Topologi ruang Euklides — Fondasi Teori Ukuran

Dalam lampiran Jilid 1 (§1A2) saya membahas himpunan terbuka dan tertutup dalam \(\BbbR^r\); tujuan utama di sana adalah menopang gagasan ‘himpunan Borel’, yang sangat penting dalam teori ukuran Lebesgue, tetapi tentu saja himpunan-himpunan itu juga mendasar bagi kajian fungsi kontinu, dan bahkan bagi semua aspek analisis real. Di sini saya memberikan pengantar yang sangat singkat mengenai fakta-fakta elementer lebih lanjut tentang himpunan tertutup dan kompak serta fungsi kontinu yang kita perlukan untuk jilid ini. Sebagian besar materi ini dapat diturunkan dari perumuman dalam §2A3, tetapi saya tetap menguraikan garis besar buktinya, sebab untuk sebagian besar jilid ini (kebanyakan pengecualiannya berada dalam Bab 24) ruang Euklides sudah memadai bagi keperluan kita.

2A2A Penutupan: Definisi

Untuk setiap \(r\ge 1\) dan setiap \(A\subseteq\BbbR^r\), penutupan \(A\), \(\overline{A}\), adalah irisan semua subhimpunan tertutup dari \(\BbbR^r\) yang memuat \(A\). Ini adalah himpunan tertutup (karena merupakan irisan suatu keluarga tak kosong dari himpunan-himpunan tertutup, lihat 1A2Fd), sehingga merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\). Khususnya, \(A\) tertutup jika dan hanya jika \(\overline{A}=A\).

2A2B Lema

Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan. Maka, untuk \(x\in\BbbR^r\), pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(x\in\overline{A}\), penutupan \(A\);

(ii) \(B(x,\delta)\cap A\ne\emptyset\) untuk setiap \(\delta>0\), dengan \(B(x,\delta)=\{y:\|y-x\|\le\delta\}\);

(iii) terdapat suatu barisan \(\sequencen{x_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\).

Bukti

(a)(i)\(\Rightarrow\)(ii) Andaikan \(x\in\overline{A}\) dan \(\delta>0\). Maka \(U(x,\delta)=\{y:\|y-x\|<\delta\}\) adalah himpunan terbuka (1A2D), sehingga \(F=\BbbR^r\setminus U(x,\delta)\) tertutup, sedangkan \(x\notin F\). Sekarang

\(x\in\overline{A}\setminus F \Longrightarrow\overline{A}\not\subseteq F \Longrightarrow A\not\subseteq F \Longrightarrow A\cap U(x,\delta)\ne\emptyset \Longrightarrow A\cap B(x,\delta)\ne\emptyset\).

Karena \(\delta\) sebarang, (ii) benar.

(b)(ii)\(\Rightarrow\)(iii) Jika (ii) benar, maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat menemukan \(x_n\in A\) sedemikian sehingga \(\|x_n-x\|\le 2^{-n}\), dan sekarang \(\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\).

(c)(iii)\(\Rightarrow\)(i) Andaikan (iii). ? Andaikan, jika mungkin, bahwa \(x\notin\overline{A}\). Maka \(x\) termasuk dalam himpunan terbuka \(\BbbR^r\setminus\overline{A}\) dan terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x,\delta)\subseteq\BbbR^r\setminus\overline{A}\). Tetapi sekarang terdapat \(n\) sedemikian sehingga \(\|x_n-x\|<\delta\), dan dalam hal ini \(x_n\in U(x,\delta)\cap A\subseteq U(x,\delta)\cap\overline{A}\). !

2A2C Fungsi kontinu (a)

Saya mulai dengan suatu karakterisasi fungsi kontinu dalam istilah himpunan terbuka. Jika \(r\), \(s\ge 1\), \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(\phi:D\to\BbbR^s\) adalah suatu fungsi, kita katakan bahwa \(\phi\) kontinu jika untuk setiap \(x\in D\) dan \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\epsilon\) kapan pun \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). Sekarang \(\phi\) kontinu jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq\BbbR^s\) terdapat suatu himpunan terbuka \(H\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\phi^{-1}[G]=D\cap H\).

