Ruang bernorma — Fondasi Teori Ukuran

Dalam Bab 24 saya membahas ruang-ruang \(L^p\), untuk \(1\le p\le\infty\), dan menguraikan sifat-sifatnya yang paling mendasar. Ruang-ruang ini membentuk sekelompok contoh fundamental bagi teori umum ruang bernorma, yang merupakan landasan analisis fungsional. Buku ini bukanlah buku yang seharusnya Anda gunakan untuk mempelajari teori tersebut, tetapi sekali lagi, mungkin akan memudahkan Anda jika saya menguraikan secara ringkas bagian-bagian teori umum yang mutlak diperlukan untuk memahami gagasan-gagasan di sini.

2A4A Lapangan real dan kompleks

Meskipun bagian-bagian terpenting teori ini, dari sudut pandang teori ukur, paling efektif ditangani dalam ruang linear real, terdapat banyak penerapan yang mutlak memerlukan ruang linear kompleks. Karena itu, saya akan menggunakan ungkapan

“\(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\)”

untuk menyatakan bahwa \(U\) adalah ruang linear atas lapangan \(\Bbb R\) atau ruang linear atas lapangan \(\Bbb C\); dipahami bahwa dalam setiap konteks tertentu, semua ruang linear yang dibahas berada di atas lapangan yang sama. Dengan cara serupa, saya akan menulis “\(\alpha\in\RoverC\)” untuk menyatakan bahwa \(\alpha\) termasuk dalam lapangan dasar yang sedang digunakan.

2A4B Definisi (a)

Sebuah ruang bernorma adalah ruang linear \(U\) atas \(\RoverC\) yang dilengkapi dengan sebuah norma, yaitu fungsional \(\|\,\|:U\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga

\(\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|\) untuk semua \(u\), \(v\in U\),

\(\|\alpha u\|=|\alpha|\|u\|\) untuk \(u\in U\), \(\alpha\in\RoverC\),

\(\|u\|=0\) hanya jika \(u=0\), yaitu vektor nol di \(U\).

(Perhatikan bahwa jika \(u=0\) (vektor nol), maka \(0u=u\) (dengan \(0\) yang ini adalah skalar nol), sehingga \(\|u\|=|0|\|u\|=0\).)

2A4Bb (b)

Jika \(U\) adalah ruang bernorma, maka kita memperoleh metrik \(\rho\) pada \(U\) dengan menetapkan bahwa \(\rho(u,v)=\|u-v\|\) untuk \(u\), \(v\in U\). Bukti. \(\rho(u,v)\in\coint{0,\infty}\) untuk semua \(u\), \(v\), karena \(\|u\|\in\coint{0,\infty}\) untuk setiap \(u\). \(\rho(u,v)=\rho(v,u)\) untuk semua \(u\), \(v\), karena \(\|v-u\|=|-1|\|u-v\|=\|u-v\|\) untuk semua \(u\), \(v\). Jika \(u\), \(v\), \(w\in U\), maka \(\rho(u,w)=\|u-w\|=\|(u-v)+(v-w)\|\le\|u-v\|+\|v-w\| =\rho(u,v)+\rho(v,w)\). Jika \(\rho(u,v)=0\), maka \(\|u-v\|=0\), sehingga \(u-v=0\) dan \(u=v\). ∎

Dengan demikian, kita memperoleh topologi yang bersesuaian, beserta himpunan terbuka dan tertutup, penutupan, barisan konvergen, dan sebagainya.

2A4Bc (c)

Jika \(U\) adalah ruang bernorma, suatu himpunan \(A\subseteq U\) disebut terbatas (terhadap normanya) jika \(\{\|u\|:u\in A\}\) terbatas di \(\Bbb R\); yaitu, terdapat \(M\ge 0\) sehingga \(\|u\|\le M\) untuk setiap \(u\in A\).

2A4C Subruang linear (a)

Jika \(U\) adalah sebarang ruang bernorma dan \(V\) adalah subruang linear dari \(U\), maka \(V\) juga merupakan ruang bernorma, apabila norma pada \(V\) diambil sebagai pembatasan pada \(V\) dari norma \(U\); verifikasinya langsung.

