Topologi umum

2A3A Topologi

Pertama-tama kita perlu mengetahui apa yang dimaksud dengan ‘ topologi’. Jika \(X\) adalah sebarang himpunan, sebuah topologi pada \(X\) adalah keluarga \(\frak T\) dari himpunan bagian \(X\) sedemikian sehingga (i) \(\emptyset\), \(X\in\frak T\) (ii) jika \(G\), \(H\in\frak T\) maka \(G\cap H\in\frak T\) (iii) jika \(\Cal G\subseteq\frak T\) maka \(\bigcup\Cal G\in\frak T\) (bdk. 1A2B). Pasangan \((X,\frak T)\) kini merupakan sebuah ruang topologis. Dalam konteks ini, anggota-anggota \(\frak T\) disebut terbuka, dan komplemennya (dalam \(X\)) disebut tertutup (bdk. 1A2E-1A2F).

2A3B Fungsi kontinu (a)

Jika \((X,\frak T)\) dan \((Y,\frak S)\) adalah ruang topologis, sebuah fungsi \(\phi:X\to Y\) disebut kontinu jika \(\phi^{-1}[G]\in\frak T\) untuk setiap \(G\in\frak S\). (Menurut 2A2Ca di atas, definisi ini konsisten dengan definisi kontinuitas \(\epsilon\)-\(\delta\) untuk fungsi dari satu ruang Euklides ke ruang Euklides lain. Lihat juga 2A3H di bawah.)

2A3Bb (b)

Jika \((X,\frak T)\), \((Y,\frak S)\) dan \((Z,\frak U)\) adalah ruang topologis, sedangkan \(\phi:X\to Y\) dan \(\psi:Y\to Z\) kontinu, maka \(\psi\phi:X\to Z\) kontinu. Bukti. Jika \(G\in\frak U\) maka \(\psi^{-1}[G]\in\frak S\), sehingga \((\psi\phi)^{-1}[G]=\phi^{-1}[\psi^{-1}[G]]\in\frak T\). ∎

2A3Bc (c)

Jika \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis, sebuah fungsi \(f:X\to\Bbb R\) kontinu jika dan hanya jika \(\{x:a<f(x)<b\}\) terbuka setiap kali \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Bukti. (i) Setiap interval \(\ooint{a,b}\) terbuka dalam \(\Bbb R\), sehingga jika \(f\) kontinu, prabentuknya \(\{x:a<f(x)<b\}\) harus terbuka. (ii) Misalkan \(f^{-1}[\,\ooint{a,b}\,]\) terbuka setiap kali \(a<b\), dan misalkan \(H\subseteq\Bbb R\) sebarang himpunan terbuka. Menurut definisi himpunan ‘terbuka’ dalam \(\Bbb R\) (1A2A), \[\begin{aligned}H& =\bigcup\{\ooint{y-\delta,y+\delta}:y\in\Bbb R,\,\delta>0,\, \ooint{y-\delta,y+\delta}\subseteq H\},\\\end{aligned}\] sehingga \(f^{-1}[H]= \bigcup\{f^{-1}[\,\ooint{y-\delta,y+\delta}\,]:y\in\Bbb R,\,\delta>0,\, \ooint{y-\delta,y+\delta}\subseteq H\}\) merupakan gabungan himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\), sehingga terbuka. ∎

2A3Bd (d)

Jika \(r\ge 1\), \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis, dan \(\phi:X\to\BbbR^r\) adalah sebuah fungsi, maka \(\phi\) kontinu jika dan hanya jika \(\phi_i:X\to\Bbb R\) kontinu untuk setiap \(i\le r\), dengan \(\phi(x)=(\phi_1(x),\ldots,\phi_r(x))\) untuk setiap \(x\in X\). Bukti. (i) Misalkan \(\phi\) kontinu. Untuk \(i\le r\), \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\), tetapkan \(\pi_i(y)=\eta_i\). Maka \(|\pi_i(y)-\pi_i(z)|\le\|y-z\|\) untuk semua \(y\), \(z\in\BbbR^r\) sehingga \(\pi_i:\BbbR^r\to\Bbb R\) kontinu. Akibatnya \(\phi_i=\pi_i\phi\) kontinu menurut (b) di atas. (ii) Misalkan setiap \(\phi_i\) kontinu, dan \(H\subseteq\BbbR^r\) terbuka. Tetapkan \(\Cal G =\{G:G\subseteq X\) terbuka, \(G\subseteq\phi^{-1}[H]\}\). Maka \(G_0=\bigcup\Cal G\) terbuka, dan \(G_0\subseteq \phi^{-1}[H]\). Namun, misalkan \(x_0\) sebarang titik dalam \(\phi^{-1}[H]\). Ada \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(\phi(x_0),\delta)\subseteq H\), karena \(H\) terbuka dan berisi \(\phi(x_0)\). Untuk \(1\le i\le r\) atur \(V_i=\{x:\phi_i(x_0)-\bover{\delta}{\sqrt{r}} <\phi_i(x)<\phi_i(x_0)+\bover{\delta}{\sqrt{r}}\}\); maka \(V_i\) adalah gambar kebalikan dari himpunan terbuka di bawah peta kontinu \(\phi_i\), sehingga terbuka. Tetapkan \(G=\bigcap_{i\le r}V_i\). Maka \(G\) terbuka (menggunakan (ii) dalam definisi 2A3A), \(x_0\in G\), dan \(\|\phi(x)-\phi(x_0)\|<\delta\) untuk setiap \(x\in G\), sehingga \(G\subseteq\phi^{-1}[H]\), \(G\in\Cal G\) dan \(x_0\in G_0\). Ini menunjukkan bahwa \(\phi^{-1}[H]=G_0\) terbuka. Karena \(H\) sebarang, \(\phi\) kontinu. ∎

2A3Be (e)

Jika \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis, \(f_1,\ldots,f_r\) adalah fungsi kontinu dari \(X\) ke \(\Bbb R\), dan \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) kontinu, maka \(h(f_1,\ldots,f_r):X\to\Bbb R\) kontinu. Bukti. Tetapkan \(\phi(x)=(f_1(x),\ldots,f_r(x))\in\BbbR^r\) untuk \(x\in X\). Dengan (d), \(\phi\) kontinu, jadi 2A3Bb \(h(f_1,\ldots,f_r)=h\phi\) adalah kontinu. ∎ Secara khusus, \(f+g\), \(f\times g\) dan \(f-g\) kontinu untuk semua fungsi kontinu \(f\), \(g:X\to\Bbb R\).

