Menyederhanakan dan Menggunakan Akar Kuadrat

Menyederhanakan Bentuk dengan Akar Kuadrat

Untuk memulai bagian ini, kita perlu meninjau beberapa istilah dan notasi penting.

Ingatlah bahwa ketika suatu bilangan $n$ dikalikan dengan dirinya sendiri, kita dapat menuliskannya sebagai $n^{2},$ yang dibaca $“ n kuadrat.”$ Misalnya, $8^{2}$ dibaca $“8 kuadrat.”$

Kita menyebut $64$ sebagai kuadrat dari $8$ karena $8^{2} = 64 .$ Demikian pula, $121$ adalah kuadrat dari $11,$ karena $11^{2} = 121 .$

Memodelkan Kuadrat

Tahukah Anda mengapa kita menggunakan kata kuadrat? Jika kita menyusun sebuah persegi dengan tiga ubin pada setiap sisinya, jumlah seluruh ubin adalah sembilan.

Sebuah persegi dengan 3 ubin pada setiap sisinya. Jumlah seluruh ubin di dalam persegi adalah 9.

Inilah sebabnya kita mengatakan bahwa kuadrat dari tiga adalah sembilan.

3^{2} = 9

Bilangan $9$ disebut kuadrat sempurna karena merupakan kuadrat dari suatu bilangan cacah.

Tabel tersebut menunjukkan kuadrat dari bilangan asli $1$ sampai $15 .$ Anda dapat menggunakannya untuk membantu mengenali kuadrat sempurna.

Tabel dua baris dan tujuh belas kolom. Baris Bilangan memuat n, lalu 1 sampai 15. Baris Kuadrat memuat n kuadrat, lalu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, dan 225.

Apa yang terjadi ketika Anda menguadratkan bilangan negatif?

\begin{matrix} {(−8)}^{2} & = (−8) (−8) \\ = 64 \end{matrix}

Ketika kita mengalikan dua bilangan negatif, hasil kalinya selalu positif. Jadi, kuadrat dari bilangan negatif selalu positif.

Tabel tersebut menunjukkan kuadrat dari bilangan bulat negatif $−1$ sampai $−15 .$

Tabel dua baris dan tujuh belas kolom. Baris Bilangan memuat n, lalu negatif 1 sampai negatif 15. Baris Kuadrat memuat n kuadrat, lalu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, dan 225.

Apakah Anda memperhatikan bahwa kuadrat-kuadrat ini sama dengan kuadrat dari bilangan-bilangan positif?

Akar Kuadrat

Kadang-kadang kita perlu melihat hubungan antara bilangan dan kuadratnya secara terbalik. Karena $10^{2} = 100,$ kita mengatakan bahwa $100$ adalah kuadrat dari $10 .$ Kita juga dapat mengatakan bahwa $10$ adalah akar kuadrat dari $100 .$

Perhatikan bahwa ${(−10)}^{2} = 100$ juga, sehingga $−10$ juga merupakan akar kuadrat dari $100 .$ Oleh karena itu, baik $10$ maupun $−10$ merupakan akar kuadrat dari $100 .$

Jadi, setiap bilangan positif memiliki dua akar kuadrat: satu positif dan satu negatif.

Bagaimana jika kita hanya menginginkan akar kuadrat positif dari suatu bilangan positif? Tanda akar, $\sqrt{},$ menyatakan akar kuadrat positif. Akar kuadrat positif juga disebut akar kuadrat utama.

Kita juga dapat menggunakan tanda akar untuk akar kuadrat dari nol. Karena $0^{2} = 0, \sqrt{0} = 0 .$ Perhatikan bahwa nol hanya memiliki satu akar kuadrat.

Tabel tersebut menunjukkan akar kuadrat dari $15$ bilangan kuadrat sempurna pertama.

Tabel dua baris dan lima belas kolom. Baris atas memuat akar kuadrat dari 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, dan 225. Baris bawah memuat hasilnya: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, dan 15.

Sederhanakan: ⓐ $\sqrt{25}$ ⓑ $\sqrt{121} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menunjukkan proses menentukan akar kuadrat dari 25, beserta bentuk, hasil, dan alasan matematisnya.
ⓐ
	$\sqrt{25}$
Karena $5^{2} = 25$	$5$

Tabel yang menunjukkan cara menentukan akar kuadrat dari 121, beserta alasan matematis dan hasilnya.
ⓑ
	$\sqrt{121}$
Karena $11^{2} = 121$	$11$

Setiap bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, dan tanda akar menunjukkan akar yang positif. Kita menuliskan $\sqrt{100} = 10 .$ Jika kita ingin menentukan akar kuadrat negatif dari suatu bilangan, kita menempatkan tanda negatif di depan tanda akar. Misalnya, $- \sqrt{100} = −10 .$

Sederhanakan. ⓐ $- \sqrt{9}$ ⓑ $- \sqrt{144} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan −√9 dengan menekankan bahwa tanda negatif berada di luar tanda akar.
ⓐ
	$- \sqrt{9}$
Tanda negatif berada di depan tanda akar.	$- 3$

Tabel yang menunjukkan penghitungan −√144 dan menjelaskan bahwa tanda negatif diterapkan setelah akar kuadrat dihitung.
ⓑ
	$- \sqrt{144}$
Tanda negatif berada di depan tanda akar.	$- 12$

Akar Kuadrat dari Bilangan Negatif

Dapatkah kita menyederhanakan $\sqrt{−25} ?$ Adakah bilangan yang kuadratnya $−25 ?$

{()}^{2} = −25 ?

Tidak satu pun bilangan yang telah kita pelajari sejauh ini memiliki kuadrat $−25 .$ Mengapa? Kuadrat bilangan positif selalu positif, dan kuadrat bilangan negatif juga positif. Dalam bab yang dibahas kemudian, kita akan melihat bahwa semua bilangan yang kita gunakan ini disebut bilangan real. Jadi, kita mengatakan bahwa tidak ada bilangan real yang sama dengan $\sqrt{−25} .$ Jika kita diminta menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif, kita mengatakan bahwa hasilnya bukan bilangan real.