2A4Cb (b)

Jika \(V\) adalah subruang linear dari \(U\), maka penutupannya \(\overline{V}\) juga demikian. Bukti. Ambil \(u\), \(u'\in\overline{V}\) dan \(\alpha\in\RoverC\). Jika \(\epsilon>0\), tetapkan \(\delta=\epsilon/(2+|\alpha|)>0\); maka terdapat \(v\), \(v'\in V\) sedemikian sehingga \(\|u-v\|\le\delta\) dan \(\|u'-v'\|\le\delta\). Sekarang \(v+v'\), \(\alpha v\in V\) dan \(\|(u+u')-(v+v')\|\le\|u-v\|+\|u'-v'\|\le\epsilon\), \(\|\alpha u-\alpha v\|\le|\alpha|\|u-v\|\le\epsilon\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(u+u'\) dan \(\alpha u\) termasuk dalam \(\overline{V}\); karena \(u\), \(u'\), dan \(\alpha\) sebarang, dan \(0\) tentu termasuk dalam \(V\subseteq\overline{V}\), maka \(\overline{V}\) adalah subruang linear dari \(U\). ∎

2A4D Ruang Banach (a)

Jika \(U\) adalah ruang bernorma, suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) di \(U\) disebut Cauchy jika \(\|u_m-u_n\|\to 0\) ketika \(m\), \(n\to\infty\), yaitu, untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|u_m-u_n\|\le\epsilon\) untuk semua \(m\), \(n\ge n_0\).

2A4Db (b)

Sebuah ruang bernorma \(U\) disebut lengkap jika setiap barisan Cauchy mempunyai limit; ruang bernorma lengkap disebut ruang Banach.

2A4E

Hasil berikut berguna untuk diketahui.

Lema Misalkan \(U\) adalah ruang bernorma sedemikian sehingga \(\sequencen{u_n}\) konvergen (yaitu, mempunyai limit) di \(U\) setiap kali \(\sequencen{u_n}\) adalah barisan di \(U\) yang memenuhi \(\|u_{n+1}-u_n\|\le 4^{-n}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka \(U\) lengkap.

Bukti

Misalkan \(\sequencen{u_n}\) adalah sebarang barisan Cauchy di \(U\). Untuk setiap \(k\in\Bbb N\), ambil \(n_k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|u_{m}-u_n\|\le 4^{-k}\) apabila \(m\), \(n\ge n_k\). Tetapkan \(v_k=u_{n_k}\) untuk setiap \(k\). Maka \(\|v_{k+1}-v_k\|\le 4^{-k}\) (baik \(n_k\le n_{k+1}\) maupun \(n_{k+1}\le n_k\)). Jadi \(\sequence{k}{v_k}\) mempunyai limit \(v\in U\). Saya akan menunjukkan bahwa \(v\) adalah limit yang diperlukan dari \(\sequencen{u_n}\). Diberikan \(\epsilon>0\), ambil \(l\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|v_k-v\|\le\epsilon\) untuk setiap \(k\ge l\); ambil \(k\ge l\) sedemikian sehingga \(4^{-k}\le\epsilon\); maka jika \(n\ge n_k\),

\(\|u_n-v\|=\|(u_n-v_k)+(v_k-v)\| \le\|u_n-v_k\|+\|v_k-v\| \le\|u_n-u_{n_k}\|+\epsilon \le 2\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(v\) adalah limit dari \(\sequencen{u_n}\). Karena \(\sequencen{u_n}\) sebarang, \(U\) lengkap.

2A4F Operator linear terbatas (a)

Misalkan \(U\), \(V\) adalah dua ruang bernorma. Sebuah operator linear \(T:U\to V\) disebut terbatas jika \(\{\|Tu\|:u\in U,\,\|u\|\le 1\}\) terbatas. (Peringatan! Dalam konteks ini, kita tidak mensyaratkan agar seluruh himpunan nilai \(T[U]\) terbatas; sebuah “operator linear terbatas” tidak harus merupakan apa yang biasanya kita sebut “fungsi terbatas”.) Tuliskan \(\eurm B(U;V)\) untuk ruang semua operator linear terbatas dari \(U\) ke \(V\), dan untuk \(T\in \eurm B(U;V)\) tuliskan \(\|T\|= \sup\{\|Tu\|:u\in U,\,\|u\|\le 1\}\).

