Memahami Gradien Garis

Ketika menggambar grafik persamaan linear, kita telah melihat bahwa beberapa garis menanjak dari kiri ke kanan, sedangkan garis lainnya menurun. Ada garis yang sangat curam dan ada pula yang lebih landai. Apa yang menentukan apakah sebuah garis menanjak atau menurun, serta apakah kemiringannya curam atau landai?

Tingkat kecuraman sebuah garis disebut gradien garis. Konsep gradien memiliki banyak penerapan di dunia nyata. Kemiringan atap serta tanjakan jalan raya atau jalur kursi roda hanyalah beberapa contoh tempat Anda dapat melihat gradien secara langsung. Ketika mengendarai sepeda, Anda juga merasakan gradien saat mengayuh menanjak atau meluncur menurun.

Menggunakan Papan Berpaku untuk Memodelkan Gradien

Pada bagian ini, kita akan menjelajahi konsep gradien.

Penggunaan karet gelang pada papan berpaku memberikan cara konkret untuk memodelkan garis pada kisi koordinat. Dengan merentangkan karet gelang di antara dua pasak pada papan berpaku, kita dapat menemukan cara menentukan gradien sebuah garis.

Kita mulai dengan merentangkan karet gelang di antara dua pasak untuk membentuk garis seperti yang ditunjukkan pada .

Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Sebuah lingkar karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 4 dengan titik pada kolom 4 baris 2.

Apakah bentuk itu tampak seperti garis?

Sekarang kita rentangkan salah satu bagian karet gelang lurus ke atas dari pasak kiri dan melingkari pasak ketiga untuk membentuk sisi-sisi segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada . Kita membentuk sudut $90 °$ dengan cermat di sekeliling pasak ketiga sehingga satu sisi vertikal dan sisi lainnya horizontal.

Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Segitiga dari karet gelang menghubungkan tiga titik pada kolom 1 baris 2, kolom 1 baris 4, dan kolom 4 baris 2.

Untuk menentukan gradien garis, kita mengukur jarak sepanjang sisi vertikal dan horizontal segitiga. Jarak vertikal disebut kenaikan, sedangkan jarak horizontal disebut jarak mendatar, seperti yang ditunjukkan pada .

Dua panah siku-siku menunjukkan kenaikan vertikal, lalu jarak mendatar ke kanan.

Untuk membantu mengingat istilah-istilah tersebut, bayangkan gambar yang ditunjukkan pada .

Balon udara bergerak lurus ke atas seperti arah sumbu-y, sedangkan pelari bergerak mendatar seperti arah sumbu-x.

Pada papan berpaku kita, kenaikannya adalah $2$ satuan karena karet gelang naik $2$ ruang pada sisi vertikal. Lihat .

Berapakah jarak mendatarnya? Pastikan Anda menghitung ruang di antara pasak, bukan pasaknya! Karet gelang melintasi $3$ ruang pada sisi horizontal, sehingga jarak mendatarnya adalah $3$ satuan.

Gradien garis adalah perbandingan kenaikan terhadap jarak mendatar. Jadi, gradien garis kita adalah $\frac{2}{3} .$ Dalam matematika, gradien selalu dilambangkan dengan huruf $m .$

Berapakah gradien garis pada papan berpaku dalam ?

m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}

m = \frac{2}{3}

Gradien garis adalah \frac{2}{3} .

Saat menggunakan papan berpaku, sebaiknya kita membiasakan diri memulai dari pasak di sebelah kiri dan menghubungkannya ke pasak di sebelah kanan. Kemudian kita merentangkan karet gelang untuk membentuk segitiga siku-siku.

Jika kita memulai dengan bergerak ke atas, kenaikannya positif; jika kita merentangkannya ke bawah, kenaikannya negatif. Kita akan menghitung jarak mendatar dari kiri ke kanan, seperti arah Anda membaca paragraf ini, sehingga jarak mendatarnya positif.

Karena rumus gradien menempatkan kenaikan di atas jarak mendatar, mungkin lebih mudah untuk selalu menghitung kenaikan terlebih dahulu, lalu jarak mendatar.

Berapakah gradien garis pada papan berpaku yang ditunjukkan?

Solusi

Gunakan definisi gradien.

$m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$

Mulailah dari pasak kiri dan buat segitiga siku-siku dengan merentangkan karet gelang ke atas dan ke kanan hingga mencapai pasak kedua.

Hitung kenaikan dan jarak mendatar seperti yang ditunjukkan.
Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Segitiga dari karet gelang menghubungkan tiga titik pada kolom 1 baris 2, kolom 1 baris 5, dan kolom 5 baris 2.

$\begin{matrix} Kenaikannya 3 satuan . & m = \frac{3}{jarak mendatar} \\ Jarak mendatarnya 4 satuan . & m = \frac{3}{4} \\ Gradiennya \frac{3}{4} . \end{matrix}$

Berapakah gradien garis pada papan berpaku yang ditunjukkan?

Solusi

Gunakan definisi gradien.

$m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$

Mulailah dari pasak kiri dan buat segitiga siku-siku dengan merentangkan karet gelang ke pasak di sebelah kanan. Kali ini kita perlu merentangkan karet gelang ke bawah untuk membuat sisi vertikal, sehingga kenaikannya negatif.
Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Segitiga dari karet gelang menghubungkan tiga titik pada kolom 1 baris 3, kolom 1 baris 4, dan kolom 4 baris 4.

$\begin{matrix} Kenaikannya - 1 . & m = \frac{- 1}{jarak mendatar} \\ Jarak mendatarnya 3 . & m = \frac{- 1}{3} \\ m = - \frac{1}{3} \\ Gradiennya - \frac{1}{3} . \end{matrix}$

Perhatikan bahwa pada contoh pertama gradiennya positif, sedangkan pada contoh kedua gradiennya negatif. Apakah Anda melihat perbedaan antara kedua garis yang ditunjukkan pada ?

Gambar menunjukkan dua papan berpaku, masing-masing dengan 5 baris dan 5 kolom. Pada papan A, karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 5 dengan titik pada kolom 5 baris 2; gradiennya 3/4. Pada papan B, karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 3 dengan titik pada kolom 4 baris 4; gradiennya −1/3.

Jika dibaca dari kiri ke kanan, garis pada Gambar A menanjak; gradiennya positif. Garis pada Gambar B menurun; gradiennya negatif.

Panah kiri naik dari kiri ke kanan dan menunjukkan gradien positif; panah kanan turun dari kiri ke kanan dan menunjukkan gradien negatif.

Gunakan papan berpaku untuk memodelkan garis dengan gradien $\frac{1}{2} .$

Solusi

Untuk memodelkan garis dengan gradien tertentu pada papan berpaku, kita perlu mengetahui kenaikan dan jarak mendatarnya.

Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Ganti $m$ dengan $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2} = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$

Jadi, kenaikannya adalah $1$ satuan dan jarak mendatarnya adalah $2$ satuan.