2A3Bf (f)

Jika \((X,\frak T)\) dan \((Y,\frak S)\) adalah ruang topologis dan \(\phi:X\to Y\) adalah fungsi kontinu, maka \(\phi^{-1}[F]\) tertutup dalam \(X\) untuk setiap himpunan tertutup \(F\subseteq Y\). (Sebab \(X\setminus\phi^{-1}[F]=\phi^{-1}[Y\setminus F]\) terbuka.)

2A3C Topologi subruang

Jika \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis dan \(D\subseteq X\), maka \(\frak T_D=\{G\cap D:G\in\frak T\}\) adalah topologi di \(D\). Bukti. (i) \(\emptyset=\emptyset\cap D\) dan \(D=X\cap D\) milik \(\frak T_D\). (ii) Jika \(G\), \(H\in\frak T_D\) ada \(G'\), \(H'\in\frak T\) sehingga \(G=G'\cap D\), \(H=H'\cap D\); sekarang \(G\cap H=G'\cap H'\cap D\in\frak T_D\). (iii) Jika \(\Cal G\subseteq\frak T_D\), tetapkan \(\Cal H=\{H:H\in\frak T,\,H\cap D\in\Cal G\}\); maka \(\bigcup\Cal G=(\bigcup\Cal H)\cap D\in\frak T_D\). ∎

\(\frak T_D\) disebut topologi subruang pada \(D\), atau topologi pada \(D\) yang diinduksi oleh \(\frak T\). Jika \((Y,\frak S)\) adalah ruang topologis lain, dan \(\phi:X\to Y\) kontinu terhadap \((\frak T,\frak S)\), maka \(\phi\restr D:D\to Y\) kontinu terhadap \((\frak T_D,\frak S)\). (Sebab jika \(H\in\frak S\) maka \((\phi\restr D)^{-1}[H]=D\cap\phi^{-1}[H]\in\frak T_D\).)

2A3D Penutupan dan interior (a)

Dalam bukti 2A3Bd saya telah menggunakan gagasan berikut. Misalkan \((X,\frak T)\) sebarang ruang topologis dan \(A\) sebarang himpunan bagian dari \(X\). Tuliskan

Maka \(\interior A\) adalah himpunan terbuka, karena merupakan gabungan himpunan-himpunan terbuka, dan tentu saja termuat dalam \(A\); dengan demikian ia harus merupakan himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam \(A\), dan disebut interior dari \(A\).

2A3Db (b)

Karena suatu himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemennya terbuka, kita mempunyai gagasan yang saling melengkapi:

\[\begin{aligned}\overline{A} &=\bigcap\{F:F\text{ tertutup},\,A\subseteq F\}\\ &=X\setminus\bigcup\{X\setminus F:F\text{ tertutup},\,A\subseteq F\}\\ &=X\setminus\bigcup\{G:G\text{ terbuka},\,A\cap G=\emptyset\}\\ &=X\setminus\bigcup\{G:G\text{ terbuka},\,G\subseteq X\setminus A\} =X\setminus\interior(X\setminus A).\\\end{aligned}\]

\(\overline{A}\) adalah tertutup (sebagai komplemen suatu himpunan terbuka) dan merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\); himpunan ini disebut penutupan dari \(A\). (Bandingkan 2A2A.) Karena gabungan dua himpunan tertutup adalah tertutup (bdk. 1A2Fc), \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) untuk semua \(A\), \(B\subseteq X\).

2A3Dc (c)

Ada tak terhitung banyaknya cara untuk memandang konsep-konsep ini; satu uraian berguna tentang penutupan suatu himpunan adalah

\[\begin{aligned}x\in\overline A &\iff\,x\notin\interior(X\setminus A)\\ &\iff\,\text{tidak ada himpunan terbuka yang memuat }x \text{ dan termuat dalam }X\setminus A\\ &\iff\,\text{setiap himpunan terbuka yang memuat }x \text{ beririsan dengan }A.\\\end{aligned}\]

2A3E Topologi Hausdorff (a)

Konsep ‘ruang topologis’ dirumuskan begitu luas, dan dapat diterapkan begitu luas, sehingga sangat banyak jenis ruang topologis yang berbeda telah dipelajari. Untuk jilid ini kita tidak memerlukan sebagian besar kosakata (yang sangat luas) yang telah dikembangkan untuk menggambarkan keragaman tersebut. Namun, satu istilah yang berguna (dan salah satu konsep terpenting) adalah ‘ruang Hausdorff’; sebuah ruang topologis \(X\) disebut Hausdorff jika untuk setiap \(x\), \(y\in X\) yang berbeda terdapat himpunan-himpunan terbuka saling lepas \(G\), \(H\subseteq X\) sedemikian sehingga \(x\in G\) dan \(y\in H\).

2A3Eb (b)

Dalam ruang Hausdorff \(X\), himpunan berhingga adalah tertutup. Bukti. Jika \(z\in X\), maka untuk setiap \(x\in X\setminus\{z\}\) terdapat himpunan terbuka yang memuat \(x\) tetapi tidak memuat \(z\), sehingga \(X\setminus\{z\}\) terbuka dan \(\{z\}\) tertutup. Jadi, suatu himpunan berhingga merupakan gabungan berhingga dari himpunan- himpunan tertutup, sehingga tertutup. ∎

2A3F Pseudometrik

Banyak topologi penting (meskipun tidak semuanya!) dapat didefinisikan oleh keluarga-keluarga pseudometrik; akan berguna untuk memiliki sejumlah keterampilan teknis dalam hal ini.

(a) Misalkan \(X\) sebuah himpunan. Sebuah pseudometrik pada \(X\) adalah fungsi \(\rho:X\times X\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga

(‘pertidaksamaan segitiga’;)

Sebuah metrik adalah pseudometrik \(\rho\) yang memenuhi syarat tambahan

2A3Fb (b) Contoh (i)

Untuk \(x\), \(y\in\Bbb R\), tetapkan \(\rho(x,y)=|x-y|\); maka \(\rho\) adalah metrik pada \(\Bbb R\) (‘metrik biasa’ pada \(\Bbb R\)).

(ii) Untuk \(x\), \(y\in\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), tetapkan \(\rho(x,y)=\|x-y\|\), mendefinisikan \(\|z\|=\sqrt{\sum_{i=1}^r\zeta_i^2}\), seperti biasa. Maka \(\rho\) adalah sebuah metrik, metrik Euklides pada \(\BbbR^r\). (Pertidaksamaan segitiga untuk \(\rho\) berasal dari pertidaksamaan Cauchy di 1A2C: jika \(x\), \(y\), \(z\in\BbbR^r\), maka

Sifat-sifat lain yang diperlukan dari \(\rho\) bersifat elementer. Bandingkan 2A4Bb di bawah.)