Sederhanakan: ⓐ $\sqrt{−169}$ ⓑ $- \sqrt{121} .$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Tidak ada bilangan real yang kuadratnya $−169 .$ Oleh karena itu, $\sqrt{−169}$ bukan bilangan real.

ⓑ Tanda negatif berada di depan tanda akar, sehingga kita menentukan lawan dari akar kuadrat $121 .$

Tabel yang mengevaluasi −√121 dengan menunjukkan bahwa tanda negatif berada di depan tanda akar, lalu memperoleh hasil −11.
	$- \sqrt{121}$
Tanda negatif berada di depan tanda akar.	$- 11$

Akar Kuadrat dan Urutan Operasi

Ketika menggunakan urutan operasi untuk menyederhanakan bentuk yang memuat akar kuadrat, kita memperlakukan tanda akar sebagai simbol pengelompokan. Kita menyederhanakan setiap bentuk di bawah tanda akar sebelum melakukan operasi lain.

Sederhanakan: ⓐ $\sqrt{25} + \sqrt{144}$ ⓑ $\sqrt{25 + 144} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyelesaian bertahap yang menggunakan urutan operasi untuk menghitung √25 + √144 hingga memperoleh 17.
ⓐ Gunakan urutan operasi.
	$\sqrt{25} + \sqrt{144}$
Sederhanakan setiap bentuk akar.	$5 + 12$
Jumlahkan.	$17$

Penyelesaian bertahap yang menyederhanakan √(25 + 144) dengan menjumlahkan di bawah tanda akar, lalu memperoleh 13.
ⓑ Gunakan urutan operasi.
	$\sqrt{25 + 144}$
Jumlahkan di bawah tanda akar.	$\sqrt{169}$
Sederhanakan.	$13$

Perhatikan perbedaan jawaban pada bagian ⓐ dan ⓑ dalam . Urutan operasi harus diikuti dengan benar. Pada ⓐ, kita menentukan setiap akar kuadrat terlebih dahulu, lalu menjumlahkannya. Pada ⓑ, kita menjumlahkan bilangan di bawah tanda akar terlebih dahulu, lalu menentukan akar kuadratnya.

Menaksir Akar Kuadrat

Sejauh ini kita hanya mengerjakan akar kuadrat dari kuadrat sempurna. Akar kuadrat dari bilangan lain bukanlah bilangan cacah.

Tabel dua kolom dan tujuh baris. Kolom Bilangan memuat 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kolom Akar kuadrat memuat √4 = 2, √5, √6, √7, √8, dan √9 = 3.

Kita dapat menyimpulkan bahwa akar kuadrat dari bilangan-bilangan di antara $4$ dan $9$ berada di antara $2$ dan $3,$ dan bukan bilangan cacah. Berdasarkan pola pada tabel di atas, kita dapat mengatakan bahwa $\sqrt{5}$ berada di antara $2$ dan $3 .$ Dengan menggunakan simbol pertidaksamaan, kita menuliskan

2 < \sqrt{5} < 3

Taksirlah $\sqrt{60}$ di antara dua bilangan cacah berurutan.

Solusi

Penyelesaian

Pikirkan kuadrat sempurna yang paling dekat dengan $60 .$ Buatlah tabel kecil yang memuat kuadrat-kuadrat sempurna tersebut beserta akar kuadratnya.

Tabel dua kolom memuat bilangan 36, 49, 64, dan 81 beserta akar kuadratnya 6, 7, 8, dan 9. Penunjuk menempatkan 60 di antara 49 dan 64 serta √60 di antara 7 dan 8.

Tabel yang mengapit suatu bilangan di antara dua kuadrat sempurna berurutan dan akar kuadratnya di antara akar kedua kuadrat sempurna tersebut.
$Tempatkan 60 di antara dua kuadrat sempurna berurutan.$	$49 < 60 < 64$
$\sqrt{60} berada di antara akar kuadrat keduanya.$	$7 < \sqrt{60} < 8$

Mengaproksimasi Akar Kuadrat dengan Kalkulator

Ada berbagai metode matematis untuk mengaproksimasi akar kuadrat, tetapi menggunakan kalkulator jauh lebih praktis. Temukan tombol $\sqrt{}$ atau $\sqrt{x}$ pada kalkulator Anda. Anda perlu menggunakan tombol ini untuk mengaproksimasi akar kuadrat. Ketika Anda menggunakan kalkulator untuk menentukan akar kuadrat dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna, jawaban yang terlihat bukanlah nilai tepat. Jawaban tersebut merupakan aproksimasi hingga sejumlah digit yang ditampilkan pada layar kalkulator. Simbol aproksimasi adalah $\approx$ dan dibaca kira-kira sama dengan.

Misalkan kalkulator Anda memiliki layar $10 digit$ . Jika digunakan untuk menentukan akar kuadrat dari $5$ , kalkulator akan menghasilkan $2.236067978 .$ Nilai ini merupakan aproksimasi akar kuadrat dari $5 .$ Ketika melaporkan jawaban, kita harus menggunakan tanda “kira-kira sama dengan”, bukan tanda sama dengan.

\sqrt{5} \approx 2.236067978

Dalam penerapan aljabar, Anda jarang menggunakan digit sebanyak ini. Jadi, jika Anda ingin membulatkan $\sqrt{5}$ hingga dua tempat desimal, Anda akan menuliskan

\sqrt{5} \approx 2.24

Bagaimana kita mengetahui bahwa nilai-nilai ini merupakan aproksimasi, bukan nilai tepat? Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menguadratkannya.

\begin{matrix} {2.236067978}^{2} & = & 5.000000002 \\ {2.24}^{2} & = & 5.0176 \end{matrix}

Kuadrat-kuadrat tersebut mendekati $5 .$ Namun, keduanya tidak tepat sama dengan bilangan tersebut.

