Menggunakan Sistem Koordinat Persegi Panjang

Memplot Titik pada Sistem Koordinat Persegi Panjang

Banyak peta, seperti Peta Kampus yang ditampilkan pada , menggunakan sistem kisi untuk mengidentifikasi lokasi. Dapatkah Anda melihat angka $1,2,3,$ dan $4$ di sepanjang bagian atas dan bawah peta serta huruf A, B, C, dan D di sepanjang sisinya? Setiap lokasi pada peta dapat diidentifikasi dengan sebuah angka dan sebuah huruf.

Sebagai contoh, Pusat Mahasiswa berada di bagian 2B. Lokasinya berada pada petak kisi di atas angka $2$ dan di sebelah huruf B. Stadion berada di bagian kisi mana? Stadion berada di bagian 4D.

Sebagaimana peta menggunakan sistem kisi untuk mengidentifikasi lokasi, dalam aljabar sistem kisi digunakan untuk menunjukkan hubungan antara dua variabel dalam sistem koordinat persegi panjang. Untuk membuat sistem koordinat persegi panjang, mulailah dengan garis bilangan horizontal. Tampilkan bilangan positif dan negatif seperti sebelumnya dengan menggunakan satuan skala yang sesuai. Garis bilangan horizontal ini disebut sumbu-x.

Sekarang, buatlah garis bilangan vertikal yang melintasi sumbu $x$ di $0.$ Letakkan bilangan positif di atas $0$ dan bilangan negatif di bawah $0.$ Lihat . Garis vertikal ini disebut sumbu-y.

Garis-garis kisi vertikal melintasi bilangan bulat yang ditandai pada sumbu $x.$ Garis-garis kisi horizontal melintasi bilangan bulat yang ditandai pada sumbu $y.$ Kisi yang dihasilkan adalah sistem koordinat persegi panjang.

Sistem koordinat persegi panjang juga disebut bidang $x\text{-}y$, bidang koordinat, atau sistem koordinat Kartesius (karena dikembangkan oleh matematikawan bernama René Descartes).

Sumbu $x$ dan sumbu $y$ membentuk sistem koordinat persegi panjang. Kedua sumbu ini membagi bidang menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Kuadran diidentifikasi dengan angka Romawi, dimulai dari bagian kanan atas dan berlanjut berlawanan arah jarum jam. Lihat .

Dalam sistem koordinat persegi panjang, setiap titik dinyatakan oleh suatu pasangan berurutan. Bilangan pertama pada pasangan berurutan merupakan koordinat x titik tersebut, dan bilangan kedua merupakan koordinat y-nya.

Jadi, bagaimana koordinat suatu titik membantu Anda menentukan letak titik tersebut pada bidang $x\text{-}y$?

Mari kita tentukan letak titik $(2,5)$. Pada pasangan berurutan ini, koordinat $x$ adalah $2$ dan koordinat $y$ adalah $5$.

Kita mulai dengan menemukan nilai $x$, yaitu $2,$ pada sumbu $x\text{.}$ Kemudian, kita menggambar tipis sebuah garis vertikal melalui $x=2,$ seperti ditunjukkan pada .

Sekarang, kita menemukan nilai $y$, yaitu $5,$ pada sumbu $y$ dan menggambar garis horizontal melalui $y=5$. Titik pertemuan kedua garis ini memiliki koordinat $(2,5).$ Kita memplot titik tersebut di sana, seperti ditunjukkan pada .

Bagaimana tanda koordinat memengaruhi letak titik?

Anda mungkin telah melihat beberapa pola ketika memplot titik-titik pada dua contoh sebelumnya.

Untuk setiap titik di Kuadran IV, apa yang Anda perhatikan tentang tanda koordinatnya?

Bagaimana dengan tanda koordinat titik-titik di kuadran ketiga? Kuadran kedua? Kuadran pertama?

Dapatkah Anda menentukan kuadran tempat titik (−2, 5) berada hanya dengan melihat koordinatnya? Di kuadran mana titik (2, −5) berada?

Kita dapat merangkum pola tanda pada setiap kuadran sebagai berikut. Lihat juga .

Bagaimana jika salah satu koordinat bernilai nol? Di manakah letak titik $\left(0,4\right)$? Di manakah letak titik $\left(\mathrm{-2},0\right)$? Titik $(0,4)$ berada pada sumbu-y dan titik $(-2,0)$ berada pada sumbu-x.

