Mengalikan dan Membagi Bilangan Bulat

Mengalikan Bilangan Bulat

Karena perkalian merupakan cara ringkas untuk menuliskan penjumlahan berulang, model keping hitung dapat dengan mudah digunakan untuk menunjukkan perkalian bilangan bulat. Mari kita amati model konkret ini untuk menemukan polanya. Kita akan menggunakan contoh yang sama seperti pada penjumlahan dan pengurangan.

Kita ingat bahwa $a \cdot b$ berarti menjumlahkan $a$ sebanyak $b$ kali. Di sini, kita menggunakan model dalam hanya untuk membantu menemukan polanya.

Gambar dua kolom. Kolom pertama memodelkan 5 kali 3 sebagai tiga baris yang masing-masing berisi 5 keping positif, sehingga hasilnya 15. Kolom kedua memodelkan negatif 5 kali 3 sebagai tiga baris yang masing-masing berisi 5 keping negatif, sehingga hasilnya negatif 15.

Sekarang perhatikan apa arti mengalikan $5$ dengan $−3 .$ Artinya kita mengurangkan $5$ sebanyak $3$ kali. Jika pengurangan dipandang sebagai tindakan menyingkirkan, kita harus menyingkirkan $5$ sebanyak $3$ kali. Namun, tidak ada yang dapat disingkirkan, jadi kita mulai dengan menambahkan pasangan netral seperti ditunjukkan dalam .

Gambar dua kolom. Kolom pertama memodelkan 5 kali negatif 3 dengan menyingkirkan tiga kelompok yang masing-masing berisi 5 keping positif dari 15 pasangan netral; tersisa 15 keping negatif. Kolom kedua memodelkan negatif 5 kali negatif 3 dengan menyingkirkan tiga kelompok yang masing-masing berisi 5 keping negatif; tersisa 15 keping positif.

Dalam kedua kasus, kita memulai dengan $15$ pasangan netral. Pada kasus di sebelah kiri, kita menyingkirkan $5$ sebanyak $3$ kali dan hasilnya $- 15 .$ Untuk mengalikan $(−5) (−3),$ kita menyingkirkan $- 5$ sebanyak $3$ kali dan hasilnya $15 .$ Jadi, kita menemukan bahwa

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 & −5 (3) = −15 \\ 5 (−3) = −15 & (−5) (−3) = 15 \end{matrix}

Perhatikan bahwa dalam perkalian dua bilangan bertanda, jika tandanya sama, hasil kali bernilai positif, dan jika tandanya berbeda, hasil kali bernilai negatif.

Perkalian Bilangan Bertanda

Tanda hasil kali dua bilangan bergantung pada tanda kedua bilangan tersebut.

Tanda sama	Hasil kali
•Dua bilangan positif •Dua bilangan negatif	Positif Positif

Tanda berbeda	Hasil kali
•Positif • negatif •Negatif • positif	Negatif Negatif

Kalikan setiap ekspresi berikut:

ⓐ $−9 \cdot 3$
ⓑ $−2 (−5)$
ⓒ $4 (−8)$
ⓓ $7 \cdot 6$

Solusi

Penyelesaian

Contoh pengerjaan perkalian bilangan bulat negatif dan positif, beserta soal, penjelasan, dan hasil akhirnya.
ⓐ
	$−9 \cdot 3$
Kalikan. Karena tandanya berbeda, hasil kalinya negatif.	$−27$

Contoh perkalian dua bilangan negatif yang menunjukkan bahwa tanda yang sama menghasilkan hasil kali positif.
ⓑ
	$−2 (−5)$
Kalikan. Karena tandanya sama, hasil kalinya positif.	$10$

Contoh perkalian bilangan bulat dengan tanda berbeda yang menghasilkan hasil kali negatif.
ⓒ
	$4 (−8)$
Kalikan. Karena tandanya berbeda, hasil kalinya negatif.	$−32$

Contoh perkalian 7 dan 6 yang menunjukkan hasil kali positif dan alasan tandanya.
ⓓ
	$7 \cdot 6$
Tandanya sama, sehingga hasil kalinya positif.	$42$

Ketika suatu bilangan dikalikan dengan $1,$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Apa yang terjadi jika suatu bilangan dikalikan dengan $−1 ?$ Mari kita kalikan sebuah bilangan positif, lalu sebuah bilangan negatif, dengan $−1$ untuk melihat hasilnya.

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ −4 & 3 \\ −4 adalah lawan dari 4 & 3 adalah lawan dari −3 \end{matrix}

Setiap kali kita mengalikan suatu bilangan dengan $−1,$ kita memperoleh lawannya.

