Jembatan spektral-kompak dan SVD

Komponen asli terpisah, CC BY-SA 4.0. Ditulis dengan bantuan OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra, atas arahan pengguna. Komponen ini bukan tulisan John M. Erdman dan tidak menyiratkan dukungan beliau atau Portland State University.

Bab 7 telah mengembangkan operator kompak dan dekomposisi polar, sedangkan Bab 8 telah mengembangkan spektrum. Bab tentang teori Fredholm kemudian membuktikan alternatif Fredholm bagi operator Riesz–Schauder, sifat jangkauan tertutup, serta teori indeks. Tujuan jembatan ini bukan mengulang teori Fredholm tersebut, melainkan menghubungkan hasilnya ke geometri eigenvektor operator kompak dan selanjutnya ke dekomposisi nilai singular.

Semua ruang dalam bab ini merupakan ruang kompleks. Simbol $H_1$ dan $H_2$ menyatakan ruang Hilbert, sedangkan $B$ menyatakan ruang Banach. Jika $u\in H_2$ dan $v\in H_1$ , kita memakai notasi peringkat-satu $u\otimes v\colon H_1\longrightarrow H_2, \qquad (u\otimes v)x=\langle x,v\rangle u.$

Konsekuensi spektral Riesz–Schauder

Definisi

Jika $T\in\mathfrak{B}(B)$ dan $\lambda\in\mathbb{C}$ , maka ruang eigen untuk $\lambda$ adalah $\ker(T-\lambda I)$ . Dimensinya disebut multiplikitas geometrik nilai eigen $\lambda$ .

Teorema: Konsekuensi spektral Riesz–Schauder

Misalkan $B$ ruang Banach kompleks berdimensi tak hingga dan $K\in\mathfrak{K}(B)$ . Maka:

setiap $\lambda\in\sigma(K)\setminus\{0\}$ merupakan nilai eigen;
setiap ruang eigen untuk $\lambda\neq0$ berdimensi hingga;
untuk setiap $r>0$ , hanya ada berhingga banyak nilai eigen berbeda yang memenuhi $|\lambda|\geq r$ ;
$\sigma(K)\setminus\{0\}$ paling banyak terhitung, setiap titiknya terisolasi dalam spektrum, dan satu-satunya titik akumulasi yang mungkin adalah $0$ ;
$0\in\sigma(K)$ .

Bukti

Ambil $\lambda\neq0$ . Operator $\lambda I-K$ adalah operator Riesz–Schauder dalam pengertian Bab 15. Alternatif Fredholm 15.2.2 menyatakan bahwa operator itu injektif jika dan hanya jika surjektif. Jika injektif, ia bijektif dan teorema pemetaan terbuka memberi invers terbatas. Jadi, bila $\lambda\in\sigma(K)$ , operator $\lambda I-K$ tidak injektif; dengan kata lain, $\lambda$ adalah nilai eigen. Alternatif Fredholm yang sama juga memberi $\dim\ker(\lambda I-K)<\infty,$ yang membuktikan (a) dan (b) tanpa mengulang argumen Fredholm.

Untuk (c), andaikan terdapat nilai eigen berbeda $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ dengan $|\lambda_n|\geq r>0$ , dan pilih eigenvektor $x_n\neq0$ . Eigenvektor untuk nilai eigen berbeda bebas linear. Tuliskan $M_n=\mathop{\mathrm{span}}\{x_1,\ldots,x_n\}$ . Menurut lema Riesz, kita dapat memilih $y_n\in M_n$ dengan $\|y_n\|=1$ dan $\mathop{\mathrm{dist}}(y_n,M_{n-1})>\frac12.$ Karena $(K-\lambda_n I)M_n\subseteq M_{n-1}$ , berlaku $y_n-\lambda_n^{-1}Ky_n\in M_{n-1}$ . Untuk $m<n$ juga $\lambda_m^{-1}Ky_m\in M_m\subseteq M_{n-1}$ . Akibatnya $\left\|\lambda_n^{-1}Ky_n-\lambda_m^{-1}Ky_m\right\|>\frac12.$ Namun barisan $(\lambda_n^{-1}y_n)$ terbatas oleh $1/r$ , sehingga kekompakan $K$ mengharuskan $(\lambda_n^{-1}Ky_n)$ mempunyai subbarisan konvergen. Ini bertentangan dengan pemisahan di atas. Jadi (c) benar.

