpunan bagian terukur dari \(E\) yang berukuran hingga dan tak nol.

Karena \(E\) sembarang, ini menunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) harus semihingga jika \(T\) injektif.

(ii) Sekarang andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga, dan \(v\in L^{\infty}\) tak nol. Nyatakan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\) dengan \(g:X\to\Bbb R\) terukur; maka \(g\in\eusm L^{\infty}\). Ambil sebarang \(a\in\ooint{0,\|v\|_{\infty}}\); maka \(E=\{x:|g(x)|\ge a\}\) mempunyai ukuran tak nol. Misalkan \(F\subseteq E\) suatu himpunan terukur yang berukuran hingga dan tak nol, dan tetapkan \(f(x)=|g(x)|/g(x)\) jika \(x\in F\), serta \(0\) selainnya; maka \(f\in\eusm L^1\) dan \((f\times g)(x)\ge a\) untuk \(x\in F\), sehingga, dengan menetapkan \(u=f^{\ssbullet}\in L^1\), kita mempunyai

\((Tv)(u)=\int u\times v=\int f\times g\ge a\mu F=a\int|f| =a\|u\|_1>0\).

Ini menunjukkan bahwa \(\|Tv\|\ge a\); karena \(a\) sembarang, \(\|Tv\|\ge\|v\|_{\infty}\). Kita telah mengetahui dari 243F bahwa \(\|Tv\|\le\|v\|_{\infty}\), sehingga \(\|Tv\|=\|v\|_{\infty}\) untuk setiap \(v\in L^{\infty}\) yang tak nol; hal yang sama tentu benar untuk \(v=0\), sehingga \(T\) mempertahankan norma dan injektif.

(b)(i) Dengan menggunakan (a) dan definisi ‘dapat dilokalkan’, kita melihat bahwa di bawah salah satu syarat yang diajukan, \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga dan \(T\) injektif serta mempertahankan norma. Karena itu saya hanya perlu menunjukkan bahwa peta tersebut surjektif jika dan hanya jika \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

(ii) Andaikan \(T\) surjektif dan \(\Cal E\subseteq\Sigma\). Misalkan \(\Cal F\) keluarga gabungan hingga dari anggota-anggota \(\Cal E\), dengan \(\emptyset\) dihitung sebagai gabungan tanpa anggota \(\Cal E\), sehingga \(\Cal F\) tertutup terhadap gabungan hingga dan, untuk setiap \(G\in\Sigma\), \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\) jika dan hanya jika \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal F\).

Jika \(u\in L^1\), maka \(h(u)=\lim_{E\in\Cal F,E\uparrow}\int_Eu\) ada dalam \(\Bbb R\). Bukti. Jika \(u\) nonnegatif, maka \(h(u)=\sup\{\int_Eu:E\in\Cal F\}\le\int u<\infty\). Untuk \(u\) yang lain, kita dapat menyatakan \(u\) sebagai \(u_1-u_2\), dengan \(u_1\) dan \(u_2\) nonnegatif, dan sekarang \(h(u)=h(u_1)-h(u_2)\). ∎

Jelas bahwa \(h:L^1\to\Bbb R\) linear, karena merupakan limit dari fungsional-fungsional linear \(u\mapsto\int_Eu\), dan juga

\(|h(u)|\le\sup_{E\in\Cal F}|\int_Eu|\le\int|u|\)

untuk setiap \(u\), sehingga \(h\in(L^1)^*\). Karena kita mengandaikan bahwa \(T\) surjektif, terdapat \(v\in L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(Tv=h\). Nyatakan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\) dengan \(g:X\to\Bbb R\) terukur dan terbatas secara esensial. Tetapkan \(G=\{x:g(x)>0\}\in\Sigma\).

Jika \(F\in\Sigma\) dan \(\mu F<\infty\), maka

\(\int_Fg=\int(\chi F)^{\ssbullet}\times g^{\ssbullet} =(Tv)(\chi F)^{\ssbullet} =h(\chi F)^{\ssbullet} =\sup_{E\in\Cal F}\mu(E\cap F)\).

Jika \(E\in\Cal E\) dan \(E\setminus G\) tidak terabaikan, terdapat suatu himpunan \(F\subseteq E\setminus G\) sedemikian sehingga \(0<\mu F<\infty\); sekarang

\(\mu F=\mu(E\cap F)\le\int_Fg\le 0\),

karena \(g(x)\le 0\) untuk \(x\in F\). Jadi \(E\setminus G\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\).

