©date1994
Dalam jilid pengantar ini saya menguraikan, pada tingkat yang saya harap sesuai bagi mahasiswa yang belum memiliki pengetahuan sebelumnya tentang integral Lebesgue (atau bahkan integral Riemann) dan yang hanya memiliki bekal dasar (namun tuntas) dalam teknik analisis \(\epsilon\)-\(\delta\), teori ukuran dan integrasi hingga teorema-teorema konvergensi (§123). Saya menambahkan bab ketiga (Bab 13) yang memuat berbagai hasil tambahan, sebagian besar dipilih karena merupakan materi relatif elementer yang diperlukan untuk topik-topik yang dibahas dalam Jilid 2 tetapi tidak memiliki tempat yang wajar di sana.
Judul jilid ini sedikit lebih tegas daripada yang ingin saya coba pertanggungjawabkan au pied de la lettre. Saya tentu akan menyebut konstruksi ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) (§114), definisi integral pada ruang ukur abstrak (§122), dan teorema-teorema konvergensi (§123) sebagai hal-hal yang mutlak perlu. Namun, seorang pengajar yang ingin segera beralih ke topik-topik lebih lanjut akan mendapati bahwa sebagian besar Bab 13 dapat dikesampingkan untuk sementara. Di sini saya mengatakan ‘pengajar’, bukan ‘mahasiswa’, karena jika Anda belajar sendiri, saya pikir Anda sebaiknya berusaha maju lebih lambat daripada yang dituntut teks, bukan lebih cepat; menurut pandangan saya, gagasan-gagasan ini benar-benar sulit, dan saya pikir Anda sebaiknya meluangkan waktu untuk berlatih sebanyak mungkin pada tingkat yang relatif elementer.
Barangkali inilah saat yang tepat untuk mengemukakan beberapa pemikiran umum tentang pengajaran teori ukuran. Kini saya telah mengajar analisis selama lebih dari tiga puluh tahun, dan salah satu dari sedikit hal yang tetap sama sepanjang masa itu adalah perasaan, yang hampir universal di kalangan pengajar analisis, bahwa kita tidak melayani sebagian besar mahasiswa kita dengan baik. Kita semua pernah menjumpai mahasiswa yang tidak bodoh – bahkan sesungguhnya cukup pandai dalam matematika – tetapi tampaknya mengalami kesulitan yang tidak sebanding dalam analisis yang ketat. Mereka begitu letih dan kehilangan semangat akibat persoalan teknis sehingga tidak mampu memahami atau bahkan menggunakan pengetahuan yang telah mereka peroleh. Reaksi yang wajar terhadap keadaan ini adalah mencoba membuat mata kuliah lebih singkat dan lebih mudah. Namun, saya pikir hal itu justru makin memperbesar kemungkinan bahwa pada akhir semester mahasiswa Anda akan terdampar di semak berduri di tengah perjalanan mendaki gunung. Khususnya dalam hal ukuran Lebesgue, Anda terancam menghabiskan dua puluh jam untuk mengajari mereka cara mengintegralkan fungsi karakteristik himpunan bilangan rasional. Bukan untuk itulah pokok bahasan ini ada. Penyajian Lebesgue sendiri mengenai pokok bahasan ini (Lebesgue 1904, Lebesgue 1918) menekankan teorema-teorema konvergensi dan Teorema Dasar Kalkulus. Yang pertama telah saya tempatkan dalam Jilid 1 dan yang terakhir dalam Jilid 2, tetapi menurut saya, kecuali mahasiswa Anda sendiri ingin tahu kapan kita dapat berharap bahwa limit dan integral bisa dipertukarkan, atau fungsi mana yang merupakan integral tak tentu, atau seperti apa ruang-ruang hasil pelengkapan \(C([0,1])\) di bawah norma \(\|\,\|_1\), \(\|\,\|_2\), maka akan sangat sulit bagi mereka untuk memperoleh sesuatu dari materi ini; dan jika Anda benar-benar tidak dapat mencapai tahap menjelaskan sekurang-kurangnya dua dari perkara ini dengan istilah yang dapat mereka pahami, mungkin tidak ada gunanya memulai. Saya sendiri lebih memilih menghilangkan cukup banyak pembuktian daripada baru sampai pada teorema-teorema yang menjadi alasan diciptakannya pokok bahasan ini sedemikian terlambat dalam mata kuliah sehingga dua pertiga kelas saya sudah menyerah sebelum teorema-teorema itu dibahas.