Terakhir, $\sigma(K)\setminus\{0\} =\bigcup_{m=1}^{\infty} \{\lambda\in\sigma(K):|\lambda|\geq1/m\}$ adalah gabungan terhitung himpunan-himpunan berhingga. Pernyataan isolasi dan akumulasi mengikuti langsung dari (c), sehingga (d) terbukti. Jika $0\notin\sigma(K)$ , maka $K$ invertibel dan $I=K^{-1}K$ kompak. Hal ini mustahil pada ruang Banach berdimensi tak hingga: lema Riesz menghasilkan barisan vektor satuan yang tidak mempunyai subbarisan konvergen. Jadi operator identitas tidak kompak, dan (e) terbukti.

Catatan

Teorema CS-THM-001 memakai alternatif Fredholm yang sudah terdapat dalam Bab 15 hanya pada dua titik: kesetaraan injektif–surjektif dan keberhinggaan dimensi kernel. Jembatan ini tidak mengulang pembentukan aljabar Calkin, teorema Atkinson, indeks Fredholm, atau klasifikasi komponen lintasan operator Fredholm.

Contoh

Pada $\ell^2$ , tetapkan $K(x_1,x_2,\ldots)= \left(x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\ldots\right).$ Operator ini kompak dan swaadjoin. Nilai eigennya adalah $1/n$ , masing-masing bermultiplikitas satu, dan $\sigma(K)=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{N}\}$ . Contoh ini memperlihatkan bahwa nol memang dapat menjadi titik akumulasi dan bahwa jangkauan operator kompak tidak harus tertutup.

Teorema spektral kompak swaadjoin

Lema

Jika $T\in\mathfrak{K}(H)$ swaadjoin dan $T\neq0$ , maka $T$ mempunyai nilai eigen real $\lambda$ dengan $|\lambda|=\|T\|$ .

Bukti

Untuk operator swaadjoin, hasil tentang jangkauan numerik di Bab 5 memberi $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Tx,x\rangle|.$ Pilih vektor satuan $x_n$ sehingga nilai mutlak di ruas kanan menuju $\|T\|$ . Karena bentuk kuadratik swaadjoin bernilai real, setelah mengambil subbarisan terdapat $\alpha\in\{\|T\|,-\|T\|\}$ dengan $\langle Tx_n,x_n\rangle\to\alpha$ . Untuk $\alpha=\|T\|$ , misalnya, $\begin{align*} \|(T-\alpha I)x_n\|^2 &=\|Tx_n\|^2-2\alpha\langle Tx_n,x_n\rangle+\alpha^2\\ &\leq2\alpha\bigl(\alpha-\langle Tx_n,x_n\rangle\bigr) \longrightarrow0. \end{align*}$ Kasus $\alpha=-\|T\|$ sama dengan memakai $T-\alpha I=T+\|T\|I$ . Kekompakan $T$ memberi subbarisan $(Tx_n)$ yang konvergen. Karena $(T-\alpha I)x_n\to0$ dan $\alpha\neq0$ , subbarisan $(x_n)$ sendiri konvergen ke suatu vektor satuan $x$ . Dengan mengambil limit diperoleh $Tx=\alpha x$ . Jadi $\lambda=\alpha$ adalah nilai eigen real dan $|\lambda|=\|T\|$ .

Lema

Jika $T$ swaadjoin, maka ruang eigen untuk dua nilai eigen berbeda saling ortogonal. Selain itu, komplemen ortogonal setiap ruang eigen invarian terhadap $T$ .

Bukti

Misalkan $Tx=\lambda x$ dan $Ty=\mu y$ . Nilai $\lambda$ dan $\mu$ real, dan $\lambda\langle x,y\rangle =\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle =\mu\langle x,y\rangle.$ Jika $\lambda\neq\mu$ , maka $\langle x,y\rangle=0$ . Jika $z$ tegak lurus ruang eigen $E_\lambda$ , maka untuk setiap $x\in E_\lambda$ , $\langle Tz,x\rangle=\langle z,Tx\rangle =\lambda\langle z,x\rangle=0,$ sehingga $Tz\in E_\lambda^\perp$ .