Bukti. (i) Andaikan \(\phi\) kontinu dan \(G\subseteq\BbbR^s\) terbuka. Tetapkan \(H=\bigcup\{U:U\subseteq\BbbR^r\text{ terbuka},\,\phi[U\cap D]\subseteq G\}\). Maka \(H\) merupakan gabungan himpunan-himpunan terbuka, sehingga terbuka (1A2Bd), dan \(H\cap D\subseteq\phi^{-1}[G]\). Jika \(x\in\phi^{-1}[G]\), maka \(\phi(x)\in G\), sehingga terdapat \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga \(U(\phi(x),\epsilon)\subseteq G\); sekarang terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\bover12\epsilon\) kapan pun \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\), sehingga \(\phi[U(x,\delta)\cap D] \subseteq U(\phi(x),\epsilon)\subseteq G\) dan \(x\in U(x,\delta)\subseteq H\). Karena \(x\) sebarang, \(\phi^{-1}[G]=H\cap D\). Karena \(G\) sebarang, \(\phi\) memenuhi syarat tersebut. (ii) Sekarang andaikan bahwa \(\phi\) memenuhi syarat tersebut. Ambil \(x\in D\) dan \(\epsilon>0\). Maka \(U(\phi(x),\epsilon)\) terbuka, sehingga terdapat himpunan terbuka \(H\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(H\cap D=\phi^{-1}[U(\phi(x),\epsilon)]\); kita melihat bahwa \(x\in H\), sehingga terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x,\delta)\subseteq H\); sekarang jika \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\bover12\delta\), maka \(y\in D\cap H\), \(\phi(y)\in U(\phi(x),\epsilon)\) dan \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\epsilon\). Karena \(x\) dan \(\epsilon\) sebarang, \(\phi\) kontinu. ∎

2A2Cb (b)

Dengan menggunakan definisi kontinuitas \(\epsilon\)-\(\delta\), mudah dilihat bahwa suatu fungsi \(\phi\) dari subhimpunan \(D\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\) kontinu jika dan hanya jika semua komponennya \(\phi_i\) kontinu, dengan menuliskan \(\phi(x)=(\phi_1(x),\ldots,\phi_s(x))\) untuk \(x\in D\). Bukti. (i) Jika \(\phi\) kontinu, \(i\le s\), \(x\in D\) dan \(\epsilon>0\), maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|\phi_i(y)-\phi_i(x)|\le\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\epsilon\) kapan pun \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). (ii) Jika setiap \(\phi_i\) kontinu, \(x\in D\) dan \(\epsilon>0\), maka terdapat \(\delta_i>0\) sedemikian sehingga \(|\phi_i(y)-\phi_i(x)|\le\epsilon/\sqrt{s}\) kapan pun \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta_i\); dengan menetapkan \(\delta=\min_{1\le i\le s}\delta_i>0\), kita memperoleh \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\epsilon\) kapan pun \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). ∎

2A2Cc (c)

Pada satu atau dua tempat, kita akan menjumpai penguatan berikut dari gagasan ‘fungsi kontinu’. Jika \(r\), \(s\ge 1\), \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(\phi:D\to\BbbR^s\) adalah suatu fungsi, kita katakan bahwa \(\phi\) kontinu seragam jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\epsilon\) kapan pun \(x\), \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). Suatu fungsi kontinu seragam tentu saja kontinu.

2A2D Kekompakan dalam \(\BbbR^r\): Definisi

Suatu subhimpunan \(F\) dari \(\BbbR^r\) disebut kompak jika, setiap kali \(\Cal G\) merupakan suatu keluarga himpunan terbuka yang menutupi \(F\), terdapat subhimpunan berhingga \(\Cal G_0\) dari \(\Cal G\) yang masih menutupi \(F\).

2A2E Sifat-sifat elementer himpunan kompak

Ambil sebarang \(r\ge 1\), serta subhimpunan-subhimpunan \(D\), \(F\), \(G\) dan \(K\) dari \(\BbbR^r\).

