Rata-Rata dan Peluang
Salah satu penerapan bilangan desimal yang sering dijumpai adalah mencari rata-rata dari sekumpulan bilangan. Apa yang terlintas dalam pikiran Anda ketika mendengar kata rata-rata? Apakah rata-rata nilai Anda, rata-rata sewa apartemen di kota Anda, atau rata-rata pukulan pemain di tim bisbol favorit Anda? Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan data numerik. Menghitung rata-rata terkadang melibatkan bilangan desimal. Dalam bagian ini, kita akan membahas tiga cara berbeda untuk menghitung rata-rata.
Menghitung Rata-Rata Hitung dari Sekumpulan Bilangan
Rata-rata hitung sering disebut rata-rata aritmetika. Nilai ini dihitung dengan membagi jumlah seluruh nilai dengan banyaknya nilai. Siswa ingin mengetahui rata-rata hitung nilai ujian mereka. Ahli klimatologi melaporkan apakah rata-rata hitung suhu telah berubah atau belum. Perencana kota tertarik pada rata-rata hitung ukuran rumah tangga.
Misalkan tiga nilai ujian pertama Ethan adalah Untuk mencari rata-rata hitung nilainya, ia menjumlahkan ketiganya lalu membaginya dengan
Rata-rata hitung nilai ujiannya adalah poin.
Carilah rata-rata hitung dari bilangan-bilangan
Solusi
Penyelesaian
| Tuliskan rumus rata-rata hitung: | |
| Tuliskan jumlah bilangan pada pembilang. | |
| Hitung banyaknya bilangan dalam himpunan. Ada 5 bilangan dalam himpunan, sehingga . | |
| Jumlahkan bilangan-bilangan pada pembilang. | |
| Lalu bagi. | |
| Periksa apakah rata-rata hitung tersebut mewakili data: 10 tidak kurang dari 6 dan tidak lebih dari 15. | Rata-rata hitungnya adalah 10. |
Usia anggota keluarga yang berkumpul untuk merayakan ulang tahun adalah tahun. Carilah rata-rata hitung usia mereka.
Solusi
Penyelesaian
| Tuliskan rumus rata-rata hitung: | |
| Tuliskan jumlah bilangan pada pembilang. | |
| Hitung banyaknya bilangan dalam himpunan. Nyatakan banyaknya ini dengan lalu tuliskan pada penyebut. | |
| Sederhanakan pecahan. | |
Apakah merupakan nilai yang mewakili data? Ya, nilainya tidak kurang dari dan tidak lebih dari Rata-rata hitung usia mereka adalah tahun.
Apakah Anda memperhatikan bahwa dalam contoh terakhir, meskipun semua bilangan asal berupa bilangan cacah, rata-rata hitungnya adalah yaitu bilangan dengan satu tempat desimal? Umumnya, rata-rata hitung dilaporkan dengan satu tempat desimal lebih banyak daripada bilangan asal. Dalam contoh berikutnya, semua bilangan menyatakan jumlah uang sehingga masuk akal untuk melaporkan rata-rata hitung dalam dolar dan sen.
Selama empat bulan terakhir, tagihan telepon seluler Daisy adalah Carilah rata-rata hitung biaya tagihan telepon seluler Daisy.
Solusi
Penyelesaian
| Tuliskan rumus rata-rata hitung. | |
| Hitung banyaknya bilangan dalam himpunan. Nyatakan banyaknya ini dengan lalu tuliskan pada penyebut. | |
| Tuliskan jumlah seluruh bilangan pada pembilang. | |
| Sederhanakan pecahan. | |
Apakah tampak mewakili himpunan bilangan ini? Ya, nilainya tidak kurang dari dan tidak lebih dari
Rata-rata hitung biaya tagihan telepon selulernya adalah
Menentukan Median dari Sekumpulan Bilangan
Ketika Ann, Bianca, Dora, Eve, dan Francine bernyanyi bersama di atas panggung, mereka berbaris menurut tinggi badan. Tinggi badan mereka, dalam inci, ditampilkan pada .
| Ann | Bianca | Dora | Eve | Francine |
|---|---|---|---|---|
Dora berada di tengah kelompok. Tinggi badannya, adalah median tinggi badan para gadis tersebut. Separuh data tinggi badan kurang dari atau sama dengan tinggi Dora, dan separuh lainnya lebih dari atau sama dengannya. Median adalah nilai tengah.