Mengidentifikasi Titik pada Grafik

Dalam aljabar, kemampuan mengidentifikasi koordinat suatu titik yang ditampilkan pada grafik sama pentingnya dengan kemampuan memplot titik. Untuk mengidentifikasi koordinat x suatu titik pada grafik, baca angka pada sumbu-x yang tepat berada di atas atau di bawah titik tersebut. Untuk mengidentifikasi koordinat y suatu titik, baca angka pada sumbu-y yang tepat berada di sebelah kiri atau kanan titik tersebut. Ingatlah untuk menulis pasangan berurutan dalam urutan yang benar, yaitu $\left(x,y\right).$

Tuliskan pasangan berurutan dari setiap titik yang ditampilkan:

Solusi

Solusi

Titik A berada di atas $\mathrm{-3}$ pada sumbu $x,$ sehingga koordinat $x$ titik tersebut adalah $\mathrm{-3}.$ Titik tersebut berada di sebelah kiri $3$ pada sumbu $y,$ sehingga koordinat $y$ titik tersebut adalah $3.$ Koordinat titik tersebut adalah $\left(\mathrm{-3},3\right).$

Titik B berada di bawah $\mathrm{-1}$ pada sumbu $x,$ sehingga koordinat $x$ titik tersebut adalah $\mathrm{-1}.$ Titik tersebut berada di sebelah kiri $\mathrm{-3}$ pada sumbu $y,$ sehingga koordinat $y$ titik tersebut adalah $\mathrm{-3}.$ Koordinat titik tersebut adalah $\left(\mathrm{-1},\mathrm{-3}\right).$

Titik C berada di atas $2$ pada sumbu $x,$ sehingga koordinat $x$ titik tersebut adalah $2.$ Titik tersebut berada di sebelah kanan $4$ pada sumbu $y,$ sehingga koordinat $y$ titik tersebut adalah $4.$ Koordinat titik tersebut adalah $\left(2,4\right).$

Titik D berada di bawah $4$ pada sumbu $x-,$ sehingga koordinat $x$ titik tersebut adalah $4.$ Titik tersebut berada di sebelah kanan $\mathrm{-4}$ pada sumbu $y,$ sehingga koordinat $y$ titik tersebut adalah $\mathrm{-4}.$ Koordinat titik tersebut adalah $\left(4,\mathrm{-4}\right).$

Tuliskan pasangan berurutan dari setiap titik yang ditampilkan:

Solusi

Solusi

Titik-titik ditentukan oleh letaknya pada sumbu dan koordinat Kartesius yang bersesuaian.

Titik A berada pada sumbu-x di $x=-4$.	Koordinat titik A adalah $(-4,0)$.
Titik B berada pada sumbu-y di $y=-2$	Koordinat titik B adalah $(0,-2)$.
Titik C berada pada sumbu-x di $x=3$.	Koordinat titik C adalah $(3,0)$.
Titik D berada pada sumbu-y di $y=1$.	Koordinat titik D adalah $(0,1)$.

Memverifikasi Solusi Persamaan dalam Dua Variabel

Semua persamaan yang telah kita selesaikan sejauh ini merupakan persamaan dengan satu variabel. Dalam hampir setiap kasus, ketika menyelesaikan persamaan, kita memperoleh tepat satu solusi. Proses menyelesaikan persamaan berakhir dengan pernyataan seperti $x=4.$ Kemudian, kita memeriksa solusi tersebut dengan menyubstitusikannya kembali ke dalam persamaan.

Berikut adalah contoh persamaan linear dalam satu variabel beserta satu-satunya solusi.

Namun, persamaan dapat memiliki lebih dari satu variabel. Persamaan dengan dua variabel dapat ditulis dalam bentuk standar $Ax+By=C.$ Persamaan dalam bentuk ini disebut persamaan linear dalam dua variabel.

Perhatikan bahwa istilah linear berkaitan dengan garis.

Berikut adalah contoh persamaan linear dalam dua variabel, $x$ dan $y:$

Apakah $y=\mathrm{-5}x+1$ merupakan persamaan linear? Persamaan tersebut tampaknya tidak berbentuk $Ax+By=C.$ Namun, kita dapat menulis ulang persamaan itu dalam bentuk tersebut.

