Kekompakan lemah dalam L¹ — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang kita sampai pada

ciri keterintegralan seragam yang paling mencolok: sifat ini memberikan karakterisasi bagi subhimpunan \(L^1\) yang relatif kompak dalam topologi lemah (247C). Saya menempatkannya dalam bagian tersendiri karena pembahasannya memerlukan sedikit pengetahuan tentang analisis fungsional – khususnya, tentu saja, tentang topologi lemah pada ruang Banach. Saya akan berusaha menyajikannya dengan istilah yang dapat dipahami oleh pembaca yang baru mengenal teori ruang bernorma, sebab hasil ini pada hakikatnya merupakan hasil teori ukur dan sekaligus sangat penting bagi penerapan dalam teori peluang. Definisi-definisi pokoknya telah saya tuliskan dalam §§2A3-2A5.

247A

Sebagian argumen untuk teorema utama di bawah akan lebih lancar jika saya terlebih dahulu memisahkan sebuah gagasan yang pada dasarnya merupakan kasus khusus sederhana dari tema yang berulang dalam latihan-latihan bab ini (241Yg, 242Yb, 243Ya, 244Yd).

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(G\) sebarang anggota \(\Sigma\). Misalkan \(\mu_G\) ukuran subruang pada \(G\), sehingga \(\mu_GE=\mu E\) apabila \(E\subseteq G\) dan \(E\in\Sigma\). Tetapkan

\(U=\{u:u\in L^1(\mu),\,u\times\chi G^{\ssbullet}=u\} \subseteq L^1(\mu)\).

Maka terdapat suatu isomorfisme \(S\) antara ruang bernorma terurut \(U\) dan \(L^1(\mu_G)\), yang diberikan oleh

\(S(f^{\ssbullet})=(f\restr G)^{\ssbullet}\)

untuk setiap \(f\in\eusm L^1(\mu)\) dengan \(f^{\ssbullet}\in U\).

Bukti

Pertama-tama perlu dinyatakan secara eksplisit bahwa \(U\) adalah subruang linear dari \(L^1(\mu)\). Integrasi pada subruang telah dibahas dalam §§131 dan 214; khususnya, telah dicatat bahwa \(f\restr G\) terintegralkan dan bahwa

\(\int|f\restr G|d\mu_G =\int|f|\times\chi G\,d\mu\le\int|f|d\mu\)

untuk setiap \(f\in\eusm L^1(\mu)\) (131Fa). Jika \(f\), \(g\in\eusm L^1(\mu)\) dan \(f=g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana, maka \(f\restr G=g\restr G\,\,\mu_G\)-hampir di mana-mana; jadi rumus yang diajukan untuk \(S\) memang mendefinisikan suatu peta dari \(U\) ke \(L^1(\mu_G)\).

Karena

\((f+g)\restr G=(f\restr G)+(g\restr G)\), \((cf)\restr G=c(f\restr G)\)

untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^1(\mu)\) dan semua \(c\in\Bbb R\), \(S\) linear. Karena

\(f\le g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana\(\,\Longrightarrow\, f\restr G\le g\restr G\,\,\mu_G\)-hampir di mana-mana,

\(S\) mempertahankan urutan. Karena \(\int|f\restr G|d\mu_G\le\int|f|d\mu\) untuk setiap \(f\in\eusm L^1(\mu)\), berlaku \(\|Su\|_1\le\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in U\).

Untuk melihat bahwa \(S\) surjektif, ambil sebarang \(v\in L^1(\mu_G)\). Nyatakan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\) dengan \(g\in\eusm L^1(\mu_G)\). Menurut 131E, \(f\in\eusm L^1(\mu)\), dengan \(f(x)=g(x)\) untuk \(x\in\dom g\) dan \(0\) untuk \(x\in X\setminus G\); akibatnya \(f^{\ssbullet}\in U\), \(f\restr G=g\), dan \(v=S(f^{\ssbullet})\in S[U]\).