Dengan menggunakan kalkulator, bulatkan $\sqrt{17}$ hingga dua tempat desimal.

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menunjukkan penghitungan dan pembulatan akar kuadrat dari 17 secara bertahap, dari bentuk awal hingga hasil kalkulator dan aproksimasi akhirnya.
	$\sqrt{17}$
Gunakan tombol akar kuadrat pada kalkulator.	$4.123105626$
Bulatkan hingga dua tempat desimal.	$4.12$
	$\sqrt{17} \approx 4.12$

Menyederhanakan Bentuk Aljabar dengan Akar Kuadrat

Bentuk-bentuk dengan akar kuadrat yang telah kita pelajari sejauh ini tidak memuat variabel. Apa yang terjadi ketika kita harus menentukan akar kuadrat dari suatu bentuk aljabar?

Perhatikan $\sqrt{9 x^{2}},$ dengan $x \geq 0 .$ Dapatkah Anda memikirkan suatu bentuk yang kuadratnya $9 x^{2} ?$

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2} sehingga \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

Dalam pembahasan ini, ketika kita menggunakan variabel dalam bentuk akar kuadrat, kita mengasumsikan bahwa variabel tersebut menyatakan bilangan tak negatif. Dalam setiap contoh dan latihan berikut, setiap variabel di dalam bentuk akar kuadrat lebih dari atau sama dengan nol.

Sederhanakan: $\sqrt{x^{2}} .$

Solusi

Penyelesaian

Pikirkan apa yang harus dikuadratkan agar menghasilkan $x^{2}$ . Secara aljabar, ${(?)}^{2} = x^{2}$

Tabel yang menunjukkan penyederhanaan aljabar √(x²) menjadi x berdasarkan sifat (x)² = x².
	$\sqrt{x^{2}}$
Karena ${(x)}^{2} = x^{2}$	$x$

Sederhanakan: $\sqrt{16 x^{2}} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menunjukkan penyederhanaan akar kuadrat dari 16x kuadrat, beserta bentuk awal, alasan, dan hasil akhirnya.
	$\sqrt{16 x^{2}}$
$Karena {(4 x)}^{2} = 16 x^{2}$	$4 x$

Sederhanakan: $- \sqrt{81 y^{2}} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menunjukkan penyederhanaan bentuk −√(81y²) menjadi −9y beserta alasannya.
	$- \sqrt{81 y^{2}}$
$Karena {(9 y)}^{2} = 81 y^{2}$	$- 9 y$

Sederhanakan: $\sqrt{36 x^{2} y^{2}} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menunjukkan penyederhanaan √(36x²y²) menjadi 6xy berdasarkan sifat (6xy)² = 36x²y².
	$\sqrt{36 x^{2} y^{2}}$
$Karena {(6 x y)}^{2} = 36 x^{2} y^{2}$	$6 x y$

Menggunakan Akar Kuadrat dalam Penerapan

Seiring kemajuan Anda dalam perkuliahan, Anda akan menjumpai berbagai penerapan akar kuadrat. Sekali lagi, strategi kita untuk soal penerapan akan memberikan rencana untuk menentukan jawabannya.

Akar Kuadrat dan Luas

Kita telah menyelesaikan soal penerapan yang melibatkan luas. Jika panjang sisi-sisi suatu persegi diketahui, kita dapat menentukan luasnya dengan menguadratkan panjang sisinya. Sekarang, jika luas persegi diketahui, kita dapat menentukan panjang sisinya dengan mencari akar kuadrat dari luas tersebut.

Jika luas persegi adalah $A$ satuan persegi, panjang sisinya adalah $\sqrt{A}$ satuan. Lihat .

Luas (satuan persegi)	Panjang sisi (satuan)
$9$	$\sqrt{9} = 3$
$144$	$\sqrt{144} = 12$
$A$	$\sqrt{A}$

Mike dan Lychelle ingin membuat teras berbentuk persegi. Mereka memiliki cukup beton untuk luas $200$ kaki persegi. Hingga persepuluhan kaki terdekat, berapa panjang sisi teras persegi mereka?

Solusi

Penyelesaian

Kita mengetahui bahwa luas persegi adalah $200$ kaki persegi dan ingin menentukan panjang sisinya. Jika luas persegi adalah $A$ satuan persegi, panjang sisinya adalah $\sqrt{A}$ satuan.

Panduan bertahap untuk menghitung panjang sisi teras persegi dari luasnya dengan menggunakan akar kuadrat dan membulatkannya hingga satu tempat desimal.
Apa yang diminta untuk Anda tentukan?	Panjang setiap sisi teras persegi
Tuliskan frasa.	Panjang sebuah sisi
Ubah menjadi bentuk matematika.	$\sqrt{A}$
Hitung nilai $\sqrt{A}$ ketika $A = 200$ .	$\sqrt{200}$
Gunakan kalkulator Anda.	$14.142135 ...$
Bulatkan hingga satu tempat desimal.	$14.1 kaki$
Tuliskan kalimat.	Setiap sisi teras harus memiliki panjang $14.1$ kaki.

Akar Kuadrat dan Gravitasi

Penerapan akar kuadrat lainnya melibatkan gravitasi. Di Bumi, jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian $h$ kaki, waktu dalam detik yang diperlukan untuk mencapai tanah ditentukan dengan menghitung nilai bentuk $\frac{\sqrt{h}}{4} .$ Misalnya, jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian $64$ kaki, kita dapat menentukan waktu yang diperlukan untuk mencapai tanah dengan menghitung nilai $\frac{\sqrt{64}}{4} .$

Langkah-langkah untuk menyederhanakan bentuk matematika √64/4.
	$\frac{\sqrt{64}}{4}$
Tentukan akar kuadrat dari 64.	$\frac{8}{4}$
Sederhanakan pecahan.	$2$

Diperlukan waktu $2$ detik agar benda yang dijatuhkan dari ketinggian $64$ kaki mencapai tanah.

