Menggambar Grafik Persamaan Linear

Mengenali Hubungan antara Penyelesaian Persamaan dan Grafiknya

Dalam Menggunakan Sistem Koordinat Kartesius, kita menemukan beberapa penyelesaian persamaan $3x+2y=6$. Penyelesaian tersebut tercantum dalam tabel di bawah. Jadi, pasangan berurutan $(0,3)$, $(2,0)$, $(1,\frac{3}{2})$, dan $(4,-3)$ merupakan beberapa penyelesaian persamaan $3x+2y=6$. Kita dapat memplot penyelesaian-penyelesaian ini pada sistem koordinat Kartesius seperti yang ditunjukkan oleh grafik di sebelah kanan.

Perhatikan bahwa titik-titik tersebut tepat segaris. Kita menghubungkannya dengan sebuah garis lurus untuk memperoleh grafik persamaan $3x+2y=6$. Perhatikan anak panah pada kedua ujung garis. Anak panah ini menunjukkan bahwa garis tersebut terus berlanjut.

Setiap titik pada garis merupakan penyelesaian persamaan. Sebaliknya, setiap penyelesaian persamaan ini merupakan titik pada garis tersebut. Titik yang tidak terletak pada garis bukan penyelesaian!

Perhatikan bahwa titik berkoordinat $(-2,6)$ terletak pada garis yang ditunjukkan dalam . Jika Anda menyubstitusikan $x=-2$ dan $y=6$ ke dalam persamaan, Anda akan mendapati bahwa titik itu merupakan penyelesaian persamaan.

Jadi, $(4,1)$ bukan penyelesaian persamaan $3x+2y=6$. Oleh karena itu, titik $(4,1)$ tidak terletak pada garis tersebut.

Hal ini merupakan contoh ungkapan, “Satu gambar bernilai seribu kata.” Garis tersebut memperlihatkan semua penyelesaian persamaan. Setiap titik pada garis merupakan penyelesaian persamaan, dan setiap penyelesaian persamaan ini terletak pada garis tersebut. Garis ini disebut grafik persamaan $3x+2y=6$.

Grafik $y=2x-3$ ditunjukkan di bawah ini.

Untuk setiap pasangan berurutan, tentukan:

1. ⓐ Apakah pasangan berurutan tersebut merupakan penyelesaian persamaan?
2. ⓑ Apakah titik tersebut terletak pada garis?

1. (a) $(0,\mathrm{–3})$
2. (b) $(3,3)$
3. (c) $(2,-3)$
4. (d) $(-1,-5)$

Solusi

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke dalam persamaan untuk memeriksa apakah pasangan berurutan itu merupakan penyelesaian persamaan.

ⓐ

ⓑ Plot titik A: $(0,-3)$, B: $(3,3)$, C: $(2,-3)$, dan D: $(-1,-5)$.
Titik-titik $(0,-3)$, $(3,3)$, dan $(-1,-5)$ terletak pada garis $y=2x-3$, sedangkan titik $(2,-3)$ tidak terletak pada garis.

Titik-titik yang merupakan penyelesaian $y=2x-3$ terletak pada garis, sedangkan titik yang bukan penyelesaian tidak terletak pada garis.

Menggambar Grafik Persamaan Linear dengan Memplot Titik-Titik

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan linear. Metode yang kita gunakan pada awal bagian ini disebut memplot titik-titik, atau Metode Memplot Titik.

Mari kita gambar grafik persamaan $y=2x+1$ dengan memplot titik-titik.

Kita mulai dengan mencari tiga titik yang merupakan penyelesaian persamaan. Kita dapat memilih sembarang nilai untuk $x$ atau $y,$ lalu mencari nilai variabel lainnya.

Karena $y$ sudah terisolasi di ruas kiri persamaan, memilih nilai $x.$ akan lebih mudah. Dalam contoh ini, kita menggunakan $0,1,$ dan $-2$ sebagai nilai $x$. Kita menyubstitusikan setiap nilai $x$ ke dalam persamaan lalu mencari nilai $y.$

Kita dapat menyusun penyelesaian-penyelesaian tersebut dalam sebuah tabel. Lihat .

Sekarang kita plot titik-titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius. Periksa bahwa ketiganya segaris. Jika tidak segaris, berarti kita melakukan kesalahan dan harus memeriksa kembali seluruh pekerjaan. Lihat .

Tarik garis melalui ketiga titik. Perpanjang garis hingga memenuhi kisi dan beri anak panah pada kedua ujungnya. Garis tersebut merupakan grafik $y=2x+1.$

Memang, dua titik saja sudah cukup untuk menentukan sebuah garis, tetapi menggunakan tiga titik merupakan kebiasaan yang baik. Jika Anda hanya memplot dua titik dan salah satunya keliru, Anda tetap dapat menarik sebuah garis, tetapi garis itu tidak akan mewakili penyelesaian persamaan. Garis tersebut akan keliru. Jika Anda menggunakan tiga titik dan salah satunya keliru, ketiga titik tidak akan segaris. Hal ini memberi tahu Anda bahwa ada kesalahan dan pekerjaan perlu diperiksa. Lihat .

