Solusi Bab 13: Konstruksi Gelfand–Naimark–Segal

Komponen solusi asli terpisah, CC BY-SA 4.0. Ditulis dengan bantuan OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra, atas arahan pengguna. Pernyataan latihan berasal dari edisi terjemahan karya John M. Erdman; solusi ini bukan tulisan beliau dan tidak menyiratkan dukungan beliau atau Portland State University.

Solusi 1

Terhubung ke latihan pada reader teks sumber. Solusi ini merupakan komponen asli terpisah.

Identitas dan ikatan provenans

ID solusi: O001-FAOA-2015-CH13-EX-001-SOLUTION
ID latihan sumber: FAOA-2015-CH13-NODE-0018
SHA-256 pernyataan terjemahan: 84c22fa77eaccb119f0537a7807cc91265e0dc1e0c2aae2137eadc8497924228

Pernyataan latihan sumber

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal. Carilah suatu representasi isometrik (dan karena itu setia) $(\pi,H)$ dari aljabar- $C^*$ $C_0(X)$ pada suatu ruang Hilbert $H$ .

Jawaban ringkas

Ambil $H=\ell^2(X)$ dan definisikan $(\pi(f)\xi)(x)=f(x)\xi(x)$ . Maka $\pi$ adalah representasi isometrik dan setia dari $C_0(X)$ pada $H$ .

Penyelesaian lengkap

Untuk setiap $f\in C_0(X)$ dan $\xi\in\ell^2(X)$ , perkalian titik demi titik memberi $\|\pi(f)\xi\|_2^2 =\sum_{x\in X}|f(x)|^2|\xi(x)|^2 \leq\|f\|_\infty^2\|\xi\|_2^2.$ Jadi $\pi(f)$ operator terbatas dan $\|\pi(f)\|\leq\|f\|_\infty$ . Definisi titik demi titik langsung memberi $\pi(fg)=\pi(f)\pi(g), \qquad \pi(\overline f)=\pi(f)^*,$ serta linearitas $\pi$ .

Untuk setiap $x\in X$ , misalkan $e_x$ adalah vektor basis satuan yang bernilai $1$ di $x$ dan nol di tempat lain. Maka $\|\pi(f)e_x\|_2=|f(x)|.$ Akibatnya $\|\pi(f)\|\geq |f(x)|$ untuk setiap $x$ , dan dengan mengambil supremum diperoleh $\|\pi(f)\|\geq\|f\|_\infty$ . Bersama estimasi sebelumnya, $\|\pi(f)\|=\|f\|_\infty$ . Jadi $\pi$ isometrik; khususnya $\pi(f)=0$ memaksa $f=0$ , sehingga representasi itu setia. Konstruksi ini berlaku tanpa perlu memilih ukuran pada $X$ , bahkan ketika $X$ tidak dapat dihitung.