Bagaimana jika Carmen, sang pianis, bergabung dengan kelompok penyanyi di atas panggung? Tinggi Carmen adalah inci, sehingga posisinya dalam urutan tinggi badan berada di antara Bianca dan Dora. Sekarang himpunan datanya tampak seperti ini:
Tidak ada satu nilai tengah. Tinggi badan keenam gadis tersebut dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama banyak.
Para ahli statistik sepakat bahwa dalam kasus seperti ini, median adalah rata-rata hitung dari dua nilai yang paling dekat dengan bagian tengah. Jadi, median adalah rata-rata hitung dari Median tinggi badan adalah inci.
Perhatikan bahwa ketika jumlah gadis adalah median merupakan tinggi badan ketiga, tetapi ketika jumlah gadis adalah median merupakan rata-rata hitung dari tinggi badan ketiga dan keempat. Secara umum, jika banyaknya nilai ganjil, median adalah satu nilai yang berada di tengah; tetapi jika banyaknya nilai genap, median adalah rata-rata hitung dari dua nilai tengah.
Carilah median dari
Solusi
Penyelesaian
| Urutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar. | 9, 11, 12, 13, 15, 18, 19 |
| Hitung banyaknya bilangan dalam himpunan. Nyatakan banyaknya ini dengan . | |
| Apakah ganjil atau genap? | ganjil |
| Median adalah nilai tengah. | |
| Nilai tengah adalah bilangan pada posisi ke-4. | Jadi, median datanya adalah 13. |
Kristen memperoleh nilai berikut pada kuis matematika mingguannya:
Carilah median nilainya.
Solusi
Penyelesaian
| Carilah median dari 83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88, dan 64. | |
| Urutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar. | 64, 76, 79, 83, 85, 86, 88, 90, 92, 100 |
| Hitung banyaknya nilai data dalam himpunan. Nyatakan banyaknya ini dengan . | |
| Apakah ganjil atau genap? | genap |
| Median adalah rata-rata hitung dari dua nilai tengah, yaitu bilangan ke-5 dan ke-6. | |
| Carilah rata-rata hitung dari 85 dan 86. | |
| Median nilai Kristen adalah 85.5. |
Menentukan Modus dari Suatu Himpunan Bilangan
Rata-rata adalah satu bilangan dalam suatu himpunan bilangan yang mewakili seluruh himpunan tersebut. Rata-rata hitung dan median sering disebut rata-rata. Istilah rata-rata memang dapat membingungkan karena merujuk pada dua bilangan yang berbeda, yaitu rata-rata hitung dan median! Bahkan, ada bilangan ketiga yang juga disebut rata-rata. Rata-rata ini adalah modus. Modus suatu himpunan bilangan adalah bilangan yang paling sering muncul. Frekuensi adalah banyaknya kemunculan suatu bilangan. Jadi, modus suatu himpunan bilangan adalah bilangan dengan frekuensi tertinggi.
Misalkan Jolene mencatat jarak yang ditempuhnya dengan berlari sejak awal bulan, seperti ditunjukkan pada .
Jika bilangan-bilangan tersebut kita urutkan, bilangan dengan frekuensi tertinggi lebih mudah ditentukan.
Jolene berlari sejauh mil sebanyak tiga kali, sedangkan setiap jarak lainnya hanya tercatat satu kali. Jadi, modus data tersebut adalah mil.
Usia mahasiswa dalam suatu kelas matematika di perguruan tinggi tercantum di bawah ini. Tentukan modusnya.
Solusi
Penyelesaian
Data usia tersebut sudah diurutkan. Kita akan membuat tabel frekuensi untuk membantu menentukan usia dengan frekuensi tertinggi.
Sekarang, carilah frekuensi tertinggi. Frekuensi tertinggi adalah yang bersesuaian dengan usia Jadi, modus usia dalam kelas ini adalah tahun.