Mulailah dari sebuah pasak di kiri bawah papan berpaku. Rentangkan karet gelang ke atas $1$ satuan, lalu ke kanan $2$ satuan.
Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Segitiga dari karet gelang menghubungkan tiga titik pada kolom 1 baris 3, kolom 1 baris 4, dan kolom 3 baris 3.

Hipotenusa segitiga siku-siku yang dibentuk oleh karet gelang mewakili garis dengan gradien $\frac{1}{2} .$

Gunakan papan berpaku untuk memodelkan garis dengan gradien $\frac{- 1}{4},$

Solusi

Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Ganti $m$ dengan $- \frac{1}{4}$ . $- \frac{1}{4} = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$

Jadi, kenaikannya adalah $- 1$ dan jarak mendatarnya adalah $4 .$

Karena kenaikannya negatif, kita memilih pasak awal di kiri atas agar tersedia ruang untuk menghitung ke bawah. Kita rentangkan karet gelang ke bawah $1$ satuan, lalu ke kanan $4$ satuan.
Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Segitiga dari karet gelang menghubungkan tiga titik pada kolom 1 baris 2, kolom 1 baris 3, dan kolom 5 baris 3.

Hipotenusa segitiga siku-siku yang dibentuk oleh karet gelang mewakili garis yang gradiennya $- \frac{1}{4} .$

Menentukan Gradien Garis dari Grafiknya

Sekarang kita akan melihat beberapa grafik pada kisi koordinat untuk menentukan gradiennya. Metodenya sangat mirip dengan yang baru saja kita modelkan pada papan berpaku.

Untuk menentukan gradien, kita harus menghitung kenaikan dan jarak mendatar. Namun, dari mana kita mulai?

Kita tentukan sembarang dua titik pada garis. Agar perhitungan lebih mudah, usahakan memilih titik yang koordinatnya bilangan bulat. Kemudian, mulai dari titik di sebelah kiri dan gambarlah segitiga siku-siku agar kita dapat menghitung kenaikan dan jarak mendatarnya.

Tentukan gradien garis yang ditunjukkan:

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 6. Sumbu y membentang dari −4 hingga 2. Sebuah garis melalui titik pasangan berurutan (5, 1) dan (0, −3).

Solusi

Tentukan dua titik pada grafik dengan memilih titik-titik yang koordinatnya bilangan bulat. Kita akan menggunakan $(0, - 3)$ dan $(5, 1) .$

Mulai dari titik di sebelah kiri, $(0, - 3),$ gambarlah segitiga siku-siku dari titik pertama ke titik kedua, $(5, 1) .$
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 6. Sumbu y membentang dari −4 hingga 2. Sebuah garis melalui titik (5, 1) dan (0, −3). Dua ruas garis membentuk segitiga dengan garis tersebut. Ruas horizontal menghubungkan (0, 1) dan (5, 1). Ruas vertikal menghubungkan (0, −3) dan (0, 1).

Hitung kenaikan pada sisi vertikal segitiga. Kenaikannya 4 satuan.
Hitung jarak mendatar pada sisi horizontal. Jarak mendatarnya 5 satuan.
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Substitusikan nilai kenaikan dan jarak mendatar. $m = \frac{4}{5}$
Gradien garis adalah $\frac{4}{5}$ .

Perhatikan bahwa gradiennya positif karena garis menanjak dari kiri ke kanan.

Tentukan gradien garis yang ditunjukkan:

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 9. Sumbu y membentang dari −1 hingga 7. Sebuah garis melalui titik (0, 5) dan (3, 3).

Solusi

Tentukan dua titik pada grafik. Carilah titik-titik yang koordinatnya bilangan bulat. Kita dapat memilih sembarang titik, tetapi kita akan menggunakan (0, 5) dan (3, 3). Mulai dari titik di sebelah kiri, gambarlah segitiga siku-siku dengan hipotenusa dari titik pertama ke titik kedua.
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 9. Sumbu y membentang dari −1 hingga 7. Sebuah garis melalui titik (0, 5) dan (3, 3). Dua ruas garis membentuk segitiga dengan garis tersebut. Ruas horizontal menghubungkan (0, 3) dan (3, 3). Ruas vertikal menghubungkan (0, 3) dan (0, 5), serta berlabel “kenaikan”.

Hitung kenaikannya—nilainya negatif. Kenaikannya −2.
Hitung jarak mendatarnya. Jarak mendatarnya 3.
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Substitusikan nilai kenaikan dan jarak mendatar. $m = \frac{- 2}{3}$
Sederhanakan. $m = - \frac{2}{3}$
Gradien garis adalah $- \frac{2}{3} .$

Perhatikan bahwa gradiennya negatif karena garis menurun dari kiri ke kanan.

Bagaimana jika kita memilih titik-titik yang berbeda? Mari kita tentukan kembali gradien garis tersebut, kali ini dengan menggunakan titik-titik lain. Kita akan menggunakan titik $(- 3, 7)$ dan $(6, 1) .$
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Kedua sumbu membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui titik (−3, 7) dan (6, 1).

Mulai dari $(- 3, 7),$ gambarlah segitiga siku-siku hingga $(6, 1) .$
Garis melalui titik dengan x = −3 dan y = 7, serta titik dengan x = 6 dan y = 1. Segitiga siku-siku menunjukkan kenaikan −6 dan jarak mendatar 9.

Hitung kenaikannya. Kenaikannya −6.
Hitung jarak mendatarnya. Jarak mendatarnya 9.
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Substitusikan nilai kenaikan dan jarak mendatar. $m = \frac{- 6}{9}$
Sederhanakan pecahannya. $m = - \frac{2}{3}$
Gradien garis adalah $- \frac{2}{3} .$

Titik mana pun yang digunakan tidak menjadi masalah—gradien garis selalu sama. Gradien sebuah garis bersifat konstan!

Garis-garis pada contoh sebelumnya memiliki titik potong sumbu $y$ yang bernilai bilangan bulat, sehingga mudah menggunakan titik potong sumbu y sebagai salah satu titik untuk menentukan gradien. Pada contoh berikutnya, titik potong sumbu $y$ berupa pecahan. Perhitungannya lebih mudah jika kita menggunakan dua titik dengan koordinat bilangan bulat.

Tentukan gradien garis yang ditunjukkan: Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 8. Sumbu y membentang dari 0 hingga 8. Sebuah garis melalui titik (2, 3) dan (7, 6).

Solusi

Tentukan dua titik pada grafik yang koordinatnya bilangan bulat. $(2, 3)$ dan $(7, 6)$
Titik manakah yang berada di sebelah kiri? $(2, 3)$
Mulai dari $(2, 3)$ , gambarlah sudut siku-siku menuju $(7, 6)$ seperti yang ditunjukkan di bawah.

