Ruang ukur — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang, saya harap, kita telah siap untuk definisi besar yang kedua, yakni definisi yang menjadi landasan seluruh pembahasan dalam karya ini.

112A Definisi

Sebuah ruang ukur adalah tripel \((X,\Sigma,\mu)\) dengan

(i) \(X\) suatu himpunan;

(ii) \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\);

(iii) \(\mu:\Sigma\to[0,\infty]\) suatu fungsi sedemikian sehingga

(\(\alpha\)) \(\mu\emptyset=0\);

(\(\beta\)) jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\), maka \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

Dalam konteks ini, anggota-anggota \(\Sigma\) disebut himpunan terukur, dan \(\mu\) disebut sebuah ukuran pada \(X\).

112B Catatan

(a) Penggunaan \(\infty\) Dalam (iii) pada definisi di atas, saya menetapkan bahwa \(\mu\) adalah fungsi yang mengambil nilai di ‘\([0,\infty]\)’, yaitu himpunan bilangan real nonnegatif dengan ‘ \(\infty\) ’ ditambahkan. Saya menduga Anda telah menjumpai berbagai penggunaan lambang \(\infty\) dalam analisis; saya harap Anda menyadari bahwa lambang ini mempunyai arti yang agak berbeda dalam konteks yang berbeda, sehingga setiap kali digunakan perlu ditetapkan kesepakatan yang jelas. ‘ \(\infty\) pada ukuran’ berkaitan dengan gagasan panjang, luas, atau volume yang tak hingga. Operasi dasar yang perlu kita lakukan terhadapnya ialah penjumlahan: \(\infty+a=a+\infty=\infty\) untuk setiap \(a\in[0,\infty\roibr\) (yakni setiap bilangan real \(a\ge 0\)), dan \(\infty+\infty=\infty\). Dengan demikian \([0,\infty]\) menjadi semigrup terhadap penjumlahan. Cukup aman untuk menetapkan \(\infty-a=\infty\) bagi setiap \(a\in\Bbb R\); tetapi kita sama sekali tidak boleh memberi makna pada rumus \(\infty-\infty\). Untuk perkalian, ternyata biasanya tepat untuk menafsirkan \(\infty\cdot\infty\), \(a\cdot\infty\), dan \(\infty\cdot a\) sebagai \(\infty\) untuk \(a>0\), sedangkan \(0\cdot\infty=\infty\cdot 0\) pada umumnya dapat diambil sebagai \(0\).

Kita juga mempunyai urutan total alami pada \([0,\infty]\), dengan menuliskan \(a<\infty\) untuk setiap \(a\in\coint{0,\infty}\). Ini memberi pengertian supremum dan infimum bagi setiap subhimpunan (tak kosong) dari \([0,\infty]\); dan sering kali tepat untuk menafsirkan \(\inf\emptyset\) sebagai \(\infty\), tetapi saya akan berusaha menandai kesepakatan khusus ini setiap kali relevan. Kita juga mempunyai gagasan limit; jika \(\langle u_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan di dalam \([0,\infty]\), maka barisan itu konvergen ke \(u\in[0,\infty]\) jika

untuk setiap \(v<u\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(v\le u_n\) untuk setiap \(n\ge n_0\),

untuk setiap \(v>u\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(v\ge u_n\) untuk setiap \(n\ge n_0\).

Tentu saja, jika \(u=0\) atau \(u=\infty\), salah satu syarat ini akan terpenuhi secara hampa.

(Lihat juga §135.)

112Bb (b)

Saya perlu menjelaskan dengan tegas apa yang saya maksud dengan barisan ‘saling lepas’: barisan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) disebut saling lepas jika tidak ada titik yang termasuk dalam lebih dari satu \(E_n\), yakni jika \(E_m\cap E_n=\emptyset\) untuk setiap \(m\), \(n\in\Bbb N\) yang berbeda. Perhatikan bahwa satu, bahkan banyak, di antara \(E_n\) boleh merupakan himpunan kosong.

Demikian pula, jika \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) adalah keluarga himpunan yang diindeks oleh sembarang himpunan \(I\), keluarga itu disebut saling lepas jika \(E_i\cap E_j=\emptyset\) untuk setiap \(i\), \(j\in I\) yang berbeda.