Teorema: Teorema spektral untuk operator kompak swaadjoin

Misalkan $T\in\mathfrak{K}(H)$ swaadjoin. Terdapat himpunan ortonormal $(e_n)$ yang terdiri atas eigenvektor untuk nilai eigen tak nol $(\lambda_n)$ sedemikian sehingga

setiap nilai eigen tak nol diulang menurut multiplikitasnya yang hingga;
bila daftarnya tak hingga, $|\lambda_n|\to0$ ;
$H=\ker T\oplus\overline{\mathop{\mathrm{span}}\{e_n:n\geq 1\}}$ ;
untuk setiap $x\in H$ , $Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n;$
jika daftar tak hingga, tetapkan $T_N=\sum_{n=1}^N\lambda_n(e_n\otimes e_n)$ ; jika daftar berhingga memiliki panjang $m$ , tetapkan $T_N=\sum_{n=1}^{\min\{N,m\}}\lambda_n(e_n\otimes e_n)$ . Dengan urutan $|\lambda_1|\geq|\lambda_2|\geq\cdots$ , berlaku $\|T-T_N\|=\sup_{n>N}|\lambda_n|\to0$ , dengan supremum himpunan indeks kosong didefinisikan sebagai $0$ .

Dengan menambahkan sembarang basis ortonormal bagi $\ker T$ , kita memperoleh basis ortonormal seluruh $H$ yang terdiri atas eigenvektor $T$ .

Bukti

Jika $T=0$ , ambil daftar kosong dan hasilnya langsung benar. Jika $\dim H<\infty$ , teorema spektral kompleks berdimensi hingga dari Bab 1, Teorema 1.2.53, memberikan basis ortonormal eigenvektor; setelah eigenvektor bernilai eigen nol dipindahkan ke $\ker T$ , semua butir di atas mengikuti, termasuk konvensi ekor kosong pada (e). Karena itu, selanjutnya andaikan $\dim H=\infty$ dan $T\neq0$ . Teorema CS-THM-001 mengatakan bahwa himpunan nilai eigennya yang tak nol paling banyak terhitung dan setiap ruang eigennya berdimensi hingga. Pilih satu basis ortonormal dari setiap ruang eigen tak nol. Menurut Lemma CS-LEM-002, gabungan semua basis tersebut ortonormal, sehingga dapat disusun sebagai barisan $(e_n)$ dengan nilai eigen terkait $(\lambda_n)$ . Teorema Riesz–Schauder yang sama memberi $|\lambda_n|\to0$ bila barisan itu tak hingga.

Misalkan $M=\overline{\mathop{\mathrm{span}}\{e_n:n\geq 1\}}$ . Komplemen $M^\perp$ invarian. Jika $T|_{M^\perp}$ tidak nol, Lemma CS-LEM-001 akan memberi eigenvektor tak nol lain yang tegak lurus semua $e_n$ , bertentangan dengan pemilihan seluruh ruang eigen tak nol. Jadi $T|_{M^\perp}=0$ dan $M^\perp\subseteq\ker T$ . Sebaliknya, setiap vektor dalam $\ker T$ tegak lurus semua ruang eigen dengan nilai eigen tak nol, sehingga $\ker T=M^\perp$ . Ini membuktikan (c).

Uraikan $x=x_0+\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n$ dengan $x_0\in\ker T$ . Kontinuitas $T$ memberi deret pada (d). Untuk ekor operator, ortonormalitas memberi $\|(T-T_N)x\|^2 =\sum_{n>N}|\lambda_n|^2|\langle x,e_n\rangle|^2 \leq\left(\sup_{n>N}|\lambda_n|^2\right)\|x\|^2.$ Jadi $\|T-T_N\|\leq\sup_{n>N}|\lambda_n|$ . Arah sebaliknya diperoleh dengan menerapkan $T-T_N$ pada setiap $e_n$ dengan $n>N$ dan mengambil supremum. Maka (e) benar dan $T$ merupakan limit norma operator-operator spektral berperingkat hingga tersebut.