Gambar grafik persamaan $y=\mathrm{-3}x.$

Solusi

Penyelesaian

Cari tiga titik yang merupakan penyelesaian persamaan. Memilih nilai $x,$ lalu mencari nilai $y.$ akan lebih mudah. Dapatkah Anda melihat alasannya?

Cantumkan titik-titik tersebut dalam sebuah tabel.

$y=\mathrm{-3}x$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$0$	$(0,0)$
$1$	$\mathrm{-3}$	$(1,\mathrm{-3})$
$\mathrm{-2}$	$6$	$(\mathrm{-2},6)$

Plot titik-titik tersebut, periksa bahwa ketiganya segaris, lalu tarik garis seperti yang ditunjukkan.

Jika sebuah persamaan memiliki pecahan sebagai koefisien $x,$ kita dapat menyubstitusikan sembarang bilangan untuk $x.$ Namun, perhitungannya akan lebih mudah jika kita memilih nilai $x.$ yang sesuai. Dengan demikian, kita menghindari jawaban berbentuk pecahan yang sulit diplot secara tepat.

Gambar grafik persamaan $y=\frac{1}{2}x+3.$

Solusi

Penyelesaian

Cari tiga titik yang merupakan penyelesaian persamaan. Karena persamaan ini memiliki pecahan $\frac{1}{2}$ sebagai koefisien $x,$ kita akan memilih nilai $x$ dengan cermat. Kita memilih nol sebagai salah satu nilai dan kelipatan $2$ sebagai nilai lainnya.

Titik-titik tersebut ditunjukkan dalam tabel.

$y=\frac{1}{2}x+3$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$3$	$(0,3)$
$2$	$4$	$(2,4)$
$4$	$5$	$(4,5)$

Plot titik-titik tersebut, periksa bahwa ketiganya segaris, lalu tarik garis seperti yang ditunjukkan.

Sejauh ini, semua persamaan yang kita gambar grafiknya menyatakan $y$ dalam $x.$ Sekarang kita akan menggambar grafik persamaan dengan $x$ dan $y$ pada ruas yang sama.

Gambar grafik persamaan $x+y=5.$

Solusi

Penyelesaian

Cari tiga titik yang merupakan penyelesaian persamaan. Ingat, Anda dapat memulai dengan sembarang nilai $x$ atau $y.$

Kita cantumkan titik-titik tersebut dalam sebuah tabel.

$x+y=5$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$5$	$(0,5)$
$1$	$4$	$(1,4)$
$4$	$1$	$(4,1)$

Kemudian plot titik-titik tersebut, periksa bahwa ketiganya segaris, lalu tarik garis.

Dalam contoh sebelumnya, tiga titik yang kita temukan mudah diplot. Namun, hal ini tidak selalu terjadi. Mari kita lihat apa yang terjadi pada persamaan $2x+y=3.$ Jika $y$ bernilai $0,$ berapakah nilai $x?$

Penyelesaiannya adalah titik $\left(\frac{3}{2},0\right).$ Koordinat $x$ titik ini berbentuk pecahan. Meskipun kita dapat memplot titik tersebut, memplot pecahan dengan tepat tidaklah mudah. Ingat bahwa dalam contoh $y=\frac{1}{2}x+3,$ kita memilih nilai $x$ dengan cermat agar sama sekali tidak perlu memplot pecahan. Jika persamaan $2x+y=3$ kita selesaikan untuk $y,$ mencari tiga penyelesaian persamaan akan lebih mudah.

Sekarang kita dapat memilih nilai $x$ yang menghasilkan koordinat berupa bilangan bulat. Penyelesaian untuk $x=0,x=1,$ dan $x=\mathrm{-1}$ ditunjukkan berikut ini.

Gambar grafik persamaan $3x+y=\mathrm{-1}.$

Solusi

Penyelesaian

Cari tiga titik yang merupakan penyelesaian persamaan.

Pertama, selesaikan persamaan untuk $y.$

$\begin{array}{ccc}\hfill 3x+y& =& \mathrm{-1}\hfill \\ \hfill y& =& \mathrm{-3}x-1\hfill \end{array}$

Kita akan mengambil $x$ bernilai $0,1,$ dan $\mathrm{-1}$ untuk menemukan tiga titik. Pasangan berurutannya ditunjukkan dalam tabel. Plot titik-titik tersebut, periksa bahwa ketiganya segaris, lalu tarik garis.