(c) Untuk menafsirkan syarat (iii-\(\beta\)) pada definisi di atas, kita perlu menetapkan nilai jumlah \(\sum_{n=0}^{\infty}u_n\) bagi sembarang barisan \(\langle u_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) di dalam \([0,\infty]\). Cara alaminya ialah menetapkan \(\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^nu_m\), dengan menggunakan definisi yang diuraikan dalam (a). Jika salah satu \(u_m\) sendiri tak hingga, misalkan \(u_k=\infty\), maka \(\sum_{m=0}^nu_m=\infty\) untuk setiap \(n\ge k\), sehingga tentu saja \(\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\infty\). Jika semua \(u_m\) berhingga, maka, karena semuanya nonnegatif, barisan jumlah parsial \(\langle\sum_{m=0}^nu_m\rangle_{n\in\Bbb N}\) bersifat monoton tak-menurun, dan mempunyai limit berhingga \(\sum_{n=0}^{\infty}u_n\in\Bbb R\), atau divergen ke \(\infty\); dalam kasus terakhir ini kita kembali menafsirkan \(\sum_{n=0}^{\infty}u_n\) sebagai \(\infty\).

112Bd (d)

Sekali lagi, contoh-contoh penting ruang ukur harus menunggu sampai §§114 dan 115 di bawah. Namun, saya dapat langsung menggambarkan satu kelas khusus ruang ukur yang hendaknya selalu diingat, meskipun kelas ini tidak memberi gambaran yang baik tentang bagian-bagian terpenting dan paling menarik dari pokok bahasan ini. Misalkan \(X\) sembarang himpunan dan \(h:X\to[0,\infty]\) sembarang fungsi. Untuk setiap \(E\subseteq X\), tuliskan \(\mu E=\sum_{x\in E}h(x)\). Untuk menafsirkan jumlah ini, perhatikan bahwa tidak ada kesulitan jika \(E\) berhingga (dengan mengambil \(\sum_{x\in\emptyset}h(x)=0\)), sedangkan jika \(E\) tak hingga kita dapat mengambil \(\sum_{x\in E}h(x)=\sup\{\sum_{x\in I}h(x):I\subseteq E\) berhingga\(\}\), karena setiap \(h(x)\) nonnegatif. (Pada awalnya Anda mungkin lebih suka memikirkan kasus \(X=\Bbb N\), sehingga \(\sum_{n\in E}h(n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{m\in E,m\le n}h(m)\); tetapi saya harap sedikit pemikiran akan menunjukkan bahwa kasus umum, ketika \(X\) bahkan mungkin tak terhitung, sesungguhnya tidak lebih sulit.) Sekarang \((X,\Cal PX,\mu)\) adalah ruang ukur.

Kita masih sangat jauh dari kesiapan untuk kosakata khusus yang diperlukan guna menggambarkan berbagai jenis ruang ukur, tetapi ketika saatnya tiba saya akan menyebut ukuran semacam ini bertumpu pada titik.

Dua kasus khusus cukup sering muncul sehingga layak diberi nama. Jika \(h(x)=1\) untuk setiap \(x\), maka \(\mu E\) hanyalah banyaknya titik di \(E\) jika \(E\) berhingga, dan bernilai \(\infty\) jika \(E\) tak hingga. Saya akan menyebutnya ukuran cacah pada \(X\). Jika \(x_0\in X\), kita dapat menetapkan \(h(x_0)=1\) dan \(h(x)=0\) untuk \(x\in X\setminus\{x_0\}\); maka \(\mu E\) bernilai \(1\) jika \(x_0\in E\), dan \(0\) untuk \(E\) lainnya. Saya akan menyebutnya ukuran Dirac pada \(X\) yang terpusat di \(x_0\). Contoh sederhana lainnya ialah \(X=\Bbb N\), \(h(n)=2^{-n-1}\) untuk setiap \(n\); maka \(\mu X={1\over 2}+{1\over 4}+\ldots=1\).