Pada bidang koordinat, garis melalui titik dengan x = 2 dan y = 3, serta titik dengan x = 7 dan y = 6. Segitiga gradien menunjukkan kenaikan 3 dan jarak mendatar 5.

Hitung kenaikannya. Kenaikannya 3.
Hitung jarak mendatarnya. Jarak mendatarnya 5.
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Substitusikan nilai kenaikan dan jarak mendatar. $m = \frac{3}{5}$
Gradien garis adalah $\frac{3}{5} .$

Menentukan Gradien Garis Horizontal dan Vertikal

Masih ingatkah Anda apa yang istimewa dari garis horizontal dan vertikal? Persamaannya hanya memiliki satu variabel.

garis horizontal $y = b;$ semua koordinat $y$ -nya sama.
garis vertikal $x = a;$ semua koordinat $x$ -nya sama.

Jadi, bagaimana cara menentukan gradien garis horizontal $y = 4 ?$ Salah satu pendekatan adalah menggambar grafik garis horizontal tersebut, menentukan dua titik pada garis, lalu menghitung kenaikan dan jarak mendatarnya. Mari kita lihat apa yang terjadi pada . Kita akan menggunakan dua titik $(0, 4)$ dan $(3, 4)$ untuk menghitung kenaikan dan jarak mendatar.

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 5. Sumbu y membentang dari −1 hingga 7. Sebuah garis horizontal melalui titik berlabel (0, 4) dan (3, 4).

Berapakah kenaikannya? Kenaikannya 0.
Berapakah jarak mendatarnya? Jarak mendatarnya 3.
Berapakah gradiennya? $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
$m = \frac{0}{3}$
$m = 0$

Gradien garis horizontal $y = 4$ adalah $0 .$

Semua garis horizontal memiliki gradien $0$ . Jika koordinat $y$ sama, kenaikannya adalah $0$ .

Sekarang kita akan meninjau garis vertikal, misalnya garis $x = 3$ yang ditunjukkan pada . Kita akan menggunakan dua titik $(3, 0)$ dan $(3, 2)$ untuk menghitung kenaikan dan jarak mendatar.

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Kedua sumbu membentang dari −5 hingga 5. Sebuah garis vertikal melalui titik berlabel (3, 2) dan (3, 0).

Berapakah kenaikannya? Kenaikannya 2.
Berapakah jarak mendatarnya? Jarak mendatarnya 0.
Berapakah gradiennya? $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
$m = \frac{2}{0}$

Namun, kita tidak dapat membagi dengan $0 .$ Pembagian dengan $0$ tidak terdefinisi. Jadi, kita mengatakan bahwa gradien garis vertikal $x = 3$ tidak terdefinisi. Gradien semua garis vertikal tidak terdefinisi karena jarak mendatarnya $0 .$

Tentukan gradien setiap garis:

ⓐ $x = 8$
ⓑ $y = - 5$

Solusi

ⓐ $x = 8$

Ini adalah garis vertikal, sehingga gradiennya tidak terdefinisi.

ⓑ $y = - 5$

Ini adalah garis horizontal, sehingga gradiennya $0 .$

Menggunakan Rumus Gradien untuk Menentukan Gradien Garis di Antara Dua Titik

Terkadang kita perlu menentukan gradien garis di antara dua titik, tetapi tidak memiliki grafik untuk menghitung kenaikan dan jarak mendatar. Kita dapat memplot titik-titik itu pada kertas berpetak lalu menghitung kenaikan dan jarak mendatarnya, tetapi ada cara untuk menentukan gradien tanpa menggambar grafik.

Sebelum membahasnya, kita perlu memperkenalkan beberapa notasi aljabar baru. Kita telah melihat bahwa pasangan berurutan $(x, y)$ memberikan koordinat sebuah titik. Namun, saat bekerja dengan gradien, kita menggunakan dua titik. Bagaimana simbol yang sama, $(x, y)$ , dapat digunakan untuk mewakili dua titik yang berbeda?

Matematikawan menggunakan subskrip untuk membedakan titik-titik tersebut. Subskrip adalah angka kecil yang ditulis di sebelah kanan dan sedikit lebih rendah daripada sebuah variabel.

$(x_{1}, y_{1}) dibaca x subskrip 1, y subskrip 1$
$(x_{2}, y_{2}) dibaca x subskrip 2, y subskrip 2$

Kita akan menggunakan $(x_{1}, y_{1})$ untuk menandai titik pertama dan $(x_{2}, y_{2})$ untuk menandai titik kedua. Jika terdapat lebih dari dua titik, kita dapat menggunakan $(x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4}),$ dan seterusnya.

Untuk melihat hubungan kenaikan dan jarak mendatar dengan koordinat kedua titik, mari kita tinjau kembali gradien garis di antara titik $(2, 3)$ dan $(7, 6)$ pada .

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari 0 hingga 7. Sumbu y membentang dari 0 hingga 7. Sebuah garis melalui titik berlabel (2, 3) dan (7, 6). Sebuah ruas dari (2, 3) ke titik tanpa label (2, 6) berlabel y subskrip 2 dikurangi y subskrip 1, 6 dikurangi 3, 3. Sebuah ruas dari (7, 6) ke titik (2, 6) berlabel x subskrip 2 dikurangi x subskrip 1, 7 dikurangi 2, 5.

Karena kita memiliki dua titik, kita akan menggunakan notasi subskrip.

\overset{x_{1}, y_{1}}{(2, 3)} \overset{x_{2}, y_{2}}{(7, 6)}

Pada grafik, kita menghitung kenaikan sebesar $3 .$ Kenaikan juga dapat ditentukan dengan mengurangkan $y -koordinat$ kedua titik.

\begin{matrix} y_{2} - y_{1} \\ 6 - 3 \\ 3 \end{matrix}

Kita menghitung jarak mendatar sebesar $5 .$ Jarak mendatar juga dapat ditentukan dengan mengurangkan $x -koordinat .$

\begin{matrix} x_{2} - x_{1} \\ 7 - 2 \\ 5 \end{matrix}

Kita tahu $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Jadi, $m = \frac{3}{5}$
Kita tulis ulang kenaikan dan jarak mendatar dengan memasukkan koordinat. $m = \frac{6 - 3}{7 - 2}$
Namun, 6 adalah koordinat $y$ titik kedua, $y_{2}$ ,
dan 3 adalah koordinat $y$ titik pertama, $y_{1}$ .
Jadi, kita dapat menulis ulang kenaikan menggunakan notasi subskrip. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{7 - 2}$
Selain itu, 7 adalah koordinat $x$ titik kedua, $x_{2}$ ,
dan 2 adalah koordinat $x$ titik pertama, $x_{1}$ .
Jadi, kita menulis ulang jarak mendatar menggunakan notasi subskrip. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Kita telah menunjukkan bahwa $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ sebenarnya merupakan bentuk lain dari $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar} .$ Kita dapat menggunakan rumus ini untuk menentukan gradien garis jika diketahui dua titik pada garis tersebut.