Tambahkan $5x$ pada kedua ruas.
Sederhanakan.
Gunakan Sifat Komutatif untuk menuliskannya dalam bentuk $Ax+By=C.$

Dengan menulis ulang $y=\mathrm{-5}x+1$ sebagai $5x+y=1,$ kita dapat melihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan linear dalam dua variabel karena dapat ditulis dalam bentuk $Ax+By=C.$

Persamaan linear dalam dua variabel memiliki tak terhingga banyak solusi. Untuk setiap bilangan yang disubstitusikan sebagai $x,$ terdapat nilai $y$ yang bersesuaian. Pasangan nilai ini merupakan solusi persamaan linear dan dinyatakan oleh pasangan berurutan $\left(x,y\right).$ Ketika kita menyubstitusikan nilai $x$ dan $y$ tersebut ke dalam persamaan, hasilnya adalah pernyataan yang benar karena nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan.

Tentukan pasangan berurutan yang merupakan solusi persamaan $x+4y=8:$

1. ⓐ $(0,2)$
2. ⓑ $(2,\mathrm{-4})$
3. ⓒ $(\mathrm{-4},3)$

Solusi

Solusi

Substitusikan nilai $x\text{dan}y$ dari setiap pasangan berurutan ke dalam persamaan, lalu tentukan apakah hasilnya merupakan pernyataan yang benar.

ⓐ $(0,2)$	ⓑ $(2,\mathrm{-4})$	ⓒ $(\mathrm{-4},3)$
$(0,2)$ merupakan solusi.	$(2,\mathrm{-4})$ bukan solusi.	$(\mathrm{-4},3)$ merupakan solusi.

Tentukan pasangan berurutan mana yang merupakan solusi persamaan. $y=5x-1:$

1. ⓐ $(0,\mathrm{-1})$
2. ⓑ $(1,4)$
3. ⓒ $(\mathrm{-2},\mathrm{-7})$

Solusi

Solusi

Substitusikan nilai $x$ dan nilai $y$ dari setiap pasangan berurutan ke dalam persamaan, lalu tentukan apakah hasilnya berupa pernyataan benar.

ⓐ $(0,\mathrm{-1})$	ⓑ $(1,4)$	ⓒ $(\mathrm{-2},\mathrm{-7})$
$(0,\mathrm{-1})$ merupakan solusi.	$(1,4)$ merupakan solusi.	$(\mathrm{-2},\mathrm{-7})$ bukan solusi.

Melengkapi Tabel Solusi Persamaan Linear

Dalam contoh-contoh sebelumnya, kita menyubstitusikan nilai $x\text{dan}y$ dari pasangan berurutan tertentu untuk menentukan apakah pasangan itu merupakan solusi persamaan linear. Namun, bagaimana kita menemukan pasangan berurutan jika pasangan tersebut tidak diberikan? Salah satu caranya adalah memilih nilai $x$, lalu menyelesaikan persamaan untuk $y.$ Atau, pilih nilai $y$, lalu selesaikan persamaan untuk $x.$

Kita akan mulai dengan melihat solusi persamaan $y=5x-1$ yang ditemukan dalam . Informasi ini dapat kita rangkum dalam tabel solusi.

Untuk menemukan solusi ketiga, kita tetapkan $x=2$, lalu selesaikan persamaan untuk $y.$

	$y=5x-1$
Kalikan.	$y=10-1$
Sederhanakan.	$y=9$

Pasangan berurutan tersebut merupakan solusi $y=5x-1$. Kita akan menambahkannya ke tabel.

Kita dapat menemukan lebih banyak solusi persamaan dengan menyubstitusikan sembarang nilai $x$ atau sembarang nilai $y$, lalu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk memperoleh pasangan berurutan lain yang merupakan solusi. Persamaan ini memiliki tak terhingga banyak solusi.

Lengkapi tabel untuk menemukan tiga solusi persamaan $y=4x-2:$

$y=4x-2$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$
$\mathrm{-1}$
$2$

Solusi

Solusi

Substitusikan $x=0,x=\mathrm{-1},$ dan $x=2$ ke dalam $y=4x-2.$

$y=4x-2$	$y=4x-2$	$y=4x-2$
$y=0-2$	$y=\mathrm{-4}-2$	$y=8-2$
$y=\mathrm{-2}$	$y=\mathrm{-6}$	$y=6$
$(0,\mathrm{-2})$	$(\mathrm{-1},\mathrm{-6})$	$(2,6)$

Hasilnya dirangkum dalam tabel.