Data tersebut mencantumkan tinggi badan (dalam inci) para mahasiswa di suatu kelas statistika. Tentukan modusnya.
Solusi
Penyelesaian
Cantumkan setiap bilangan beserta frekuensinya.
Sekarang, carilah frekuensi tertinggi. Frekuensi tertinggi adalah yang bersesuaian dengan tinggi inci. Jadi, modus himpunan data tinggi badan ini adalah inci.
Beberapa himpunan data tidak memiliki modus karena tidak ada nilai yang muncul lebih sering daripada nilai lainnya. Himpunan data lain memiliki lebih dari satu modus. Jika dua atau lebih nilai data dalam suatu himpunan memiliki frekuensi tertinggi yang sama, semua nilai tersebut merupakan modus.
Menggunakan Definisi Dasar Peluang
Peluang suatu kejadian menunjukkan seberapa besar kemungkinan kejadian tersebut terjadi. Peluang biasanya ditulis sebagai pecahan atau bilangan desimal.
Sebagai contoh, bayangkan sebuah mangkuk berisi lima buah—tiga pisang dan dua apel.
Jika Anda ingin memilih satu buah untuk dimakan sebagai camilan dan tidak mempermasalahkan jenis buah yang dipilih, peluang Anda memilih pisang adalah karena tiga dari lima buah tersebut adalah pisang. Peluang suatu kejadian adalah jumlah hasil yang diinginkan dibagi jumlah seluruh hasil yang mungkin.
Dengan mengubah pecahan menjadi bilangan desimal, kita dapat mengatakan bahwa peluang memilih pisang adalah .
Definisi dasar peluang ini mengasumsikan bahwa semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Jika kelak Anda mempelajari peluang dalam kelas matematika lanjutan, Anda akan mempelajari beberapa cara lain untuk menghitung peluang.
Klub ski mengadakan undian untuk mengumpulkan dana. Mereka menjual tiket. Semua tiket dimasukkan ke dalam sebuah stoples. Satu tiket akan diambil dari stoples secara acak, dan pemenangnya akan menerima hadiah. Cherie membeli satu tiket undian.
ⓐ Tentukan peluang Cherie memenangkan hadiah.
ⓑ Ubah pecahan tersebut menjadi bilangan desimal.
Solusi
Penyelesaian
| ⓐ | |
| Apa yang diminta untuk ditentukan? | Peluang Cherie memenangkan hadiah. |
| Berapa jumlah hasil yang diinginkan? | 1, karena Cherie memiliki 1 tiket. |
| Gunakan definisi peluang. | |
| Gantikan pembilang dan penyebut dengan nilai yang sesuai. |
| ⓑ | |
| Ubah pecahan menjadi bilangan desimal. | |
| Tuliskan peluang sebagai pecahan. | |
| Ubah pecahan menjadi bilangan desimal. |
Tiga perempuan dan lima laki-laki mengikuti wawancara untuk suatu pekerjaan. Salah satu kandidat akan ditawari pekerjaan tersebut.
ⓐ Tentukan peluang pekerjaan tersebut ditawarkan kepada seorang perempuan.
ⓑ Ubah pecahan tersebut menjadi bilangan desimal.
Solusi
Penyelesaian
| ⓐ | |
| Apa yang diminta untuk ditentukan? | Peluang pekerjaan tersebut ditawarkan kepada seorang perempuan. |
| Berapa jumlah hasil yang diinginkan? | 3, karena ada tiga perempuan. |
| Berapa jumlah seluruh hasil yang mungkin? | 8, karena 8 orang mengikuti wawancara. |
| Gunakan definisi peluang. | |
| Gantikan pembilang dan penyebut dengan nilai yang sesuai. |
| ⓑ | |
| Ubah pecahan menjadi bilangan desimal. | |
| Tuliskan peluang sebagai pecahan. | |
| Ubah pecahan menjadi bilangan desimal. |
Konsep Utama
-
Menghitung rata-rata hitung dari sekumpulan bilangan.
- Tuliskan rumus rata-rata hitung
- Tentukan jumlah seluruh nilai dalam himpunan. Tuliskan jumlah tersebut pada pembilang.