Misalkan \(H\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E\setminus H\) terabaikan untuk setiap \(E\in\Cal E\). Jika \(G\setminus H\) tidak terabaikan, terdapat suatu himpunan \(F\subseteq G\setminus H\) yang berukuran hingga dan tak nol. Sekarang

\(\mu(E\cap F)\le\mu(H\cap F)=0\)

untuk setiap \(E\in\Cal E\), sehingga \(\mu(E\cap F)=0\) untuk setiap \(E\in\Cal F\), dan \(\int_Fg=0\); tetapi \(g(x)>0\) untuk setiap \(x\in F\), sehingga \(\mu F=0\), yang mustahil. Jadi \(G\setminus H\) terabaikan.

Dengan demikian \(G\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal E\) dalam \(\Sigma\). Karena \(\Cal E\) sembarang, \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan.

(iii) Untuk sisa bukti ini, saya akan mengandaikan bahwa \((X,\Sigma,\mu)\) dapat dilokalkan dan berusaha menunjukkan bahwa \(T\) surjektif.

Ambil \(h\in(L^1)^*\) sedemikian sehingga \(\|h\|=1\). Tuliskan \(\Sigma^f=\{F:F\in\Sigma,\,\mu F<\infty\}\), dan untuk \(F\in\Sigma^f\), definisikan \(\nu_F:\Sigma\to\Bbb R\) dengan menetapkan

\(\nu_FE=h(\chi(E\cap F)^{\ssbullet})\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\). Maka \(\nu_F\emptyset=h(0)=0\), dan jika \(E\), \(E'\in\Sigma\) saling lepas,

\[\begin{aligned}\nu_FE+\nu_FE' &=h(\chi(E\cap F)^{\ssbullet})+h(\chi(E'\cap F)^{\ssbullet}) =h((\chi(E\cap F)+\chi(E'\cap F))^{\ssbullet})\\ &=h(\chi((E\cup E')\cap F)^{\ssbullet}) =\nu_F(E\cup E').\\\end{aligned}\]

Jadi \(\nu_F\) aditif. Selain itu,

\(|\nu_FE|\le\|\chi(E\cap F)^{\ssbullet}\|_1 =\mu(E\cap F)\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\), sehingga \(\nu_F\) benar-benar kontinu dalam arti 232Ab. Menurut teorema Radon-Nikodým (232E), terdapat fungsi terintegralkan \(g_F\) sedemikian sehingga \(\int_Eg_F=\nu_FE\) untuk setiap \(E\in\Sigma\); kita dapat mengambil \(g_F\) terukur dan mempunyai domain \(X\) (232He).

(iv) Patut diperhatikan bahwa \(|g_F|\le 1\) hampir di mana-mana. Bukti. Jika \(G=\{x:g_F(x)>1\}\), maka \(\int_Gg_F=\nu_FG\le\mu(F\cap G)\le\mu G\); tetapi ini hanya mungkin jika \(\mu G=0\). Demikian pula, jika \(G'=\{x:g_F(x)<-1\}\), maka \(\int_{G'}g_F=\nu_FG'\ge-\mu G'\), sehingga sekali lagi \(\mu G'=0\). ∎

(v) Jika \(F\), \(F'\in\Sigma^f\), maka \(g_F=g_{F'}\) hampir di mana-mana dalam \(F\cap F'\). Bukti. Jika \(E\in\Sigma\) dan \(E\subseteq F\cap F'\), maka

\(\int_Eg_F=h(\chi(E\cap F)^{\ssbullet}) =h(\chi(E\cap F')^{\ssbullet})=\int_Eg_{F'}\).

Jadi 131Hb memberikan hasil tersebut. ∎ 213N (diterapkan pada \(\{g_F\restr F:F\in\Sigma^f\}\)) kini memberi tahu kita bahwa, karena \(\mu\) dapat dilokalkan, terdapat fungsi terukur \(g:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(g=g_F\) hampir di mana-mana dalam \(F\), untuk setiap \(F\in\Sigma^f\).

(vi) Untuk sebarang \(F\in\Sigma^f\), himpunan

\(\{x:x\in F,\,|g(x)|>1\}\subseteq\{x:|g_F(x)|>1\} \cup\{x:x\in F,\,g(x)\ne g_F(x)\}\)

terabaikan; karena \(\mu\) semihingga, \(\{x:|g(x)|>1\}\) terabaikan, dan \(g\in\eusm L^{\infty}\), dengan \(\esssup|g|\le 1\). Dengan demikian \(v=g^{\ssbullet}\in L^{\infty}\), dan kita dapat berbicara tentang \(Tv\in(L^1)^*\).