(iii) Sebagai contoh pseudometrik yang bukan metrik, ambil \(r\ge 2\) dan definisikan \(\rho:\BbbR^r\times\Bbb R^r\to\coint{0,\infty}\) dengan menyetel \(\rho(x,y)=|\xi_1-\eta_1|\) setiap kali \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\), \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\).

2A3Fc (c)

Sekarang misalkan \(X\) sebuah himpunan dan \(\Rho\) sebuah keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(X\). Misalkan \(\frak T\) keluarga himpunan bagian \(G\) dari \(X\) sedemikian sehingga untuk setiap \(x\in G\) terdapat \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sedemikian rupa sehingga

Maka \(\frak T\) adalah topologi pada \(X\).

Bukti. (Bandingkan 1A2B.) (i) \(\emptyset\in\frak T\) karena kondisinya terpenuhi secara vakum. \(X\in\frak T\) karena \(U(x;\rho;1)\subseteq X\) untuk \(x\in X\), \(\rho\in\Rho\). (ii) Jika \(G\), \(H\in\frak T\) dan \(x\in G\cap H\), ambil \(\rho_0,\ldots,\rho_m,\rho'_0,\ldots,\rho'_n\in\Rho\), \(\delta\), \(\delta'>0\) sehingga \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_m;\delta)\subseteq G\), \(U(x;\rho'_0,\ldots,\rho'_n;\delta') \subseteq H\); maka \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_m,\rho'_0,\ldots,\rho'_n;\min(\delta,\delta')) \subseteq G\cap H\). Karena \(x\) sebarang, \(G\cap H\in\frak T\). (iii) Jika \(\Cal G\subseteq\frak T\) dan \(x\in\bigcup\Cal G\), terdapat \(G\in\Cal G\) sehingga \(x\in G\); sekarang ada \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\delta)\subseteq G\subseteq\bigcup\Cal G\). Karena \(x\) sebarang, \(\bigcup\Cal G\in\frak T\). ∎

\(\frak T\) adalah topologi yang didefinisikan oleh \(\Rho\).

2A3Fd (d)

Kita dapat menggunakan konvensi untuk menangani kasus ketika \(\Rho\) adalah himpunan kosong; dalam hal ini topologi pada \(X\) yang didefinisikan oleh \(\Rho\) adalah \(\{\emptyset,X\}\).

2A3Fe (e)

Dalam banyak kasus penting, \(\Rho\) terarah ke atas dalam arti bahwa untuk \(\rho_1\), \(\rho_2\in\Rho\) ada \(\rho\in\Rho\) sehingga \(\rho_i(x,y)\le\rho(x,y)\) untuk semua \(x\), \(y\in X\) dan kedua nilai \(i\). Dalam hal ini, tentu saja, setiap himpunan \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\delta)\), di mana \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\), memuat suatu himpunan berbentuk \(U(x;\rho;\delta)\), dengan \(\rho\in\Rho\). Akibatnya, misalnya, sebuah himpunan \(G\subseteq X\) terbuka jika untuk setiap \(x\in G\) ada \(\rho\in\Rho\), \(\delta>0\) sehingga \(U(x;\rho;\delta)\subseteq G\).

2A3Ff (f)

Topologi \(\frak T\) disebut dapat dimetrikkan jika merupakan topologi yang didefinisikan oleh suatu keluarga \(\Rho\) yang terdiri dari satu metrik. Jadi topologi Euklides pada \(\BbbR^r\) dapat dimetrikkan dan didefinisikan oleh \(\{\rho\}\), dengan \(\rho\) metrik dalam (b-ii) di atas.

2A3G Proposisi

Misalkan \(X\) sebuah himpunan dengan topologi yang didefinisikan oleh himpunan tak kosong \(\Rho\) dari pseudometrik pada \(X\). Maka \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\epsilon)\) terbuka untuk setiap \(x\in X\), \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\epsilon>0\).

2A3H

Sekarang kita mempunyai hasil yang bersesuaian dengan 2A2Ca, yang menguraikan fungsi kontinu antara ruang topologis yang didefinisikan oleh keluarga-keluarga pseudometrik.

Proposisi Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan; misalkan \(\Rho\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(X\), dan \(\Theta\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(Y\); misalkan \(\frak T\) dan \(\frak S\) topologi-topologi yang bersesuaian. Maka fungsi \(\phi:X\to Y\) kontinu jika dan hanya jika, setiap kali \(x\in X\), \(\theta\in\Theta\) dan \(\epsilon>0\), ada \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sehingga \(\theta(\phi(y),\phi(x))\le\epsilon\) setiap kali \(y\in X\) dan \(\max_{i\le n}\rho_i(y,x)\le\delta\).

2A3I Catatan (a)

Jika \(\Rho\) terarah ke atas, syaratnya disederhanakan menjadi: untuk setiap \(x\in X\), \(\theta\in\Theta\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(\rho\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sehingga \(\theta(\phi(y),\phi(x))\le\epsilon\) setiap kali \(y\in X\) dan \(\rho(y,x)\le\delta\).

2A3Ib (b)

Misalkan kita mempunyai sebuah himpunan \(X\) dan dua keluarga tak kosong \(\Rho\), \(\Theta\) dari pseudometrik pada \(X\), yang menghasilkan topologi \(\frak T\) dan \(\frak S\) pada \(X\). Maka \(\frak S\subseteq\frak T\) jika peta identitas \(\phi\) dari \(X\) ke dirinya sendiri kontinu ketika dipandang sebagai peta dari \((X,\frak T)\) ke \((X,\frak S)\), karena ini berarti \(G=\phi^{-1}[G]\) menjadi milik \(\frak T\) kapan pun \(G\in\frak S\). Menerapkan proposisi di atas ke \(\phi\), kita melihat bahwa ini terjadi jika untuk setiap \(\theta\in\Theta\), \(x\in X\) dan \(\epsilon>0\) ada \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sehingga \(\theta(y,x)\le\epsilon\) setiap kali \(y\in X\) dan \(\max_{i\le n}\rho_i(y,x)\le\delta\). Demikian pula, membalikkan peran dari \(\Rho\) dan \(\Theta\), kita mendapatkan kriteria kapan \(\frak T\subseteq\frak S\), dan menggabungkan keduanya kita mendapatkan kriteria untuk menentukan kapan \(\frak T=\frak S\).

2A3J Subruang: Proposisi

Jika \(X\) adalah himpunan, \(\Rho\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(X\) yang mendefinisikan topologi \(\frak T\) pada \(X\), dan \(D\subseteq X\), maka

(a) untuk setiap \(\rho\in\Rho\), pembatasan \(\rho^{(D)}\) dari \(\rho\) ke \(D\times D\) adalah pseudometrik pada \(D\);

(b) topologi yang ditentukan oleh \(\Rho_D=\{\rho^{(D)}:\rho\in\Rho\}\) pada \(D\) persis dengan topologi subruang \(\frak T_D\) yang dijelaskan dalam 2A3C.