Christy menjatuhkan kacamata hitamnya dari sebuah jembatan yang berada $400$ kaki di atas sungai. Berapa detik yang diperlukan kacamata tersebut untuk mencapai sungai?

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menguraikan penyelesaian bertahap untuk menghitung waktu yang diperlukan kacamata hitam jatuh ke sungai, dari informasi soal hingga jawaban akhirnya.
Apa yang diminta untuk Anda tentukan?	Waktu dalam detik yang diperlukan kacamata hitam untuk mencapai sungai
Tuliskan frasa.	Waktu yang diperlukan untuk mencapai sungai
Ubah menjadi bentuk matematika.	$\frac{\sqrt{h}}{4}$
Hitung nilai $\frac{\sqrt{h}}{4}$ ketika $h = 400$ .	$\frac{\sqrt{400}}{4}$
Tentukan akar kuadrat dari 400.	$\frac{20}{4}$
Sederhanakan.	$5$
Tuliskan kalimat.	Kacamata hitam tersebut memerlukan 5 detik untuk mencapai sungai.

Akar Kuadrat dan Penyelidikan Kecelakaan

Petugas polisi yang menyelidiki kecelakaan mobil mengukur panjang bekas selip di permukaan jalan. Kemudian, mereka menggunakan akar kuadrat untuk menentukan kecepatan mobil, dalam mil per jam, sebelum rem digunakan. Menurut beberapa rumus, jika panjang bekas selip adalah $d$ kaki, kecepatan mobil dapat ditentukan dengan menghitung nilai $\sqrt{24 d} .$

Setelah kecelakaan mobil, panjang bekas selip salah satu mobil terukur $190$ kaki. Hingga persepuluhan terdekat, berapakah kecepatan mobil tersebut (dalam mph) sebelum rem digunakan?

Solusi

Penyelesaian

Tabel yang menguraikan proses bertahap untuk menghitung kecepatan mobil dari jarak yang diketahui dengan rumus akar kuadrat hingga memperoleh aproksimasi numerik.
Apa yang diminta untuk Anda tentukan?	Kecepatan mobil sebelum rem digunakan
Tuliskan frasa.	Kecepatan mobil
Ubah menjadi bentuk matematika.	$\sqrt{24 d}$
Hitung nilai $\sqrt{24 d}$ ketika $d = 190 .$	$\sqrt{24 \cdot 190}$
Kalikan.	$\sqrt{4,560}$
Gunakan kalkulator Anda.	$67.527772 ...$
Bulatkan hingga persepuluhan.	$67.5$
Tuliskan kalimat.	Kecepatan mobil tersebut kira-kira 67.5 mil per jam.

Konsep Utama

Notasi Akar Kuadrat $\sqrt{m}$ dibaca ‘akar kuadrat dari $m$ ’
Jika $m = n^{2}$ , maka $\sqrt{m} = n$ , untuk $n \geq 0$ .
Gunakan strategi untuk penerapan yang melibatkan akar kuadrat.
- Tentukan apa yang diminta.
- Tuliskan frasa yang memuat informasi untuk menentukannya.
- Ubah frasa tersebut menjadi bentuk matematika.
- Sederhanakan bentuk tersebut.
- Tuliskan kalimat lengkap yang menjawab pertanyaan.

Latihan Bagian

Latihan Membentuk Kemahiran

Menyederhanakan Bentuk dengan Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$\sqrt{36}$

Solusi

6

$\sqrt{4}$

$\sqrt{64}$

Solusi

8

$\sqrt{144}$

$- \sqrt{4}$

Solusi

−2

$- \sqrt{100}$

$- \sqrt{1}$

Solusi

−1

$- \sqrt{121}$

$\sqrt{−121}$

Solusi

bukan bilangan real

$\sqrt{−36}$

$\sqrt{−9}$

Solusi

bukan bilangan real

$\sqrt{−49}$

$\sqrt{9 + 16}$

Solusi

5

$\sqrt{25 + 144}$

$\sqrt{9} + \sqrt{16}$

Solusi

7

$\sqrt{25} + \sqrt{144}$

Menaksir Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, taksirlah setiap akar kuadrat di antara dua bilangan cacah berurutan.

$\sqrt{70}$

Solusi

$8 < \sqrt{70} < 9$

$\sqrt{55}$

$\sqrt{200}$

Solusi

$14 < \sqrt{200} < 15$

$\sqrt{172}$

Menentukan Nilai Hampiran Akar Kuadrat dengan Kalkulator

Dalam latihan berikut, gunakan kalkulator untuk menentukan nilai hampiran setiap akar kuadrat, lalu bulatkan hingga dua tempat desimal.

$\sqrt{19}$

Solusi

4.36

$\sqrt{21}$

$\sqrt{53}$

Solusi

7.28

$\sqrt{47}$

Menyederhanakan Bentuk Aljabar dengan Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, sederhanakan. (Anggap semua variabel lebih besar daripada atau sama dengan nol.)

$\sqrt{y^{2}}$

Solusi

y

$\sqrt{b^{2}}$

$\sqrt{49 x^{2}}$

Solusi

7x

$\sqrt{100 y^{2}}$

$- \sqrt{64 a^{2}}$

Solusi

−8a

$- \sqrt{25 x^{2}}$

$\sqrt{144 x^{2} y^{2}}$

Solusi

12xy

$\sqrt{196 a^{2} b^{2}}$

Menggunakan Akar Kuadrat dalam Soal Terapan

Dalam latihan berikut, selesaikan. Bulatkan hingga satu tempat desimal.

Penataan taman Reed ingin membuat petak kebun berbentuk persegi di halaman belakang rumahnya. Ia memiliki cukup kompos untuk menutupi area seluas $75$ kaki persegi. Berapa panjang sisi kebun tersebut?