Untuk melihat bahwa \(S\) mempertahankan norma, perhatikan bahwa untuk setiap \(f\in\eusm L^1(\mu)\),

\(\int|f\restr G|d\mu_G =\int |f|\times\chi G\,d\mu\),

sehingga, jika \(u=f^{\ssbullet}\in U\), diperoleh

\(\|Su\|_1 =\int|f\restr G|d\mu_G =\int|f|\times\chi G\,d\mu =\|u\times\chi G^{\ssbullet}\|_1 =\|u\|_1\).

247B Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur dan \(G\in\Sigma\) suatu himpunan terukur yang dapat dinyatakan sebagai gabungan terhitung dari himpunan-himpunan berukuran hingga. Definisikan \(U\) seperti dalam 247A, dan misalkan \(h:L^1(\mu)\to\Bbb R\) sebarang fungsional linear kontinu. Maka terdapat \(v\in L^{\infty}(\mu)\) sedemikian sehingga \(h(u)=\int u\times v\,d\mu\) untuk setiap \(u\in U\).

Bukti

Misalkan \(S:U\to L^1(\mu_G)\) isomorfisme yang diuraikan dalam 247A. Karena \(S^{-1}:L^1(\mu_G)\to U\) linear dan kontinu, \(h_1=hS^{-1}\) merupakan anggota dual ruang bernorma \((L^1(\mu_G))^*\) dari \(L^1(\mu_G)\). Ukuran \(\mu_G\) tentu saja bersifat \(\sigma\)-hingga, dan karena itu dapat dilokalkan (211L), sehingga menurut 243Gb terdapat \(v_1\in L^{\infty}(\mu_G)\) sedemikian sehingga

\(h_1(u)=\int u\times v_1d\mu_G\)

untuk setiap \(u\in L^1(\mu_G)\).

Nyatakan \(v_1\) sebagai \(g_1^{\ssbullet}\), dengan \(g_1:G\to\Bbb R\) fungsi terukur terbatas. Tetapkan \(g(x)=g_1(x)\) untuk \(x\in G\), dan \(0\) untuk \(x\in X\setminus G\); maka \(g:X\to\Bbb R\) adalah fungsi terukur terbatas dan \(v=g^{\ssbullet}\in L^{\infty}(\mu)\). Jika \(u\in U\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dengan \(f\in\eusm L^1(\mu)\); maka

\[\begin{aligned}h(u) &=h(S^{-1}Su) =h_1((f\restr G)^{\ssbullet}) =\int(f\restr G)\times g_1d\mu_G\\ &=\int(f\times g)\restr G\,d\mu_G =\int f\times g\times\chi G\,d\mu =\int f\times g\,d\mu =\int u\times v.\\\end{aligned}\]

Karena \(u\) sebarang, hasilnya terbukti.

247C Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(L^1={L}^1(\mu)\). Maka \(A\) dapat diintegralkan secara seragam jika dan hanya jika himpunan tersebut relatif kompak dalam \(L^1\) untuk topologi lemah pada \(L^1\).

Bukti

(a) Andaikan \(A\) relatif kompak dalam topologi lemah. Saya akan menunjukkan bahwa himpunan tersebut memenuhi syarat (iii) dalam 246G.

(i) Jika \(F\in\Sigma\), tentu saja \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\), karena \(u\mapsto\int_Fu\) termasuk dalam \((L^1)^*\), dan untuk setiap \(h\in (L^1)^*\) citra suatu himpunan yang relatif kompak dalam topologi lemah di bawah \(h\) harus terbatas (2A5Ie).

(ii) Sekarang andaikan \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan himpunan yang saling lepas dalam \(\Sigma\). Andaikan, jika mungkin, bahwa

\(\sequencen{\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|}\)

tidak konvergen ke \(0\). Maka terdapat suatu barisan naik tegas \(\sequence{k}{n(k)}\) dalam \(\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(\gamma =\Bover12\inf_{k\in\Bbb N}\sup_{u\in A}|\int_{F_{n(k)}}u|>0\).

Untuk setiap \(k\), pilih \(u_k\in A\) sedemikian sehingga \(|\int_{F_{n(k)}}u_k|\ge\gamma\). Karena \(A\) relatif kompak dalam topologi lemah, terdapat suatu titik klaster \(u\) dari \(\sequence{k}{u_{k}}\) dalam \(L^1\) untuk topologi lemah (2A3Ob). Tetapkan \(\eta_j=2^{-j}\gamma/6>0\) untuk setiap \(j\in\Bbb N\).