Kalikan setiap ekspresi berikut:

ⓐ $−1 \cdot 7$
ⓑ $−1 (−11)$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menjelaskan perkalian bilangan negatif dengan tanda berbeda serta hubungan dengan bilangan lawan.
ⓐ
Tandanya berbeda, sehingga hasil kalinya negatif.	$−1 \cdot 7$
Perhatikan bahwa −7 adalah lawan dari 7.	$−7$

Tabel ini menunjukkan bahwa hasil kali dua bilangan negatif bernilai positif dan menjelaskan hubungannya dengan bilangan lawan.
ⓑ
Tandanya sama, sehingga hasil kalinya positif.	$−1 (−11)$
Perhatikan bahwa 11 adalah lawan dari −11.	$11$

Membagi Bilangan Bulat

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian. Jadi, $15 \div 3 = 5$ karena $5 \cdot 3 = 15$ . Dengan kata lain, ekspresi ini menyatakan bahwa $15$ dapat dibagi menjadi $3$ kelompok yang masing-masing berisi $5$ , karena menjumlahkan lima sebanyak tiga kali menghasilkan $15 .$ Dengan memperhatikan beberapa contoh perkalian bilangan bulat, kita dapat menemukan aturan pembagian bilangan bulat.

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 maka 15 \div 3 = 5 & −5 (3) = −15 maka −15 \div 3 = −5 \\ (−5) (−3) = 15 maka 15 \div (−3) = −5 & 5 (−3) = −15 maka −15 \div −3 = 5 \end{matrix}

Pembagian bilangan bertanda mengikuti aturan yang sama seperti perkalian. Jika tandanya sama, hasil bagi bernilai positif, dan jika tandanya berbeda, hasil bagi bernilai negatif.

Pembagian Bilangan Bertanda

Tanda hasil bagi dua bilangan bergantung pada tanda kedua bilangan tersebut.

Tanda sama	Hasil bagi
•Dua bilangan positif •Dua bilangan negatif	Positif Positif

Tanda berbeda	Hasil bagi
•Positif ÷ negatif •Negatif ÷ positif	Negatif Negatif

Ingat, Anda selalu dapat memeriksa jawaban soal pembagian dengan melakukan perkalian.

Bagilah setiap ekspresi berikut:

ⓐ $−27 \div 3$
ⓑ $−100 \div (−4)$

Solusi

Penyelesaian

Contoh pembagian bilangan bulat dengan penjelasan terperinci dan hasil baginya.
ⓐ
	$−27 \div 3$
Bagilah. Karena tandanya berbeda, hasil baginya negatif.	$−9$

Contoh pembagian bilangan bulat negatif yang memuat soal, langkah penjelasan, dan hasil positif.
ⓑ
	$−100 \div (−4)$
Bagilah. Karena tandanya sama, hasil baginya positif.	$25$

Seperti yang kita lihat pada perkalian, ketika suatu bilangan dibagi dengan $1,$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Apa yang terjadi ketika suatu bilangan dibagi dengan $−1 ?$ Mari kita membagi suatu bilangan positif, lalu suatu bilangan negatif, dengan $−1$ untuk melihat hasilnya.

\begin{matrix} 8 \div (−1) & −9 \div (−1) \\ −8 & 9 \\ −8 adalah lawan dari 8 & 9 adalah lawan dari −9 \end{matrix}

Ketika suatu bilangan dibagi dengan $−1,$ kita memperoleh lawannya.

Bagilah setiap ekspresi berikut:

ⓐ $16 \div (−1)$
ⓑ $−20 \div (−1)$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini memperlihatkan pembagian 16 dengan −1 dan menjelaskan bahwa membagi suatu bilangan dengan −1 menghasilkan lawannya.
ⓐ
	$16 \div (−1)$
Bilangan yang dibagi adalah 16, dan pembaginya adalah −1.	$−16$
Membagi suatu bilangan dengan −1 menghasilkan lawannya.
Perhatikan bahwa tandanya berbeda, sehingga hasilnya negatif.

Tabel ini memperlihatkan aturan pembagian dengan −1 melalui contoh yang menghasilkan lawan suatu bilangan.
ⓑ
	$−20 \div (−1)$
Bilangan yang dibagi adalah −20, dan pembaginya adalah −1.	$20$
Membagi suatu bilangan dengan −1 menghasilkan lawannya.

Perhatikan bahwa tandanya sama, sehingga hasil baginya positif.

Menyederhanakan Ekspresi dengan Bilangan Bulat

Sekarang kita akan menyederhanakan ekspresi yang menggunakan keempat operasi—penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian—pada bilangan bulat. Ingatlah untuk mengikuti urutan operasi.