Solusi

8.7 kaki

Penataan taman Vince ingin membuat teras berbentuk persegi di halaman rumahnya. Ia memiliki cukup beton untuk melapisi area seluas $130$ kaki persegi. Berapa panjang sisi teras tersebut?

Gravitasi Sebuah pesawat menjatuhkan suar dari ketinggian $1,024$ kaki di atas sebuah danau. Berapa detik yang diperlukan suar tersebut untuk mencapai permukaan air?

Solusi

8 detik

Gravitasi Seorang penerbang layang gantung menjatuhkan ponselnya dari ketinggian $350$ kaki. Berapa detik yang diperlukan ponsel tersebut untuk mencapai tanah?

Gravitasi Seorang pekerja konstruksi menjatuhkan palu saat membangun Skywalk Grand Canyon, $4,000$ kaki di atas Sungai Colorado. Berapa detik yang diperlukan palu tersebut untuk mencapai sungai?

Solusi

15.8 detik

Penyelidikan kecelakaan Bekas selip sebuah mobil yang terlibat dalam kecelakaan memiliki panjang $54$ kaki. Berapa kecepatan mobil tersebut sebelum rem diinjak?

Penyelidikan kecelakaan Bekas selip sebuah mobil yang terlibat dalam kecelakaan memiliki panjang $216$ kaki. Berapa kecepatan mobil tersebut sebelum rem diinjak?

Solusi

72 mph

Penyelidikan kecelakaan Seorang penyelidik kecelakaan mengukur bekas selip salah satu kendaraan yang terlibat dalam kecelakaan. Panjang bekas selip tersebut adalah $175$ kaki. Berapa kecepatan kendaraan itu sebelum rem diinjak?

Penyelidikan kecelakaan Seorang penyelidik kecelakaan mengukur bekas selip salah satu kendaraan yang terlibat dalam kecelakaan. Panjang bekas selip tersebut adalah $117$ kaki. Berapa kecepatan kendaraan itu sebelum rem diinjak?

Solusi

53.0 mph

Matematika Sehari-hari

Dekorasi Denise ingin memasang aksen ubin desainer berbentuk persegi di area pancuran barunya. Ia mampu membeli ubin desainer seluas $625$ sentimeter persegi. Berapa panjang sisi aksen tersebut?

Dekorasi Morris ingin memasang mosaik berbentuk persegi pada teras barunya. Anggarannya cukup untuk membeli $2,025$ ubin. Setiap ubin berbentuk persegi dengan luas satu inci persegi. Berapa panjang sisi mosaik tersebut?

Solusi

45 inci

Latihan Menulis

Mengapa tidak ada bilangan real yang sama dengan $\sqrt{−64} ?$

Apa perbedaan antara $9^{2}$ dan $\sqrt{9} ?$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi. 9² dibaca “sembilan kuadrat” dan berarti sembilan dikalikan dengan dirinya sendiri. Ekspresi $\sqrt{9}$ dibaca “akar kuadrat dari sembilan” dan menyatakan bilangan yang, jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan bilangan di dalam tanda akar.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan-tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan lima tujuan: menyederhanakan bentuk dengan akar kuadrat; menaksir akar kuadrat; mengaproksimasi akar kuadrat; menyederhanakan bentuk aljabar dengan akar kuadrat; dan menggunakan akar kuadrat dalam penerapan. Untuk setiap tujuan tersedia kategori Dengan yakin, Dengan sedikit bantuan, dan Tidak—saya belum paham!

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar yakin menguasai semua tujuan?

Latihan Tinjauan Bab

Bilangan Desimal

Membaca Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, baca setiap bilangan desimal dengan mengucapkan “negatif” terlebih dahulu jika ada, kemudian “koma” untuk titik desimal, lalu setiap digit setelahnya satu per satu, termasuk nol.

$0.8$

$0.375$

Solusi

nol koma tiga tujuh lima

$0.007$

$5.24$

Solusi

lima koma dua empat

$−12.5632$

$−4.09$

Solusi

negatif empat koma nol sembilan

Menulis Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, tuliskan setiap uraian menurut nilai tempat sebagai bilangan desimal.

tiga persepuluh

sembilan perseratus

Solusi

0.09

dua puluh tujuh perseratus

sepuluh dan tiga puluh lima perseribu

Solusi

10.035

negatif dua puluh dan tiga persepuluh

negatif lima perseratus

Solusi

−0.05

Ubah Bilangan Desimal menjadi Pecahan atau Bilangan Campuran

Dalam latihan berikut, ubah setiap bilangan desimal menjadi pecahan atau bilangan campuran. Sederhanakan jawaban jika memungkinkan.

$0.43$

$0.825$

Solusi

$\frac{33}{40}$

$9.7$

$3.64$

Solusi

$3 \frac{16}{25}$

Tentukan Letak Bilangan Desimal pada Garis Bilangan

ⓐ $0.6$

ⓑ $−0.9$

ⓓ $−1.3$

Urutkan Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, bandingkan setiap pasangan bilangan menggunakan $<$ atau $>$ .

$0.6___0.8$

Solusi

<

$0.2___0.15$

$0.803____0.83$

Solusi

<

$−0.56____−0.562$

Bulatkan Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, bulatkan setiap bilangan ke: ⓐ perseratusan terdekat ⓑ persepuluhan terdekat ⓒ bilangan cacah terdekat.

$12.529$

Solusi

ⓐ 12.53
ⓑ 12.5
ⓒ 13

$4.8447$

$5.897$

Solusi

ⓐ 5.90
ⓑ 5.9
ⓒ 6

Operasi Bilangan Desimal

Menjumlahkan dan Mengurangkan Bilangan Desimal

Dalam latihan-latihan berikut, jumlahkan atau kurangkan.

$5.75 + 8.46$

$32.89 - 8.22$

Solusi

24.67

$24 - 19.31$

$10.2 + 14.631$

Solusi

24.831

$−6.4 + (−2.9)$

$1.83 - 4.2$

Solusi

−2.37

Mengalikan Bilangan Desimal

Dalam latihan-latihan berikut, kalikan.