- Hitung banyaknya nilai dalam himpunan, yang dinyatakan dengan n. Tuliskan bilangan ini pada penyebut.
- Sederhanakan pecahan.
- Periksa apakah rata-rata hitung tersebut masuk akal. Nilainya harus sekurang-kurangnya sama dengan bilangan terkecil dan tidak lebih besar daripada bilangan terbesar dalam himpunan.
-
Menentukan median dari sekumpulan bilangan.
- Urutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.
- Hitung banyaknya bilangan dalam himpunan. Nyatakan banyaknya ini dengan .
- Apakah ganjil atau genap?
Jika merupakan bilangan ganjil, median adalah nilai tengah.
Jika merupakan bilangan genap, median adalah rata-rata hitung dari dua nilai tengah.
-
Menentukan modus dari sekumpulan bilangan.
- Urutkan nilai-nilai data secara numerik.
- Hitung berapa kali setiap nilai muncul.
- Modus adalah nilai dengan frekuensi tertinggi.
Latihan Membentuk Kemahiran
Menghitung Rata-Rata Hitung dari Sekumpulan Bilangan
Dalam latihan berikut, tentukan rata-rata hitungnya.
, , , ,
Solusi
4
, , , , ,
, , , , ,
Solusi
35
, , , , dan
, , ,
Solusi
245.5
, , ,
, , , , ,
Solusi
11.65
, , , , , , ,
Empat anak perempuan yang keluar dari pusat perbelanjaan ditanya berapa banyak uang yang baru saja mereka belanjakan. Jumlahnya adalah , , , dan . Tentukan rata-rata hitung jumlah uang yang dibelanjakan.
Solusi
$18.84
Juan membeli kemeja untuk dikenakan di tempat kerja barunya. Harga kemeja-kemeja tersebut adalah , , , , dan . Tentukan rata-rata hitung harganya.
Waktu dalam menit yang dibutuhkan Jim untuk mengendarai sepedanya ke sekolah pada masing-masing dari enam hari terakhir adalah , , , , , dan . Tentukan rata-rata hitung waktunya dalam menit.
Solusi
19.5 menit
Norris membeli enam buku untuk kuliahnya semester ini. Harga buku-buku tersebut adalah , , , , , dan . Tentukan rata-rata hitung harganya.
Delapan pemukul teratas dalam sebuah liga sofbol memiliki rata-rata pukulan sebesar , , , , , , , dan . Tentukan rata-rata hitung dari semua rata-rata pukulan tersebut. Bulatkan jawaban Anda ke perseribuan terdekat.
Solusi
0.329
Curah salju bulanan di sebuah resor ski selama enam bulan adalah dan inci. Tentukan rata-rata hitung curah saljunya.
Menentukan Median dari Sekumpulan Bilangan
Dalam latihan berikut, tentukan mediannya.
, , , ,
Solusi
21
, , , ,
, , , , , , , ,
Solusi
45
, , , , , , , ,
, , , , , , ,
Solusi
4.5
, , , , , , ,
, , , , ,
Solusi
99.65
, , , , , , ,
Minggu lalu, Ray mencatat jumlah uang yang ia belanjakan untuk makan siang setiap hari kerja. Ia membelanjakan , , , , dan . Tentukan mediannya.
Solusi
$6.50
Michaela bertanggung jawab atas 6 anak berusia dua tahun di sebuah pusat penitipan anak. Usia mereka, dalam bulan, adalah , , , , , dan . Tentukan median usia mereka.
Brian mengajar kelas renang bagi anak berusia tiga tahun. Usia mereka, dalam bulan, adalah Tentukan median usia mereka.
Solusi
40.5 bulan
Sal mencatat jumlah uang yang ia belanjakan untuk bensin setiap minggu selama minggu terakhir. Jumlahnya adalah dan Tentukan median jumlah tersebut.
Menentukan Modus dari Sekumpulan Bilangan
Dalam latihan berikut, tentukan modusnya.
, , , , , , , , , ,
Solusi
2
, , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
Solusi
22
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
Banyaknya anak per rumah di satu blok: , , , , , , , , , , , ,
Solusi
2 anak
Banyaknya film yang ditonton setiap bulan tahun lalu: , , , , , , , , , , ,
Banyaknya unit mata kuliah yang diambil mahasiswa dalam satu kelas: , , , , , , , , , , , .