2A4Fb (b)

Fakta yang berguna: \(\|Tu\|\le\|T\|\|u\|\) apabila \(T\in\eurm B(U;V)\) dan \(u\in U\). Bukti. Jika \(|\alpha|>\|u\|\), maka \(\|\Bover1{\alpha}u\|=\Bover1{|\alpha|}\|u\|\le 1\), sehingga \(\|Tu\|=\|\alpha T(\Bover1{\alpha}u)\| =|\alpha|\|T(\Bover1{\alpha}u)\|\le|\alpha|\|T\|\); karena \(\alpha\) sebarang, \(\|Tu\|\le\|T\|\|u\|\). ∎

2A4Fc (c)

Sebuah operator linear \(T:U\to V\) terbatas jika dan hanya jika operator itu kontinu untuk topologi norma pada \(U\) dan \(V\). Bukti. (i) Jika \(T\) terbatas, \(u_0\in U\), dan \(\epsilon>0\), maka \(\|Tu-Tu_0\|=\|T(u-u_0)\|\le\|T\|\|u-u_0\|\le\epsilon\) apabila \(\|u-u_0\|\le\Bover{\epsilon}{1+\|T\|}\); menurut 2A3H, \(T\) kontinu. (ii) Jika \(T\) kontinu, maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|Tu\|=\|Tu-T0\|\le 1\) apabila \(\|u\|=\|u-0\|\le\delta\). Jika sekarang \(\|u\|\le 1\), \(\|Tu\|=\Bover1{\delta}\|T(\delta u)\|\le\Bover1{\delta}\), sehingga \(T\) adalah operator terbatas. ∎

2A4Fd (d)

Jika \(U\), \(V\), dan \(W\) adalah ruang bernorma, \(S\in\eurm B(U;V)\) dan \(T\in\eurm B(V;W)\), maka \(TS\in\eurm B(U;W)\) dan \(\|TS\|\le\|T\|\|S\|\). Bukti. Saya mengandaikan bahwa Anda sudah mengetahui, tetapi bagaimanapun juga mudah diperiksa, bahwa \(TS:U\to W\) adalah operator linear. Sekarang, jika \(u\in U\) dan \(\|u\|\le 1\), \(\|TSu\|=\|T(Su)\|\le\|T\|\|Su\|\le\|T\|\|S\|\) (menggunakan (b) untuk pertidaksamaan di tengah), sehingga \(TS\) terbatas dan \(\|TS\|\le\|T\|\|S\|\). ∎

2A4G Teorema

\(\eurm B(U;V)\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\), dan \(\|\,\|\) adalah norma pada \(\eurm B(U;V)\).

Bukti

Seperti dalam 2A4Fd, mudah diperiksa bahwa jika \(S:U\to V\) dan \(T:U\to V\) adalah operator linear, dan \(\alpha\in\RoverC\), maka kita memperoleh operator linear \(S+T\) dan \(\alpha T\) dari \(U\) ke \(V\) yang didefinisikan oleh rumus

\((S+T)(u)=Su+Tu\), \((\alpha T)(u)=\alpha(Tu)\)

untuk setiap \(u\in U\); selain itu, menurut definisi penjumlahan dan perkalian skalar ini, ruang semua operator linear dari \(U\) ke \(V\) merupakan ruang linear. Sekarang terlihat bahwa apabila \(S\), \(T\in\eurm B(U;V)\), \(\alpha\in\RoverC\), \(u\in U\), dan \(\|u\|\le 1\),

\(\|(S+T)(u)\|=\|Su+Tu\|\le\|Su\|+\|Tu\|\le\|S\|+\|T\|\),

\(\|(\alpha T)u\|=\|\alpha(Tu)\|=|\alpha|\|Tu\|\le|\alpha|\|T\|\);

sehingga \(S+T\) dan \(\alpha T\) termasuk dalam \(\eurm B(U;V)\), dengan \(\|S+T\|\le\|S\|+\|T\|\) dan \(\|\alpha T\|\le|\alpha|\|T\|\). Ini menunjukkan bahwa \(\eurm B(U;V)\) adalah subruang linear dari ruang semua operator linear, dan karena itu merupakan ruang linear atas \(\RoverC\). Untuk memeriksa bahwa rumus yang diberikan untuk \(\|T\|\) mendefinisikan norma, sebagian besar pekerjaan telah selesai; demi kelengkapan formal, perlu saya catat bahwa \(\|T\|\in\coint{0,\infty}\) untuk setiap \(T\); jika \(\alpha=0\), maka tentu saja \(\|\alpha T\|=0=|\alpha|\|T\|\); untuk \(\alpha\) lainnya,