(vii) Jika \(F\in\Sigma^f\), maka

\(\int_Fg=\int_Fg_F=\nu_FX=h(\chi F^{\ssbullet})\).

Segera diperoleh bahwa

\((Tv)(f^{\ssbullet})=\int f\times g=h(f^{\ssbullet})\)

untuk setiap fungsi sederhana \(f:X\to\Bbb R\). Akibatnya \(Tv=h\), karena baik \(Tv\) maupun \(h\) kontinu dan kelas-kelas ekuivalensi fungsi sederhana membentuk subhimpunan padat dari \(L^1\) (242Mb, 2A3Uc). Jadi \(h=Tv\) merupakan suatu nilai \(T\).

(viii) Argumen sebagaimana ditulis di atas mengandaikan bahwa \(\|h\|=1\). Namun tentu saja setiap anggota tak nol dari \((L^1)^*\) merupakan kelipatan skalar dari suatu unsur bernorma \(1\), sehingga merupakan suatu nilai \(T\). Jadi \(T:L^{\infty}\to(L^1)^*\) memang surjektif, dan karena itu merupakan isomorfisme isometrik, seperti yang dinyatakan.

243H

Ingat bahwa \(L^0\) selalu lengkap-\(\sigma\) Dedekind dan kadang-kadang lengkap Dedekind (241G), sedangkan \(L^1\) selalu lengkap Dedekind (242H). Dalam hal ini \(L^{\infty}\) mengikuti \(L^0\).

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) \(L^{\infty}(\mu)\) lengkap-\(\sigma\) Dedekind.

(b) Jika \(\mu\) dapat dilokalkan, \(L^{\infty}(\mu)\) lengkap Dedekind.

Bukti

Keduanya merupakan akibat 241G. Jika \(A\subseteq L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\) terbatas di atas dalam \(L^{\infty}\), tetapkan \(u_0\in A\) dan suatu batas atas \(w_0\) dari \(A\) dalam \(L^{\infty}\). Jika \(B\) himpunan batas atas untuk \(A\) dalam \(L^0=L^0(\mu)\), maka \(B\cap L^{\infty}\) merupakan himpunan batas atas untuk \(A\) dalam \(L^{\infty}\). Selain itu, jika \(B\) mempunyai anggota terkecil \(v_0\), kita harus mempunyai \(u_0\le v_0\le w_0\), sehingga

\(0\le v_0-u_0\le w_0-u_0\in L^{\infty}\)

dan \(v_0-u_0\), \(v_0\) termasuk dalam \(L^{\infty}\). (Bandingkan bagian (a) dari bukti 242H.) Jadi \(v_0=\sup A\) dalam \(L^{\infty}\).

Sekarang kita mengetahui bahwa \(L^0\) lengkap-\(\sigma\) Dedekind; jika \(A\subseteq L^{\infty}\) merupakan himpunan tak kosong terhitung yang terbatas di atas dalam \(L^{\infty}\), tentu himpunan itu terbatas di atas dalam \(L^0\), sehingga mempunyai supremum dalam \(L^0\) yang juga merupakan supremumnya dalam \(L^{\infty}\). Karena \(A\) sembarang, \(L^{\infty}\) lengkap-\(\sigma\) Dedekind. Sedangkan jika \(\mu\) dapat dilokalkan, kita dapat berargumen dengan cara yang sama untuk subhimpunan tak kosong sembarang dari \(L^{\infty}\) untuk melihat bahwa \(L^{\infty}\) lengkap Dedekind karena \(L^0\) demikian.

243I Suatu subruang padat dari \(L^{\infty}\)

Dalam 242M dan 242O saya menguraikan sepasang subruang linear padat yang penting dari ruang-ruang \(L^1\). Keadaan untuk \(L^{\infty}\) agak berbeda. Namun saya dapat menguraikan satu subruang padat yang penting.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Tuliskan \(\eusm S\) untuk ruang fungsi ‘sederhana-\(\Sigma\)’ pada \(X\), yaitu ruang fungsi dari \(X\) ke \(\Bbb R\) yang dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{k=0}^na_k\chi E_k\), dengan \(a_k\in\Bbb R\) dan \(E_k\in\Sigma\) untuk setiap \(k\le n\). Maka untuk setiap \(f\in\eusm L^{\infty}=\eusm L^{\infty}(\mu)\) dan setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\esssup|f-g|\le\epsilon\).