Akibat

Jika $T$ juga positif dan $T\neq0$ , maka semua $\lambda_n>0$ dan $\|T\|=\lambda_1, \qquad Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n.$

Bukti

Untuk eigenvektor satuan $e_n$ , $\lambda_n=\langle Te_n,e_n\rangle\geq0$ . Karena daftar hanya memuat nilai eigen tak nol, semuanya positif. Pernyataan norma mengikuti pengurutan dalam teorema.

Nilai singular dan SVD kompak

Definisi

Untuk $T\in\mathfrak{K}(H_1,H_2)$ , tetapkan $|T|=(T^*T)^{1/2}.$ Nilai eigen positif $s_n$ dari $|T|$ , diulang menurut multiplikitas dan diurutkan tak-menaik, disebut nilai singular $T$ . Secara ekuivalen, $s_n^2$ adalah nilai eigen positif dari $T^*T$ .

Operator $T^*T$ kompak, positif, dan swaadjoin. Karena itu Teorema CS-THM-002 berlaku pada $T^*T$ . Akar positifnya $|T|$ juga kompak: melalui kalkulus fungsional, fungsi akar pada spektrum dapat didekati seragam oleh polinom yang bernilai nol di $0$ , sehingga $|T|$ merupakan limit norma operator-operator kompak. Jadi teorema tersebut berlaku pula pada $|T|$ . Kernel ketiga operator terkait oleh $\ker|T|=\ker(T^*T)=\ker T,$ sebab $\langle T^*Tx,x\rangle=\|Tx\|^2$ .

Dekomposisi nilai singular untuk operator kompak memperoleh bentuk berikut.

Teorema: SVD untuk operator kompak

Misalkan $T\in\mathfrak{K}(H_1,H_2)$ . Terdapat daftar hingga (mungkin kosong) atau barisan nilai singular $s_1\geq s_2\geq\cdots>0$ dan keluarga ortonormal $(v_n)$ dalam $H_1$ serta $(u_n)$ dalam $H_2$ sedemikian sehingga $\begin{align*} T v_n&=s_nu_n, & T^*u_n&=s_nv_n,\\ Tx&=\sum_n s_n\langle x,v_n\rangle u_n, &&x\in H_1. \end{align*}$ Lebih tepat,

$(v_n)$ merupakan basis ortonormal $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T^*}=(\ker T)^\perp$ ;
$(u_n)$ merupakan basis ortonormal $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T}=(\ker T^*)^\perp$ ;
dalam norma operator, $T=\sum_n s_n(u_n\otimes v_n);$
untuk daftar tak hingga tetapkan $T_N=\sum_{n=1}^Ns_n(u_n\otimes v_n)$ , sedangkan untuk daftar berhingga sepanjang $m$ tetapkan $T_N=\sum_{n=1}^{\min\{N,m\}}s_n(u_n\otimes v_n)$ ; maka $\|T-T_N\|=s_{N+1}\longrightarrow0,$ dengan konvensi $s_{N+1}=0$ setelah daftar berhingga berakhir, termasuk untuk daftar kosong ketika $T=0$ .

Bukti

Terapkan teorema spektral kompak swaadjoin pada operator positif $T^*T$ . Pilih eigenvektor ortonormal $v_n$ dan nilai eigen $s_n^2>0$ sehingga $T^*Tv_n=s_n^2v_n.$ Tetapkan $u_n=s_n^{-1}Tv_n$ . Maka $\langle u_n,u_m\rangle =\frac{1}{s_ns_m}\langle T^*Tv_n,v_m\rangle =\delta_{nm},$ jadi $(u_n)$ ortonormal, dan $T^*u_n=s_n^{-1}T^*Tv_n=s_nv_n$ .

Teorema spektral memberi bahwa $(v_n)$ merentang $(\ker(T^*T))^\perp=(\ker T)^\perp$ . Karena $T$ nol pada $\ker T$ , ekspansi Fourier setiap $x\in H_1$ menghasilkan $Tx=\sum_n\langle x,v_n\rangle Tv_n =\sum_n s_n\langle x,v_n\rangle u_n.$ Jadi $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T}$ termuat dalam rentang tertutup $(u_n)$ , sedangkan setiap $u_n=s_n^{-1}Tv_n$ termasuk dalam $\mathop{\mathrm{ran}}T$ ; ini membuktikan (a) dan (b).