$(0.3) (0.7)$

$(−6.4) (0.25)$

Solusi

−1.6

$(−3.35) (−12.7)$

$(15.4) (1000)$

Solusi

15,400

Membagi Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, lakukan pembagian. Untuk hasil dalam dolar, bulatkan ke sen terdekat.

$0.48 \div 6$

$4.32 \div 24$

Solusi

0.18

$$6.29 \div 12$

$(−0.8) \div (−0.2)$

Solusi

4

$1.65 \div 0.15$

$9 \div 0.045$

Solusi

200

Menggunakan Bilangan Desimal dalam Soal Terapan tentang Uang

Dalam latihan berikut, gunakan strategi pemecahan soal terapan.

Miranda menarik $$40$ dari ATM-nya. Ia membelanjakan $$9.32$ untuk makan siang dan $$16.99$ untuk sebuah buku. Berapa uang yang tersisa? Bulatkan ke sen terdekat jika perlu.

Jessie mengisi mobilnya dengan $8$ galon AS bensin. Harga satu galon AS bensin adalah $$3.528.$ Berapa jumlah yang harus dibayar Jessie untuk seluruh bensin itu?

Solusi

$28.22

Satu pak berisi $16$ botol air berharga $$6.72.$ Berapa harga setiap botol?

Alice membeli satu gulung tisu dapur seharga $$2.49.$ Ia memiliki kupon potongan harga sebesar $$0.35$ , dan toko tersebut menggandakan nilai kupon itu. Berapa yang dibayar Alice untuk tisu dapur tersebut?

Solusi

$1.79

Desimal dan Pecahan

Mengubah Pecahan menjadi Desimal

Dalam latihan berikut, ubah setiap pecahan menjadi desimal.

$\frac{3}{5}$

$\frac{7}{8}$

Solusi

0.875

$- \frac{19}{20}$

$- \frac{21}{4}$

Solusi

−5.25

$\frac{1}{3}$

$\frac{6}{11}$

Solusi

$0 . \overset{—}{54}$

Mengurutkan Bilangan Desimal dan Pecahan

Dalam latihan berikut, bandingkan setiap pasangan bilangan menggunakan $<$ atau $>$ .

$\frac{1}{2}___0.2$

$\frac{3}{5}___0 .$

Solusi

>

$- \frac{7}{8}___−0.84$

$- \frac{5}{12}___−0.42$

Solusi

>

$0.625___\frac{13}{20}$

$0.33___\frac{5}{16}$

Solusi

>

Dalam latihan berikut, urutkan setiap kelompok bilangan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

$\frac{2}{3}, \frac{17}{20}, 0.65$

$\frac{7}{9}, 0.75, \frac{11}{15}$

Solusi

$\frac{11}{15}, 0.75, \frac{7}{9}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Urutan Operasi Hitung

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$4 (10.3 - 5.8)$

$\frac{3}{4} (15.44 - 7.4)$

Solusi

6.03

$30 \div (0.45 + 0.15)$

$1.6 + \frac{3}{8}$

Solusi

1.975

$52 (0.5) + {(0.4)}^{2}$

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{10} + 0.14$

Solusi

−0.22

Menentukan Keliling dan Luas Lingkaran

Dalam latihan-latihan berikut, tentukan nilai hampiran untuk ⓐ keliling dan ⓑ luas setiap lingkaran.

$jari-jari = 6 inci$

$jari-jari = 3.5 kaki$

Solusi

ⓐ 21.98 kaki
ⓑ 38.465 kaki persegi

$jari-jari = \frac{7}{33} m$

$diameter = 11 cm$

Solusi

ⓐ 34.54 cm
ⓑ 94.985 cm persegi

Menyelesaikan Persamaan dengan Bilangan Desimal

Menentukan Apakah Bilangan Desimal Merupakan Penyelesaian Persamaan

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap bilangan merupakan penyelesaian persamaan yang diberikan.

$x - 0.4 = 2.1$
ⓐ $x = 1.7$ ⓑ $x = 2.5$

$y + 3.2 = −1.5$
ⓐ $y = 1.7$ ⓑ $y = −4.7$

Solusi

ⓐ tidak
ⓑ ya

$\frac{u}{2.5} = −12.5$
ⓐ $u = −5$ ⓑ $u = −31.25$

$0.45 v = −40.5$
ⓐ $v = −18.225$ ⓑ $v = −90$

Solusi

ⓐ tidak
ⓑ ya

Menyelesaikan Persamaan dengan Bilangan Desimal

Dalam latihan berikut, selesaikan.

$m + 3.8 = 7.5$

$h + 5.91 = 2.4$

Solusi

h = −3.51

$a + 2.26 = −1.1$

$p - 4.3 = −1.65$

Solusi

p = 2.65

$x - 0.24 = −8.6$

$j - 7.42 = −3.7$

Solusi

j = 3.72

$0.6 p = 13.2$

$−8.6 x = 34.4$

Solusi

x = −4

$−22.32 = −2.4 z$

$\frac{a}{0.3} = −24$

Solusi

a = −7.2

$\frac{p}{−7} = −4.2$

$\frac{s}{−2.5} = −10$

Solusi

s = 25

Mengubah Pernyataan Menjadi Persamaan dan Menyelesaikannya

Dalam latihan berikut, ubah setiap pernyataan menjadi persamaan lalu selesaikan.

Selisih $n$ dan $15.2$ adalah $4.4 .$

Hasil kali $−5.9$ dan $x$ adalah $−3.54 .$

Solusi

−5.9x = −3.54; x = 0.6

Hasil bagi $y$ dan $−1.8$ adalah $−9 .$

Jumlah $m$ dan $(−4.03)$ adalah $6.8 .$

Solusi

m + (−4.03) = 6.8; m = 10.83

Rata-Rata dan Peluang

Menghitung Rata-Rata Hitung dari Sekumpulan Bilangan

Dalam latihan berikut, hitung rata-rata hitung bilangan-bilangan tersebut.