Tentu saja, saya dan orang-orang lain juga pernah menempuh jalan itu, dengan hasil yang tidak lebih baik (meskipun biasanya dengan mahasiswa yang lebih bahagia) daripada hasil yang kita peroleh dengan menggarap setiap perincian dan menuntaskan setiap langkah dalam pembuktian. Hampir setiap kali saya dimintai pendapat oleh seorang nonspesialis yang ingin diberi tahu sebuah teorema yang akan memecahkan masalahnya, saya kembali diingatkan bahwa matematika murni pada umumnya, dan analisis pada khususnya, tidak terletak dalam teorema-teorema, melainkan dalam pembuktian-pembuktian. Sejauh saya berhasil menjawab pertanyaan-pertanyaan semacam itu, biasanya hal itu terjadi dengan melakukan penyesuaian kecil pada sebuah argumen baku untuk menghasilkan sebuah teorema tak baku. Gagasan-gagasannya terletak dalam perinciannya. Anda belum memahami konstruksi Carathéodory (§113) sampai Anda setidak-tidaknya dapat mereproduksi secara andal argumen yang menunjukkan bahwa konstruksi itu berhasil. Pada akhirnya, tidak ada pilihan selain menelusuri setiap langkah, dan meskipun sesekali saya tanpa ampun membuang topik-topik yang menurut saya hanya bersifat marginal, saya telah berusaha memastikan – yang sering kali harus dibayar dengan kepedantisan – bahwa setiap gagasan yang diperlukan telah ditandai.
Oleh karena itu, ketika menghadapi kelas tertentu, saya percaya bahwa seorang pengajar harus berkompromi antara keluasan cakupan dan kelengkapan. Persis kompromi mana yang paling sesuai akan bergantung pada faktor-faktor yang hanya akan membuang waktu jika saya mencoba menebaknya. Jilid ini dimaksudkan sebagai salah satu teks yang mungkin digunakan sebagai landasan mata kuliah; tetapi saya berharap tidak ada dosen yang menugasi kelasnya membacanya sekian halaman setiap minggu. Tujuan utama saya adalah menyediakan landasan yang ringkas dan koheren untuk mendirikan struktur jilid-jilid selanjutnya. Untuk itu, pada beberapa bagian saya harus mengikuti pendekatan yang menempuh jalur sedikit lebih sulit demi mengembangkan teknik yang lebih halus. (Mungkin yang paling menonjol di antaranya adalah kegigihan saya dalam menegaskan bahwa suatu fungsi terintegralkan tidak harus terdefinisi di setiap titik pada ruang ukur yang mendasarinya; lihat §§121-122.) Setiap pengajar bertanggung jawab memutuskan sendiri apakah penyempurnaan-penyempurnaan semacam itu sesuai dengan kebutuhan mahasiswanya, dan jika tidak, menunjukkan kepada mereka penyesuaian apa yang diperlukan.
Paragraf-paragraf di atas ditujukan kepada para pengajar yang, menurut anggapan, menguasai pokok bahasan ini – tentu saja melampaui tingkat yang dibahas dalam jilid ini – dan memiliki akses ke sejumlah buku yang sangat baik dan sudah tersedia, sehingga jika mereka bersusah payah memikirkan tujuan mereka, mereka semestinya dapat memilih unsur-unsur penyajian saya yang sesuai. Namun, saya juga harus mempertimbangkan keadaan seorang mahasiswa yang mulai mempelajari materi ini sendiri. Saya percaya bahwa dari apa yang telah saya tulis, Anda sudah memahami bahwa Anda tidak perlu takut melihat ke depan. Bahkan, ada baiknya Anda beralih ke Jilid 2 dan mengkaji salah satu teorema menakjubkan di sana – misalnya Teorema Dasar Kalkulus (§222), atau, jika Anda sangat berambisi, hukum kuat bilangan besar (§273) – lalu menggunakan indeks dan rujukan silang untuk mencoba memperoleh pembuktiannya dari prinsip-prinsip pertama. Jika berhasil, Anda sepenuhnya berhak memberi selamat kepada diri sendiri. Namun, pada masa-masa ketika keberhasilan terasa sukar diraih, Anda sebaiknya mengerjakan secara sistematis ‘latihan-latihan dasar’ dalam bagian-bagian yang tampaknya relevan; dan jika segala upaya lain gagal, mulailah lagi dari awal. Matematika adalah pokok bahasan yang sulit, itulah sebabnya matematika layak ditekuni, dan hampir setiap bagian di sini memuat suatu gagasan esensial yang tidak mungkin Anda temukan sendiri.
Catatan tentang cetakan kedua dan ketiga
Untuk cetakan kedua jilid ini saya membuat beberapa koreksi, disertai beberapa latihan baru. Untuk cetakan ketiga saya melakukan hal yang sama; selain itu, saya menambahkan satu hasil elementer dan definisi formal untuk beberapa istilah yang hampir baku. Dalam dua kasus, saya juga memperkenankan diri menata ulang sekumpulan latihan dalam urutan yang kini tampak lebih alami bagi saya.
Catatan tentang edisi kedua, 2011
Untuk edisi baru (‘Lulu’) jilid ini, saya telah memperbaiki sejumlah kesalahan lain; tidak diragukan lagi masih banyak yang tersisa. Ada beberapa latihan tambahan, dan sedikit lebih banyak materi tentang integral atas dan bawah (§133).