$Sederhanakan: 7 (−2) + 4 (−7) - 6 .$

Solusi

Penyelesaian

Kita mengikuti urutan operasi. Kalikan terlebih dahulu, kemudian jumlahkan dan kurangkan dari kiri ke kanan.

Penyederhanaan langkah demi langkah suatu ekspresi yang melibatkan perkalian, penjumlahan, dan pengurangan bilangan bulat.
	$7 (−2) + 4 (−7) −6$
Kalikan terlebih dahulu.	$−14 + (−28) −6$
Jumlahkan.	$−42 - 6$
Kurangkan.	$−48$

Sederhanakan:

ⓐ ${(−2)}^{4}$
ⓑ $- 2^{4}$

Solusi

Penyelesaian

Eksponen menunjukkan berapa kali basis digunakan sebagai faktor.

ⓐ Eksponennya adalah $4$ dan basisnya adalah $−2 .$ Kita memangkatkan $−2$ dengan pangkat empat.

Perhitungan langkah demi langkah (−2) pangkat 4, dari bentuk perkalian berulang hingga hasil akhirnya.
	${(−2)}^{4}$
Tuliskan sebagai perkalian berulang.	$(−2) (−2) (−2) (−2)$
Kalikan.	$4 (−2) (−2)$
Kalikan.	$- 8 (−2)$
Kalikan.	$16$

ⓑ Eksponennya adalah $4$ dan basisnya adalah $2 .$ Kita memangkatkan $2$ dengan pangkat empat, lalu mengambil lawannya.

Perhitungan langkah demi langkah −2 pangkat 4, dari perkalian berulang hingga hasil akhirnya.
	$- 2^{4}$
Tuliskan sebagai perkalian berulang.	$- (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$
Kalikan.	$- (4 \cdot 2 \cdot 2)$
Kalikan.	$- (8 \cdot 2)$
Kalikan.	$- 16$

$Sederhanakan: 12 - 3 (9 - 12) .$

Solusi

Penyelesaian

Menurut urutan operasi, kita menyederhanakan isi tanda kurung terlebih dahulu. Kemudian kita mengalikan dan akhirnya mengurangkan.

Penyelesaian langkah demi langkah yang menerapkan urutan operasi pada ekspresi 12 − 3(9 − 12).
	$12 - 3 (9 - 12)$
Kurangkan di dalam tanda kurung terlebih dahulu.	$12 - 3 (−3)$
Kalikan.	$12 - (−9)$
Kurangkan.	$21$

Sederhanakan: $8 (−9) \div {(−2)}^{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita menyederhanakan bentuk berpangkat terlebih dahulu, kemudian mengalikan dan membagi.

Tabel ini memperlihatkan penyederhanaan langkah demi langkah ekspresi 8(−9) ÷ (−2) pangkat 3 hingga diperoleh hasil 9.
	$8 (−9) \div {(−2)}^{3}$
Sederhanakan bentuk berpangkat.	$8 (−9) \div (−8)$
Kalikan.	$−72 \div (−8)$
Bagilah.	$9$

$Sederhanakan: −30 \div 2 + (−3) (−7) .$

Solusi

Penyelesaian

Pertama, kita mengalikan dan membagi dari kiri ke kanan. Kemudian kita menjumlahkan.

Tabel ini memperlihatkan penyederhanaan langkah demi langkah suatu ekspresi menurut urutan operasi.
	$−30 \div 2 + (−3) (−7)$
Bagilah.	$−15 + (−3) (−7)$
Kalikan.	$−15 + 21$
Jumlahkan.	$6$

Menghitung Nilai Ekspresi Variabel dengan Bilangan Bulat

Sekarang kita dapat menghitung nilai ekspresi yang melibatkan perkalian dan pembagian bilangan bulat. Ingatlah bahwa untuk menghitung nilai suatu ekspresi, kita mengganti variabel dengan bilangan yang diberikan, lalu menyederhanakannya.

$Hitung nilai 2 x^{2} - 3 x + 8 ketika x = −4 .$

Solusi

Penyelesaian



Sederhanakan bentuk berpangkat.
Kalikan.
Kurangkan.
Jumlahkan.

Ingatlah bahwa ketika kita mengganti $x$ dengan $−4,$ kita menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan perkalian. Tanpa tanda kurung, bentuknya akan tampak seperti $2 \cdot - 4^{2} - 3 \cdot −4 + 8 .$

$Hitung nilai 3 x + 4 y - 6 ketika x = −1 dan y = 2 .$

Solusi

Penyelesaian


Ganti $x = −1$ dan $y = 2$ .
Kalikan.
Sederhanakan.