2A2Ea (a)

Jika \(K\) kompak dan \(F\) tertutup, maka \(K\cap F\) kompak. Bukti. Misalkan \(\Cal G\) suatu selimut terbuka dari \(F\cap K\). Maka \(\Cal G\cup\{\BbbR^r\setminus F\}\) merupakan selimut terbuka dari \(K\), sehingga mempunyai subselimut berhingga, sebutlah \(\Cal G_0\). Sekarang \(\Cal G_0\setminus\{\BbbR^r\setminus F\}\) adalah subhimpunan berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \(K\cap F\). Karena \(\Cal G\) sebarang, \(K\cap F\) kompak. ∎

2A2Eb (b)

Jika \(s\ge 1\), \(\phi:D\to\BbbR^s\) adalah fungsi kontinu, \(K\) kompak dan \(K\subseteq D\), maka \(\phi[K]\) kompak. Bukti. Misalkan \(\Cal V\) suatu selimut terbuka dari \(\phi[K]\). Misalkan \(\Cal H\) adalah \(\{H:H\subseteq\BbbR^r\text{ terbuka},\,\exists\enskip V\in\Cal V,\,\phi^{-1}[V]=D\cap H\}\). Jika \(x\in K\), maka \(\phi(x)\in\phi[K]\), sehingga terdapat \(V\in\Cal V\) sedemikian sehingga \(\phi(x)\in V\); sekarang terdapat \(H\in\Cal H\) sedemikian sehingga \(D\cap H=\phi^{-1}[V]\) memuat \(x\) (2A2Ca); karena \(x\) sebarang, \(K\subseteq\bigcup\Cal H\). Misalkan \(\Cal H_0\) subhimpunan berhingga dari \(\Cal H\) yang menutupi \(K\). Untuk setiap \(H\in\Cal H_0\), misalkan \(V_H\in\Cal V\) sedemikian sehingga \(\phi^{-1}[V_H]=D\cap H\); maka \(\{V_H:H\in\Cal H_0\}\) adalah subhimpunan berhingga dari \(\Cal V\) yang menutupi \(\phi[K]\). Karena \(\Cal V\) sebarang, \(\phi[K]\) kompak. ∎

2A2Ec (c)

Jika \(K\) kompak, maka himpunan itu tertutup. Bukti. Tuliskan \(H=\BbbR^r\setminus K\). Ambil sebarang \(x\in H\). Maka \(G_n=\BbbR^r\setminus B(x,2^{-n})\) terbuka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) (1A2G). Juga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n=\{y:y\in\BbbR^r,\,\|y-x\|>0\} =\Bbb R^r\setminus\{x\}\supseteq K\). Jadi terdapat suatu himpunan berhingga \(\Cal G_0\subseteq\{G_n:n\in\Bbb N\}\) yang menutupi \(K\). Harus terdapat \(n\) sedemikian sehingga \(\Cal G_0\subseteq\{G_i:i\le n\}\), sehingga \(K\subseteq\bigcup\Cal G_0\subseteq\bigcup_{i\le n}G_i=G_n\), dan \(B(x,2^{-n})\subseteq H\). Karena \(x\) sebarang, \(H\) terbuka dan \(K\) tertutup. ∎

2A2Ed (d)

Jika \(K\) kompak dan \(G\) terbuka serta \(K\subseteq G\), maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(K+B(\tbf{0},\delta)\subseteq G\). Bukti. Jika \(K=\emptyset\), pernyataan ini trivial, sebab dalam hal ini \(K+B(\tbf{0},1)=\{x+y:x\in K,\,y\in B(\tbf{0},1)\}=\emptyset\). Jika tidak, tetapkan \(\Cal G =\{U(x,\delta):x\in \Bbb R^r,\,\delta>0,\,U(x,2\delta)\subseteq G\}\). Maka \(\Cal G\) adalah suatu keluarga himpunan terbuka dan \(\bigcup\Cal G=G\) (karena \(G\) terbuka), sehingga \(\Cal G\) merupakan selimut terbuka dari \(K\) dan mempunyai subselimut berhingga \(\Cal G_0\). Nyatakan \(\Cal G_0\) sebagai \(\{U(x_0,\delta_0),\ldots,U(x_n,\delta_n)\}\), dengan \(U(x_i,2\delta_i)\subseteq G\) untuk setiap \(i\). Tetapkan \(\delta=\min_{i\le n}\delta_i>0\). Jika \(x\in K\) dan \(y\in B(\tbf{0},\delta)\), maka terdapat \(i\le n\) sedemikian sehingga \(x\in U(x_i,\delta_i)\); sekarang \(\|(x+y)-x_i\|\le\|x-x_i\|+\|y\|<\delta_i+\delta \le 2\delta_i\), sehingga \(x+y\in U(x_i,2\delta_i)\subseteq G\). Karena \(x\) dan \(y\) sebarang, \(K+B(\tbf{0},\delta)\subseteq G\). ∎