(b) \(S=\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm S\}\) merupakan subruang linear yang padat-\(\|\,\|_{\infty}\) dalam \(L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\).

(c) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) hingga total, maka \(\eusm S\) merupakan ruang fungsi sederhana-\(\mu\), sehingga \(S\) hanyalah ruang kelas ekuivalensi fungsi sederhana, seperti dalam 242Mb.

243J Ekspektasi bersyarat

Ekspektasi bersyarat begitu penting sehingga layak dipertimbangkan interaksinya dengan setiap konsep baru.

(a) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), maka pembenaman kanonik \(S:L^0(\mu\restrp\Tau)\to L^0(\mu)\) (242Ja) membenamkan \(L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\) sebagai subruang dari \(L^{\infty}(\mu)\), dan \(\|Su\|_{\infty}=\|u\|_{\infty}\) untuk setiap \(u\in L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\). Kita dapat mengidentifikasi \(L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\) dengan citranya dalam \(L^{\infty}(\mu)\).

243Jb (b)

Sekarang andaikan bahwa \(\mu X=1\), dan misalkan \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) operator ekspektasi bersyarat (242Jd). Maka \(L^{\infty}(\mu)\) merupakan sebenarnya subruang linear dari \(L^1(\mu)\). Dengan menetapkan \(e=\chi X^{\ssbullet}\in L^{\infty}(\mu)\), kita melihat bahwa \(\int_Fe=(\mu\restrp\Tau)(F)\) untuk setiap \(F\in\Tau\), sehingga

\(Pe=\chi X^{\ssbullet}\in L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\).

Jika \(u\in L^{\infty}(\mu)\), maka dengan menetapkan \(M=\|u\|_{\infty}\) kita mempunyai \(-Me\le u\le Me\), sehingga \(-MPe\le Pu\le MPe\), karena \(P\) mempertahankan urutan (242Je); dengan demikian \(\|Pu\|_{\infty}\le M=\|u\|_{\infty}\). Jadi \(P\restr L^{\infty}(\mu):L^{\infty}(\mu)\to L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\) merupakan operator bernorma \(1\).

Jika \(u\in L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\), maka \(Pu=u\); jadi \(P[L^{\infty}]\) adalah seluruh \(L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\).

243K \(L^{\infty}\) kompleks

Semua gagasan yang diperlukan untuk menyesuaikan pekerjaan di atas dengan ruang \(L^{\infty}\) kompleks telah muncul dalam 241J dan 242P. Misalkan \(\eusm L^{\infty}_{\Bbb C}\) adalah

\(\{f:f\in\eusm L^0_{\Bbb C},\,\esssup|f|<\infty\} =\{f:\Real(f)\in\eusm L^{\infty},\,\Imag(f)\in\eusm L^{\infty}\}\).

Maka

\(L^{\infty}_{\Bbb C} =\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^{\infty}_{\Bbb C}\} =\{u:u\in L^0_{\Bbb C},\,\Real(u)\in L^{\infty}, \,\Imag(u)\in L^{\infty}\}\).

Dengan menetapkan

\(\|u\|_{\infty} =\||u|\|_{\infty}\)\(=\esssup|f|\) setiap kali \(f^{\ssbullet}=u\),

kita mempunyai suatu norma pada \(L^{\infty}_{\Bbb C}\) yang menjadikannya ruang Banach. Kita tetap mempunyai \(u\times v\in L^{\infty}_{\Bbb C}\) dan \(\|u\times v\|_{\infty}\le\|u\|_{\infty}\|v\|_{\infty}\) untuk semua \(u\), \(v\in L^{\infty}_{\Bbb C}\).

Sekarang kita mempunyai dualitas antara \(L^1_{\Bbb C}\) dan \(L^{\infty}_{\Bbb C}\) yang menghasilkan suatu operator linear \(T:L^{\infty}_{\Bbb C}\to(L^1_{\Bbb C})^*\) bernorma paling besar \(1\), yang didefinisikan oleh rumus

\((Tv)(u)=\int u\times v\) untuk setiap \(u\in L^1\), \(v\in L^{\infty}\).

