Solusi Bab 17: Funktor K0

Komponen solusi asli terpisah, CC BY-SA 4.0. Ditulis dengan bantuan OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra, atas arahan pengguna. Pernyataan latihan berasal dari edisi terjemahan karya John M. Erdman; solusi ini bukan tulisan beliau dan tidak menyiratkan dukungan beliau atau Portland State University.

Solusi 1

Terhubung ke latihan pada reader teks sumber. Solusi ini merupakan komponen asli terpisah.

Identitas dan ikatan provenans

ID solusi: O001-FAOA-2015-CH17-EX-001-SOLUTION
ID latihan sumber: FAOA-2015-CH17-NODE-0026
SHA-256 pernyataan terjemahan: 76065558fdb1aff0f098a8215cec17050381cb2ca560da7994991909e0f3f8cd

Pernyataan latihan sumber

Jelaskan mengapa terminologi dalam definisi sebelumnya masuk akal.

Jawaban ringkas

Jika $s^*s=1$ , maka perkalian kiri oleh $s$ mempertahankan norma; dalam setiap representasi- $*$ setia, operator yang mewakili $s$ juga merupakan isometri dalam arti operator Hilbert.

Penyelesaian lengkap

Untuk setiap $x$ dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ , identitas- $C^*$ memberi $\|sx\|^2 =\|(sx)^*(sx)\| =\|x^*s^*sx\| =\|x^*x\| =\|x\|^2.$ Jadi operator perkalian kiri $L_s\colon x\mapsto sx$ mempertahankan norma. Secara setara, jika $\pi\colon A\to\mathfrak{L}(H)$ suatu representasi- $*$ setia, maka untuk setiap $\xi\in H$ , $\|\pi(s)\xi\|^2 =\langle\pi(s)^*\pi(s)\xi,\xi\rangle =\langle\pi(s^*s)\xi,\xi\rangle =\|\xi\|^2.$ Maka $\pi(s)$ adalah operator isometrik, yang menjelaskan terminologinya. Syarat $s^*s=1$ tidak memaksa $ss^*=1$ , sehingga isometri ini tidak harus surjektif; geser unilateral adalah contoh standar.