2A3K Penutupan dan interior

Misalkan \(X\) sebuah himpunan, \(\Rho\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(X\), dan \(\frak T\) topologi yang didefinisikan oleh \(\Rho\).

2A3Ka (a)

Untuk \(A\subseteq X\) dan \(x\in X\),

\[\begin{aligned}x\in\interior A &\iff\,\text{terdapat himpunan terbuka yang termuat dalam }A \text{ dan memuat }x\\ &\iff\,\text{terdapat }\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho,\,\delta>0 \text{ sedemikian sehingga }U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\delta)\subseteq A.\\\end{aligned}\]

2A3Kb (b)

Untuk \(A\subseteq X\) dan \(x\in X\), \(x\in\overline A\) jika dan hanya jika \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\delta)\cap A\ne\emptyset\) untuk setiap \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\). (Bandingkan 2A2B(ii), 2A3Dc.)

2A3L Topologi Hausdorff

Ingat bahwa topologi \(\frak T\) adalah Hausdorff jika setiap dua titik dapat dipisahkan oleh himpunan-himpunan terbuka (2A3E). Topologi pada suatu himpunan \(X\) yang didefinisikan oleh keluarga tak kosong \(\Rho\) dari pseudometrik adalah Hausdorff jika dan hanya jika untuk setiap dua titik berbeda \(x\), \(y\) dalam \(X\) terdapat \(\rho\in\Rho\) sedemikian sehingga \(\rho(x,y)>0\). Bukti. (i) Misalkan topologinya adalah Hausdorff dan \(x\), \(y\) adalah titik berbeda di \(X\). Lalu ada himpunan terbuka \(G\) yang memuat \(x\) tetapi tidak memuat \(y\). Maka terdapat \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_n;\delta)\subseteq G\), dalam hal ini \(\rho_i(y,x)\ge\delta>0\) untuk beberapa \(i\le n\). (ii) Jika \(\Rho\) memenuhi kondisi, dan \(x\), \(y\) adalah titik berbeda dari \(X\), ambil \(\rho\in\Rho\) sehingga \(\rho(x,y)>0\), dan atur \(\delta=\bover12\rho(x,y)\). Maka \(U(x;\rho;\delta)\) dan \(U(y;\rho;\delta)\) saling lepas (sebab jika \(z\in X\), maka \(\rho(z,x)+\rho(z,y)\ge\rho(x,y)=2\delta\), sehingga setidaknya salah satu dari \(\rho(z,x)\), \(\rho(z,y)\) lebih besar dari atau sama dengan \(\delta\)), dan keduanya merupakan himpunan terbuka yang masing-masing memuat \(x\), \(y\). Karena \(x\) dan \(y\) sebarang, topologinya Hausdorff. ∎

Secara khusus, setiap topologi yang dapat dimetrikkan adalah Hausdorff.

2A3M Konvergensi barisan (a)

Jika \((X,\frak T)\) adalah sebarang ruang topologis, dan \(\sequencen{x_n}\) adalah barisan dalam \(X\), kita mengatakan bahwa \(\sequencen{x_n}\) konvergen ke \(x\in X\), atau bahwa \(x\) adalah limit dari \(\sequencen{x_n}\), atau \(\sequencen{x_n}\to x\), jika untuk setiap himpunan terbuka \(G\) yang memuat \(x\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sehingga \(x_n\in G\) untuk setiap \(n\ge n_0\).

2A3Mb (b) Peringatan

Dalam ruang topologis umum, sebuah barisan mungkin mempunyai lebih dari satu limit, sehingga kita tidak dapat menuliskan \(x=\lim_{n\to\infty}x_n\) dengan aman. Namun, dalam ruang Hausdorff hal ini tidak terjadi. Bukti. Jika \(\frak T\) Hausdorff, dan \(x\), \(y\) adalah titik berbeda dari \(X\), terdapat himpunan terbuka yang terpisah \(G\), \(H\) sehingga \(x\in G\) dan \(y\in H\). Jika sekarang \(\sequencen{x_n}\) menyatu ke \(x\), terdapat \(n_0\) sehingga \(x_n\in G\) untuk setiap \(n\ge n_0\), sehingga \(x_n\notin H\) untuk setiap \(n\ge n_0\), dan \(\sequencen{x_n}\) tidak dapat konvergen ke \(y\). ∎ Secara khusus, suatu barisan dalam ruang yang dapat dimetrikkan mempunyai paling banyak satu limit.

2A3Mc (c)

Misalkan \(X\) sebuah himpunan dan \(\Rho\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(X\), yang menghasilkan topologi \(\frak T\); misalkan \(\sequencen{x_n}\) barisan dalam \(X\) dan \(x\in X\). Maka \(\sequencen{x_n}\) konvergen ke \(x\) jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,x)=0\) untuk setiap \(\rho\in\Rho\). Bukti. (i) Misalkan \(\sequencen{x_n}\to x\) dan \(\rho\in\Rho\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\), himpunan \(G=U(x;\rho;\epsilon)\) terbuka dan memuat \(x\), sehingga terdapat \(n_0\) dengan \(x_n\in G\) untuk setiap \(n\ge n_0\), yakni \(\rho(x_n,x)<\epsilon\) untuk setiap \(n\ge n_0\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,x)=0\). (ii) Jika syaratnya terpenuhi, ambil himpunan terbuka \(G\) yang memuat \(x\). Maka ada \(\rho_0,\ldots,\rho_k\in\Rho\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_k;\delta)\subseteq G\). Untuk setiap \(i\le k\) terdapat \(n_i\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\rho_i(x_n,x)<\delta\) untuk setiap \(n\ge n_i\). Tetapkan \(n^*=\max(n_0,\ldots,n_k)\); maka \(x_n\in U(x;\rho_0,\ldots,\rho_k;\delta)\subseteq G\) untuk setiap \(n\ge n^*\). Karena \(G\) sebarang, \(\sequencen{x_n}\to x\). ∎

2A3Md (d)

Misalkan \((X,\rho)\) ruang metrik, \(A\) himpunan bagian dari \(X\), dan \(x\in X\). Maka \(x\in\overline{A}\) jika dan hanya jika terdapat barisan dalam \(A\) yang konvergen ke \(x\). Bukti. (i) Jika \(x\in\overline{A}\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat memilih satu titik \(x_n\in A\cap U(x;\rho;2^{-n})\) (2A3Kb); sekarang \(\sequencen{x_n}\to x\). (ii) Jika \(\sequencen{x_n}\) adalah barisan dalam \(A\) yang konvergen ke \(x\), maka untuk setiap himpunan terbuka \(G\) yang berisi \(x\) terdapat \(n\) sehingga \(x_n\in G\), sehingga \(A\cap G\ne\emptyset\); oleh 2A3Dc, \(x\in\overline{A}\). ∎

2A3N Kekompakan

Konsep berikutnya yang kita perlukan adalah gagasan ‘kekompakan’ dalam ruang topologis umum.

