1A2 — Himpunan terbuka dan tertutup dalam ℝʳ

©date1994

Dalam 111G saya memberikan definisi himpunan terbuka dalam \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\), dan dalam 121D saya menggunakan secara sepintas beberapa sifat dasar himpunan-himpunan ini; barangkali akan membantu jika saya memaparkan sedikit saja teori elementernya.

1A2A Himpunan terbuka

Ingat bahwa suatu himpunan \(G\subseteq\Bbb R\) disebut terbuka jika untuk setiap \(x\in G\) terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\ooint{x-\delta,x+\delta}\subseteq G\); demikian pula, suatu himpunan \(G\subseteq\BbbR^r\) disebut terbuka jika untuk setiap \(x\in G\) terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x,\delta)\subseteq G\), dengan \(U(x,\delta)=\{y:\|y-x\|<\delta\}\), dan kita menulis \(\|z\|\) untuk \(\sqrt{\zeta_1^2+\ldots+\zeta_r^2}\) jika \(z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_r)\). Selanjutnya saya memberikan argumen untuk \(r\) umum; jika saat ini Anda hanya tertarik pada kasus satu dimensi, Anda seharusnya tidak mengalami kesulitan membacanya seolah-olah \(r=1\) sepanjang uraian.

1A2B Keluarga semua himpunan terbuka

Misalkan \(\frak T\) adalah keluarga himpunan-himpunan terbuka dalam \(\BbbR^r\). Maka \(\frak T\) mempunyai sifat-sifat berikut.

(a) \(\emptyset\in\frak T\), yaitu himpunan kosong terbuka. Bukti. Karena definisi ‘\(\emptyset\) terbuka’ dimulai dengan ‘untuk setiap \(x\in\emptyset\), \(\ldots\)’, definisi itu pasti terpenuhi secara vakum untuk himpunan kosong. ∎

(b) \(\BbbR^r\in\frak T\), yaitu seluruh ruang yang sedang ditinjau merupakan himpunan terbuka. Bukti.\ \(U(x,1)\subseteq\BbbR^r\) untuk setiap \(x\in\BbbR^r\). ∎

(c) Jika \(G\), \(H\in\frak T\) maka \(G\cap H\in\frak T\); yaitu irisan dua himpunan terbuka selalu merupakan himpunan terbuka. Bukti.\ Misalkan \(x\in G\cap H\). Maka terdapat \(\delta_1\), \(\delta_2>0\) sedemikian sehingga \(U(x,\delta_1)\subseteq G\) dan \(U(x,\delta_2)\subseteq H\). Tetapkan \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)>0\); maka \(U(x,\delta)=\{y:\|y-x\|<\min(\delta_1,\delta_2)\} =U(x,\delta_1)\cap U(x,\delta_2)\subseteq G\cap H\). Karena \(x\) sembarang, \(G\cap H\) terbuka. ∎

(d) Jika \(\Cal G\subseteq\frak T\), maka

\(\bigcup\Cal G=\{x:\,\exists\, G\in\Cal G,\,x\in G\} \in\frak T\);

yaitu, gabungan sebarang keluarga himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti. Misalkan \(x\in\bigcup\Cal G\). Maka terdapat suatu \(G\in\Cal G\) sedemikian sehingga \(x\in G\). Karena \(G\in\frak T\), terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(U(x,\delta)\subseteq G\subseteq\bigcup\Cal G\). Karena \(x\) sembarang, \(\bigcup\Cal G\in\frak T\). ∎

1A2C Ketaksamaan Cauchy: Proposisi

Untuk semua \(x\), \(y\in\BbbR^r\), \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\).

Bukti

Nyatakan \(x\) sebagai \((\xi_1,\ldots,\xi_r)\) dan \(y\) sebagai \((\eta_1,\ldots,\eta_r)\); tetapkan \(\alpha=\|x\|\), \(\beta=\|y\|\). Maka \(\alpha\) dan \(\beta\) keduanya nonnegatif. Jika \(\alpha=0\) maka \(\sum_{j=1}^r\xi_j^2=0\), sehingga setiap \(\xi_j=0\) dan \(x=\tbf{0}\), jadi \(\|x+y\|=\|y\|=\|x\|+\|y\|\); jika \(\beta=0\), maka \(y=\tbf{0}\) dan \(\|x+y\|=\|x\|=\|x\|+\|y\|\). Jika keduanya positif, tinjau

\[\begin{aligned}\alpha\beta\|x+y\|^2 &\le\alpha\beta\|x+y\|^2+\|\alpha y-\beta x\|^2\\ &=\alpha\beta\sum_{j=1}^r(\xi_j+\eta_j)^2 +\sum_{j=1}^r(\alpha\eta_j-\beta\xi_j)^2\\ &=\sum_{j=1}^r(\alpha\beta\xi_j^2+\alpha\beta\eta_j^2 +\alpha^2\eta_j^2+\beta^2\xi_j^2)\\ &=\alpha^3\beta+\alpha\beta^3+\alpha^2\beta^2+\beta^2\alpha^2\\ &=\alpha\beta(\alpha+\beta)^2 =\alpha\beta(\|x\|+\|y\|)^2.\\\end{aligned}\]

Dengan membagi kedua ruas oleh \(\alpha\beta\) dan mengambil akar kuadrat, kita memperoleh hasil yang dinyatakan.

1A2D Akibat

\(U(x,\delta)\), sebagaimana didefinisikan dalam 1A2A, terbuka untuk setiap \(x\in\BbbR^r\) dan \(\delta>0\).

1A2E Himpunan tertutup: Definisi

Suatu himpunan \(F\subseteq\BbbR^r\) disebut tertutup jika \(\BbbR^r\setminus F\) terbuka. (Peringatan! ‘Sebagian besar’ subhimpunan dari \(\BbbR^r\) tidak terbuka maupun tertutup; dua subhimpunan dari \(\BbbR^r\), yaitu \(\emptyset\) dan \(\BbbR^r\), sekaligus terbuka dan tertutup.) Sejalan dengan daftar dalam 1A2B, kita mempunyai sifat-sifat berikut dari keluarga \(\Cal F\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan tertutup dari \(\BbbR^r\).

1A2F Proposisi

Misalkan \(\Cal F\) keluarga subhimpunan-subhimpunan tertutup dari \(\BbbR^r\).

(a) \(\emptyset\in\Cal F\) (karena \(\BbbR^r\in\frak T\)).

(b) \(\BbbR^r\in\Cal F\) (karena \(\emptyset\in\frak T\)).

\(\BbbR^r\setminus(E\cup F) =(\BbbR^r\setminus E)\cap(\BbbR^r\setminus F)\in\frak T\).

(d) Jika \(\Cal E\subseteq\Cal F\) merupakan keluarga tak kosong dari himpunan-himpunan tertutup, maka

\(\bigcap\Cal E =\{x:x\in F\Forall F\in\Cal E\}\mskip5mu =\BbbR^r\setminus\bigcupop_{F\in\Cal E}(\BbbR^r\setminus F)\in\Cal F\).

Catatan Dalam (d), kita perlu mengasumsikan bahwa \(\Cal E\ne\emptyset\) untuk memastikan bahwa \(\bigcap\Cal E\subseteq\BbbR^r\).

1A2G

Sejalan dengan 1A2D, kita memperoleh fakta berikut:

Lema Jika \(x\in\BbbR^r\) dan \(\delta\ge 0\), maka \(B(x,\delta)=\{y:\|y-x\|\le\delta\}\) tertutup.