Mengubah Frasa Verbal menjadi Ekspresi Aljabar

Semua yang telah kita pelajari tentang mengubah kata-kata menjadi bentuk aljabar juga berlaku pada frasa yang melibatkan perkalian dan pembagian bilangan bulat. Ingatlah bahwa kata kunci untuk perkalian adalah hasil kali, sedangkan kata kunci untuk pembagian adalah hasil bagi.

Ubahlah menjadi ekspresi aljabar dan sederhanakan jika memungkinkan: hasil kali $−2$ dan $14 .$

Solusi

Penyelesaian

Istilah hasil kali menunjukkan bahwa kita harus mengalikan.

Langkah-langkah untuk mengubah frasa verbal menjadi perkalian aljabar dan menyederhanakannya.
	hasil kali $−2$ dan $14$
Ubahlah menjadi bentuk aljabar.	$(−2) (14)$
Sederhanakan.	$−28$

Ubahlah menjadi ekspresi aljabar dan sederhanakan jika memungkinkan: hasil bagi $−56$ dan $−7 .$

Solusi

Penyelesaian

Istilah hasil bagi menunjukkan bahwa kita harus membagi.

Penyelesaian langkah demi langkah untuk mengubah frasa pembagian menjadi bentuk aljabar dan menyederhanakannya.
	hasil bagi −56 dan −7
Ubahlah menjadi bentuk aljabar.	$−56 \div (−7)$
Sederhanakan.	$8$

Konsep Utama

Perkalian Bilangan Bertanda
- Untuk menentukan tanda hasil kali dua bilangan bertanda:
  
  Tanda Sama Hasil Kali
  
  Dua positif
  Dua negatif Positif
  Positif
  
  Tanda Berbeda Hasil Kali
  
  Positif • negatif
  Negatif • positif Negatif
  Negatif
Pembagian Bilangan Bertanda
- Untuk menentukan tanda hasil bagi dua bilangan bertanda:
  
  Tanda Sama Hasil Bagi
  
  Dua positif
  Dua negatif Positif
  Positif
  
  Tanda Berbeda Hasil Bagi
  
  Positif ÷ negatif
  Negatif ÷ positif Negatif
  Negatif
Perkalian dengan $−1$
- Mengalikan suatu bilangan dengan $−1$ menghasilkan lawannya: $−1 a = - a$
Pembagian dengan $−1$
- Membagi suatu bilangan dengan $−1$ menghasilkan lawannya: $a \div (−1) = - a$

Tanda Sama	Hasil Kali
Dua positif Dua negatif	Positif Positif

Tanda Berbeda	Hasil Kali
Positif • negatif Negatif • positif	Negatif Negatif

Tanda Sama	Hasil Bagi
Dua positif Dua negatif	Positif Positif

Tanda Berbeda	Hasil Bagi
Positif ÷ negatif Negatif ÷ positif	Negatif Negatif

Latihan Membentuk Kemahiran

Mengalikan Bilangan Bulat

Dalam latihan berikut, kalikan setiap pasangan bilangan bulat.

$−4 \cdot 8$

Solusi

−32

$−3 \cdot 9$

$−5 (7)$

Solusi

−35

$−8 (6)$

$−18 (−2)$

Solusi

36

$−10 (−6)$

$9 (−7)$

Solusi

−63

$13 (−5)$

$−1 \cdot 6$

Solusi

−6

$−1 \cdot 3$

$−1 (−14)$

Solusi

14

$−1 (−19)$

Membagi Bilangan Bulat

Dalam latihan berikut, lakukan pembagian.

$−24 \div 6$

Solusi

−4

$−28 \div 7$

$56 \div (−7)$

Solusi

−8

$35 \div (−7)$

$−52 \div (−4)$

Solusi

13

$−84 \div (−6)$

$−180 \div 15$

Solusi

−12

$−192 \div 12$

$49 \div (−1)$

Solusi

−49

$62 \div (−1)$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Bilangan Bulat

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi.