Ucapkan rumus tersebut dalam hati untuk membantu Anda mengingatnya:

Gradien adalah y titik kedua dikurangi y titik pertama

dibagi

x titik kedua dikurangi x titik pertama.

Tentukan gradien garis di antara titik $(1, 2)$ dan $(4, 5) .$

Solusi

Kita sebut $(1, 2)$ titik #1 dan $(4, 5)$ titik #2. $\overset{x_{1}, y_{1}}{(1, 2)} dan \overset{x_{2}, y_{2}}{(4, 5)}$
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus gradien:
$y$ titik kedua dikurangi $y$ titik pertama. $m = \frac{5 - 2}{x_{2} - x_{1}}$
$x$ titik kedua dikurangi $x$ titik pertama. $m = \frac{5 - 2}{4 - 1}$
Sederhanakan pembilang dan penyebut. $m = \frac{3}{3}$
$m = 1$

Mari kita pastikan hasil ini dengan menghitung gradien pada grafik.
Garis melalui titik dengan x = 1 dan y = 2, serta titik dengan x = 4 dan y = 5. Segitiga menunjukkan kenaikan 3 dan jarak mendatar 3.

Kenaikannya $3$ dan jarak mendatarnya $3,$ sehingga

$\begin{matrix} m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar} \\ m = \frac{3}{3} \\ m = 1 \end{matrix}$

Bagaimana kita mengetahui titik mana yang disebut #1 dan mana yang disebut #2? Mari kita tentukan kembali gradiennya, kali ini dengan menukar nama kedua titik untuk melihat apa yang terjadi. Karena sekarang kita menghitung jarak mendatar dari kanan ke kiri, nilainya akan negatif.

Kita sebut $(4, 5)$ titik #1 dan $(1, 2)$ titik #2. $\overset{x_{1}, y_{1}}{(4, 5)} dan \overset{x_{2}, y_{2}}{(1, 2)}$
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus gradien.
$y$ titik kedua dikurangi $y$ titik pertama. $m = \frac{2 - 5}{x_{2} - x_{1}}$
$x$ titik kedua dikurangi $x$ titik pertama. $m = \frac{2 - 5}{1 - 4}$
Sederhanakan pembilang dan penyebut. $m = \frac{- 3}{- 3}$
$m = 1$

Gradiennya tetap sama, apa pun urutan titik yang kita gunakan.

Tentukan gradien garis yang melalui titik $(- 2, - 3)$ dan $(- 7, 4) .$

Solusi

Kita sebut $(- 2, - 3)$ titik #1 dan $(- 7, 4)$ titik #2. $\overset{x_{1}, y_{1}}{(- 2, - 3)} dan \overset{x_{2}, y_{2}}{(- 7, 4)}$
Gunakan rumus gradien. $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Substitusikan nilai-nilainya.
$y$ titik kedua dikurangi $y$ titik pertama. $m = \frac{4 - (- 3)}{x_{2} - x_{1}}$
$x$ titik kedua dikurangi $x$ titik pertama. $m = \frac{4 - (- 3)}{- 7 - (- 2)}$
Sederhanakan. $m = \frac{7}{- 5}$
$m = - \frac{7}{5}$

Mari kita pastikan hasil ini pada grafik yang ditunjukkan.
Garis melalui titik dengan x = −7 dan y = 4, serta titik dengan x = −2 dan y = −3. Segitiga menunjukkan kenaikan −7 dan jarak mendatar 5.

$\begin{matrix} m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar} \\ m = \frac{- 7}{5} \\ m = - \frac{7}{5} \end{matrix}$

Menggambar Garis jika Diketahui Sebuah Titik dan Gradiennya

Dalam bab ini, kita telah menggambar garis dengan menandai titik pada kisi koordinat, menggunakan titik potong sumbu, serta mengenali garis horizontal dan vertikal.

Metode lain yang dapat kita gunakan untuk menggambar garis adalah metode titik-gradien. Terkadang kita diberi satu titik dan gradien garis, bukan persamaannya. Jika demikian, kita menggunakan definisi gradien untuk menggambar grafik garis tersebut.

Gambarlah garis yang melalui titik $(1, - 1)$ dan memiliki gradien $m = \frac{3}{4} .$

Solusi

Tandai titik yang diberikan, $(1, - 1) .$
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 7. Sumbu y membentang dari −3 hingga 4. Sebuah titik berlabel digambar pada (1, −1).

Gunakan rumus gradien $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$ untuk menentukan kenaikan dan jarak mendatar.

\begin{matrix} m = \frac{3}{4} \\ \frac{kenaikan}{jarak mendatar} = \frac{3}{4} \\ kenaikan = 3 \\ jarak mendatar = 4 \end{matrix}

Mulai dari titik yang telah kita tandai, hitung kenaikan dan jarak mendatar untuk menandai titik kedua. Kita menghitung $3$ satuan ke atas dan $4$ satuan ke kanan.
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Kedua sumbu membentang dari −5 hingga 5. Dua ruas garis digambar. Ruas vertikal menghubungkan titik (1, −1) dan (1, 2), serta berlabel “3”. Ruas horizontal dimulai dari ujung atas ruas vertikal dan membentang ke kanan, menghubungkan titik (1, 2) dan (5, 2), serta berlabel “4”.

Kemudian kita hubungkan kedua titik dengan sebuah garis dan menggambar panah pada ujung-ujungnya untuk menunjukkan bahwa garis itu berlanjut.
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −3 hingga 5. Sumbu y membentang dari −1 hingga 7. Dua titik tanpa label digambar pada (1, −1) dan (5, 2), dan sebuah garis melalui kedua titik tersebut. Dua ruas garis membentuk segitiga dengan garis itu. Ruas vertikal menghubungkan (1, −1) dan (1, 2). Ruas horizontal menghubungkan (1, 2) dan (5, 2).

Kita dapat memeriksa garis tersebut dengan memulai dari sembarang titik dan menghitung $3$ ke atas serta $4 .$ ke kanan. Kita seharusnya tiba di titik lain pada garis.

Gambarlah garis dengan titik potong sumbu $y$ $(0, 2)$ dan gradien $m = - \frac{2}{3} .$

Solusi

Tandai titik yang diberikan, yaitu titik potong sumbu $y$ $(0, 2) .$
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −1 hingga 4. Sumbu y membentang dari −1 hingga 3. Titik (0, 2) diberi label.

Gunakan rumus gradien $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$ untuk menentukan kenaikan dan jarak mendatar.

\begin{matrix} m = - \frac{2}{3} \\ \frac{kenaikan}{jarak mendatar} = \frac{- 2}{3} \\ kenaikan = - 2 \\ jarak mendatar = 3 \end{matrix}

Mulai dari $(0, 2),$ hitung kenaikan dan jarak mendatar, lalu tandai titik kedua.
Pada bidang koordinat, dari titik dengan x = 0 dan y = 2 bergerak turun 2 satuan lalu ke kanan 3 satuan.

