© 1996
Lebesgue menciptakan teori integrasinya sebagai tanggapan terhadap sejumlah masalah dalam analisis real, dan sepanjang hidupnya tampaknya ia memandang teori tersebut sebagai alat untuk digunakan dalam geometri dan kalkulus (Lebesgue 72, jilid 1 dan 2). Yang luar biasa, setelah disesuaikan sebagaimana mestinya, teori itu ternyata menyediakan landasan yang kokoh bagi teori probabilitas. Pengembangan pendekatan ini umumnya dikaitkan dengan nama Kolmogorov. Pendekatan tersebut telah begitu mendominasi teori probabilitas abstrak modern sehingga banyak penulis mengabaikan semua metode lain. Saya tidak bermaksud mengikat diri pada pandangan apa pun tentang apakah ukuran \(\sigma\)-aditif merupakan satu-satunya cara untuk memberi landasan yang ketat bagi teori probabilitas, atau apakah ukuran-ukuran itu memadai untuk menangani semua gagasan probabilistik; ada beberapa persoalan filosofis yang serius di sini, karena teori probabilitas, setidaknya dalam aspek terapannya, berupaya membantu kita memahami dunia material di luar matematika. Namun dari posisi saya sebagai seorang ahli teori ukuran, tidak dapat disangkal bahwa teori probabilitas termasuk di antara penerapan utama konsep dan teorema teori ukuran, serta merupakan salah satu sumber gagasan baru yang paling hidup; dan bahwa setiap ahli teori ukuran harus tanggap terhadap intuisi yang dapat diberikan oleh metode probabilistik.
Saya telah menulis paragraf sebelumnya dengan ungkapan yang menyiratkan bahwa ‘teori probabilitas’ dengan suatu cara dapat dibedakan dari bagian lain teori ukuran; ini adalah perkara lain yang mengenainya saya lebih suka tidak mengemukakan pendapat apa pun sebagai sesuatu yang definitif. Namun tidak diragukan lagi terdapat suatu perbedaan, yang lebih dalam daripada fakta elementer bahwa probabilitas (hampir) secara eksklusif menangani ruang berukuran \(1\). M.Loève mengemukakan argumen yang meyakinkan (Loève 77, \(\S\)10.2) bahwa hakikat teori probabilitas terletak pada sifat artifisial ruang probabilitas itu sendiri. Dalam teori ukuran, ketika kita ingin mengintegralkan suatu fungsi, biasanya kita merasa bahwa kita mempunyai fungsi yang sungguh-sungguh dengan domain dan nilai. Dalam teori probabilitas, ketika kita mengambil ekspektasi suatu variabel acak, variabel tersebut merupakan suatu ‘yang dapat diamati’ atau ‘hasil suatu percobaan’; pada umumnya kita tidak pasti, tidak mengetahui, atau tidak memedulikan faktor-faktor yang mendasari variabel tersebut. Izinkan saya memberikan contoh dari teorema-teorema di bawah ini. Dalam bukti Teorema Limit Pusat (274F), saya mendapati bahwa saya memerlukan daftar bantu \(Z_0,\ldots,Z_n\) berupa variabel-variabel acak yang saling bebas dan bebas dari barisan asal \(X_0,\ldots,X_n\). Saya menciptakan barisan semacam itu dengan mengambil ruang produk \(\Omega\times\Omega'\), dan menulis \(X'_i(\omega,\omega')=X_i(\omega)\), sedangkan \(Z_i\) merupakan fungsi dari \(\omega'\). Sekarang perbedaan antara \(X_i\) dan \(X'_i\) adalah perbedaan yang biasanya akan dianggap serius oleh seorang analis yang terlatih. Kita tidak menganggap fungsi \(x\mapsto x^2:[0,1]\to[0,1]\) sebagai hal yang sama dengan fungsi \((x_1,x_2)\mapsto x_1^2:[0,1]^2\to[0,1]\). Namun seorang ahli probabilitas kemungkinan merasa bahwa mulai menulis \(X'_i\) sebagai ganti \(X_i\) benar-benar terlalu rewel. Sejak awal ia tidak memercayai ruang \(\Omega\), dan jika ruang itu ternyata tidak memadai bagi intuisinya, ia memperluasnya tanpa ragu. Loève menyebut ruang probabilitas sebagai ‘fiksi’, ‘ciptaan imajinasi’ dalam ungkapan Larousse; ruang-ruang itu diperlukan dalam model yang diajarkan Kolmogorov kepada kita untuk digunakan, tetapi kita mempunyai kebebasan yang sangat besar dalam memilihnya, dan pada hakikatnya ruang-ruang tersebut sama sekali tidak setegas suatu himpunan dengan titik-titik.
Karena itu, suatu ruang probabilitas merupakan entitas yang agak lebih samar dalam teori probabilitas daripada dalam teori ukuran. Objek-objek penting dalam teori probabilitas adalah variabel acak dan distribusi, khususnya distribusi gabungan. Dalam jilid ini saya akan menangani secara eksklusif variabel acak yang dapat dipandang bernilai dalam suatu pangkat Kartesius dari \(\Bbb R\); tetapi ini bukanlah pokok utamanya. Yang penting ialah bahwa dengan suatu cara kodomain, himpunan nilai potensial, dari suatu variabel acak jauh lebih terdefinisi dengan baik daripada domain-nya. Akibatnya perhatian kita tidak dipusatkan pada ciri apa pun dari ruang artifisial yang nyaman digunakan sebagai ruang probabilitas yang mendasari – saya menulis ‘mendasari’, meskipun itu merupakan aspek model yang paling dangkal dan paling mudah diubah – melainkan pada distribusi di kodomain yang diinduksi oleh variabel acak. Jadi Teorema Limit Pusat, yang hanya berbicara tentang distribusi, sebenarnya lebih penting dalam probabilitas terapan daripada Hukum Kuat Bilangan Besar, yang menyatakan nilai yang hampir pasti dicapai oleh suatu rata-rata jangka panjang.
W.Feller (Feller 66) bahkan melangkah lebih jauh daripada Loève, dan sejauh mungkin bekerja sepenuhnya dengan distribusi, dengan menyusun perangkat yang memungkinkannya menempuh bagian-bagian panjang tanpa menyebut ruang probabilitas sama sekali. Saya tidak berusaha menirunya. Namun pendekatan tersebut memberi pelajaran dan setia pada hakikat pokok bahasannya.
Teori probabilitas mencakup lebih banyak matematika daripada yang dapat dengan mudah dikuasai dalam satu masa hidup, dan untuk bab pengantar ini saya telah memilih dua teorema limit yang sudah saya sebutkan, Hukum Kuat Bilangan Besar dan Teorema Limit Pusat, bersama dengan sejumlah materi tentang martingal (§§275-276). Keduanya menggambarkan bukan hanya watak khusus teori probabilitas – sehingga Anda dapat membentuk penilaian sendiri atas komentar di atas – melainkan juga beberapa sumbangan utamanya bagi teori ukuran ‘murni’, yaitu konsep ‘kebebasan’ dan ‘ekspektasi bersyarat’.