Solusi Bab 9: Ruang Vektor Topologis

Komponen solusi asli terpisah, CC BY-SA 4.0. Ditulis dengan bantuan OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra, atas arahan pengguna. Pernyataan latihan berasal dari edisi terjemahan karya John M. Erdman; solusi ini bukan tulisan beliau dan tidak menyiratkan dukungan beliau atau Portland State University.

Solusi 1

Terhubung ke latihan pada reader teks sumber. Solusi ini merupakan komponen asli terpisah.

Identitas dan ikatan provenans

ID solusi: O001-FAOA-2015-CH09-EX-001-SOLUTION
ID latihan sumber: FAOA-2015-CH09-NODE-0072
SHA-256 pernyataan terjemahan: 69f9a89b1b499eb3fee7d7d92605c324b0dabd8f66918754428f27cd5482fdfe

Pernyataan latihan sumber

Jelaskan pula bagaimana proposisi sebelumnya memungkinkan kita mengaitkan suatu ruang lain yang bersifat Hausdorff dengan suatu ruang vektor topologis non-Hausdorff.

Jawaban ringkas

Untuk ruang vektor topologis $X$ , ruang yang terkait secara kanonik adalah Hausdorffisasi $X_{\mathrm H}:=X/\overline{\{\mathbf{0}\}}.$ Ruang ini Hausdorff, dan setiap pemetaan linear kontinu dari $X$ ke ruang vektor topologis Hausdorff berfaktor secara unik melalui pemetaan hasil bagi $X\to X_{\mathrm H}$ .

Penyelesaian lengkap

Misalkan $N=\overline{\{\mathbf{0}\}}$ . Karena penjumlahan, invers aditif, dan perkalian skalar kontinu, tutupan subruang vektor tetap merupakan subruang vektor; jadi $N$ adalah subruang tertutup dari $X$ . Proposisi sebelumnya langsung memberi bahwa ruang hasil bagi $X/N$ dengan topologi hasil bagi bersifat Hausdorff. Hal ini tetap berlaku ketika $X$ sendiri non-Hausdorff; dalam kasus tersebut $N\ne\{\mathbf{0}\}$ .

Konstruksi ini kanonik. Jika $Y$ ruang vektor topologis Hausdorff dan $T:X\to Y$ linear kontinu, maka $\{\mathbf{0}\}$ tertutup dalam $Y$ , sehingga $\ker T=T^{-1}(\{\mathbf{0}\})$ tertutup dalam $X$ . Karena $\mathbf{0}\in\ker T$ , $N=\overline{\{\mathbf{0}\}}\subseteq\ker T.$ Maka rumus $\widetilde T([x])=T(x)$ terdefinisi dengan baik dan memberi pemetaan linear unik $\widetilde T:X/N\to Y$ dengan $T=\widetilde T\circ\pi$ . Kontinuitas $\widetilde T$ mengikuti sifat topologi hasil bagi: untuk setiap himpunan terbuka $O\subseteq Y$ , $\pi^{-1}(\widetilde T^{-1}(O))=T^{-1}(O)$ terbuka. Jadi $X/N$ bukan hanya suatu ruang Hausdorff yang terkait, melainkan hasil bagi Hausdorff universal dari $X$ .