Untuk setiap vektor satuan $x$ , $\|(T-T_N)x\|^2 =\sum_{n>N}s_n^2|\langle x,v_n\rangle|^2 \leq s_{N+1}^2.$ Kesamaan dicapai pada $x=v_{N+1}$ bila suku itu ada. Maka $\|T-T_N\|=s_{N+1}\to0$ , yang sekaligus membuktikan (c) dan (d).

Akibat: Pendekatan peringkat hingga terbaik

Jika $R\colon H_1\to H_2$ berperingkat paling banyak $N$ , maka $\|T-R\|\geq s_{N+1}.$ Karena $\|T-T_N\|=s_{N+1}$ , pemotongan SVD $T_N$ merupakan pendekatan peringkat paling banyak $N$ yang terbaik dalam norma operator.

Bukti

Jika daftar nilai singular mempunyai paling banyak $N$ suku, maka $s_{N+1}=0$ dan ketaksamaannya langsung. Andaikan $s_{N+1}$ ada. Subruang $E=\mathop{\mathrm{span}}\{v_1,\ldots,v_{N+1}\}$ berdimensi $N+1$ , sedangkan $R|_E$ berperingkat paling banyak $N$ . Jadi terdapat vektor satuan $x\in E\cap\ker R$ . Tuliskan $x=\sum_{j=1}^{N+1}c_jv_j$ . Karena $s_j\geq s_{N+1}$ , $\|(T-R)x\|^2=\|Tx\|^2 =\sum_{j=1}^{N+1}s_j^2|c_j|^2 \geq s_{N+1}^2\sum_{j=1}^{N+1}|c_j|^2 =s_{N+1}^2.$ Dengan mengambil supremum atas vektor satuan diperoleh batas bawah yang diminta; teorema sebelumnya menunjukkan bahwa $T_N$ mencapainya.

Proposisi: Hubungan dengan dekomposisi polar

Dalam dekomposisi polar $T=U|T|$ , isometri parsial $U$ memenuhi $Uv_n=u_n$ untuk semua indeks singular. Secara khusus, $|T|=\sum_n s_n(v_n\otimes v_n), \qquad U|T|=\sum_n s_n(u_n\otimes v_n)=T.$

Bukti

Karena $|T|v_n=s_nv_n$ dan $Tv_n=s_nu_n$ , persamaan $T=U|T|$ memberi $s_nUv_n=s_nu_n$ . Nilai $s_n$ positif, sehingga $Uv_n=u_n$ . Kedua ekspansi kemudian mengikuti dari teorema spektral bagi $|T|$ dan konvergensi norma dalam Teorema CS-THM-003.

Contoh: Matriks sebagai kasus berhingga

Jika $H_1=\mathbb{C}^n$ dan $H_2=\mathbb{C}^m$ , semua operator otomatis kompak. Setelah $(v_n)$ dan $(u_n)$ diperluas menjadi basis ortonormal pada domain dan kodomain, matriks operator mengambil bentuk $T=U\Sigma V^*,$ dengan $U$ dan $V$ uniter serta $\Sigma$ diagonal-persegi-panjang yang entri tak nolnya adalah $s_1\geq s_2\geq\cdots$ . Jadi teorema di atas tepat memperluas SVD matriks ke operator kompak antar-ruang Hilbert.

Peta penggunaan

Urutan konseptualnya bergerak dari operator kompak (Bab 7), melalui spektrum (Bab 8), menuju Teorema CS-THM-001, teorema spektral kompak swaadjoin, lalu SVD. Prasyarat pembuktiannya lebih rinci:

pembuktian Riesz–Schauder memakai alternatif Fredholm yang telah dibuktikan pada Bab 15;
teorema spektral kompak swaadjoin memakai hasil tersebut bersama geometri ruang Hilbert dari Bab 4;
konstruksi $|T|=(T^*T)^{1/2}$ dan SVD juga memakai akar positif dan kalkulus fungsional kontinu dari Bab 11.

Peta ini ditempatkan setelah seluruh buku agar tidak menimbulkan ketergantungan melingkar dan tidak menggandakan pembuktian Fredholm dari Bab 15.