© 2004
Saya kira kebanyakan mata kuliah kalkulus dasar masih menyediakan waktu yang cukup banyak untuk berlatih teknik mengintegralkan fungsi-fungsi standar. Tentulah teknik tunggal yang paling ampuh ialah substitusi: mengganti \(\int g(y)dy\) dengan \(\int g(\phi(x))\phi'(x)dx\) untuk suatu fungsi \(\phi\) yang sesuai. Pada tingkat ini, perhatian biasanya dipusatkan pada keterampilan menebak \(\phi\) yang sesuai dan menuliskan rumus-rumus dengan tepat. Saya tidak akan membahas persoalan semacam itu di sini, kecuali dalam beberapa kasus khusus yang jarang; dalam buku ini perhatian saya justru tertuju pada pembenaran proses tersebut. Untuk fungsi satu variabel, proses ini biasanya dapat dibenarkan dengan merujuk pada Teorema Dasar Kalkulus, dan untuk setiap kasus tertentu saya biasanya akan terlebih dahulu menuju §225 dengan harapan hasil-hasil di sana mencakupnya. Namun, untuk fungsi dua variabel atau lebih diperlukan beberapa gagasan yang jauh lebih mendalam.
Saya telah membahas persoalan umum integrasi dengan substitusi dalam ruang ukur abstrak di §235. Di sana saya menguraikan syarat-syarat yang menjamin \(\int g(y)dy=\int g(\phi(x))J(x)dx\) untuk suatu fungsi \(J\) yang sesuai. Konteks di sana hampir tidak memberi petunjuk tentang cara menghitung \(J\); paling banter, fungsi tersebut dapat disajikan sebagai turunan Radon–Nikodým (235M). Dalam bab ini saya memberikan suatu bentuk teorema dasar untuk kasus ukuran Lebesgue, dengan \(\phi\) suatu fungsi yang sedikit banyak terdiferensialkan antara ruang-ruang Euklides, dan \(J\) suatu ‘Jacobian’, yaitu modulus determinan turunan \(\phi\) (263D). Hal ini dengan sendirinya bergantung pada penyelidikan yang serius tentang hubungan antara ukuran Lebesgue dan geometri. Langkah pertama ialah menetapkan suatu bentuk teorema Vitali untuk ruang berdimensi \(r\), beserta teorema-teorema kerapatan berdimensi \(r\); saya mengerjakannya dalam §261 dengan mengikuti secara dekat rancangan §§221 dan 223 di atas. Kita perlu mengetahui cukup banyak tentang fungsi terdiferensialkan antara ruang-ruang Euklides, dan ternyata teorinya berjalin dengan teori fungsi ‘Lipschitz’; keduanya saya bahas dalam §262.
Dalam dua bagian berikutnya dari bab ini, saya beralih ke suatu persoalan terpisah yang ternyata cocok ditangani dengan beberapa teknik yang sama: penguraian ukuran permukaan pada permukaan (mulus) dalam ruang Euklides, seperti permukaan kerucut atau bola. Saya kira tidak sulit membentuk intuisi yang kukuh tentang apa yang dimaksud dengan ‘luas’ permukaan demikian dan daerah-daerah yang cukup sederhana di dalamnya, dan terdapat dugaan yang sangat kuat bahwa intuisi ini seharusnya dapat diungkapkan dalam istilah teori ukuran sebagaimana disajikan dalam buku ini; tetapi menurut saya rinciannya tidak sederhana. Hal pertama yang perlu diperhatikan ialah bahwa untuk setiap perhitungan luas suatu daerah \(G\) pada permukaan \(S\), kita akan selalu langsung beralih ke suatu parametrisasi daerah itu, yakni bijeksi \(\phi:D\to G\) dari suatu subhimpunan \(D\) dalam ruang Euklides. Namun, jelas bahwa kita perlu memastikan hasil perhitungan tidak bergantung pada parametrisasi yang dipilih. Walaupun teori ini mungkin saja didasarkan pada hasil-hasil yang menunjukkan ketakbergantungan tersebut secara langsung, hal itu menurut saya tidak sungguh mencerminkan intuisi yang mendasarinya, yakni bahwa luas permukaan-permukaan sederhana, setidaknya, merupakan sesuatu yang intrinsik bagi geometrinya. Karena itu, saya tidak melihat alternatif yang dapat diterima selain teori ‘ukuran berdimensi \(r\)’ yang dapat diuraikan dengan istilah yang sepenuhnya geometris. Inilah pokok §264, tempat saya memberikan definisi dan sifat-sifat paling mendasar dari ukuran Hausdorff berdimensi \(r\) dalam ruang Euklides. Setelah dasar ini tersedia, kita mendapati bahwa teknik-teknik §§261-263 cukup untuk menghubungkannya dengan perhitungan melalui parametrisasi, sebagaimana saya kerjakan dalam §265.
Bab ini diakhiri dengan uraian singkat tentang ketaksamaan Brunn–Minkowski (266C), yang merupakan alat penting bagi teori ukuran geometris himpunan konveks.