112Be (e)

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur, maka \(\Sigma\) adalah domain fungsi \(\mu\), dan \(X\) adalah anggota terbesar \(\Sigma\). Karena itu, kita dapat memulihkan seluruh tripel \((X,\Sigma,\mu)\) dari komponen terakhirnya, \(\mu\). Tidak ada gunanya melakukan ini pada tahap sekarang. Namun, kadang-kadang berguna untuk memperkenalkan suatu ukuran tanpa segera memberi nama pada domainnya, dan ketika melakukan ini saya dapat mengatakan bahwa ‘\(\mu\) mengukur \(E\)’ atau ‘\(E\) diukur oleh \(\mu\)’ untuk menyatakan bahwa \(\mu E\) terdefinisi, yakni bahwa \(E\) termasuk dalam aljabar-\(\sigma\) \(\dom\mu\). Peringatan! Banyak penulis menggunakan frasa ‘himpunan \(\mu\)-terukur’ dengan arti yang agak berbeda dari yang sedang saya bahas di sini.

112C Sifat-sifat dasar ruang ukur

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(E\cap F=\emptyset\), maka \(\mu(E\cup F)=\mu E+\mu F\).

(b) Jika \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(E\subseteq F\), maka \(\mu E\le \mu F\).

(d) Jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah sebarang barisan di dalam \(\Sigma\), maka \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

(e) Jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan tak-menurun di dalam \(\Sigma\) (yakni \(E_n\subseteq E_{n+1}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\)), maka

\(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=\lim_{n\to\infty}\mu E_n=\sup_{n\in\Bbb N}\mu E_n\).

(f) Jika \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan tak-menaik di dalam \(\Sigma\) (yakni \(E_{n+1}\subseteq E_{n}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\)), dan jika salah satu \(\mu E_n\) berhingga, maka

\(\mu(\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n) =\lim_{n\to\infty}\mu E_n=\inf_{n\in\Bbb N}\mu E_n\).

Bukti

(a) Tetapkan \(E_0=E\), \(E_1=F\), dan \(E_n=\emptyset\) untuk \(n\ge 2\); maka \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\) dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n=E\cup F\), sehingga

\(\mu(E\cup F)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n=\mu E+\mu F\)

(karena \(\mu\emptyset=0\)).

(b) \(F\setminus E\in\Sigma\) (111Dc) dan \(\mu(F\setminus E)\ge 0\) (karena semua nilai \(\mu\) termasuk dalam \([0,\infty]\)); jadi, dengan menggunakan (a),

\(\mu F=\mu E+\mu(F\setminus E)\ge\mu E\).

(c) Menurut (a), \(\mu(E\cup F)=\mu E+\mu(F\setminus E)\), dan menurut (b), \(\mu(F\setminus E)\le \mu F\).

(d) Tetapkan \(F_0=E_0\) dan \(F_n=E_n\setminus\bigcup_{i<n}E_i\) untuk \(n\ge 1\); maka \(\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\), \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\), dan \(F_n\subseteq E_n\) untuk setiap \(n\). Menurut (b) tepat di atas, \(\mu F_n\le\mu E_n\) untuk setiap \(n\); jadi

\(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n) =\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu F_n\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

(e) Tetapkan \(F_0=E_0\) dan \(F_n=E_n\setminus E_{n-1}\) untuk \(n\ge 1\); maka \(\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\) dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Akibatnya, \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu F_n\). Namun, induksi sederhana pada \(n\), dengan menggunakan (a) untuk langkah induksi, menunjukkan bahwa \(\mu E_n=\sum_{m=0}^n\mu F_m\) untuk setiap \(n\). Jadi

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu F_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^n\mu F_m=\lim_{n\to\infty}\mu E_n\).

Akhirnya, \(\lim_{n\to\infty}\mu E_n=\sup_{n\in\Bbb N}\mu E_n\) karena, menurut (b), \(\langle\mu E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) tak-menurun.