Solusi
11 unit
Banyaknya jam tidur per malam selama dua minggu terakhir: , , , , , , , , , , , , , .
Menggunakan Definisi Dasar Peluang
Dalam latihan berikut, nyatakan peluang sebagai pecahan dan bilangan desimal. (Bulatkan hingga tiga tempat desimal jika perlu.)
Josue bergabung dalam klub buku yang beranggotakan orang. Setiap bulan, satu anggota dipilih secara acak untuk memilih buku bulan berikutnya. Tentukan peluang Josue akan terpilih bulan depan.
Solusi
Jessica adalah salah satu dari delapan guru taman kanak-kanak di Sekolah Dasar Mandela. Salah satu guru taman kanak-kanak akan dipilih secara acak untuk mengikuti lokakarya musim panas. Tentukan peluang Jessica akan terpilih.
Ada orang yang bekerja di departemen Dane. Minggu depan, satu orang akan dipilih secara acak untuk membawa donat. Tentukan peluang Dane akan terpilih. Bulatkan jawaban Anda ke perseribuan terdekat.
Solusi
Monica memiliki dua yoghurt rasa stroberi dan enam yoghurt rasa pisang di lemari esnya. Ia akan memilih satu yoghurt secara acak untuk dibawa ke tempat kerja. Tentukan peluang Monica memilih yoghurt rasa stroberi.
Michel memiliki empat CD musik rok dan enam CD musik country di mobilnya. Ia akan memilih satu CD untuk diputar dalam perjalanan ke tempat kerja. Tentukan peluang Michel memilih CD musik rok.
Solusi
Noah sedang merencanakan perjalanan berkemah musim panasnya. Ia tidak dapat memutuskan antara enam bumi perkemahan di pantai dan dua belas bumi perkemahan di pegunungan, sehingga ia akan memilih satu bumi perkemahan secara acak. Tentukan peluang Noah memilih bumi perkemahan di pantai.
Donovan sedang mempertimbangkan untuk pindah ke Ia mempertimbangkan perguruan tinggi di luar negara bagian dan perguruan tinggi di negara bagiannya. Ia akan memilih satu perguruan tinggi secara acak untuk dikunjungi selama liburan musim semi. Tentukan peluang Donovan memilih perguruan tinggi di luar negara bagian.
Solusi
Terdapat kombinasi angka yang mungkin dalam lotre Mega Millions. Satu tiket pemenang jackpot akan dipilih secara acak. Brent memilih kombinasi angka favoritnya dan membeli satu tiket. Tentukan peluang Brent memenangkan jackpot. Bulatkan bilangan desimal itu hingga digit bukan nol pertama, kemudian tuliskan cara membacanya dengan titik desimal dibaca sebagai “koma”.
Matematika Sehari-hari
Joaquin menerima gaji setiap hari Jumat. Cek gajinya pada hari Jumat terakhir bernilai Tentukan ⓐ rata-rata hitung, ⓑ median, dan ⓒ modusnya.
Solusi
- ⓐ $285.47
- ⓑ $275.63
- ⓒ $236.25
Penerimaan kas sebuah kedai kopi pada setiap hari selama minggu lalu adalah Tentukan ⓐ rata-rata hitung, ⓑ median, dan ⓒ modusnya.
Latihan Menulis
Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri perbedaan antara rata-rata hitung, median, dan modus dari sekumpulan bilangan.
Solusi
Jawaban dapat bervariasi.
Buatlah contoh peluang yang berkaitan dengan kehidupan Anda. Tuliskan jawaban Anda sebagai pecahan dan jelaskan apa yang diwakili oleh pembilang dan penyebutnya.
Pemeriksaan Diri
ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan-tujuan bagian ini.
ⓑ Setelah melihat daftar periksa, apakah menurut Anda sudah siap untuk bagian berikutnya? Mengapa atau mengapa tidak?
- Separuh nilai data kurang dari atau sama dengan median.
- Separuh nilai data lebih besar dari atau sama dengan median.