$y=\mathrm{-3}x-1$
$x$	$y$	$(x,y)$
$0$	$\mathrm{-1}$	$(0,\mathrm{-1})$
$1$	$\mathrm{-4}$	$(1,\mathrm{-4})$
$\mathrm{-1}$	$2$	$(\mathrm{-1},2)$

Jika Anda dapat memilih sembarang tiga titik untuk menggambar sebuah garis, bagaimana Anda mengetahui apakah grafik Anda sama dengan grafik dalam jawaban di buku? Jika titik-titik tempat kedua grafik memotong sumbu $x\text{-}$ dan sumbu $y$ sama, kedua grafik itu sama.

Menggambar Grafik Garis Vertikal dan Horizontal

Dapatkah kita menggambar grafik persamaan yang hanya memiliki satu variabel? Hanya $x$ tanpa $y,$ atau hanya $y$ tanpa $x?$ Bagaimana kita akan membuat tabel nilai untuk memperoleh titik-titik yang akan diplot?

Mari kita perhatikan persamaan $x=\mathrm{-3}.$ Persamaan ini menyatakan bahwa $x$ selalu sama dengan $\mathrm{-3},$ sehingga nilainya tidak bergantung pada $y.$ Berapa pun nilai $y$, nilai $x$ selalu $\mathrm{-3}.$

Untuk membuat tabel penyelesaian, kita tuliskan $\mathrm{-3}$ untuk semua nilai $x$. Kemudian pilih sembarang nilai untuk $y.$ Karena $x$ tidak bergantung pada $y,$ Anda dapat memilih bilangan apa pun. Namun, agar sesuai dengan ukuran grafik koordinat kita, kita akan menggunakan $1,2,$ dan $3$ sebagai koordinat $y$, seperti ditunjukkan dalam tabel.

Kemudian plot titik-titik tersebut dan hubungkan dengan sebuah garis lurus. Perhatikan pada bahwa grafiknya berupa garis vertikal.

Gambarlah grafik persamaan $x=2.$ Jenis garis apakah yang terbentuk?

Solusi

Penyelesaian

Persamaan tersebut hanya memiliki satu variabel, $x,$ dan $x$ selalu sama dengan $2.$ Kita membuat tabel dengan $x$ selalu bernilai $2$, lalu memasukkan sembarang nilai untuk $y.$

$x=2$
$x$	$y$	$(x,y)$
$2$	$1$	$(2,1)$
$2$	$2$	$(2,2)$
$2$	$3$	$(2,3)$

Plot titik-titik tersebut dan hubungkan seperti yang ditunjukkan.

Grafiknya berupa garis vertikal yang melalui sumbu $x$ di $2.$

Bagaimana jika persamaan memiliki $y$ tetapi tidak memiliki $x$? Mari kita gambar grafik persamaan $y=4.$ Kali ini nilai $y$ adalah sebuah konstanta, sehingga dalam persamaan ini $y$ tidak bergantung pada $x.$

Untuk membuat tabel penyelesaian, tuliskan $4$ untuk semua nilai $y$, lalu pilih sembarang nilai untuk $x.$

Kita akan menggunakan $0,2,$ dan $4$ sebagai nilai $x$.

Plot titik-titik tersebut dan hubungkan, seperti ditunjukkan pada . Grafik ini berupa garis horizontal yang melalui sumbu $y$ di $4.$

Gambarlah grafik persamaan $y=\mathrm{-1}.$

Solusi

Penyelesaian

Persamaan $y=\mathrm{-1}$ hanya memiliki satu variabel, $y.$ Nilai $y$ adalah konstan. Semua pasangan terurut dalam tabel memiliki koordinat $y$ yang sama, yaitu $\mathrm{-1}$. Kita memilih $0,3,$ dan $\mathrm{-3}$ sebagai nilai $x.$

$y=\mathrm{-1}$
$x$	$y$	$(x,y)$
$\mathrm{-3}$	$\mathrm{-1}$	$(\mathrm{-3},\mathrm{-1})$
$0$	$\mathrm{-1}$	$(0,\mathrm{-1})$
$3$	$\mathrm{-1}$	$(3,\mathrm{-1})$

Grafiknya berupa garis horizontal yang melalui sumbu $y$ di $\mathrm{–1}$, seperti ditunjukkan.

Persamaan garis vertikal dan horizontal tampak sangat mirip dengan persamaan seperti $y=4x.$ Apa perbedaan antara persamaan $y=4x$ dan $y=4?$

Persamaan $y=4x$ memiliki $x$ dan $y.$ Nilai $y$ bergantung pada nilai $x.$ Koordinat $y$ berubah sesuai dengan nilai $x.$

Persamaan $y=4$ hanya memiliki satu variabel. Nilai $y$ adalah konstan. Koordinat $y$ selalu $4.$ Nilainya tidak bergantung pada nilai $x.$

Grafik tersebut menunjukkan kedua persamaan.

Perhatikan bahwa persamaan $y=4x$ menghasilkan garis miring, sedangkan $y=4$ menghasilkan garis horizontal.