$2, 4, 1, 0, 1, dan 1$

$$270$ , $$310.50$ , $$243.75$ , dan $$252.15$

Solusi

$269.10

Pada setiap hari kerja minggu lalu, Yoshie mencatat berapa menit ia harus menunggu bus. Ia menunggu $3, 0, 8, 1, dan 8$ menit. Hitung rata-rata hitungnya.

Dalam tiga bulan terakhir, tagihan air Raul adalah $$31.45, $48.76, dan $42.60 .$ Carilah rata-rata hitungnya.

Solusi

$40.94

Menentukan Median dari Sekumpulan Bilangan

Dalam latihan berikut, tentukan mediannya.

$41$ , $45$ , $32$ , $60$ , $58$

$25$ , $23$ , $24$ , $26$ , $29$ , $19$ , $18$ , $32$

Solusi

24.5

Usia delapan pria dalam klub kereta model Jerry adalah $52, 63, 45, 51, 55, 75, 60, dan 59 .$ Tentukan median usia mereka.

Jumlah pelanggan di salon kecantikan Miranda pada setiap hari kerja minggu lalu adalah $18, 7, 12, 16, dan 20 .$ Tentukan median jumlah pelanggannya.

Solusi

16 pelanggan

Menentukan Modus dari Sekumpulan Bilangan

Dalam latihan berikut, tentukan modus bilangan-bilangan tersebut.

$6$ , $4$ , $4, 5$ , $6, 6$ , $4$ , $4$ , $4$ , $3$ , $5$

Jumlah saudara kandung sekelompok siswa: $2$ , $0$ , $3$ , $2$ , $4$ , $1$ , $6$ , $5$ , $4$ , $1$ , $2$ , $3$

Solusi

2

Menggunakan Definisi Dasar Peluang

Dalam latihan berikut, selesaikan. (Bulatkan bilangan desimal sampai tiga tempat desimal.)

Klub Keberlanjutan menjual $200$ tiket undian, dan Albert membeli satu tiket. Satu tiket akan dipilih secara acak untuk memenangkan hadiah utama. Tentukan peluang Albert memenangkan hadiah utama. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan dan bilangan desimal.

Luc harus membaca $3$ novel dan $12$ cerita pendek untuk kelas sastranya. Pengajar akan memilih satu bacaan secara acak untuk ujian akhir. Tentukan peluang pengajar memilih sebuah novel untuk ujian akhir. Nyatakan jawaban Anda sebagai pecahan dan bilangan desimal.

Solusi

$\frac{1}{5}; 0.2$

Rasio dan Laju Perubahan

Menulis Rasio sebagai Pecahan

Dalam latihan berikut, tulislah setiap rasio sebagai pecahan. Sederhanakan jawaban jika memungkinkan.

$28$ berbanding $40$

$56$ berbanding $32$

Solusi

$\frac{7}{4}$

$3.5$ berbanding $0.5$

$1.2$ berbanding $1.8$

Solusi

$\frac{2}{3}$

$1 \frac{3}{4} berbanding 1 \frac{5}{8}$

$2 \frac{1}{3} berbanding 5 \frac{1}{4}$

Solusi

$\frac{4}{9}$

$64$ ounce AS terhadap $30$ ounce AS

$28$ inci berbanding $3$ kaki

Solusi

$\frac{7}{9}$

Menulis Laju Perubahan sebagai Pecahan

Dalam latihan berikut, tulislah setiap laju perubahan sebagai pecahan. Sederhanakan jawaban jika memungkinkan.

$180$ kalori per $8$ ounce AS

$90$ pon per $7.5$ inci persegi

Solusi

$\frac{12 pon}{1 inci persegi}$

$126$ mil dalam $4$ jam

$$612.50$ untuk $35$ jam

Solusi

$\frac{$35}{2 jam}$

Menentukan Laju Perubahan Satuan

Dalam latihan berikut, tentukan laju perubahan satuan.

$180$ kalori per $8$ ounce AS

$90$ pon per $7.5$ inci persegi

Solusi

12 pon/inci persegi

$126$ mil dalam $4$ jam

$$612.50$ untuk $35$ jam

Solusi

$17.50/jam

Menentukan Harga Satuan

Dalam latihan berikut, tentukan harga satuan.

Kaus: $3$ seharga $$8.97$

Stabilo: $6$ seharga $$2.52$

Solusi

$0.42

Sebuah toko perlengkapan kantor menjual sekotak pena seharga $$11 .$ Kotak itu berisi $12$ pena. Berapa harga setiap pena?

Anna membeli satu pak berisi $8$ handuk dapur seharga $$13.20 .$ Berapa harga setiap handuk? Bulatkan ke sen terdekat jika perlu.

Solusi

$1.65

Dalam latihan berikut, tentukan setiap harga satuan, lalu tentukan pilihan yang lebih hemat.

Sampo: $12$ ounce AS seharga $$4.29$ atau $22$ ounce AS seharga $$7.29 ?$

Vitamin: $60$ tablet seharga $$6.49$ atau $100$ tablet seharga $$11.99 ?$

Solusi

$0.11, $0.12; 60 tablet seharga $6.49

Menerjemahkan Frasa menjadi Bentuk dengan Pecahan

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap frasa ke dalam bentuk aljabar.

$535$ mil per $h jam$

$a$ orang dewasa berbanding $45$ anak

Solusi

$\frac{a orang dewasa}{45 anak}$

rasio antara $4 y$ dan selisih $x$ dan $10$

rasio antara $19$ dan jumlah $3$ dan $n$

Solusi

$\frac{19}{3 + n}$

Menyederhanakan dan Menggunakan Akar Kuadrat

Menyederhanakan Bentuk dengan Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$\sqrt{64}$

$\sqrt{144}$

Solusi

12

$- \sqrt{25}$

$- \sqrt{81}$

Solusi

−9

$\sqrt{−9}$

$\sqrt{−36}$

Solusi

bukan bilangan real

$\sqrt{64} + \sqrt{225}$

$\sqrt{64 + 225}$

Solusi

17

Menaksir Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, taksirlah setiap akar kuadrat di antara dua bilangan cacah berurutan.