2A3Na

(a) Jika \((X,\frak T)\) sebarang ruang topologis, sebuah himpunan bagian \(K\) dari \(X\) disebut kompak jika, setiap kali \(\Cal G\) adalah keluarga dalam \(\frak T\) yang menutupi \(K\), terdapat keluarga berhingga \(\Cal G_0\subseteq\Cal G\) yang menutupi \(K\). (Bdk. 2A2D. Sebuah peringatan: banyak penulis mencadangkan istilah ‘kompak’ untuk ruang Hausdorff.) Sebuah himpunan \(A\subseteq X\) disebut relatif kompak dalam \(X\) jika terdapat himpunan bagian kompak dari \(X\) yang memuat \(A\). (Peringatan! Dalam ruang non-Hausdorff, ini tidak sama dengan mengatakan bahwa \(\overline{A}\) kompak.)

2A3Nb (b)

Sebagaimana dalam 2A2E-2A2G (dan bukti-buktinya sama dalam kasus umum), kita memperoleh hasil-hasil berikut.

(i) Jika \(K\) kompak dan \(E\) tertutup, maka \(K\cap E\) adalah kompak.

(ii) Jika \(K\subseteq X\) kompak dan \(\phi:K\to Y\) adalah kontinu, dengan \((Y,\frak S)\) ruang topologis lain, maka \(\phi[K]\) adalah himpunan bagian kompak dari \(Y\).

(iii) Jika \(K\subseteq X\) kompak dan \(\phi:K\to\Bbb R\) adalah kontinu, maka \(\phi\) terbatas dan mencapai nilai maksimum serta minimumnya.

2A3O Titik gugus (a)

Jika \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis dan \(\sequencen{x_n}\) adalah barisan dalam \(X\), maka sebuah titik gugus dari \(\sequencen{x_n}\) adalah titik \(x\in X\) sedemikian sehingga, setiap kali \(G\) merupakan himpunan terbuka yang memuat \(x\) dan \(n\in\Bbb N\), terdapat \(k\ge n\) dengan \(x_k\in G\).

2A3Ob (b)

Jika \((X,\frak T)\) adalah ruang topologis dan \(A\subseteq X\) relatif kompak, maka setiap barisan \(\sequencen{x_n}\) dalam \(A\) mempunyai titik gugus dalam \(X\). Bukti. Misalkan \(K\) himpunan bagian kompak dari \(X\) yang memuat \(A\). Tetapkan \(\Cal G=\{G:G\in\frak T,\,\{n:x_n\in G\}\text{ berhingga}\}\). ? Jika \(\Cal G\) mencakup \(K\), maka ada \(\Cal G_0\subseteq\Cal G\) berhingga yang mencakup \(K\). Sekarang \(\Bbb N=\{n:x_n\in A\}=\{n:x_n\in\bigcup\Cal G_0\} =\bigcup_{G\in\Cal G_0}\{n:x_n\in G\}\) merupakan gabungan berhingga dari himpunan-himpunan berhingga, suatu kemustahilan. ! Jadi \(\Cal G\) tidak menutupi \(K\). Ambil sebarang \(x\in K\setminus\bigcup\Cal G\). Jika \(G\in\frak T\), \(x\in G\) dan \(n\in\Bbb N\), maka \(G\notin\Cal G\), sehingga \(\{k:x_k\in G\}\) tak berhingga dan terdapat \(k\ge n\) sedemikian sehingga \(x_k\in G\). Jadi \(x\) adalah titik gugus dari \(\sequencen{x_n}\), sebagaimana diperlukan. ∎

2A3P Filter

Dalam \(\BbbR^r\), dan lebih umum dalam semua ruang yang dapat dimetrikkan, gagasan-gagasan topologis dapat dibahas secara efektif dengan barisan konvergen. (Memang, hal ini kadang-kadang memerlukan suatu bentuk lemah dari aksioma pilihan untuk memilih sebuah barisan; tetapi karena teori ukuran tanpa pilihan semacam itu berubah sama sekali – lihat Bab 56 dalam Jilid 5 – tidak ada gunanya mempermasalahkannya di sini.) Namun, untuk ruang topologis secara umum, barisan sama sekali tidak memadai, karena alasan-alasan sangat menarik yang tidak akan saya uraikan. Sebagai gantinya kita perlu menggunakan ‘jaring’ atau ‘filter’. Yang terakhir memerlukan sedikit usaha lebih besar pada awalnya, tetapi kemudian (menurut pendapat saya) jauh lebih mudah digunakan; karena itu saya menguraikan metode ini sekarang.

2A3Q Filter konvergen (a)

Misalkan \((X,\frak T)\) ruang topologis, \(\Cal F\) filter pada \(X\) (lihat 2A1I), dan \(x\) titik dalam \(X\). Kita mengatakan bahwa \(\Cal F\) konvergen ke \(x\), atau bahwa \(x\) adalah limit dari \(\Cal F\), dan menuliskan \(\Cal F\to x\), jika setiap himpunan terbuka yang memuat \(x\) merupakan anggota \(\Cal F\).

2A3Qb (b)

Misalkan \((X,\frak T)\) dan \((Y,\frak S)\) ruang topologis, \(\phi:X\to Y\) fungsi kontinu, \(x\in X\), dan \(\Cal F\) filter pada \(X\) yang konvergen ke \(x\). Maka \(\phi[[\Cal F]]\) (sebagaimana didefinisikan dalam 2A1Ib) konvergen ke \(\phi(x)\) (sebab \(\phi^{-1}[G]\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(x\) setiap kali \(G\) merupakan himpunan terbuka yang memuat \(\phi(x)\)).

2A3R

Sekarang kita mempunyai karakterisasi kekompakan berikut.

Teorema Misalkan \(X\) ruang topologis dan \(K\) himpunan bagian dari \(X\). Maka \(K\) kompak jika dan hanya jika setiap ultrafilter pada \(X\) yang memuat \(K\) mempunyai limit dalam \(K\).

Catatan Perhatikan bahwa bagian (b) dari pembuktian teorema ini sangat bergantung pada Teorema Ultrafilter dan oleh karena itu pada aksioma pilihan.