$5 (−6) + 7 (−2) −3$

Solusi

−47

$8 (−4) + 5 (−4) −6$

$−8 (−2) −3 (−9)$

Solusi

43

$−7 (−4) −5 (−3)$

${(−5)}^{3}$

Solusi

−125

${(−4)}^{3}$

${(−2)}^{6}$

Solusi

64

${(−3)}^{5}$

$- 4^{2}$

Solusi

−16

$- 6^{2}$

$−3 (−5) (6)$

Solusi

90

$−4 (−6) (3)$

$−4 \cdot 2 \cdot 11$

Solusi

−88

$−5 \cdot 3 \cdot 10$

$(8 - 11) (9 - 12)$

Solusi

9

$(6 - 11) (8 - 13)$

$26 - 3 (2 - 7)$

Solusi

41

$23 - 2 (4 - 6)$

$−10 (−4) \div (−8)$

Solusi

−5

$−8 (−6) \div (−4)$

$65 \div (−5) + (−28) \div (−7)$

Solusi

−9

$52 \div (−4) + (−32) \div (−8)$

$9 - 2 [3 - 8 (−2)]$

Solusi

−29

$11 - 3 [7 - 4 (−2)]$

${(−3)}^{2} −24 \div (8 - 2)$

Solusi

5

${(−4)}^{2} - 32 \div (12 - 4)$

Menghitung Nilai Ekspresi Variabel dengan Bilangan Bulat

Dalam latihan berikut, hitung nilai setiap ekspresi.

−2 x + 17 ketika

ⓐ $x = 8$
ⓑ $x = −8$

Solusi

ⓐ 1
ⓑ 33

−5 y + 14 ketika

ⓐ $y = 9$
ⓑ $y = −9$

10 - 3 m ketika

ⓐ $m = 5$
ⓑ $m = −5$

Solusi

ⓐ −5
ⓑ 25

18 - 4 n ketika

ⓐ $n = 3$
ⓑ $n = −3$

$p^{2} - 5 p + 5 ketika p = −1$

Solusi

11

$q^{2} - 2 q + 9$ ketika $q = −2$

$2 w^{2} - 3 w + 7$ ketika $w = −2$

Solusi

21

$3 u^{2} - 4 u + 5$ ketika $u = −3$

$6 x - 5 y + 15$ ketika $x = 3$ dan $y = −1$

Solusi

38

$3 p - 2 q + 9$ ketika $p = 8$ dan $q = −2$

$9 a - 2 b - 8$ ketika $a = −6$ dan $b = −3$

Solusi

−56

$7 m - 4 n - 2$ ketika $m = −4$ dan $n = −9$

Mengubah Frasa Verbal menjadi Ekspresi Aljabar

Dalam latihan berikut, ubahlah menjadi ekspresi aljabar dan sederhanakan jika memungkinkan.

Hasil kali $−3$ dan 15

Solusi

−3·15 = −45

Hasil kali $−4$ dan $16$

Hasil bagi $−60$ dan $−20$

Solusi

−60 ÷ (−20) = 3

Hasil bagi $−40$ dan $−20$

Hasil bagi $−6$ dan jumlah $a$ dengan $b$

Solusi

$\frac{−6}{a + b}$

Hasil bagi $−7$ dan jumlah $m$ dengan $n$

Hasil kali $−10$ dan selisih antara $p dan q$

Solusi

−10 (p − q)

Hasil kali $−13$ dan selisih antara $c dan d$

Matematika Sehari-hari

Pasar saham Javier memiliki $300$ lembar saham di sebuah perusahaan. Pada hari Selasa, harga saham turun $$12$ per lembar. Apa dampak keseluruhannya terhadap nilai portofolio Javier?

Solusi

−$3.600

Penurunan berat badan Pada minggu pertama suatu program diet, delapan perempuan masing-masing kehilangan rata-rata $3 pon$ . Berapa perubahan total berat badan kedelapan perempuan tersebut?

Latihan Menulis

Dengan kata-kata Anda sendiri, nyatakan aturan untuk mengalikan dua bilangan bulat.

Solusi

Contoh jawaban: Mengalikan dua bilangan bulat yang bertanda sama menghasilkan hasil kali positif. Mengalikan dua bilangan bulat yang bertanda berbeda menghasilkan hasil kali negatif.

Dengan kata-kata Anda sendiri, nyatakan aturan untuk membagi dua bilangan bulat.

Mengapa $- 2^{4} \neq {(−2)}^{4} ?$

Solusi

Contoh jawaban: Pada ekspresi pertama, basisnya positif; setelah memangkatkannya, kita mengambil lawan hasil tersebut. Pada ekspresi kedua, basisnya negatif, sehingga kita langsung memangkatkannya.

Mengapa $- 4^{2} \neq {(−4)}^{2} ?$

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri untuk menilai penguasaan perkalian dan pembagian bilangan bulat, penyederhanaan ekspresi, penghitungan nilai ekspresi variabel, serta pengubahan frasa verbal menjadi ekspresi aljabar, dengan pilihan yakin, dengan sedikit bantuan, atau belum paham.

ⓑ Pada skala 1–10, bagaimana Anda menilai penguasaan Anda terhadap bagian ini berdasarkan jawaban pada daftar periksa? Bagaimana Anda dapat meningkatkannya?