(f) Misalkan \(\mu E_k<\infty\). Tetapkan \(F_n=E_k\setminus E_{k+n}\) untuk \(n\in\Bbb N\) dan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\); maka \(\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan tak-menurun di dalam \(\Sigma\), sehingga menurut (e) tepat di atas, \(\mu F=\lim_{n\to\infty}\mu F_n\). Selain itu, \(\mu F_n+\mu E_{k+n}=\mu E_k\); karena \(\mu E_k<\infty\), kita dapat dengan aman menuliskan \(\mu F_n=\mu E_k-\mu E_{k+n}\), sehingga

\(\mu F=\lim_{n\to\infty}(\mu E_k-\mu E_{k+n})=\mu E_k-\lim_{n\to\infty}\mu E_n\).

Selanjutnya, \(F\subseteq E_k\), sehingga \(\mu F+\mu(E_k\setminus F)=\mu E_k\), dan (sekali lagi karena \(\mu E_k\) berhingga) \(\mu F=\mu E_k-\mu(E_k\setminus F)\). Jadi haruslah \(\mu(E_k\setminus F)=\lim_{n\to\infty}\mu E_n\). Namun, \(E_k\setminus F\) tepat sama dengan \(\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n\).

Akhirnya, \(\lim_{n\to\infty}\mu E_n=\inf_{n\in\Bbb N}\mu E_n\) karena \(\langle\mu E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) tak-menaik.

Catatan Perhatikan bahwa dalam (f) di atas, syarat \(\inf_{n\in\Bbb N}\mu E_n<\infty\) sangatlah penting. Konstruksi dalam 112Bd sudah cukup untuk menunjukkan hal ini. Ambil \(X=\Bbb N\) dan misalkan \(\mu\) ukuran cacah pada \(X\). Tetapkan \(E_n=\{i:i\in\Bbb N,\,i\ge n\}\) untuk setiap \(n\). Maka \(E_{n+1}\subseteq E_n\) untuk setiap \(n\), tetapi

\(\mu(\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n) =\mu\emptyset=0<\infty=\lim_{n\to\infty}\mu E_n\).

112D Himpunan terabaikan

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sembarang ruang ukur.

112Da (a)

Suatu himpunan \(A\subseteq X\) disebut terabaikan (atau nol) jika terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=0\). (Jika mungkin timbul keraguan tentang ukuran mana yang digunakan, saya akan menuliskan terabaikan-\(\mu\).)

112Db (b)

Misalkan \(\Cal N\) keluarga subhimpunan terabaikan dari \(X\). Maka (i) \(\emptyset\in\Cal N\) (ii) jika \(A\subseteq B\in\Cal N\), maka \(A\in\Cal N\) (iii) jika \(\langle A_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah sembarang barisan di dalam \(\Cal N\), maka \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\in\Cal N\). Bukti. (i) \(\mu(\emptyset)=0\). (ii) Terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E=0\) dan \(B\subseteq E\); sekarang \(A\subseteq E\). (iii) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(E_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A_n\subseteq E_n\) dan \(\mu E_n=0\). Sekarang \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\) dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\), serta \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\) menurut 112Cd, sehingga \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)=0\). ∎

Saya akan menyebut \(\Cal N\) sebagai ideal nol dari ukuran \(\mu\). (Keluarga himpunan yang memenuhi syarat-syarat (i)-(iii) di sini disebut ideal-\(\sigma\) himpunan.)

112Dc (c)

Suatu himpunan \(A\subseteq X\) disebut koterabaikan jika \(X\setminus A\) terabaikan; yakni, terdapat himpunan terukur \(E\subseteq A\) sedemikian sehingga \(\mu(X\setminus E)=0\). Perhatikan bahwa (i) \(X\) koterabaikan (ii) jika \(A\subseteq B\subseteq X\) dan \(A\) koterabaikan, maka \(B\) koterabaikan (iii) jika \(\langle A_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan himpunan koterabaikan, maka \(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n\) koterabaikan.