2A3S Perhitungan lebih lanjut dengan filter (a)

Secara umum, sebuah filter mungkin mempunyai lebih dari satu limit; tetapi dalam ruang Hausdorff hal ini tidak terjadi. Bukti. (Bandingkan 2A3Mb.) Jika \((X,\frak T)\) adalah Hausdorff, dan \(x\), \(y\) adalah titik berbeda dalam \(X\), terdapat himpunan-himpunan terbuka saling lepas \(G\), \(H\) sehingga \(x\in G\) dan \(y\in H\). Jika sekarang filter \(\Cal F\) di \(X\) menyatu ke \(x\), maka \(G\in\Cal F\), sehingga \(H\notin\Cal F\) dan \(\Cal F\) tidak konvergen ke \(y\). ∎

Karena itu, kita dapat menuliskan \(x=\lim\Cal F\) dengan aman ketika \(\Cal F\to x\) dalam ruang Hausdorff.

2A3Sb (b)

Sekarang misalkan \(X\) sebuah himpunan, \(\Cal F\) filter pada \(X\), \((Y,\frak S)\) ruang Hausdorff, \(D\in\Cal F\), dan \(\phi:D\to Y\) sebuah fungsi. Kita menuliskan \(\lim_{x\to\Cal F}\phi(x)\) untuk \(\lim\phi[[\Cal F]]\) jika limit ini terdefinisi dalam \(Y\); yakni \(\lim_{x\to\Cal F}\phi(x)=y\) jika dan hanya jika \(\phi^{-1}[H]\in\Cal F\) untuk setiap himpunan terbuka \(H\) yang memuat \(y\).

Jika \(Z\) adalah himpunan lain, \(\Cal G\) filter pada \(Z\), dan \(\psi:Z\to X\) sedemikian sehingga \(\Cal F=\psi[[\Cal G]]\), maka komposisi \(\phi\psi\) terdefinisi pada \(\psi^{-1}[D]\in\Cal G\); jika salah satu dari limit \(\lim_{x\to\Cal F}\phi(x)\) dan \(\lim_{z\to\Cal G}\phi\psi(z)\) terdefinisi dalam \(Y\), maka yang lain juga terdefinisi, dan keduanya sama. Bukti. Misalkan \(y\in Y\) dan \(\Cal U\) keluarga himpunan bagian terbuka dari \(Y\) yang memuat \(y\). Maka \[\begin{aligned}\lim_{x\to\Cal F}\phi(x)=y &\iff\phi^{-1}[G]\in\Cal F\text{ untuk setiap }G\in\Cal U \\&\iff\psi^{-1}[\phi^{-1}[G]]\in\Cal G\text{ untuk setiap }G\in\Cal U \\&\iff(\phi\psi)^{-1}[G]\in\Cal G\text{ untuk setiap }G\in\Cal U \iff\lim_{z\to\Cal G}\phi\psi(z)=y. \,\mathord{\mathbf{Q}}\\\end{aligned}\]

Dalam kasus khusus \(Y=\Bbb R\), \(\lim_{x\to\Cal F}\phi(x)=a\) jika dan hanya jika \(\{x:|\phi(x)-a|\le\epsilon\}\in\Cal F\) untuk setiap \(\epsilon>0\) (karena setiap himpunan terbuka yang memuat \(a\) memuat suatu himpunan berbentuk \([a-\epsilon,a+\epsilon]\), yang pada gilirannya memuat himpunan terbuka \(\ooint{a-\epsilon,a+\epsilon}\)).

2A3Sc (c)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan, \(\Cal F\) filter pada \(X\), \(\Theta\) keluarga tak kosong dari pseudometrik pada \(Y\) yang mendefinisikan topologi \(\frak S\) pada \(Y\), dan \(\phi:X\to Y\) sebuah fungsi. Maka filter citra \(\phi[[\Cal F]]\) konvergen ke \(y\in Y\) jika dan hanya jika \(\lim_{x\to\Cal F}\theta(\phi(x),y)=0\) dalam \(\Bbb R\) untuk setiap \(\theta\in\Theta\). Bukti. (i) Misalkan \(\phi[[\Cal F]]\to y\). Untuk setiap \(\theta\in\Theta\) dan \(\epsilon>0\), \(U(y;\theta;\epsilon)=\{z:\theta(z,y)<\epsilon\}\) adalah himpunan terbuka yang berisi \(y\) (2A3G), jadi milik \(\phi[[\Cal F]]\), dan gambar kebalikannya \(\{x:0\le\theta(\phi(x),y)<\epsilon\}\) milik \(\Cal F\). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, \(\lim_{x\to\Cal F}\theta(\phi(x),y)=0\). Karena \(\theta\) bersifat sewenang-wenang, \(\phi\) memenuhi ketentuan tersebut. (ii) Sekarang misalkan \(\lim_{x\to\Cal F}\theta(\phi(x),y)=0\) untuk setiap \(\theta\in\Theta\). Misalkan \(G\) menjadi himpunan terbuka apa pun di \(Y\) yang berisi \(y\). Lalu ada \(\theta_0,\ldots,\theta_n\in\Theta\) dan \(\epsilon>0\) seperti yang \(U(y;\theta_0,\ldots,\theta_n;\epsilon) =\bigcap_{i\le n}U(y;\theta_i;\epsilon)\subseteq G\). Untuk setiap \(i\le n\), \(\phi^{-1}[U(y;\theta_i;\epsilon)] =\{x:\theta_i(\phi(x),y)<\epsilon\}\) merupakan anggota \(\Cal F\); karena \(\Cal F\) tertutup terhadap irisan berhingga, demikian pula \(\phi^{-1}[U(y;\theta_0,\ldots,\theta_n;\epsilon)]\) dan superhimpunannya \(\phi^{-1}[G]\). Jadi \(G\in\phi[[\Cal F]]\). Karena \(G\) sebarang, \(\phi[[\Cal F]]\to y\). ∎

2A3Sd (d)

Secara khusus, dengan mengambil \(X=Y\) dan \(\phi\) sebagai peta identitas, jika \(X\) mempunyai topologi \(\frak T\) yang didefinisikan oleh keluarga tak kosong \(\Rho\) dari pseudometrik, maka filter \(\Cal F\) pada \(X\) konvergen ke \(x\in X\) jika dan hanya jika \(\lim_{y\to\Cal F}\rho(y,x)=0\) untuk setiap \(\rho\in\Rho\).