Sekarang kita dapat memilih secara induktif suatu barisan naik tegas \(\sequence{j}{k(j)}\) sedemikian sehingga, untuk setiap \(j\),

\(\int_{F_{n(k(j))}}(|u|+\sum_{i=0}^{j-1}|u_{k(i)}|) \le\eta_j\)

\(\sum_{i=0}^{j-1} |\int_{F_{n(k(i))}}u-\int_{F_{n(k(i))}}u_{k(j)}|\le\eta_j\)

untuk setiap \(j\), dengan \(\sum_{i=0}^{-1}\) ditafsirkan sebagai \(0\). Bukti. Andaikan \(\langle k(i)\rangle_{i<j}\) telah dipilih, dan tetapkan \(v^*=|u|+\sum_{i=0}^{j-1}|u_{k(i)}|\). Maka \(\lim_{k\to\infty}\int_{F_{n(k)}}v^*=0\), misalnya menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. Karena itu terdapat \(k^*\) sedemikian sehingga \(k^*>k(i)\) untuk setiap \(i<j\) dan \(\int_{F_{n(k)}}v^*\le\eta_j\) untuk setiap \(k\ge k^*\). Selanjutnya, peta

\(w\mapsto\sum_{i=0}^{j-1} |\int_{F_{n(k(i))}}u-\int_{F_{n(k(i))}}w|:L^1\to\Bbb R\)

kontinu dalam topologi lemah pada \(L^1\) dan bernilai nol di \(u\). Karena \(u\) merupakan titik klaster dari setiap ekor \(\{u_{k}:k\ge k^*\}\), terdapat \(k(j)\ge k^*\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^{j-1}|\int_{F_{n(k(i))}}u- \int_{F_{n(k(i))}}u_{k(j)}|<\eta_j\). Ini melanjutkan konstruksi. ∎

Misalkan \(v\) sebarang titik klaster dalam \(L^1\), untuk topologi lemah, dari \(\sequence{j}{u_{k(j)}}\). Dengan menetapkan \(G_i=F_{n(k(i))}\), kita mempunyai \(|\int_{G_i}u-\int_{G_i}u_{k(j)}|\le\eta_j\) apabila \(i<j\). Jadi, \(\lim_{j\to\infty}\int_{G_i}u_{k(j)}\) ada \(=\int_{G_i}u\) untuk setiap \(i\), serta \(\int_{G_i}v=\int_{G_i}u\) untuk setiap \(i\); dengan menetapkan \(G=\bigcup_{i\in\Bbb N}G_i\),

\(\int_Gv=\sum_{i=0}^{\infty}\int_{G_i}v =\sum_{i=0}^{\infty}\int_{G_i}u=\int_Gu\),

berdasarkan 232D, karena \(\sequence{i}{G_i}\) saling lepas.

Untuk setiap \(j\in\Bbb N\),

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^{j-1}|\int_{G_i}u_{k(j)}| &+\sum_{i=j+1}^{\infty}|\int_{G_i}u_{k(j)}|\\ &\le\sum_{i=0}^{j-1}\int_{G_i}|u| +\sum_{i=0}^{j-1}|\int_{G_i}u-\int_{G_i}u_{k(j)}| +\sum_{i=j+1}^{\infty}\int_{G_i}|u_{k(j)}|\\ &\le\sum_{i=0}^{j-1}\eta_i+\eta_j+\sum_{i=j+1}^{\infty}\eta_i =\sum_{i=0}^{\infty}\eta_i =\Bover{\gamma}{3}.\\\end{aligned}\]

Di sisi lain, \(|\int_{G_j}u_{k(j)}|\ge\gamma\). Karena itu

\(|\int_Gu_{k(j)}| =|\sum_{i=0}^{\infty}\int_{G_i}u_{k(j)}| \ge\Bover23\gamma\).