112Dd (d)

Berguna, dan lazim, untuk menggunakan bahasa yang agak informal mengenai himpunan terabaikan. Jika \(P(x)\) adalah suatu pernyataan yang berlaku bagi anggota \(x\) dari himpunan \(X\), kita mengatakan bahwa

‘\(P(x)\) untuk hampir setiap \(x\in X\)’

atau

‘\(P(x)\) a.e. \((x)\)’

atau

‘\(P\) hampir di mana-mana’, ‘\(P\) a.e.’

atau, jika ukuran yang digunakan tampaknya perlu dinyatakan,

‘\(P(x)\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(x\)’, ‘\(P(x)\,\mu\)-a.e.\((x)\)’, ‘\(P\,\mu\)-a.e.’,

untuk menyatakan bahwa

\(\{x:x\in X,\,P(x)\}\)

koterabaikan di dalam \(X\), yakni bahwa

\(\{x:x\in X,\,P(x)\) salah\(\}\)

terabaikan. Jadi, misalnya, jika \(f:X\to\Bbb R\) suatu fungsi, ‘\(f>0\) a.e.’ berarti bahwa \(\{x:f(x)\le 0\}\) terabaikan.

112De (e)

Frasa ‘hampir pasti’ (a.s.) dan ‘presque partout’ (p.p.) juga digunakan untuk ‘hampir di mana-mana’.

112Df (f)

Saya perlu menarik perhatian Anda pada kenyataan bahwa, menurut definisi saya, suatu himpunan terabaikan tidak harus terukur, walaupun harus termuat dalam suatu himpunan terukur yang terabaikan. (Ruang ukur yang setiap himpunan terabaikannya terukur disebut lengkap. Saya akan kembali ke persoalan ini dalam §211.)

112Dg (g)

Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan koterabaikan dari suatu ruang ukur, saya akan menuliskan \(f\eae g\), \(f\leae g\), atau \(f\geae g\) untuk masing-masing menyatakan

\(f=g\) a.e., yakni, \(\{x:x\in\dom(f)\cap\dom(g)\), \(f(x)=g(x)\}\) koterabaikan,

\(f\le g\) a.e., yakni, \(\{x:x\in\dom(f)\cap\dom(g)\), \(f(x)\le g(x)\}\) koterabaikan,

\(f\ge g\) a.e., yakni, \(\{x:x\in\dom(f)\cap\dom(g)\), \(f(x)\ge g(x)\}\) koterabaikan.

Latihan

112X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tunjukkan bahwa (i) \(\mu(E\cup F)+\mu(E\cap F)=\mu E+\mu F\) (ii) \(\mu(E\cup F\cup G)+\mu(E\cap F)+\mu(E\cap G)+\mu(F\cap G)=\mu E+\mu F+\mu G+\mu(E\cap F\cap G)\) untuk semua \(E\), \(F\), \(G\in\Sigma\). Perumum hasil-hasil ini untuk barisan himpunan yang lebih panjang. (Anda mungkin lebih suka memulai dengan kasus ketika \(\mu E\), \(\mu F\), dan \(\mu G\) semuanya berhingga. Namun, saya harap Anda dapat menemukan argumen yang menangani kasus umum.)

112Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan di dalam \(\Sigma\). Tunjukkan bahwa

\(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}E_m) \le\liminf_{n\to\infty}\mu E_n\).

112Xc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(E\), \(F\in\Sigma\); andaikan \(\mu E<\infty\). Tunjukkan bahwa \(\mu(F\symmdiff E)=\mu F-\mu E+2\mu(E\setminus F)\).

112Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur dan \(\sequencen{E_n}\) barisan himpunan terukur dengan \(\mu(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n)<\infty\). (i) Tunjukkan bahwa \(\limsup_{n\to\infty}\mu E_n \le\mu(\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}E_m)\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{m\ge n}E_m=E =\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}E_m\), maka \(\lim_{n\to\infty}\mu E_n\) ada dan sama dengan \(\mu E\).

112Xe (>e) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\eusm F\) himpunan fungsi bernilai real yang domainnya merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\). (i) Tunjukkan bahwa \(\{(f,g):f,\,g\in\eusm F,\,f\leae g\}\) dan \(\{(f,g):f,\,g\in\eusm F,\,f\geae g\}\) adalah relasi refleksif dan transitif pada \(\eusm F\), dan masing-masing merupakan invers dari yang lain. (ii) Tunjukkan bahwa \(\{(f,g):f,\,g\in\eusm F,\,f\eae g\}\) adalah irisan keduanya dan merupakan relasi ekuivalensi pada \(\eusm F\).

112Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(Y\) suatu himpunan, dan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tetapkan \(\Tau=\{F:F\subseteq Y\), \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\) dan \(\nu F=\mu\phi^{-1}[F]\) untuk \(F\in\Tau\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) adalah ukuran pada \(Y\). (\(\nu\) disebut ukuran citra pada \(Y\), dan umumnya akan saya lambangkan dengan \(\mu\phi^{-1}\).)

112Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\mu_1\) dan \(\mu_2\) dua ukuran pada \(X\), keduanya dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan

\(\mu E =\inf\{\mu_1(E\cap F)+\mu_2(E\setminus F):F\in\Sigma\}\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\), dan merupakan ukuran terbesar, dengan domain \(\Sigma\), sedemikian sehingga \(\mu E\le\min(\mu_1E,\mu_2E)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

112Yb (b)

\(\mu E =\sup\{\mu_1(E\cap F)+\mu_2(E\setminus F):F\in\Sigma\}\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\), dan merupakan ukuran terkecil, dengan domain \(\Sigma\), sedemikian sehingga \(\mu E\ge\max(\mu_1E,\mu_2E)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

112Yc (c)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\).

(i) Andaikan \(\Nu=\{\nu_0,\ldots,\nu_n\}\) adalah keluarga ukuran-ukuran pada \(X\), semuanya dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan

\(\mu E=\inf\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:F_0,\ldots,F_n\in\Sigma\), \(E\subseteq\bigcup_{i\le n}F_i\}\)

untuk \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\).

(ii) Misalkan \(\Nu\) suatu keluarga tak kosong yang terdiri atas ukuran-ukuran pada \(X\), semuanya dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan

\[\begin{aligned}\mu E=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\nu_nF_n: &\sequencen{\nu_n}\text{ adalah barisan di dalam }\Nu,\\ &\sequencen{F_n}\text{ adalah barisan di dalam }\Sigma, \,E\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\}\\\end{aligned}\]

untuk \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\).

(iii) Misalkan \(\Nu\) suatu keluarga tak kosong yang terdiri atas ukuran-ukuran pada \(X\), semuanya dengan domain \(\Sigma\), dan andaikan terdapat \(\nuprime\in\Nu\) sedemikian sehingga \(\nuprime X<\infty\). Tetapkan

\(\mu E=\inf\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:n\in\Bbb N, \,\nu_0,\ldots,\nu_n\in\Nu,\,F_0,\ldots,F_n\in\Sigma, E\subseteq\bigcup_{i\le n}F_i\}\)

untuk \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\).

(iv) Andaikan, dalam (iii), bahwa \(\Nu\) terarah ke bawah, yakni untuk setiap \(\nu_1\), \(\nu_2\in\Nu\) terdapat \(\nu\in\Nu\) sedemikian sehingga \(\nu E\le\min(\nu_1E,\nu_2E)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu E=\inf_{\nu\in\Nu}\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

(v) Tunjukkan bahwa dalam semua kasus (i)-(iii), ukuran yang dikonstruksi adalah ukuran terbesar \(\mu\) dengan domain \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E\le\inf_{\nu\in\Nu}\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

112Yd (d)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\Nu\) suatu keluarga tak kosong yang terdiri atas ukuran-ukuran pada \(X\), semuanya dengan domain \(\Sigma\). Tetapkan

\[\begin{aligned}\mu E=\sup\{\sum_{i=0}^n\nu_iF_i:n\in\Bbb N, &\,\nu_0,\ldots,\nu_n\in\Nu,\\ &F_0,\ldots,F_n\text{ adalah subhimpunan saling lepas dari }E \text{ yang termasuk dalam }\Sigma\}\\\end{aligned}\]