2A3Se (e)

(i) Jika \(X\) adalah himpunan apa pun, \(\Cal F\) adalah ultrafilter pada \(X\), \((Y,\frak S)\) adalah ruang Hausdorff, dan \(h:X\to Y\) adalah fungsi sedemikian sehingga \(h[F]\) relatif kompak dalam \(Y\) untuk suatu \(F\in\Cal F\), maka \(\lim_{x\to\Cal F}h(x)\) terdefinisi dalam \(Y\). Bukti. Misalkan \(K\subseteq Y\) himpunan kompak yang memuat \(h[F]\). Maka \(K\in h[[\Cal F]]\), yang merupakan ultrafilter (2A1N), sehingga \(h[[\Cal F]]\) mempunyai limit dalam \(Y\) (2A3R), yaitu \(\lim_{x\to\Cal F}h(x)\). ∎

(ii) Jika \(X\) adalah himpunan apa pun, \(\Cal F\) adalah ultrafilter pada \(X\), dan \(h:X\to\Bbb R\) adalah fungsi sehingga \(h[F]\) dibatasi dalam \(\Bbb R\) untuk suatu himpunan \(F\in\Cal F\), maka \(\lim_{x\to\Cal F}h(x)\) ada dalam \(\Bbb R\). Bukti. \(\overline{h[F]}\) bersifat tertutup dan dibatasi, oleh karena itu kompak (2A2F), sehingga \(h[F]\) relatif kompak dan kita dapat menggunakan (i). ∎

2A3Sf (f)

Konsep \(\limsup\), \(\liminf\) dapat diterapkan ke filter. Misalkan \(\Cal F\) adalah filter pada himpunan \(X\), dan \(f:X\to[-\infty,\infty]\) adalah fungsi apa pun. Kemudian

\[\begin{aligned}\limsup_{x\to\Cal F}f(x) &=\inf\{u:u\in[-\infty,\infty],\,\{x:f(x)\le u\}\in\Cal F\}\\ &=\inf_{F\in\Cal F}\sup_{x\in F}f(x) \in[-\infty,\infty],\\\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\liminf_{x\to\Cal F}f(x) &=\sup\{u:u\in[-\infty,\infty],\,\{x:f(x)\ge u\}\in\Cal F\}\\ &=\sup_{F\in\Cal F}\inf_{x\in F}f(x).\\\end{aligned}\]

Mudah dilihat bahwa, untuk sebarang dua fungsi \(f\), \(g:X\to\Bbb R\),

dan

setiap kali sisi kanan ditentukan di \([-\infty,\infty]\) dan \(c\ge 0\). Jadi jika \(a=\lim_{x\to\Cal F}f(x)\) dan \(b=\lim_{x\to\Cal F}g(x)\) ada dalam \(\Bbb R\), maka \(\lim_{x\to\Cal F}(f(x)+g(x))\) ada dan sama dengan \(a+b\), sedangkan \(\lim_{x\to\Cal F}cf(x)\) ada dan sama dengan \(c\lim_{x\to\Cal F}f(x)\) untuk setiap \(c\in\Bbb R\).

Kita juga melihat bahwa jika \(f:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga

maka \(\limsup_{x\to\Cal F}f(x)\le\epsilon+\liminf_{x\to\Cal F}f(x)\) untuk setiap \(\epsilon>0\), sehingga \(\lim_{x\to\Cal F}f(x)\) didefinisikan dalam \([-\infty,\infty]\).

2A3Sg (g)

Perhatikan bahwa limit-limit standar dalam analisis real dapat dinyatakan dalam bentuk yang diuraikan di sini. Misalnya, \(\lim_{n\to\infty}\), \(\limsup_{n\to\infty}\), \(\liminf_{n\to\infty}\) berhubungan dengan \(\lim_{n\to\CalFr}\), \(\limsup_{n\to\CalFr}\), \(\liminf_{n\to\CalFr}\) di mana \(\CalFr\) adalah filter Fréchet pada \(\Bbb N\), yakni filter \(\{\Bbb N\setminus A:A\subseteq\Bbb N\) berhingga\(\}\) dari himpunan-himpunan bagian \(\Bbb N\) yang berkomplemen berhingga. Demikian pula, \(\lim_{\delta\downarrow a}\), \(\limsup_{\delta\downarrow a}\), \(\liminf_{\delta\downarrow a}\) berhubungan dengan \(\lim_{\delta\to\Cal F}\), \(\limsup_{\delta\to\Cal F}\), \(\liminf_{\delta\to\Cal F}\) di mana

2A3T Topologi produk

Kita memerlukan beberapa catatan singkat mengenai topologi pada ruang hasil kali.

(a) Misalkan \((X,\frak T)\) dan \((Y,\frak S)\) adalah ruang topologis. Misalkan \(\frak U\) adalah himpunan semua himpunan bagian \(U\) dari \(X\times Y\) sedemikian sehingga untuk setiap \((x,y)\in U\) terdapat \(G\in\frak T\) dan \(H\in\frak S\) dengan \((x,y)\in G\times H\subseteq U\). Maka \(\frak U\) merupakan topologi pada \(X\times Y\). Bukti. (i) \(\emptyset\in\frak U\) karena syarat keanggotaan dalam \(\frak U\) terpenuhi secara vakum. \(X\times Y\in\frak U\) karena \(X\in\frak T\), \(Y\in\frak S\) dan \((x,y)\in X\times Y\subseteq X\times Y\) untuk setiap \((x,y)\in X\times Y\). (ii) Jika \(U\), \(V\in\frak U\) dan \((x,y)\in U\cap V\), maka terdapat \(G\), \(G'\in\frak T\), \(H\), \(H'\in\frak S\) sehingga \((x,y)\in G\times H\subseteq U\), \((x,y)\in G'\times H'\subseteq V\); sekarang \(G\cap G'\in \frak T\), \(H\cap H'\in\frak S\) dan \((x,y)\in(G\cap G')\times(H\cap H')\subseteq U\cap V\). Karena \((x,y)\) sebarang, \(U\cap V\in\frak U\). (iii) Jika \(\Cal U\subseteq\frak U\) dan \((x,y)\in\bigcup\Cal U\), maka terdapat \(U\in\Cal U\) sehingga \((x,y)\in U\); sekarang ada \(G\in\frak T\), \(H\in\frak S\) sedemikian sehingga \((x,y)\in G\times H\subseteq U\subseteq\bigcup\Cal U\). Karena \((x,y)\) bersifat arbitrer, \(\bigcup\Cal U\in\frak U\). ∎

\(\frak U\) disebut topologi produk pada \(X\times Y\).

