Solusi Bab 7: Operator Kompak

Komponen solusi asli terpisah, CC BY-SA 4.0. Ditulis dengan bantuan OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra, atas arahan pengguna. Pernyataan latihan berasal dari edisi terjemahan karya John M. Erdman; solusi ini bukan tulisan beliau dan tidak menyiratkan dukungan beliau atau Portland State University.

Solusi 1

Terhubung ke latihan pada reader teks sumber. Solusi ini merupakan komponen asli terpisah.

Identitas dan ikatan provenans

ID solusi: O001-FAOA-2015-CH07-EX-001-SOLUTION
ID latihan sumber: FAOA-2015-CH07-NODE-0045
SHA-256 pernyataan terjemahan: d34a802dca82cf381a646022b8b8cec4c40d52cfbb09ae67d5a13d39e1d48396

Pernyataan latihan sumber

Misalkan $(S, \mathcal{A},\mu)$ suatu ruang ukur $\sigma$ -hingga dan $\phi \in L_\infty(\mu)$ . Tentukan dekomposisi polar dari operator perkalian $M_\phi$ (lihat contoh 5.2.15).

Jawaban ringkas

Pada $L_2(S,\mu)$ , misalkan $E=\{s:|\phi(s)|>0\}$ hingga himpunan nol dan definisikan $u(s)=\begin{cases}\phi(s)/|\phi(s)|,&s\in E,\\0,&s\notin E.\end{cases}$ Maka $|M_\phi|=M_{|\phi|},\qquad M_\phi=M_uM_{|\phi|},$ dan $M_u$ adalah isometri parsial dengan proyeksi awal sekaligus proyeksi akhir $M_{\mathbf1_E}$ .

Penyelesaian lengkap

Dari Contoh 5.2.15, ${M_\phi}^*=M_{\overline\phi}$ . Oleh karena itu ${M_\phi}^*M_\phi=M_{|\phi|^2} \quad\text{dan}\quad |M_\phi|=({M_\phi}^*M_\phi)^{1/2}=M_{|\phi|},$ karena $M_{|\phi|}$ positif dan kuadratnya $M_{|\phi|^2}$ .

Fungsi $u$ terukur, terbatas secara esensial, dan $|u|^2=\mathbf1_E$ hampir di mana-mana. Maka $M_u^*M_u=M_{|u|^2}=M_{\mathbf1_E},$ sebuah proyeksi ortogonal; jadi $M_u$ isometri parsial. Perhitungan titik demi titik memberi $M_uM_{|\phi|}=M_{u|\phi|}=M_\phi.$ Kernel $M_\phi$ terdiri atas kelas fungsi yang nol hampir di mana-mana pada $E$ , sehingga komplemen ortogonalnya adalah $L_2(E)$ , yakni jangkauan $M_{\mathbf1_E}$ . Ini ruang awal $M_u$ .

Untuk memeriksa ruang akhir yang disyaratkan dekomposisi polar, ambil $g\in L_2(E)$ dan tetapkan $g_n=g\mathbf1_{\{|\phi|\ge1/n\}}$ . Maka $g_n\to g$ dalam $L_2$ melalui konvergensi terdominasi, sedangkan $g_n=M_\phi\left(\frac{g_n}{\phi}\right) \quad\text{dan}\quad \frac{g_n}{\phi}\in L_2.$ Jadi $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}M_\phi}=L_2(E)$ . Karena $M_uM_u^*=M_{\mathbf1_E}$ , ruang akhir $M_u$ juga $L_2(E)$ . Semua syarat dekomposisi polar, termasuk kasus $\phi=0$ hampir di mana-mana, telah terpenuhi.