\(|\alpha|\|T\|=|\alpha|\|\alpha^{-1}\alpha T\| \le|\alpha||\alpha^{-1}|\|\alpha T\|=\|\alpha T\|\le|\alpha|\|T\|\),

sehingga \(\|\alpha T\|=|\alpha|\|T\|\). Akhirnya, jika \(\|T\|=0\), maka \(\|Tu\|\le\|T\|\|u\|=0\) untuk setiap \(u\in U\), sehingga \(Tu=0\) untuk setiap \(u\) dan \(T\) adalah operator nol (dalam ruang semua operator linear, dan dengan demikian juga dalam subruangnya \(\eurm B(U;V)\)).

2A4H Ruang dual

Kasus terpenting dari \(\eurm B(U;V)\) adalah ketika \(V\) merupakan lapangan skalar \(\RoverC\) itu sendiri (tentu saja kita dapat memandang \(\RoverC\) sebagai ruang bernorma atas dirinya sendiri, dengan menulis \(\|\alpha\|=|\alpha|\) untuk setiap skalar \(\alpha\)). Dalam hal ini, \(\eurm B(U;\RoverC)\) disebut dual dari \(U\); ruang ini lazim dinotasikan dengan \(U'\) atau \(U^*\); saya menggunakan yang terakhir.

2A4I Perluasan operator terbatas: Teorema

Misalkan \(U\) adalah ruang bernorma dan \(V\subseteq U\) subruang linear yang rapat. Misalkan \(W\) adalah ruang Banach dan \(T_0:V\to W\) operator linear terbatas; maka terdapat tepat satu operator linear terbatas \(T:U\to W\) yang memperluas \(T_0\), dan \(\|T\|=\|T_0\|\).

Bukti

(a) Untuk setiap \(u\in U\), terdapat barisan \(\sequencen{v_n}\) di \(V\) yang konvergen ke \(u\). Sekarang

\(\|T_0v_m-T_0v_n\|=\|T_0(v_m-v_n)\| \le\|T_0\|\|v_m-v_n\|\le\|T_0\|(\|v_m-u\|+\|u-v_n\|) \to 0\)

ketika \(m\), \(n\to\infty\), sehingga \(\sequencen{T_0v_n}\) adalah barisan Cauchy dan \(w=\lim_{n\to\infty}T_0v_n\) terdefinisi di \(W\). Jika \(\sequencen{v'_n}\) adalah barisan lain di \(V\) yang konvergen ke \(u\), maka

\[\begin{aligned}\|w-T_0v'_n\| &\le\|w-T_0v_n\|+\|T_0(v_n-v'_n)\|\\ &\le\|w-T_0v_n\|+\|T_0\|(\|v_n-u\|+\|u-v'_n\|)\to 0\\\end{aligned}\]

ketika \(n\to\infty\), sehingga \(w\) juga merupakan limit dari \(\sequencen{T_0v'_n}\).

(b) Karena itu, kita dapat mendefinisikan \(T:U\to W\) dengan menetapkan \(Tu=\lim_{n\to\infty}T_0v_n\) apabila \(\sequencen{v_n}\) adalah barisan di \(V\) yang konvergen ke \(u\). Jika \(v\in V\), kita dapat menetapkan \(v_n=v\) untuk setiap \(n\) dan melihat bahwa \(Tv=T_0v\); jadi \(T\) memperluas \(T_0\). Jika \(u\), \(u'\in U\) dan \(\alpha\in\RoverC\), ambil barisan \(\sequencen{v_n}\), \(\sequencen{v'_n}\) di \(V\) yang masing-masing konvergen ke \(u\), \(u'\); dalam hal ini