\(T\) injektif jika dan hanya jika ruang ukur yang mendasarinya semihingga, dan bijektif jika dan hanya jika ruang ukur yang mendasarinya dapat dilokalkan. (Tentu saja ini dapat dibuktikan dengan mengerjakan kembali argumen 243G; tetapi mungkin lebih mudah untuk memperhatikan bahwa \(T(\Real(v))=\Real(Tv)\), \(T(\Imag(v))=\Imag(Tv)\) untuk setiap \(v\), sehingga hasil untuk ruang kompleks dapat diturunkan dari hasil untuk ruang real.) Untuk memeriksa bahwa \(T\) mempertahankan norma ketika injektif, rute tercepat tampaknya meniru argumen (a-ii) dalam bukti 243G.

Latihan

243X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(\hat\mu\) pelengkapan \(\mu\) (212C, 241Xb). Tunjukkan bahwa \(\eusm L^{\infty}(\hat\mu)=\eusm L^{\infty}(\mu)\) dan \(L^{\infty}(\hat\mu)=L^{\infty}(\mu)\).

243Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur tak kosong. Tuliskan \(\eusm L^{\infty}_{\Sigma}\) untuk ruang fungsi bernilai real terbatas yang terukur terhadap \(\Sigma\) dan berdomain \(X\). (i) Tunjukkan bahwa \(L^{\infty}(\mu) =\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm L^{\infty}_{\Sigma}\} \subseteq L^0=L^0(\mu)\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^{\infty}_{\Sigma}\) merupakan kisi Banach lengkap-\(\sigma\) Dedekind jika kita memberinya norma

\(\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in X}|f(x)|\) untuk setiap \(f\in\eusm L^{\infty}_{\Sigma}\).

(iii) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(u\in L^{\infty}=L^{\infty}(\mu)\), \(\|u\|_{\infty}=\min\{\|f\|_{\infty}: f\in\eusm L^{\infty}_{\Sigma},\,f^{\ssbullet}=u\}\).

243Xc (>c) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(L^{\infty}(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(A\) terbatas untuk norma \(\|\,\|_{\infty}\) jika dan hanya jika himpunan itu terbatas di atas dan di bawah untuk pengurutan \(L^{\infty}\).

243Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(A\subseteq L^{\infty}(\mu)\) suatu himpunan tak kosong dengan batas atas terkecil \(w\) dalam \(L^{\infty}(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(\|w\|_{\infty}\le\sup_{u\in A}\|u\|_{\infty}\).

243Xe (e)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang ukur, dan \((X,\Sigma,\mu)\) jumlah langsungnya (214L). Tunjukkan bahwa isomorfisme kanonik antara \(L^0(\mu)\) dan \(\prod_{i\in I}L^0(\mu_i)\) (241Xd) menginduksi isomorfisme antara \(L^{\infty}(\mu)\) dan subruang

\(\{u:u\in\prod_{i\in I}L^{\infty}(\mu_i),\, \|u\|=\sup_{i\in I}\|u(i)\|_{\infty}<\infty\}\)

dari \(\prod_{i\in I}L^{\infty}(\mu_i)\).

243Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(u\in L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa terdapat \(v\in L^{\infty}(\mu)\) sedemikian sehingga \(\|v\|_{\infty}\le 1\) dan \(\int u\times v=\|u\|_1\).

243Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur semihingga dan \(v\in L^{\infty}(\mu)\). Tunjukkan bahwa

\(\|v\|_{\infty} =\sup\{\int u\times v:u\in L^1,\,\|u\|_1\le 1\} =\sup\{\|u\times v\|_1:u\in L^1,\,\|u\|_1\le 1\}\).

243Xh (h)

Berikan contoh suatu ruang probabilitas \((X,\Sigma,\mu)\) dan suatu \(v\in L^{\infty}(\mu)\) sedemikian sehingga \(\|u\times v\|_1<\|v\|_{\infty}\) setiap kali \(u\in L^1(\mu)\) dan \(\|u\|_1\le 1\).

243Xi (i)

Tuliskan bukti-bukti 243G yang disesuaikan dengan kasus khusus (i) \(\mu X=1\) (ii) \((X,\Sigma,\mu)\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

243Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Tunjukkan bahwa \(L^0(\mu)\) lengkap Dedekind jika dan hanya jika \(L^{\infty}(\mu)\) lengkap Dedekind.