Hubungkan kedua titik dengan sebuah garis.
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Kedua sumbu membentang dari −5 hingga 5. Dua titik berlabel digambar pada (0, 2) dan (3, 0), dan sebuah garis melalui kedua titik tersebut. Dua ruas garis membentuk segitiga dengan garis itu. Ruas vertikal menghubungkan (0, 2) dan (0, 0). Ruas horizontal menghubungkan (0, 0) dan (3, 0).

Gambarlah garis yang melalui titik $(- 1, - 3)$ dan memiliki gradien $m = 4 .$

Solusi

Tandai titik yang diberikan pada kisi koordinat.
Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Kedua sumbu membentang dari −5 hingga 5. Titik (−1, −3) diberi label.

Tentukan kenaikan dan jarak mendatar: $m = 4$ .
Tulis 4 sebagai pecahan: $\frac{kenaikan}{jarak mendatar} = \frac{4}{1}$ .
Nyatakan kenaikan dan jarak mendatarnya: $kenaikan = 4 jarak mendatar = 1$ .

Hitung kenaikan dan jarak mendatar.
Dari titik dengan x = −1 dan y = −3, bergerak naik 4 satuan lalu ke kanan 1 satuan.

Tandai titik kedua. Hubungkan kedua titik dengan sebuah garis.
Garis melalui titik dengan x = −1 dan y = −3, serta titik dengan x = 0 dan y = 1. Segitiga menunjukkan kenaikan 4 dan jarak mendatar 1.

Menyelesaikan Penerapan Gradien

Pada awal bagian ini, kita menyatakan bahwa gradien memiliki banyak penerapan di dunia nyata. Sekarang mari kita lihat beberapa di antaranya.

Kemiringan atap bangunan adalah gradien atap tersebut. Mengetahui kemiringan atap penting di daerah yang sering mengalami hujan salju lebat. Jika atap terlalu datar, berat salju dapat membuatnya runtuh. Berapakah gradien atap yang ditunjukkan?

Atap naik sembilan kaki sepanjang jarak mendatar delapan belas kaki, sehingga gradien atap dapat dihitung sebagai kenaikan dibagi jarak mendatar.

Solusi

Gunakan rumus gradien: $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$ .
Substitusikan nilai kenaikan dan jarak mendatar: $m = \frac{9 kaki}{18 kaki}$ .
Sederhanakan: $m = \frac{1}{2}$ .
Simpulkan: Gradien atap adalah $\frac{1}{2}$ .

Pernahkah Anda memikirkan pipa pembuangan limbah yang mengalir dari rumah ke jalan? Gradien pipa merupakan faktor penting dalam mengalirkan limbah keluar dari rumah.

Agar dapat mengalirkan limbah dengan baik, pipa pembuangan harus menurun $\frac{1}{4}$ inci per kaki. Berapakah gradien yang diperlukan?

Segitiga siku-siku menunjukkan penurunan seperempat inci untuk setiap satu kaki jarak mendatar.

Solusi

Gunakan rumus gradien: $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$ .
Nyatakan penurunan sebagai kenaikan negatif: $m = \frac{- \frac{1}{4} inci .}{1 kaki}$
Substitusikan kenaikan dan jarak mendatar: $m = \frac{- \frac{1}{4} inci .}{1 kaki}$
Ubah 1 kaki menjadi 12 inci: $m = \frac{- \frac{1}{4} inci .}{12 inci.}$
Sederhanakan: $m = - \frac{1}{48}$ .
Simpulkan: Gradien pipa adalah $- \frac{1}{48} .$

Konsep Utama

Menentukan gradien dari grafik
1. Temukan dua titik pada garis yang koordinatnya bilangan bulat.
2. Mulailah dari titik di sebelah kiri, lalu gambarlah segitiga siku-siku dengan hipotenusa yang membentang dari titik pertama ke titik kedua.
3. Hitung kenaikan dan jarak mendatar pada kaki-kaki segitiga.
4. Ambil perbandingan kenaikan terhadap jarak mendatar untuk menentukan gradien, $m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}$
Gradien Garis Horizontal
- Gradien garis horizontal, $y = b$ , adalah 0.
Gradien Garis Vertikal
- Gradien garis vertikal, $x = a$ , tidak terdefinisi.
Rumus Gradien
- Gradien garis di antara dua titik $(x_{1}, y_{1})$ dan $(x_{2}, y_{2})$ adalah $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Menggambar garis jika diketahui sebuah titik dan gradiennya.
1. Tandai titik yang diberikan pada kisi koordinat.
2. Gunakan rumus gradien untuk menentukan kenaikan dan jarak mendatar.
3. Mulailah dari titik yang diberikan, lalu hitung kenaikan dan jarak mendatar untuk menandai titik kedua.
4. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah garis.

Latihan Bagian

Latihan Menuju Mahir

Menggunakan Papan Berpaku untuk Memodelkan Gradien

Dalam latihan berikut, tentukan gradien yang dimodelkan pada setiap papan berpaku.

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 3 dengan titik pada kolom 5 baris 2.

Solusi

$\frac{1}{4}$

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 2 baris 4 dengan titik pada kolom 5 baris 2.

Solusi

$- \frac{3}{2}$

Dalam latihan berikut, modelkan setiap gradien. Buatlah gambar untuk menunjukkan hasil Anda.

$\frac{2}{3}$

Solusi

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 2 baris 5 dengan titik pada kolom 5 baris 3.

$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}$

Solusi

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 4 dengan titik pada kolom 5 baris 3.

$\frac{4}{3}$

$- \frac{1}{2}$

Solusi

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 4 dengan titik pada kolom 3 baris 5.

$- \frac{3}{4}$

$- \frac{2}{3}$

Solusi

Papan berpaku memiliki kisi 5 baris dan 5 kolom dengan titik-titik yang berjarak sama. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 2 dengan titik pada kolom 4 baris 4.

$- \frac{3}{2}$

Menentukan Gradien Garis dari Grafiknya

Dalam latihan berikut, tentukan gradien setiap garis yang ditunjukkan.

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sumbu y membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (0, −4) dan (10, 0).

Solusi

$\frac{2}{5}$

Solusi

$\frac{5}{4}$

Solusi

$- \frac{1}{3}$

Solusi

$- \frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{3}{4}$

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (0, 4) dan (4, −6).

Solusi

$- \frac{5}{2}$

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−8, 8) dan (8, −4).

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (1, 4) dan (7, 0).

Solusi

$- \frac{2}{3}$

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (0, 3) dan (7, 0).

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−2, 0) dan (6, 2).

Solusi

$\frac{1}{4}$

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −10 hingga 10. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−2, 0) dan (4, 2).

Menentukan Gradien Garis Horizontal dan Vertikal

Dalam latihan berikut, tentukan gradien setiap garis.