$y=4x-2$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$\mathrm{-2}$	$(0,\mathrm{-2})$
$\mathrm{-1}$	$\mathrm{-6}$	$(\mathrm{-1},\mathrm{-6})$
$2$	$6$	$(2,6)$

Lengkapi tabel untuk menemukan tiga solusi persamaan $5x-4y=20:$

$5x-4y=20$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$
	$0$
	$5$

Solusi

Solusi

Hasilnya dirangkum dalam tabel.

$5x-4y=20$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$\mathrm{-5}$	$(0,\mathrm{-5})$
$4$	$0$	$(4,0)$
$8$	$5$	$(8,5)$

Menentukan Solusi Persamaan Linear Dua Variabel

Untuk menentukan solusi persamaan linear, kita dapat memilih sembarang bilangan untuk disubstitusikan ke persamaan sebagai $x$ atau $y.$ Kita dapat memilih $1,100,\mathrm{1,000},$ atau nilai lain apa pun. Namun, sebaiknya pilih bilangan yang mudah digunakan. Kita biasanya akan memilih $0$ sebagai salah satu nilai.

Tentukan satu solusi persamaan $3x+2y=6.$

Solusi

Solusi

Langkah 1: Pilih sembarang nilai untuk salah satu variabel dalam persamaan.		Kita dapat menyubstitusikan nilai apa pun sebagai $x$ atau nilai apa pun sebagai $y.$ Mari pilih $x=0.$ Berapa nilai $y$ jika $x=0$?
Langkah 2: Substitusikan nilai tersebut ke persamaan. Selesaikan untuk variabel yang lain.	Substitusikan $0$ sebagai $x.$ Sederhanakan. Bagi kedua ruas dengan 2.
Langkah 3: Tuliskan solusi sebagai pasangan berurutan.	Jadi, ketika $x=0,y=3.$	Solusi ini dinyatakan oleh pasangan berurutan $(0,3).$
Langkah 4: Periksa.	Apakah hasilnya merupakan persamaan yang benar? Ya!

Kita telah menyatakan bahwa persamaan linear dua variabel memiliki tak terhingga banyak solusi, dan kita baru saja menentukan salah satunya. Mari tentukan beberapa solusi lain dari persamaan $3x+2y=6.$

Tentukan tiga solusi lain dari persamaan $3x+2y=6.$

Solusi

Solusi

Untuk menentukan solusi $3x+2y=6,$ pilih nilai untuk $x$ atau $y.$ Ingat, kita dapat memilih nilai apa pun untuk $x$ atau $y.$ Di sini kita memilih $1$ untuk $x,$ serta $0$ dan $\mathrm{-3}$ untuk $y.$

Substitusikan nilai tersebut ke persamaan.
Sederhanakan. Selesaikan.
Tuliskan pasangan berurutan.	$(2,0)$	$(1,\frac{3}{2})$	$(4,\mathrm{-3})$

Periksa jawabanmu.

$(2,0)$	$(1,\frac{3}{2})$	$(4,\mathrm{-3})$

Jadi, $\left(2,0\right),\left(1,\frac{3}{2}\right)$ dan $\left(4,\mathrm{-3}\right)$ semuanya merupakan solusi persamaan $3x+2y=6.$ Pada contoh sebelumnya, kita juga menentukan bahwa $\left(0,3\right)$ merupakan solusi. Kita dapat mencantumkan solusi-solusi ini dalam tabel.

$3x+2y=6$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$3$	$(0,3)$
$2$	$0$	$(2,0)$
$1$	$\frac{3}{2}$	$(1,\frac{3}{2})$
$4$	$\mathrm{-3}$	$(4,\mathrm{-3})$

Sekarang mari kita tentukan beberapa solusi persamaan lain.

Tentukan tiga solusi persamaan $x-4y=8.$

Solusi

Solusi

Pilih nilai untuk $x$ atau $y.$
Substitusikan nilai tersebut ke persamaan.
Selesaikan.
Tuliskan pasangan berurutan.	$(0,\mathrm{-2})$	$(8,0)$	$(20,3)$

Jadi, $\left(0,\mathrm{-2}\right),\left(8,0\right),$ dan $\left(20,3\right)$ merupakan tiga solusi persamaan $x-4y=8.$

$x-4y=8$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$\mathrm{-2}$	$(0,\mathrm{-2})$
$8$	$0$	$(8,0)$
$20$	$3$	$(20,3)$

Ingat, setiap persamaan linear memiliki tak terhingga banyak solusi. Setiap titik yang kamu tentukan merupakan solusi jika titik tersebut membuat persamaan menjadi benar.