Catatan Hasil ini merupakan bentuk sederhana dari lema selimut Lebesgue.

2A2F

Nilai gagasan ‘kekompakan’ sangat bertambah oleh kenyataan bahwa terdapat karakterisasi efektif bagi subhimpunan-subhimpunan kompak dari \(\BbbR^r\).

Teorema Untuk setiap \(r\ge 1\), suatu subhimpunan \(K\) dari \(\BbbR^r\) kompak jika dan hanya jika tertutup dan terbatas.

Bukti

(a) Andaikan \(K\) kompak. Menurut 2A2Ec, himpunan itu tertutup. Untuk melihat bahwa himpunan itu terbatas, pertimbangkan \(\Cal G=\{U(\tbf{0},n):n\in\Bbb N\}\). \(\Cal G\) seluruhnya terdiri atas himpunan terbuka, dan \(\bigcup\Cal G=\Bbb R^r\supseteq K\), sehingga terdapat suatu \(\Cal G_0\subseteq\Cal G\) berhingga yang menutupi \(K\). Harus terdapat \(n\) sedemikian sehingga \(\Cal G_0\subseteq\{U(\tbf{0},i):i\le n\}\), sehingga

\(K\subseteq\bigcup\Cal G_0\subseteq\bigcup_{i\le n}U(\tbf{0},i)=U(\tbf{0},n)\),

dan \(K\) terbatas.

(b) Jadi tersisa konversnya; saya harus menunjukkan bahwa suatu himpunan tertutup terbatas bersifat kompak. Bagian utama argumen ini adalah bukti dengan induksi pada \(r\) bahwa interval tertutup \([-\tbf{n},\tbf{n}]\) kompak untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dengan menuliskan \(\tbf{n}=(n,\ldots,n)\in\Bbb R^r\).

(i) Jika \(r=1\) dan \(n\in\Bbb N\), serta \(\Cal G\) adalah suatu keluarga himpunan terbuka dalam \(\Bbb R\) yang menutupi \([-n,n]\), tetapkan

\(A=\{x:x\in[-n,n],\text{ terdapat suatu }\Cal G_0\subseteq\Cal G\text{ berhingga sedemikian sehingga } [-n,x]\subseteq\bigcup\Cal G_0\}\).

Maka \(-n\in A\), sebab jika \(-n\in G\in\Cal G\), maka \([-n,-n]\subseteq\bigcup\{G\}\), dan \(A\) terbatas di atas oleh \(n\), sehingga \(c=\sup A\) ada dan termasuk dalam \([-n,n]\).

Selanjutnya, \(c\in[-n,n]\subseteq\bigcup\Cal G\), sehingga terdapat \(G\in\Cal G\) yang memuat \(c\). Misalkan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(c,\delta)\subseteq G\). Terdapat \(x\in A\) sedemikian sehingga \(x\ge c-\delta\). Misalkan \(\Cal G_0\) suatu subhimpunan berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \([-n,x]\). Maka \(\Cal G_1=\Cal G_0\cup\{G\}\) adalah subhimpunan berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \([-n,c+{1\over2}\delta]\). Tetapi \(c+{1\over2}\delta\notin A\), sehingga \(c+{1\over2}\delta>n\), dan \(\Cal G_1\) adalah subhimpunan berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \([-n,n]\). Karena \(\Cal G\) sebarang, \([-n,n]\) kompak dan induksi pun dimulai.