Pernyataan ini berlaku untuk setiap \(j\). Karena setiap himpunan terbuka lemah yang memuat \(v\) beririsan dengan \(\{u_{k(j)}:j\in\Bbb N\}\), kita memperoleh \(|\int_Gv|\ge\bover23\gamma\) dan \(|\int_Gu|\ge\bover23\gamma\). Akan tetapi,

\(|\int_Gu| =|\sum_{i=0}^{\infty}\int_{G_i}u| \le\sum_{i=0}^{\infty}\int_{G_i}|u| \le\sum_{i=0}^{\infty}\eta_i =\Bover{\gamma}{3}\),

suatu kemustahilan.

Kontradiksi ini menunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|=0\). Karena \(\sequencen{F_n}\) sebarang, \(A\) memenuhi syarat 246G(iii), sehingga dapat diintegralkan secara seragam.

(b) Sekarang andaikan \(A\) dapat diintegralkan secara seragam. Saya akan mencari suatu himpunan \(C\supseteq A\) yang kompak secara lemah.

(i) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(E_n\in\Sigma\) dan \(M_n\ge 0\) sedemikian sehingga \(\mu E_n<\infty\) dan \(\int(|u|-M_n\chi E_n^{\ssbullet})^+\le 2^{-n}\) untuk setiap \(u\in A\). Tetapkan

\(C=\{v:v\in L^1,\,|\int_Fv|\le M_n\mu(F\cap E_n) +2^{-n}\Forall n\in\Bbb N,\,F\in\Sigma\}\),

dan perhatikan bahwa \(A\subseteq C\). Memang, jika \(u\in A\) dan \(F\in\Sigma\), maka

\(|\int_Fu| \le\int_F(|u|-M_n\chi E_n^{\ssbullet})^++\int_FM_n\chi E_n^{\ssbullet} \le 2^{-n}+M_n\mu(F\cap E_n)\)

untuk setiap \(n\). Perhatikan pula bahwa \(C\) terbatas dalam norma \(\|\,\|_1\), karena

\(\|u\|_1\le 2\sup_{F\in\Sigma}|\int_Fu| \le 2\sup_{F\in\Sigma}(1+M_0\mu(F\cap E_0))\le 2(1+M_0\mu E_0)\)

untuk setiap \(u\in C\) (menggunakan 246F).

(ii) Karena teorema ini hendak dibuktikan untuk ruang ukur sebarang \((X,\Sigma,\mu)\), kita tidak dapat menggunakan 243G untuk mengidentifikasi dual \(L^1\). Meskipun demikian, 247B di atas menunjukkan bahwa 243Gb ‘hampir’ berlaku, dalam arti berikut: jika \(h\in(L^1)^*\), terdapat \(v\in L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(h(u)=\int u\times v\) untuk setiap \(u\in C\). Bukti. Tetapkan \(G=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\), dan definisikan \(U\subseteq L^1\) seperti dalam 247A-247B. Menurut 247B, terdapat \(v\in L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(h(u)=\int u\times v\) untuk setiap \(u\in U\). Jika \(u\in C\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\) dengan \(f:X\to\Bbb R\) terukur. Jika \(F\in\Sigma\) dan \(F\cap G=\emptyset\), maka

\(|\int_Ff|=|\int_Fu|\le 2^{-n}+M_n\mu(F\cap E_n) =2^{-n}\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\), sehingga \(\int_Ff=0\). Akibatnya, \(f=0\) hampir di mana-mana pada \(X\setminus G\) (131Fc), jadi \(f\times\chi G\eae f\) dan \(u=u\times\chi G^{\ssbullet}\); dengan kata lain, \(u\in U\), dan \(h(u)=\int u\times v\), seperti yang diperlukan. ∎

(iii) Dengan demikian kita dapat melanjutkan dengan suatu deskripsi yang memadai, bukan tentang \((L^1(\mu))^*\) itu sendiri, melainkan tentang tindakannya pada \(C\).