243Xk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur hingga total dan \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) suatu fungsional. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) terdapat fungsional linear kontinu \(h:L^1(\mu)\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(h((\chi E)^{\ssbullet})=\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\) (ii) \(\nu\) aditif dan terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|\nu E|\le M\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

243Xl (>l) penting

Misalkan \(X\) sebarang himpunan, dan misalkan \(\mu\) ukuran pencacahan pada \(X\). Dalam kasus ini lazim dituliskan \(\ell^{\infty}(X)\) untuk \(\eusm L^{\infty}(\mu)\), dan ruang itu diidentifikasi dengan \(L^{\infty}(\mu)\). Tuliskan pernyataan dan bukti hasil-hasil bab ini yang disesuaikan dengan kasus khusus ini – jika Anda suka, dengan \(X=\Bbb N\). Secara khusus, tuliskan bukti langsung bahwa \((\ell^1)^*\) dapat diidentifikasi dengan \(\ell^{\infty}\). Apa yang terjadi ketika \(X\) hanya mempunyai dua anggota? atau tiga?

243Xm (m)

Tunjukkan bahwa jika \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur dan \(u\in L^{\infty}_{\Bbb C}(\mu)\), maka

\(\|u\|_{\infty}=\sup\{\|\Real(\zeta u)\|_{\infty}: \zeta\in\Bbb C,\,|\zeta|=1\}\).

243Xn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta. Tunjukkan bahwa \(g\phi\in\eusm L^{\infty}(\mu)\) untuk setiap \(g\in\eusm L^{\infty}(\nu)\), dan bahwa peta \(g\mapsto g\phi\) menginduksi suatu operator linear \(T:L^{\infty}(\nu)\to L^{\infty}(\mu)\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(T(g^{\ssbullet})=(g\phi)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(g\in\eusm L^{\infty}(\nu)\). (Bandingkan 241Xg.) Tunjukkan bahwa \(\|Tv\|_{\infty}=\|v\|_{\infty}\) untuk setiap \(v\in L^{\infty}(\nu)\).

243Xo (o)

Untuk \(f\), \(g\in C=C([0,1])\), ruang fungsi bernilai real yang kontinu pada interval satuan \([0,1]\), katakanlah

\(f\le g\) jika dan hanya jika \(f(x)\le g(x)\) untuk setiap \(x\in [0,1]\),

\(\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|\).

Tunjukkan bahwa \(C\) merupakan kisi Banach, dan terlebih lagi

\(\|f\vee g\|_{\infty}=\max(\|f\|_{\infty},\|g\|_{\infty})\) setiap kali \(f\), \(g\ge 0\),

\(\|f\times g\|_{\infty}\le\|f\|_{\infty}\|g\|_{\infty}\) untuk semua \(f\), \(g\in C\),

\(\|f\|_{\infty}=\min\{\gamma:|f|\le\gamma\chi X\}\) untuk setiap \(f\in C\).

243Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(Y\) subhimpunan dari \(X\); tuliskan \(\mu_Y\) untuk ukuran subruang pada \(Y\). Tunjukkan bahwa peta kanonik dari \(L^0(\mu)\) pada \(L^0(\mu_Y)\) (241Yg) menginduksi peta kanonik dari \(L^{\infty}(\mu)\) pada \(L^{\infty}(\mu_Y)\), yang mempertahankan norma jika dan hanya jika peta itu injektif jika dan hanya jika \(Y\) mempunyai ukuran luar penuh.

Catatan dan komentar

243-notes Catatan penutup untuk Bagian 243

Saya menyebutkan rumus

\(\|u\vee v\|_{\infty}=\max(\|u\|_{\infty},\|v\|_{\infty})\) untuk \(u\), \(v\ge 0\)

(243Df) karena walaupun rumus itu tidak mencirikan ruang \(L^{\infty}\) di antara kisi Banach (lihat 243Xo), dalam suatu arti rumus tersebut dual terhadap sifat karakteristik

\(\|u+v\|_1=\|u\|_1+\|v\|_1\) untuk \(u\), \(v\ge 0\)

dari norma \(L^1\). (Saya akan kembali ke hal ini dalam Bab 35 di jilid berikutnya.)