(ii) Untuk langkah induksi menuju \(r+1\), pandang interval tertutup \(F=[-\tbf{n},\tbf{n}]\), diambil dalam \(\BbbR^{r+1}\), sebagai produk interval tertutup \(E=[-\tbf{n},\tbf{n}]\), diambil dalam \(\BbbR^r\), dengan interval tertutup \([-n,n]\subseteq\Bbb R\); menurut hipotesis induksi, baik \(E\) maupun \([-n,n]\) kompak. Misalkan \(\Cal G\) suatu keluarga subhimpunan terbuka dari \(\BbbR^{r+1}\) yang menutupi \(F\). Tuliskan \(\Cal H\) untuk keluarga subhimpunan terbuka \(H\) dari \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(H\times[-n,n]\) ditutupi oleh suatu subkeluarga berhingga dari \(\Cal G\). Maka \(E\subseteq\bigcup\Cal H\). Bukti. Ambil \(x\in E\). Tetapkan

\(\Cal U_x=\{U:U\subseteq\Bbb R\text{ terbuka},\,\exists\enskip G\in\Cal G,\text{ terbuka }H\subseteq\BbbR^r,\, x\in H\text{ dan }H\times U\subseteq G\}\).

Maka \(\Cal U_x\) adalah suatu keluarga subhimpunan terbuka dari \(\Bbb R\). Jika \(\xi\in[-n,n]\), terdapat \(G\in\Cal G\) yang memuat \((x,\xi)\); terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U((x,\xi),\delta)\subseteq G\); sekarang \(U(x,\bover12\delta)\) dan \(U(\xi,\bover12\delta)\) masing-masing merupakan himpunan terbuka dalam \(\BbbR^r\), \(\Bbb R\), serta

\(U(x,\bover12\delta)\times U(\xi,\bover12\delta) \subseteq U((x,\xi),\delta)\subseteq G\),

sehingga \(U(\xi,\bover12\delta)\in\Cal U_x\). Karena \(\xi\) sebarang, \(\Cal U_x\) merupakan selimut terbuka dari \([-n,n]\) dalam \(\Bbb R\). Menurut (i), selimut ini mempunyai subselimut berhingga, sebutlah \(U_0,\ldots,U_k\). Untuk setiap \(j\le k\) kita dapat menemukan \(H_j\), \(G_j\) sedemikian sehingga \(H_j\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(\BbbR^r\) yang memuat \(x\) dan \(H_j\times U_j\subseteq G_j\in\Cal G\). Sekarang tetapkan \(H=\bigcap_{j\le k}H_j\). Ini merupakan subhimpunan terbuka dari \(\BbbR^r\) yang memuat \(x\), dan \(H\times[-n,n]\subseteq\bigcup_{j\le k}G_j\) ditutupi oleh suatu subkeluarga berhingga dari \(\Cal G\). Jadi \(x\in H\in\Cal H\). Karena \(x\) sebarang, \(\Cal H\) menutupi \(E\). ∎

(iii) Sekarang hipotesis induksi menyatakan bahwa \(E\) kompak, sehingga terdapat suatu subkeluarga berhingga \(\Cal H_0\) dari \(\Cal H\) yang menutupi \(E\). Untuk setiap \(H\in\Cal H_0\), misalkan \(\Cal G_H\) suatu subkeluarga berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \(H\times[-n,n]\). Maka \(\bigcup_{H\in\Cal H_0}\Cal G_H\) adalah subkeluarga berhingga dari \(\Cal G\) yang menutupi \(E\times[-n,n]=F\). Karena \(\Cal G\) sebarang, \(F\) kompak dan induksi pun berlanjut.

(iv) Jadi interval \([-\tbf{n},\tbf{n}]\) kompak dalam \(\BbbR^r\) untuk setiap \(r\), \(n\). Sekarang andaikan \(K\) suatu himpunan tertutup terbatas dalam \(\BbbR^r\). Maka terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(K\subseteq[-\tbf{n},\tbf{n}]\), yaitu, \(K=K\cap[-\tbf{n},\tbf{n}]\). Karena \(K\) tertutup dan \([-\tbf{n},\tbf{n}]\) kompak, \(K\) kompak menurut 2A2Ea.