Misalkan \(\Cal F\) sebarang ultrafilter pada \(L^1\) yang memuat \(C\) (lihat 2A3R). Untuk setiap \(F\in\Sigma\), tetapkan

\(\nu F=\lim_{u\to\Cal F}\int_Fu\);

karena

\(\sup_{u\in C}|\int_Fu|\le\sup_{u\in C}\|u\|_1<\infty\),

nilai ini terdefinisi dengan baik dalam \(\Bbb R\) (2A3S(e-ii)). Jika \(E\), \(F\) adalah anggota \(\Sigma\) yang saling lepas, maka \(\int_{E\cup F}u=\int_Eu+\int_Fu\) untuk setiap \(u\in C\), sehingga

\(\nu(E\cup F) =\lim_{u\to\Cal F}\int_{E\cup F}u =\lim_{u\to\Cal F}\int_{E}u+\lim_{u\to\Cal F}\int_{F}u =\nu E+\nu F\)

(2A3Sf). Jadi \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\) aditif. Selanjutnya, fungsional ini kontinu sejati terhadap \(\mu\). Bukti. Diberikan \(\epsilon>0\), ambil \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(2^{-n}\le\bover12\epsilon\), tetapkan \(\delta=\epsilon/2(M_n+1)>0\), dan perhatikan bahwa

\(|\nu F|\le\sup_{u\in C}|\int_Fu| \le 2^{-n}+M_n\mu(F\cap E_n)\le\epsilon\)

apabila \(\mu(F\cap E_n)\le\delta\). ∎ Menurut Teorema Radon-Nikodým (232E), terdapat \(f_0\in{\eusm L}^1\) sedemikian sehingga \(\int_Ff_0=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Sigma\). Tetapkan \(u_0=f_0^{\ssbullet}\in L^1\). Jika \(n\in\Bbb N\) dan \(F\in\Sigma\), maka

\(|\int_Fu_0| =|\nu F|\le\sup_{u\in C}|\int_Fu|\le 2^{-n}+M_n\mu(F\cap E_n)\),

sehingga \(u_0\in C\).

(iv) Pokoknya ialah bahwa \(\Cal F\) konvergen ke \(u_0\). Bukti. Misalkan \(h\in(L^1)^*\). Maka terdapat \(v\in L^{\infty}\) sedemikian sehingga \(h(u)=\int u\times v\) untuk setiap \(u\in C\). Nyatakan \(v\) sebagai \(g^{\ssbullet}\), dengan \(g:X\to\Bbb R\) suatu fungsi terbatas dan terukur terhadap \(\Sigma\). Ambil \(\epsilon>0\). Pilih \(a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\) sedemikian sehingga \(a_{i+1}-a_i\le\epsilon\) untuk setiap \(i\), sementara \(a_0\le g(x)<a_n\) untuk setiap \(x\in X\). Tetapkan \(F_i=\{x:a_{i-1}\le g(x)<a_i\}\) untuk \(1\le i\le n\), serta tetapkan \(\tilde g=\sum_{i=1}^na_i\chi F_i\) dan \(\tilde v=\tilde g^{\ssbullet}\); maka \(\|\tilde v-v\|_{\infty}\le\epsilon\). Kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int u_0\times\tilde v &=\sum_{i=1}^na_i\int_{F_i}u_0 =\sum_{i=1}^na_i\nu F_i\\ &=\sum_{i=1}^{n}a_i\lim_{u\to\Cal F}\int_{F_i}u =\lim_{u\to\Cal F}\sum_{i=1}^na_i\int_{F_i}u =\lim_{u\to\Cal F}\int u\times\tilde v.\\\end{aligned}\]

Akibatnya,

\[\begin{aligned}\limsup_{u\to\Cal F}|\int u\times v-\int u_0\times v| &\le|\int u_0\times v-\int u_0\times \tilde v| +\sup_{u\in C}|\int u\times v-\int u\times\tilde v|\\ &\le\|u_0\|_1\|v-\tilde v\|_{\infty} +\sup_{u\in C}\|u\|_1\|v-\tilde v\|_{\infty}\\ &\le2\epsilon\sup_{u\in C}\|u\|_1.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\[\begin{aligned}\limsup_{u\to\Cal F}|h(u)-h(u_0)| &=\limsup_{u\to\Cal F}|\int u\times v-\int u_0\times v| =0.\\\end{aligned}\]

Karena \(h\) sebarang, \(u_0\) merupakan limit \(\Cal F\) di \(C\) dalam topologi lemah pada \(L^1\). ∎

Karena \(\Cal F\) sebarang, \(C\) kompak secara lemah dalam \(L^1\), dan bukti selesai.