$\sqrt{28}$

$\sqrt{155}$

Solusi

$12 < \sqrt{155} < 13$

Menentukan Nilai Hampiran Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, tentukan nilai hampiran setiap akar kuadrat dan bulatkan sampai dua tempat desimal.

$\sqrt{15}$

$\sqrt{57}$

Solusi

7.55

Menyederhanakan Bentuk Aljabar dengan Akar Kuadrat

Dalam latihan berikut, sederhanakan. (Anggap semua variabel lebih besar daripada atau sama dengan nol.)

$\sqrt{q^{2}}$

$\sqrt{64 b^{2}}$

Solusi

8b

$- \sqrt{121 a^{2}}$

$\sqrt{225 m^{2} n^{2}}$

Solusi

15mn

$- \sqrt{100 q^{2}}$

$\sqrt{49 y^{2}}$

Solusi

7y

$\sqrt{4 a^{2} b^{2}}$

$\sqrt{121 c^{2} d^{2}}$

Solusi

11cd

Menggunakan Akar Kuadrat dalam Soal Terapan

Dalam latihan berikut, selesaikan. Bulatkan sampai satu tempat desimal.

Seni Diego memiliki $225$ ubin berukuran satu inci persegi. Ia ingin menggunakannya untuk membuat mosaik berbentuk persegi. Berapa panjang setiap sisi mosaik tersebut?

Penataan taman Janet ingin membuat taman bunga berbentuk persegi di halamannya. Ia memiliki cukup tanah lapisan atas untuk menutupi area seluas $30$ kaki persegi. Berapa panjang salah satu sisi taman bunga itu?

Solusi

5.5 kaki

Gravitasi Seorang pendaki menjatuhkan sebatang granola dari tempat pengamatan setinggi $576$ kaki di atas lembah. Berapa lama waktu yang diperlukan batang granola tersebut untuk mencapai dasar lembah?

Penyelidikan kecelakaan Jejak pengereman mobil yang terlibat dalam kecelakaan panjangnya $216$ kaki. Seberapa cepat mobil itu melaju sebelum direm?

Solusi

72 mph

Tes Latihan Bab

Tuliskan enam dan tiga puluh empat perseribu sebagai bilangan desimal.

Tuliskan $1.73$ sebagai pecahan.

Solusi

$1 \frac{73}{100}$

Tuliskan $\frac{5}{8}$ sebagai bilangan desimal.

Solusi

ⓐ 16.7
ⓑ 16.75
ⓒ 17

Urutkan bilangan $\frac{4}{5}, −0.1, 0.804, \frac{2}{9}, −7.4, 0.21$ dari yang terkecil hingga terbesar.

Pada latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi.

$15.4 + 3.02$

Solusi

18.42

$20 - 5.71$

$(0.64) (0.3)$

Solusi

0.192

$(−4.2) (100)$

$0.96 \div (−12)$

Solusi

−0.08

$−5 \div 0.025$

$−0.6 \div (−0.3)$

Solusi

2

${(0.7)}^{2}$

$24 \div (0.1 + 0.02)$

Solusi

200

$4 (10.3 - 5.8)$

$1.6 + \frac{3}{8}$

Solusi

1.975

$\frac{2}{3} (14.65 - 4.6)$

Pada latihan berikut, selesaikan.

$m + 3.7 = 2.5$

Solusi

−1.2

$\frac{h}{0.5} = 4.38$

$−6.5 y = −57.2$

Solusi

8.8

$1.94 = a - 2.6$

Tiga orang teman makan malam di luar dan sepakat membagi tagihan sama rata. Total tagihannya adalah $$79.35 .$ Berapa yang harus dibayar setiap orang?

Solusi

$26.45

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $12 .$ Tentukan ⓐ keliling dan ⓑ luasnya. $[Gunakan 3.14 untuk π .]$

Usia, dalam bulan, dari $10$ anak di sebuah kelas prasekolah adalah:
$55$ , $55$ , $50$ , $51$ , $52$ , $50$ , $53$ , $51$ , $55$ , $49$
Tentukan ⓐ rata-rata hitung ⓑ median ⓒ modus

Solusi

ⓐ 52.1
ⓑ 51.5
ⓒ 55

Dari $16$ perawat di departemen Doreen, $12$ adalah perempuan dan $4$ adalah laki-laki. Salah satu perawat akan dipilih secara acak untuk mendapat giliran kerja tambahan minggu depan. ⓐ Tentukan peluang seorang perawat perempuan mendapat giliran tambahan tersebut. ⓑ Ubah pecahan itu menjadi bilangan desimal.

Tentukan setiap harga satuan, lalu tentukan pilihan yang lebih hemat.
Deterjen pakaian: $64$ ounce AS seharga $$10.99$ atau $48$ ounce AS seharga $$8.49$

Solusi

Harga satuannya adalah $0.172 per ounce AS untuk ukuran 64 ounce AS dan $0.177 per ounce AS untuk ukuran 48 ounce AS; ukuran 64 ounce AS merupakan pilihan yang lebih hemat.

Pada latihan berikut, sederhanakan.

$\sqrt{36 + 64}$

$\sqrt{144 n^{2}}$

Solusi

12n

Taksirlah $\sqrt{54}$ dengan menentukan dua bilangan cacah yang mengapitnya.

Yanet ingin membuat teras berbentuk persegi di halaman belakang rumahnya. Ia memiliki ubin seluas $225$ kaki persegi. Berapa panjang sisi teras yang dapat dibuat?

Solusi

15 kaki