$y = 3$

Solusi

$y = 1$

$x = 4$

Solusi

tidak terdefinisi

$x = 2$

$y = - 2$

Solusi

$y = - 3$

$x = - 5$

Solusi

tidak terdefinisi

$x = - 4$

Menggunakan Rumus Gradien untuk Menentukan Gradien Garis di Antara Dua Titik

Dalam latihan berikut, gunakan rumus gradien untuk menentukan gradien garis di antara setiap pasangan titik.

$(1, 4), (3, 9)$

Solusi

$\frac{5}{2}$

$(2, 3), (5, 7)$

$(0, 3), (4, 6)$

Solusi

$\frac{3}{4}$

$(0, 1), (5, 4)$

$(2, 5), (4, 0)$

Solusi

$- \frac{5}{2}$

$(3, 6), (8, 0)$

$(- 3, 3), (2, - 5)$

Solusi

$- \frac{8}{5}$

$(- 2, 4), (3, - 1)$

$(- 1, - 2), (2, 5)$

Solusi

$\frac{7}{3}$

$(- 2, - 1), (6, 5)$

$(4, - 5), (1, - 2)$

Solusi

−1

$(3, - 6), (2, - 2)$

Menggambar Garis jika Diketahui Sebuah Titik dan Gradiennya

Dalam latihan berikut, gambarlah garis berdasarkan titik dan gradien yang diberikan.

$(1, - 2); m = \frac{3}{4}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (5, 1) dan (1, −2).

$(1, - 1); m = \frac{1}{2}$

$(2, 5); m = - \frac{1}{3}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (2, 5) dan (5, 4).

$(1, 4); m = - \frac{1}{2}$

$(- 3, 4); m = - \frac{3}{2}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−3, 4) dan (−1, 1).

$(- 2, 5); m = - \frac{5}{4}$

$(- 1, - 4); m = \frac{4}{3}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (2, 0) dan (−1, −4).

$(- 3, - 5); m = \frac{3}{2}$

$(0, 3); m = - \frac{2}{5}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (0, 3) dan (5, 1).

$(0, 5); m = - \frac{4}{3}$

$(- 2, 0); m = \frac{3}{4}$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−2, 0) dan (2, 3).

$(- 1, 0); m = \frac{1}{5}$

$(- 3, 3); m = 2$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (−3, 3) dan (−2, 5).

$(- 4, 2); m = 4$

$(1, 5); m = - 3$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat x-y. Sumbu x membentang dari −12 hingga 12. Sumbu y membentang dari −12 hingga 12. Sebuah garis melalui pasangan berurutan (1, 5) dan (2, 2).

$(2, 3); m = - 1$

Menyelesaikan Penerapan Gradien

Dalam latihan berikut, selesaikan penerapan gradien ini.

Gradien atap Salah satu cara yang cukup mudah untuk menentukan gradien adalah menggunakan alat penyipat datar sepanjang $12 inci$ dan meletakkan salah satu ujungnya pada permukaan atap. Kemudian gunakan meteran atau penggaris untuk mengukur dari ujung lain alat penyipat datar ke bawah hingga permukaan atap. Anda dapat menggunakan hasil pengukuran ini untuk menghitung gradien atap. Berapakah gradien atap pada gambar ini?

Gambar menunjukkan papan kayu miring yang menggambarkan potongan tampak samping atap pelana. Sebuah ruas garis vertikal dengan panah pada kedua ujungnya mengukur perubahan vertikal tinggi atap dan diberi label “4 inci”. Alat penyipat datar berada dalam posisi horizontal di atas papan, dan di atasnya terdapat ruas garis dengan panah pada kedua ujung yang diberi label “12 inci”.

Solusi

$\frac{1}{3}$

Berapakah gradien atap yang ditunjukkan?

Gambar menunjukkan potongan tampak samping miring dari atap pelana. Sebuah penggaris dalam posisi vertikal berada di bagian bawah ruas atap, menampilkan label satuan 1 hingga 8, dan memanjang satu satuan lagi. Penggaris kedua dimulai pada label “7” pada penggaris vertikal dan memanjang secara horizontal hingga menyentuh atap yang menanjak. Penggaris horizontal menampilkan label satuan 1 hingga 11 dan memanjang satu satuan lagi.

Kemiringan jalan Sebuah jalan setempat memiliki kemiringan $6% .$ Kemiringan jalan adalah gradiennya yang dinyatakan sebagai persen.

ⓐ Tentukan gradien jalan sebagai pecahan, lalu sederhanakan pecahan tersebut.
ⓑ Berapa kenaikan dan jarak mendatar yang mencerminkan gradien atau kemiringan ini?

Solusi

ⓐ $\frac{3}{50}$ ⓑ $kenaikan = 3; jarak mendatar = 50$

Kemiringan jalan raya Sebuah jalan setempat naik $2$ kaki untuk setiap $50$ kaki jarak jalan raya.

ⓐ Berapakah gradien jalan raya tersebut?
ⓑ Kemiringan jalan raya adalah gradiennya yang dinyatakan sebagai persen. Berapakah kemiringan jalan raya ini?

Matematika Sehari-hari

Jalur landai kursi roda Aturan untuk jalur landai kursi roda mensyaratkan kenaikan maksimum $1$ inci untuk jarak mendatar $12$ inci.

ⓐ Berapa jarak mendatar yang harus dimiliki jalur landai agar dapat mengakomodasi kenaikan $24 inci$ menuju pintu?
ⓑ Buatlah model jalur landai ini.

Solusi

ⓐ 288 inci (24 kaki)
ⓑ Model dapat bervariasi.

Jalur landai kursi roda Kenaikan $1 inci$ untuk jarak mendatar $16 inci$ memudahkan pengguna kursi roda menaiki jalur landai.

ⓐ Berapa jarak mendatar yang harus dimiliki jalur landai agar mudah mengakomodasi kenaikan $24 inci$ menuju pintu?
ⓑ Buatlah model jalur landai ini.

Latihan Menulis

Apa yang ditunjukkan oleh tanda gradien tentang sebuah garis?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Bagaimana perbedaan grafik garis dengan gradien $m = \frac{1}{2}$ dibandingkan dengan grafik garis yang gradiennya $m = 2 ?$

Mengapa gradien garis vertikal tidak terdefinisi?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Jelaskan cara menggambar garis jika diketahui sebuah titik dan gradiennya.

Pemeriksaan Mandiri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk mengevaluasi penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

Daftar periksa penilaian diri. Kolom tingkat pemahaman: Dengan yakin; Dengan sedikit bantuan; dan Tidak—saya belum paham. Enam keterampilan: menggunakan papan berpaku untuk memodelkan gradien; menentukan gradien garis dari grafik; menentukan gradien garis horizontal dan vertikal; menggunakan rumus gradien untuk menentukan gradien garis di antara dua titik; menggambar grafik garis jika sebuah titik dan gradiennya diketahui; serta menyelesaikan penerapan gradien.