2A3Tb (b)

Misalkan, dalam (a), \(\frak T\) dan \(\frak S\) ditentukan oleh keluarga tak kosong \(\Rho\) dan \(\Theta\) dari pseudometrik dengan cara 2A3F. Maka \(\frak U\) ditentukan oleh keluarga \(\Upsilon=\{\tilde\rho:\rho\in\Rho\}\cup\{\bar\theta:\theta\in\Theta\}\) pseudometrik pada \(X\times Y\), dengan

setiap kali \(x\), \(x'\in X\), \(y\), \(y'\in Y\), \(\rho\in\Rho\) dan \(\theta\in\Theta\).

Bukti. (i) Tentu saja kita harus memeriksa bahwa setiap \(\tilde\rho\), \(\bar\theta\) adalah pseudometrik pada \(X\times Y\). (ii) Jika \(U\in\frak U\) dan \((x,y)\in U\), maka ada \(G\in\frak T\), \(H\in\frak S\) sehingga \((x,y)\in G\times H\subseteq U\). Ada \(\rho_0,\ldots,\rho_m\in\Rho\), \(\theta_0,\ldots,\theta_n\in\Theta\), \(\delta\), \(\delta'>0\) sedemikian sehingga (dalam bahasa 2A3Fc) \(U(x;\rho_0,\ldots,\rho_m;\delta)\subseteq G\), \(U(y;\theta_0,\ldots,\theta_n;\delta')\subseteq H\). Sekarang \(U((x,y);\tilde\rho_0,\ldots,\tilde\rho_m, \bar\theta_0,\ldots,\bar\theta_n;\min(\delta,\delta'))\subseteq U\). Karena \((x,y)\) sebarang, \(U\) terbuka dalam topologi yang dihasilkan oleh \(\Upsilon\). (iii) Jika \(U\subseteq X\times Y\) terbuka dalam topologi yang ditentukan oleh \(\Upsilon\), ambil sebarang \((x,y)\in U\). Maka ada \(\upsilon_0,\ldots,\upsilon_k\in\Upsilon\) dan \(\delta>0\) sehingga \(U((x,y);\upsilon_0,\ldots,\upsilon_k;\delta)\subseteq U\). Ambil \(\rho_0,\ldots,\rho_m\in\Rho\) dan \(\theta_0,\ldots,\theta_n\in\Theta\) sehingga \(\{\upsilon_0,\ldots,\upsilon_k\} \subseteq\{\tilde\rho_0,\ldots,\tilde\rho_m, \bar\theta_0,\ldots,\bar\theta_n\}\); lalu \(G=U(x;\rho_0,\ldots,\rho_m;\delta)\in\frak T\) (2A3G), \(H=U(y;\theta_0,\ldots,\theta_n;\delta)\in\frak S\), dan \((x,y)\in G\times H =U((x,y);\tilde\rho_0,\ldots,\tilde\rho_m, \bar\theta_0,\ldots,\bar\theta_n;\delta) \subseteq U((x,y);\upsilon_0,\ldots,\upsilon_k;\delta)\subseteq U\). Karena \((x,y)\) sebarang, \(U\in\frak U\). Ini melengkapi bukti bahwa \(\frak U\) adalah topologi yang ditentukan oleh \(\Upsilon\). ∎

2A3Tc (c)

Secara khusus, topologi produk pada \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) adalah topologi Euklides jika kita mengidentifikasi \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) dengan \(\BbbR^{r+s}\). Bukti. Topologi produk ditentukan oleh dua pseudometrik \(\upsilon_1\) dan \(\upsilon_2\); untuk \(x\), \(x'\in \BbbR^r\) dan \(y\), \(y'\in\BbbR^s\), kita tulis \(\upsilon_1((x,y),(x',y'))=\|x-x'\|\), \(\upsilon_2((x,y),(x',y'))=\|y-y'\|\) (2A3F(b-ii)). Demikian pula, topologi Euklides pada \(\BbbR^r\times\BbbR^s\cong\BbbR^{r+s}\) ditentukan oleh metrik \(\rho\), di mana \(\rho((x,y),(x',y'))=\|(x,y)-(x',y')\| =\sqrt{\|x-x'\|^2+\|y-y'\|^2}\). Sekarang jika \((x,y)\in\BbbR^r\times\BbbR^s\) dan \(\epsilon>0\), maka \(U((x,y);\rho;\epsilon) \subseteq U((x,y);\upsilon_j;\epsilon)\) untuk kedua nilai \(j\), sedangkan \(U((x,y);\upsilon_1,\upsilon_2;\Bover{\epsilon}{\sqrt2}) \subseteq U((x,y);\rho;\epsilon)\). Jadi, seperti dikemukakan dalam 2A3Ib, masing-masing topologi termuat dalam yang lain, sehingga keduanya sama. ∎

2A3U Himpunan padat (a)

Jika \(X\) adalah ruang topologis, himpunan \(D\subseteq X\) disebut padat dalam \(X\) jika \(\overline{D}=X\), yaitu jika setiap himpunan terbuka tak kosong beririsan dengan \(D\). Secara lebih umum, jika \(D\subseteq A\subseteq X\), maka \(D\) padat dalam \(A\) jika himpunan itu padat untuk topologi subruang pada \(A\) (2A3C), yaitu jika \(A\subseteq\overline{D}\).

2A3Ub (b)

Jika \(\frak T\) ditentukan oleh keluarga tak kosong \(\Rho\) dari pseudometrik pada \(X\), maka \(D\subseteq X\) padat jika dan hanya jika

setiap kali \(x\in X\), \(\rho_0,\ldots,\rho_n\in\Rho\) dan \(\delta>0\).

2A3Uc (c)

Jika \((X,\frak T)\) dan \((Y,\frak S)\) adalah ruang topologis, dengan \(Y\) Hausdorff (khususnya, jika \((X,\rho)\) dan \((Y,\theta)\) adalah ruang metrik), dan \(f\), \(g:X\to Y\) adalah fungsi kontinu yang sama nilainya pada suatu himpunan bagian padat \(D\) dari \(X\), maka \(f=g\). Bukti.? Misalkan, jika memungkinkan, terdapat \(x\in X\) sehingga \(f(x)\ne g(x)\). Maka ada himpunan terbuka \(G\), \(H\subseteq Y\) sedemikian sehingga \(f(x)\in G\), \(g(x)\in H\) dan \(G\cap H=\emptyset\). Sekarang \(f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(x\) dan karena itu tak kosong, tetapi tidak beririsan dengan \(D\); jadi \(x\notin\overline{D}\) dan \(D\) tidak padat. !∎

2A3Ud (d)

Ruang topologis disebut separabel jika memiliki himpunan bagian padat yang terhitung. Misalnya, \(\BbbR^r\) separabel untuk setiap \(r\ge 1\), karena \(\varBbb{Q}^r\) padat.