247D Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) sebarang dua ruang ukur, dan \(T:L^1(\mu)\to L^1(\nu)\) suatu operator linear kontinu. Maka \(T[A]\) merupakan subhimpunan \(L^1(\nu)\) yang dapat diintegralkan secara seragam setiap kali \(A\) merupakan subhimpunan \(L^1(\mu)\) yang dapat diintegralkan secara seragam.

247E \(L^1\) kompleks

Tidak ada kesulitan ataupun kejutan dalam membuktikan 247C bagi \(L^1_{\Bbb C}\). Jika kita mengikuti bukti yang sama, semuanya tetap berlaku; tentu saja, kita harus ingat untuk mengubah konstanta ketika menerapkan 246F, atau lebih tepatnya 246K, pada bagian (b-i) dari bukti.

Latihan

247X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq L^1=L^1(\mu)\) relatif kompak dalam topologi lemah, maka \(\{v:v\in L^1,\,|v|\le |u|\) untuk suatu \(u\in A\}\) juga relatif kompak dalam topologi lemah.

247Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Pada \(L^1=L^1(\mu)\), definisikan pseudometrik \(\rho_F\), \(\rho'_w\) untuk \(F\in\Sigma\), \(w\in L^{\infty}(\mu)\) dengan menetapkan \(\rho_F(u,v)=|\int_Fu-\int_Fv|\), \(\rho'_w(u,v)=|\int u\times w-\int v\times w|\) untuk \(u\), \(v\in L^1\). Tunjukkan bahwa pada sebarang subhimpunan yang terbatas dalam norma \(\|\,\|_1\) dari \(L^1\), topologi yang didefinisikan oleh \(\{\rho_F:F\in\Sigma\}\) sama dengan topologi yang dibangkitkan oleh \(\{\rho'_w:w\in L^{\infty}\}\).

247Xc (>c) penting

Tunjukkan bahwa untuk sebarang himpunan \(X\), suatu subhimpunan dari \(\ell^1=\ell^1(X)\) kompak dalam topologi lemah pada \(\ell^1\) jika dan hanya jika subhimpunan itu kompak dalam topologi norma pada \(\ell^1\). Petunjuk: 246Xd.

247Xd (d)

Gunakan argumen (a-ii) dalam bukti 247C untuk menunjukkan secara langsung bahwa jika \(A\subseteq\ell^1(\Bbb N)\) kompak lemah, maka \(\inf_{n\in\Bbb N}|u_n(n)|=0\) bagi setiap barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\).

247Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(T:L^2(\nu)\to L^1(\mu)\) sebarang operator linear terbatas. Tunjukkan bahwa \(\{Tu:u\in L^2(\nu),\,\|u\|_2\le 1\}\) dapat diintegralkan secara seragam dalam \(L^1(\mu)\). Petunjuk: gunakan 244K untuk melihat bahwa \(\{u:\|u\|_2\le 1\}\) kompak lemah dalam \(L^2(\nu)\).

247Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Ambil \(1<p<\infty\) dan \(M\ge 0\), lalu tetapkan \(A=\{u:u\in L^p=L^p(\mu),\,\|u\|_p\le M\}\). Tuliskan \(\frak S_A\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada \(A\), yakni topologi subruang yang diinduksi oleh topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0(\mu)\). Tunjukkan bahwa jika \(h\in(L^p)^*\), maka \(h\restr A\) kontinu terhadap \(\frak S_A\); jadi, jika \(\frak T\) adalah topologi lemah pada \(L^p\), topologi subruang \(\frak T_A\) termuat dalam \(\frak S_A\).

247Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^1=L^1(\mu)\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int_Fu_n\) terdefinisi untuk setiap \(F\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\) konvergen lemah. Petunjuk: 246Yh.