ⓑ Pada skala 1–10, bagaimana Anda menilai penguasaan Anda atas bagian ini berdasarkan jawaban pada daftar periksa? Bagaimana Anda dapat meningkatkannya?

Latihan Tinjauan Bab

Menggunakan Sistem Koordinat Persegi Panjang

Memplot Titik dalam Sistem Koordinat Persegi Panjang

Dalam latihan berikut, plot setiap titik dalam sistem koordinat persegi panjang.

$(1, 3), (3, 1)$

Solusi

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Label angka pada kedua sumbu membentang dari −6 hingga 6. Titik (1, 3) dan (3, 1) diplot.

$(2, 5), (5, 2)$

Dalam latihan berikut, plot setiap titik dalam sistem koordinat persegi panjang dan tentukan kuadran tempat titik tersebut berada.

ⓐ $(- 1, - 5)$
ⓑ $(- 3, 4)$
ⓒ $(2, - 3)$
ⓓ $(1, \frac{5}{2})$

Solusi

ⓐ III
ⓑ II
ⓒ IV
ⓓ I

Grafik solusi pada kisi koordinat Kartesius menunjukkan titik a, (−1, −5), di kuadran III; titik b, (−3, 4), di kuadran II; titik c, (2, −3), di kuadran IV; dan titik d, (1, 5/2), di kuadran I.

ⓐ $(3, - 2)$
ⓑ $(- 4, - 1)$
ⓒ $(- 5, 4)$
ⓓ $(2, \frac{10}{3})$

Mengidentifikasi Titik pada Grafik

Dalam latihan berikut, sebutkan pasangan berurutan untuk setiap titik yang ditunjukkan dalam sistem koordinat persegi panjang.

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Titik “a” diplot pada 5, 3, “b” pada 2, -1, “c” pada -3, -2, dan “d” pada -1, 4.

Solusi

ⓐ (5,3)
ⓑ (2,−1)
ⓒ (−3,−2)
ⓓ (−1,4)

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari −7 hingga 7. Titik a diplot pada (−2, 2), b pada (3, 5), c pada (4, −1), dan d pada (−1, −3).

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Titik “a” diplot pada 2, 0, “b” pada 0, -5, “c” pada -4, 0, dan “d” pada 0, 3.

Solusi

ⓐ (2,0)
ⓑ (0,−5)
ⓒ (−4,0)
ⓓ (0,3)

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Titik “a” diplot pada 0, 4, “b” pada 5, 0, “c” pada 0, -1, dan “d” pada -3, 0.

Memverifikasi Solusi Persamaan Dua Variabel

Dalam latihan berikut, tentukan pasangan berurutan yang merupakan solusi persamaan yang diberikan.

$5 x + y = 10$

ⓐ $(5, 1)$
ⓑ $(2, 0)$
ⓒ $(4, - 10)$

Solusi

ⓑ (2, 0),ⓒ (4, –10)

$y = 6 x - 2$

ⓐ $(1, 4)$
ⓑ $(\frac{1}{3}, 0)$
ⓒ $(6, - 2)$

Melengkapi Tabel Solusi Persamaan Linear Dua Variabel

Dalam latihan berikut, lengkapi tabel untuk menemukan solusi setiap persamaan linear.

$y = 4 x - 1$

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$1$
$- 2$

Solusi

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$3$	$(1, 3)$
$- 2$	$- 9$	$(- 2, - 9)$

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$1$
$- 2$

$x + 2 y = 5$

$x$	$y$	$(x, y)$
	$0$
$1$
$- 1$

Solusi

$x$	$y$	$(x, y)$
$5$	$0$	$(5, 0)$
$1$	$2$	$(1, 2)$
$- 1$	$3$	$(- 1, 3)$

$3 x - 2 y = 6$

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
	$0$
$- 2$

Menentukan Solusi Persamaan Linear Dua Variabel

Dalam latihan berikut, tentukan tiga solusi untuk setiap persamaan linear.

$x + y = 3$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

$x + y = - 4$

$y = 3 x + 1$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

$y = - x - 1$

Menggambar Grafik Persamaan Linear

Mengenali Hubungan antara Solusi Persamaan dan Grafiknya

Dalam setiap latihan berikut, ditampilkan sebuah persamaan dan grafiknya. Untuk setiap pasangan berurutan, tentukan

ⓐ apakah pasangan berurutan tersebut merupakan solusi persamaan.
ⓑ apakah titik tersebut terletak pada garis.

$y = - x + 4$
Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 0, 4” dan “pasangan berurutan 4, 0”.

$(0, 4)$
$(- 1, 3)$
$(2, 2)$
$(- 2, 6)$

Solusi

ⓐ ya ⓑ ya
ⓐ tidak ⓑ tidak
ⓐ ya ⓑ ya
ⓐ ya ⓑ ya

$y = \frac{2}{3} x - 1$
Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 0, -1” dan “pasangan berurutan 3, 1”.

$(0, - 1)$
$(3, 1)$
$(- 3, - 3)$
$(6, 4)$

Menggambar Grafik Persamaan Linear dengan Memplot Titik

Dalam latihan berikut, gambarlah grafik dengan memplot titik-titik.

$y = 4 x - 3$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Setiap sumbu membentang dari -6 hingga 6. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 1, 1” dan “pasangan berurutan 0, -3”.

$y = - 3 x$

$2 x + y = 7$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Setiap sumbu membentang dari -6 hingga 6. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 1, 5” dan “pasangan berurutan 0, 7”.

Menggambar Grafik Garis Vertikal dan Horizontal

Dalam latihan berikut, gambarlah grafik garis vertikal atau horizontal.

$y = - 2$

$x = 3$

Solusi

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Setiap sumbu membentang dari −6 hingga 6. Garis vertikal x = 3 melalui titik (3, 0).

Menggambar Grafik dengan Titik Potong

Mengidentifikasi Titik Potong pada Grafik

Dalam latihan berikut, tentukan titik potong sumbu $x$ dan titik potong sumbu $y .$

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 0, 4” dan “pasangan berurutan -4, 0”.

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Label angka pada kedua sumbu membentang dari −6 hingga 6, sedangkan kisi membentang dari −7 hingga 7. Garis memotong sumbu y di (0, 3) dan sumbu x di (3, 0).

Solusi

(0,3) (3,0)

Menentukan Titik Potong dari Persamaan Garis

Dalam latihan berikut, tentukan titik-titik potongnya.

$x + y = 5$

$x - y = - 1$

Solusi

(−1,0) (0,1)

$y = \frac{3}{4} x - 12$

$y = 3 x$

Solusi

(0,0)

Menggambar Garis Menggunakan Titik Potong

Dalam latihan berikut, gambarlah grafik menggunakan titik-titik potong.