untuk \(E\in\Sigma\). (i) Tunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\mu E=\sup\{\sum_{n=0}^{\infty}\nu_nF_n: &\sequencen{\nu_n}\text{ adalah barisan di dalam }\Nu,\\ &\sequencen{F_n}\text{ adalah barisan saling lepas di dalam }\Sigma, \,\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\subseteq E\}\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(E\in\Sigma\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\mu\) adalah ukuran pada \(X\), dan merupakan ukuran terkecil, dengan domain \(\Sigma\), sedemikian sehingga \(\mu E\ge\sup_{\nu\in\Nu}\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). (iii) Sekarang andaikan \(\Nu\) terarah ke atas, yakni untuk setiap \(\nu_1\), \(\nu_2\in\Nu\) terdapat \(\nu\in\Nu\) sedemikian sehingga \(\nu E\ge\max(\nu_1E,\nu_2E)\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\mu E=\sup_{\nu\in\Nu}\nu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

112Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan himpunan terukur. Untuk setiap \(k\in\Bbb N\), tetapkan \(H_k=\{x:x\in X,\,\#(\{n:x\in E_n\})\ge k\}\), yaitu himpunan titik yang termasuk dalam \(E_n\) untuk \(k\) atau lebih nilai \(n\). (i) Tunjukkan bahwa setiap \(H_k\) terukur. (ii) Tunjukkan bahwa \(\sum_{k=1}^{\infty}\mu H_k=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\). Petunjuk: mulailah dengan kasus ketika \(E_n=\emptyset\) untuk \(n\ge n_0\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\) berhingga, maka hampir setiap titik di \(X\) termasuk hanya dalam berhingga banyak \(E_n\), dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n=\sum_{k=0}^{\infty}k\mu G_k\), dengan

\(G_k=H_k\setminus H_{k+1}=\{x:\#(\{n:x\in E_n\})=k\}\).

112Yf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\mu\), \(\nu\) dua ukuran pada \(X\) dengan domain masing-masing \(\Sigma\) dan \(\Tau\). Tetapkan \(\Lambda=\Sigma\cap\Tau\) dan definisikan \(\lambda:\Lambda\to[0,\infty]\) dengan menetapkan \(\lambda E=\mu E+\nu E\) untuk setiap \(E\in\Lambda\). Tunjukkan bahwa \((X,\Lambda,\lambda)\) adalah ruang ukur.

Catatan dan komentar

112-notes Catatan penutup untuk Bagian 112

Perhitungan dalam hasil-hasil seperti 112Ca-112Cc, 112Xa, dan 112Xc, yang hanya melibatkan berhingga banyak himpunan, berlaku bagi setiap konsep ukuran yang aditif; Anda mungkin pernah menjumpainya dalam teori probabilitas dasar, tetapi tentu saja sekarang saya meminta Anda mempertimbangkan pula kemungkinan bahwa satu atau lebih himpunan mempunyai ukuran \(\infty\). Saya harap Anda akan mendapati bahwa hasil-hasil ini sepenuhnya alamiah dan tidak mengejutkan. Dalam konteks ini saya menyarankan diagram Venn; hasil semacam ini yang hanya melibatkan berhingga banyak himpunan terukur dan hanya penjumlahan, tanpa pengurangan, berlaku secara umum jika dan hanya jika hasil itu berlaku bagi luas bangun geometris sederhana pada bidang. Syarat ‘\(\mu E<\infty\)’ dalam 112Xc diperlukan hanya karena kita mengurangkan \(\mu E\); hasil aditif yang bersesuaian, \(\mu(F\symmdiff E)+\mu E=\mu F+2\mu(E\setminus F)\), berlaku untuk semua \(E\) dan \(F\) yang terukur. Tentu saja, ketika barisan himpunan mulai terlibat, kita perlu sedikit lebih berhati-hati; hasil-hasil 112Cd-112Cf adalah hasil dasar yang perlu dipelajari. Namun, menurut saya satu-satunya jebakan terdapat pada syarat ‘salah satu \(\mu E_n\) berhingga’ dalam 112Cf. Sebagaimana dicatat dalam catatan pada akhir 112C, syarat ini sangat penting, dan untuk barisan menurun yang terdiri atas himpunan-himpunan terukur, ukuran himpunan limit mungkin benar-benar lebih kecil daripada limit ukuran-ukurannya, walaupun hal ini hanya dapat terjadi ketika limit terakhir tak hingga.