Ini menyelesaikan bukti.

2A2G Akibat

Jika \(\phi:D\to\Bbb R\) kontinu, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\), dan \(K\subseteq D\) merupakan himpunan kompak tak kosong, maka \(\phi\) terbatas dan mencapai batas-batasnya pada \(K\).

2A2H Meninjau kembali lim sup dan lim inf

Dalam §1A3 saya membahas secara singkat \(\limsup_{n\to\infty}a_n\), \(\liminf_{n\to\infty}a_n\) untuk barisan real \(\sequencen{a_n}\). Dalam jilid ini kita memerlukan gagasan \(\limsup_{\delta\downarrow 0}f(\delta)\), \(\liminf_{\delta\downarrow 0}f(\delta)\) untuk fungsi real \(f\). Saya katakan bahwa \(\limsup_{\delta\downarrow 0}f(\delta)=u\in[-\infty,\infty]\) jika (i) untuk setiap \(v>u\) terdapat \(\eta>0\) sedemikian sehingga \(f(\delta)\) terdefinisi dan kurang dari atau sama dengan \(v\) untuk setiap \(\delta\in\ocint{0,\eta}\) (ii) untuk setiap \(v<u\) dan \(\eta>0\) terdapat \(\delta\in\ocint{0,\eta}\) sedemikian sehingga \(f(\delta)\) terdefinisi dan lebih besar dari atau sama dengan \(v\). Demikian pula, \(\liminf_{\delta\downarrow 0}f(\delta)=u\in[-\infty,\infty]\) jika (i) untuk setiap \(v<u\) terdapat \(\eta>0\) sedemikian sehingga \(f(\delta)\) terdefinisi dan lebih besar dari atau sama dengan \(v\) untuk setiap \(\delta\in\ocint{0,\eta}\) (ii) untuk setiap \(v>u\) dan \(\eta>0\) terdapat \(\delta\in\ocint{0,\eta}\) sedemikian sehingga \(f(\delta)\) terdefinisi dan kurang dari atau sama dengan \(v\).

2A2I

Dalam kasus satu dimensi, kita mempunyai deskripsi yang sangat sederhana bagi himpunan-himpunan terbuka.

Proposisi Jika \(G\subseteq\Bbb R\) sebarang himpunan terbuka, maka himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan suatu keluarga terhitung dari interval-interval terbuka yang saling lepas.

Bukti

Untuk \(x\), \(y\in G\), tuliskan \(x\sim y\) jika \(x\le y\) dan \([x,y]\subseteq G\), atau \(y\le x\) dan \([y,x]\subseteq G\). Mudah diperiksa bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(G\). Misalkan \(\Cal C\) adalah himpunan kelas-kelas ekuivalensi terhadap \(\sim\). Maka \(\Cal C\) adalah suatu partisi dari \(G\). Sekarang setiap \(C\in\Cal C\) adalah interval terbuka. Bukti. Tetapkan \(a=\inf C\), \(b=\sup C\) (dengan mengizinkan \(a=-\infty\) dan/atau \(b=\infty\) jika \(C\) tak terbatas). Jika \(a<x<b\), terdapat \(y\), \(z\in C\) sedemikian sehingga \(y\le x\le z\), sehingga \([y,x]\subseteq[y,z]\subseteq G\) dan \(y\sim x\) serta \(x\in C\); jadi \(\ooint{a,b}\subseteq C\). Jika \(x\in C\), terdapat interval terbuka \(I\) yang memuat \(x\) dan termuat dalam \(G\); karena \(x\sim y\) untuk setiap \(y\in I\), \(I\subseteq C\); jadi

\(a\le\inf I<x<\sup I\le b\)

dan \(x\in\ooint{a,b}\). Jadi \(C=\ooint{a,b}\) adalah interval terbuka. ∎

Untuk melihat bahwa \(\Cal C\) terhitung, perhatikan bahwa setiap anggota \(\Cal C\) memuat suatu anggota \(\Bbb Q\), sehingga kita mempunyai suatu fungsi surjektif dari subhimpunan \(\Bbb Q\) ke \(\Cal C\), dan \(\Cal C\) terhitung (1A1E).