$- x + 3 y = 3$

$x + y = - 2$

Solusi

Grafik jawaban ini menunjukkan bidang koordinat xy. Sumbu x dan y masing-masing membentang dari -6 hingga 6. Persamaan x ditambah y sama dengan -2 ditampilkan. Sebuah garis melalui titik-titik potong dengan koordinat 0, -2 dan -2, 0.

Memilih Metode yang Paling Praktis untuk Menggambar Garis

Dalam latihan berikut, tentukan metode yang paling praktis untuk menggambar setiap garis.

$x = 5$

$y = - 3$

Solusi

garis horizontal

$2 x + y = 5$

$x - y = 2$

Solusi

metode titik potong

$y = \frac{1}{2} x + 2$

$y = \frac{3}{4} x - 1$

Solusi

metode memplot titik

Memahami Gradien Garis

Menggunakan Papan Berpaku untuk Memodelkan Gradien

Dalam latihan berikut, tentukan gradien yang dimodelkan pada setiap papan berpaku.

Gambar menunjukkan kisi titik-titik yang berjarak sama. Terdapat 5 baris dan 5 kolom. Sebuah karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 4 dengan titik pada kolom 4 baris 2.

Solusi

$\frac{4}{3}$

Solusi

$- \frac{2}{3}$

Dalam latihan berikut, modelkan setiap gradien. Buatlah gambar untuk menunjukkan hasil Anda.

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{2}$

Solusi

Gambar solusi berupa papan berpaku dengan 5 baris dan 5 kolom titik yang berjarak sama. Karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 5 dengan titik pada kolom 3 baris 2 sehingga memodelkan gradien 3/2.

$- \frac{2}{3}$

$- \frac{1}{2}$

Solusi

Gambar solusi berupa papan berpaku dengan 5 baris dan 5 kolom titik yang berjarak sama. Karet gelang menghubungkan titik pada kolom 1 baris 2 dengan titik pada kolom 3 baris 3 sehingga memodelkan gradien −1/2.

Menentukan Gradien Garis dari Grafiknya

Dalam latihan berikut, tentukan gradien setiap garis yang ditunjukkan.

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 0, 0” dan “pasangan berurutan 2, -6”.

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan -4, -4” dan “pasangan berurutan 5, -1”.

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan -3, 6” dan “pasangan berurutan 5, 2”.

Solusi

$- \frac{1}{2}$

Menentukan Gradien Garis Horizontal dan Vertikal

Dalam latihan berikut, tentukan gradien setiap garis.

$y = 2$

$x = 5$

Solusi

tidak terdefinisi

$x = - 3$

$y = - 1$

Solusi

Menggunakan Rumus Gradien untuk Menentukan Gradien Garis di Antara Dua Titik

Dalam latihan berikut, gunakan rumus gradien untuk menentukan gradien garis di antara setiap pasangan titik.

$(2, 1), (4, 5)$

$(- 1, - 1), (0, - 5)$

Solusi

−4

$(3, 5), (4, - 1)$

$(- 5, - 2), (3, 2)$

Solusi

$\frac{1}{2}$

Menggambar Garis jika Diketahui Sebuah Titik dan Gradiennya

Dalam latihan berikut, gambarlah garis berdasarkan titik dan gradien yang diberikan.

$(2, - 2); m = \frac{5}{2}$

$(- 3, 4); m = - \frac{1}{3}$

Solusi

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Label angka pada sumbu x dan sumbu y membentang dari −6 hingga 6, sedangkan kisi membentang dari −7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik (−3, 4) dan (0, 3).

Menyelesaikan Penerapan Gradien

Dalam latihan berikut, selesaikan penerapan gradien.

Sebuah atap memiliki kenaikan $10$ kaki dan jarak mendatar $15$ kaki. Berapakah gradiennya?

Tes Latihan Bab

Plotlah dan beri label pada titik-titik berikut:

ⓐ $(2, 5)$
ⓑ $(- 1, - 3)$
ⓒ $(- 4, 0)$
ⓓ $(3, - 5)$
ⓔ $(- 2, 1)$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -6 hingga 6. Titik a diplot pada 2, 5, b pada -1, -3, c pada -4, 0, d pada 3, -5, dan e pada -2, 1.

Sebutkan pasangan berurutan untuk setiap titik yang ditunjukkan.

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Titik A diplot pada -4, 1, B pada 3, 2, C pada 0, -2, D pada -1, -4, dan E pada 4, -3.

Tentukan titik potong sumbu $x$ dan titik potong sumbu $y$ pada garis yang ditunjukkan.

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Sumbu x membentang dari -7 hingga 7. Sumbu y membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 4, 0” dan “pasangan berurutan 0, -2”.

Solusi

(4,0), (0,−2)

Tentukan titik potong sumbu $x$ dan titik potong sumbu $y$ dari persamaan $3 x - y = 6 .$

Apakah $(1, 3)$ merupakan solusi persamaan $x + 4 y = 12 ?$ Bagaimana Anda mengetahuinya?

Solusi

tidak; 1 + 4 · 3 ≠ 12

Lengkapi tabel untuk menemukan empat solusi persamaan $y = - x + 1 .$

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$1$
$3$
$- 2$

Lengkapi tabel untuk menemukan tiga solusi persamaan $4 x + y = 8$

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
	$0$
$3$

Solusi

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$8$	$(0, 8)$
$2$	$0$	$(2, 0)$
$3$	$- 4$	$(3, - 4)$

Dalam latihan berikut, tentukan tiga solusi untuk setiap persamaan, lalu gambarlah grafik setiap garis.

$y = - 3 x$

$2 x + 3 y = - 6$

Solusi

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Sumbu x membentang dari -6 hingga 6. Sumbu y membentang dari -6 hingga 6. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 0, -2” dan “pasangan berurutan -3, 0”.

Dalam latihan berikut, tentukan gradien setiap garis.

Grafik menunjukkan kisi koordinat xy. Label angka pada kedua sumbu membentang dari −6 hingga 6, sedangkan kisi kira-kira membentang dari −7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik (−6, −5) dan (6, 4).

Grafik menunjukkan bidang koordinat xy. Kedua sumbu membentang dari -7 hingga 7. Sebuah garis melalui titik-titik “pasangan berurutan 3, 0” dan “pasangan berurutan 1, 5”.

Solusi

$- \frac{5}{2}$

Gunakan rumus gradien untuk menentukan gradien garis di antara $(0, - 4)$ dan $(5, 2) .$

Tentukan gradien garis $y = 2 .$

Solusi

Gambarlah garis yang melalui $(1, 1)$ dengan gradien $m = \frac{3}{2} .$

Sebuah rute sepeda menanjak $20$ kaki untuk setiap $1,000$ kaki jarak mendatar. Berapakah gradien rute tersebut?

Solusi

$\frac{1}{50}$

gradien garis

Gradien garis adalah

m = \frac{kenaikan}{jarak mendatar}

. Kenaikan mengukur perubahan vertikal dan jarak mendatar mengukur perubahan horizontal.