\(\|(u+u')-(v_n+v'_n)\|\le\|u-v_n\|+\|u'-v'_n\|\to 0\), \(\|\alpha u-\alpha v_n\|=|\alpha|\|u-v_n\|\to 0\)

ketika \(n\to\infty\), sehingga \(T(u+u')=\lim_{n\to\infty}T_0(v_n+v'_n)\), \(T(\alpha u)=\lim_{n\to\infty}T_0(\alpha v_n)\), dan

\[\begin{aligned}\|T(u+u')-Tu-Tu'\| &\le\|T(u+u')-T_0(v_n+v'_n)\|+\|T_0v_n-Tu\|+\|T_0v'_n-Tu'\|\\ &\to 0,\\\end{aligned}\]

\(\|T(\alpha u)-\alpha Tu\| \le\|T(\alpha u)-T_0(\alpha v_n)\|+|\alpha|\|T_0v_n-Tu\|\to 0\)

ketika \(n\to\infty\). Ini berarti \(\|T(u+u')-Tu-Tu'\|=0\), \(\|T(\alpha u)-\alpha Tu\|=0\), sehingga \(T(u+u')=Tu+Tu'\) dan \(T(\alpha u)=\alpha Tu\); karena \(u\), \(u'\), dan \(\alpha\) sebarang, \(T\) linear.

(c) Untuk setiap \(u\in U\), misalkan \(\sequencen{v_n}\) adalah barisan di \(V\) yang konvergen ke \(u\). Maka

\[\begin{aligned}\|Tu\| &\le\|T_0v_n\|+\|Tu-T_0v_n\| \le\|T_0\|\|v_n\|+\|Tu-T_0v_n\|\\ &\le\|T_0\|(\|u\|+\|v_n-u\|)+\|Tu-T_0v_n\| \to\|T_0\|\|u\|\\\end{aligned}\]

ketika \(n\to\infty\), sehingga \(\|Tu\|\le\|T_0\|\|u\|\). Karena \(u\) sebarang, \(T\) terbatas dan \(\|T\|\le\|T_0\|\). Tentu saja \(\|T\|\ge\|T_0\|\) karena \(T\) memperluas \(T_0\).

(d) Akhirnya, misalkan \(\tilde T\) adalah operator linear terbatas lain dari \(U\) ke \(W\) yang memperluas \(T_0\). Jika \(u\in U\), terdapat barisan \(\sequencen{v_n}\) di \(V\) yang konvergen ke \(u\); sekarang

\(\|\tilde Tu-Tu\|\le\|\tilde T(u-v_n)\|+\|T(v_n-u)\| \le(\|\tilde T\|+\|T\|)\|u-v_n\|\to 0\)

ketika \(n\to\infty\), sehingga \(\|\tilde Tu-Tu\|=0\) dan \(\tilde Tu=Tu\). Karena \(u\) sebarang, \(\tilde T=T\). Jadi \(T\) tunggal.

2A4J Aljabar bernorma (a)

Sebuah aljabar bernorma adalah ruang bernorma \((U,\|\,\|)\) yang dilengkapi dengan suatu perkalian, yaitu operator biner \(\times\) pada \(U\), sedemikian sehingga

\(u\times(v\times w)=(u\times v)\times w\),

\(u\times(v+w)=(u\times v)+(u\times w)\), \((u+v)\times w=(u\times w)+(v\times w)\),

\((\alpha u)\times v=u\times(\alpha v)=\alpha(u\times v)\),

\(\|u\times v\|\le\|u\|\|v\|\)

untuk semua \(u\), \(v\), \(w\in U\) dan \(\alpha\in\RoverC\).

2A4Jb (b)

Sebuah aljabar Banach adalah aljabar bernorma yang merupakan ruang Banach. Sebuah aljabar bernorma \(U\) disebut komutatif jika perkaliannya komutatif, yaitu, \(u\times v=v\times u\) untuk semua \(u\), \(v\in U\).

2A4K Definisi

Sebuah ruang bernorma \(U\) disebut konveks seragam jika untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|u+v\|\le 2-\delta\) apabila \(u\), \(v\in U\), \(\|u\|=\|v\|=1\), dan \(\|u-v\|\ge\epsilon\).