Himpunan khusus \(\eusm L^{\infty}\) yang saya pilih (243A) agak sembarang. Ruang \(L^{\infty}\) dapat dengan baik diuraikan seluruhnya sebagai subruang dari \(L^0\), tanpa kembali ke fungsi sama sekali; lihat 243Bc, 243Dc. Seperti halnya \(\eusm L^0\) dan \(\eusm L^1\), ada kesempatan ketika lebih sederhana untuk bekerja dengan ruang linear fungsi terukur yang terbatas secara esensial dari \(X\) ke \(\Bbb R\); dan sekarang kita mempunyai kandidat jelas yang ketiga, yakni ruang linear \(\eusm L^{\infty}_{\Sigma}\) dari fungsi terukur dari \(X\) ke \(\Bbb R\) yang benar-benar terbatas, bukan sekadar terbatas secara esensial, yang sendirinya merupakan kisi Banach (243Xb).

Saya kira teorema terpenting dalam bagian ini adalah 243G, yang mengidentifikasi \(L^{\infty}\) dengan \((L^1)^*\). Identifikasi ini merupakan alasan utama untuk membedakan ruang ukur ‘yang dapat dilokalkan’. Bukti 243Gb panjang karena bergantung pada dua gagasan terpisah. Teorema Radon-Nikodým, pada dasarnya, menangani kasus hingga total, lalu dalam bagian (b-v) dan (b-vi) bukti tersebut keterlokalan digunakan untuk merangkai solusi parsial \(g_F\). Latihan 243Xi dimaksudkan untuk membantu Anda membedakan kedua operasi tersebut. Peta \(T':L^1\to(L^{\infty})^*\) (243Fc) juga sangat menarik dengan caranya sendiri, tetapi akan saya tinggalkan untuk Bab 36.

243G memberikan cara lain untuk memandang operator ekspektasi bersyarat. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), tentu baik \(\mu\) maupun \(\mu\restrp\Tau\) dapat dilokalkan, sehingga \(L^{\infty}(\mu)\) dapat diidentifikasi dengan \((L^1(\mu))^*\) dan \(L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\) dapat diidentifikasi dengan \((L^1(\mu\restrp\Tau))^*\). Sekarang kita mempunyai pembenaman kanonik \(S:L^1(\mu\restrp\Tau)\to L^1(\mu)\) (242Jb), yang merupakan operator linear yang mempertahankan norma, sehingga menghasilkan operator adjoint \(S':L^1(\mu)^*\to L^1(\mu\restrp\Tau)^*\) yang didefinisikan oleh rumus

\((S'h)(v)=h(Sv)\) untuk semua \(v\in L^1(\mu\restrp\Tau)\), \(h\in L^1(\mu)^*\).

Dengan menuliskan \(T_{\mu}:L^{\infty}(\mu)\to L^1(\mu)^*\) dan \(T_{\mu\restrp\Tau}:L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\to L^1(\mu\restrp\Tau)^*\) untuk peta-peta kanonik, kita memperoleh peta \(Q=T_{\mu\restrp\Tau}^{-1}S'T_{\mu}: L^{\infty}(\mu)\to L^{\infty}(\mu\restrp\Tau)\), yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa

\(\int Qu\times v=(T_{\mu\restrp\Tau}Qu)(v) =(S'T_{\mu}u)(v)=(T_{\mu}v)(Su)=\int Su\times v=\int u\times v\)

setiap kali \(v\in L^1(\mu\restrp\Tau)\) dan \(u\in L^{\infty}(\mu)\). Namun ini sesuai dengan rumus 242L: kita mempunyai

\(\int Qu\times v=\int u\times v=\int P(u\times v) =\int Pu\times v\).

Karena \(v\) sembarang, kita harus mempunyai \(Qu=Pu\) untuk setiap \(u\in L^{\infty}(\mu)\). Jadi, dalam suatu arti, operator ekspektasi bersyarat merupakan adjoint dari operator pembenaman yang sesuai.

Pembahasan dalam paragraf terakhir tentu saja hanya berlaku bagi pembatasan \(P\restr L^{\infty}(\mu)\) dari operator ekspektasi bersyarat pada ruang \(L^{\infty}\). Karena \(\mu\) hingga total, \(L^{\infty}(\mu)\) merupakan subruang dari \(L^1(\mu)\), dan sifat-sifat hakiki operator \(P\) berhubungan dengan perilakunya pada seluruh ruang \(L^1\). \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) juga dapat dinyatakan sebagai operator adjoint, tetapi ungkapannya memerlukan lebih banyak teori ruang Riesz daripada yang dapat saya muat di sini. Saya akan kembali ke topik ini dalam Bab 36.