Catatan dan komentar

247-notes Catatan penutup untuk Bagian 247

Dalam 247D dan 247Xa saya berusaha menunjukkan kekuatan identifikasi antara kekompakan lemah dan keterintegralan seragam. Bahwa citra kontinu suatu himpunan yang kompak secara lemah harus kompak secara lemah merupakan hal lumrah dalam analisis fungsional; bahwa selubung solid suatu himpunan yang dapat diintegralkan secara seragam juga dapat diintegralkan secara seragam langsung mengikuti definisi. Namun, saya tidak melihat argumen sederhana yang menunjukkan bahwa citra kontinu suatu himpunan yang dapat diintegralkan secara seragam harus dapat diintegralkan secara seragam, atau bahwa selubung solid suatu himpunan yang kompak secara lemah harus relatif kompak dalam topologi lemah. (Untuk pernyataan pertama memang ada cara lain; lihat 371Xf dalam jilid berikutnya.)

Ada dua gagasan penting dalam bukti 247C. Gagasan pertama, dalam bagian (a-ii) dari bukti, berupa manipulasi barisan secara cermat; inilah argumen yang diperlukan untuk menunjukkan bahwa suatu subhimpunan dari \(\ell^1\) yang kompak secara lemah juga kompak dalam norma. (Mungkin akan membantu jika Anda menuliskan penyelesaian 247Xd.) Himpunan \(F_{n(k)}\) dan vektor \(u_k\) dipilih untuk meniru keadaan ketika terdapat suatu barisan dalam \(\ell^1\) dengan \(u_k(k)=1\) untuk setiap \(k\). Indeks \(k(i)\) dipilih agar ‘tonjolan’ itu bergerak cukup cepat, sehingga \(u_{k(j)}(k(i))\) sangat kecil apabila \(i\ne j\). Akan tetapi, ini berarti \(\sum_{i=0}^{\infty}u_{k(j)}(k(i))\) (yang bersesuaian dengan \(\int_Gu_{k(j)}\) dalam bukti) selalu cukup besar, sedangkan \(\sum_{i=0}^{\infty}v(k(i))\) akan kecil bagi setiap calon titik klaster \(v\) dari \(\sequence{j}{u_{k(j)}}\). Saya menggunakan teknik serupa dalam §246; bandingkan 246Yg.

Pada bagian lain dari bukti 247C, strateginya lebih jelas. Anggota \(L^1\) bersesuaian dengan fungsional kontinu sejati pada \(\Sigma\); keterintegralan seragam dari \(C\) membuat himpunan fungsional yang bersesuaian ‘kontinu sejati secara seragam’, sehingga setiap fungsional batas juga kontinu sejati dan, melalui Teorema Radon-Nikodým, memberikan suatu anggota \(L^1\). Argumen aproksimasi langsung ((b-iv) dalam bukti, dan 247Xb) menunjukkan bahwa \(\lim_{u\in\Cal F}\int u\times w=\int v\times w\) untuk setiap \(w\in L^{\infty}\). Bagi ukuran \(\mu\) yang dapat dilokalkan, ini akan menyelesaikan bukti. Dalam kasus umum kita memerlukan satu langkah lagi, yang di sini dilakukan dalam 247A-247B; suatu subhimpunan \(L^1\) yang dapat diintegralkan secara seragam secara efektif hidup pada bagian \(\sigma\)-hingga dari ruang ukur, sehingga kita dapat mengabaikan bagian lainnya dan mengandaikan bahwa ruang ukur tersebut dapat dilokalkan.

Syarat (ii)-(iv) dalam 246G memperlihatkan bahwa kekompakan lemah dalam \(L^1\) dapat dibahas secara efektif dengan barisan; lihat juga 246Yh. Perlu dicatat bahwa ini merupakan ciri umum kekompakan lemah dalam ruang Banach (2A5J). Tentu saja, rumusan dengan barisan saling lepas dalam 246G merupakan ciri khas \(L^1\) – maksud saya, meskipun ada hasil serupa yang berlaku di tempat lain (lihat Fremlin 74, bab. 8), gagasan-gagasannya tampak paling jelas dan paling kuat ketika diterapkan pada \(L^1\).