Prealgebra 2e — Edisi Bahasa Indonesia

Mengalikan dan Membagi Pecahan Campuran dan Pecahan Kompleks

Mengalikan dan Membagi Pecahan Campuran

Pada bagian sebelumnya, Anda telah mempelajari cara mengalikan dan membagi pecahan. Semua contoh di sana menggunakan pecahan sejati atau pecahan tidak sejati. Apa yang terjadi ketika Anda diminta mengalikan atau membagi pecahan campuran? Ingatlah bahwa kita dapat mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati. Anda telah mempelajari caranya dalam Memvisualisasikan Pecahan.

Kalikan: 313·58

Solusi

Penyelesaian

Panduan langkah demi langkah untuk mengalikan pecahan campuran dengan pecahan, mulai dari pengubahan hingga penyederhanaan.
313·58
Ubah 313 menjadi pecahan tidak sejati. 103·58
Kalikan. 10·53·8
Cari faktor persekutuan. 2̸·5·53·2̸·4
Hilangkan faktor persekutuan. 5·53·4
Sederhanakan. 2512

Perhatikan bahwa kita membiarkan jawabannya sebagai pecahan tidak sejati, 2512, dan tidak mengubahnya menjadi pecahan campuran. Dalam aljabar, jawaban sebaiknya ditulis sebagai pecahan tidak sejati, bukan pecahan campuran. Hal ini menghindari kemungkinan tertukarnya 2112 dengan 2·112.

Kalikan dan tuliskan jawaban Anda dalam bentuk paling sederhana: 245(−178).

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan proses langkah demi langkah untuk mengalikan pecahan campuran, beserta setiap operasi dan bentuk matematisnya.
245(−178)
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati. 145(−158)
Kalikan. − 14·155·8
Cari faktor persekutuan. − 2̸·7·5̸·35̸·2̸·4
Hilangkan faktor persekutuan. − 7·34
Sederhanakan. − 214

Bagi dan tuliskan jawaban Anda dalam bentuk paling sederhana: 347÷5.

Solusi

Penyelesaian

Penyelesaian langkah demi langkah untuk membagi pecahan campuran dengan bilangan cacah, yang menunjukkan setiap perubahan matematis.
347÷5
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati. 257÷51
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. 257·15
Kalikan. 25·17·5
Cari faktor persekutuan. 5̸·5·17·5̸
Hilangkan faktor persekutuan. 5·17
Sederhanakan. 57

Bagi: 212÷114.

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan proses langkah demi langkah untuk membagi pecahan campuran, mulai dari pengubahan hingga penyederhanaan.
212÷114
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati. 52÷54
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. 52·45
Kalikan. 5·42·5
Cari faktor persekutuan. 5̸·2̸·22̸·1·5̸
Hilangkan faktor persekutuan. 21
Sederhanakan. 2

Mengubah Frasa menjadi Bentuk dengan Pecahan

Kata hasil bagi dan rasio sering digunakan untuk menjelaskan pecahan. Dalam Mengurangkan Bilangan Cacah, kita mendefinisikan hasil bagi sebagai hasil pembagian. Hasil bagi a dengan b adalah hasil yang diperoleh dengan membagi a dengan b, yaitu ab. Mari berlatih mengubah beberapa frasa menjadi bentuk aljabar dengan menggunakan istilah-istilah ini.

Ubah frasa berikut menjadi bentuk aljabar: “hasil bagi 3x dengan 8.”

Solusi

Penyelesaian

Frasa kuncinya adalah hasil bagi; frasa ini menunjukkan bahwa operasinya adalah pembagian. Perhatikan unsur hasil bagi dan dengan untuk menentukan bilangan yang dibagi dan pembaginya.

Hasil bagidari3xdengan8.

Ini menunjukkan bahwa kita perlu membagi 3x dengan 8. 3x8

Ubah frasa berikut menjadi bentuk aljabar: hasil bagi selisih m dan n, dengan p.

Solusi

Penyelesaian

Kita mencari hasil bagi selisih m dan n dengan p. Artinya, kita membagi selisih m dan n dengan p.

m−np

Menyederhanakan Pecahan Kompleks

Pecahan yang telah kita pelajari sejauh ini mencakup pecahan sejati, pecahan tidak sejati, dan pecahan campuran. Jenis pecahan lainnya disebut pecahan kompleks, yaitu pecahan yang pembilang atau penyebutnya memuat pecahan.

Berikut beberapa contoh pecahan kompleks:

6733458x256

Untuk menyederhanakan pecahan kompleks, ingatlah bahwa garis pecahan berarti pembagian. Jadi, pecahan kompleks 3458 dapat ditulis sebagai 34÷58.

Sederhanakan: 3458.

Solusi

Penyelesaian

Proses langkah demi langkah untuk membagi pecahan, dengan contoh (3/4) ÷ (5/8).
3458
Tulis ulang sebagai pembagian. 34÷58
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. 34·85
Kalikan. 3·84·5
Cari faktor persekutuan. 3·4̸·24̸·5
Hilangkan faktor persekutuan dan sederhanakan. 65

Sederhanakan: −673.

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan proses langkah demi langkah untuk membagi pecahan −6/7 dengan 3 dan menyederhanakannya menjadi −2/7.
−673
Tulis ulang sebagai pembagian. −67÷3
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. −67·13
Kalikan; hasil kalinya akan negatif. −6·17·3
Cari faktor persekutuan. −3̸·2·17·3̸
Hilangkan faktor persekutuan dan sederhanakan. −27

Sederhanakan: x2xy6.

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk bentuk rasional kompleks yang memuat variabel.
x2xy6
Tulis ulang sebagai pembagian. x2÷xy6
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. x2·6xy
Kalikan. x·62·xy
Cari faktor persekutuan. x̸·3·2̸2̸·x̸·y
Hilangkan faktor persekutuan dan sederhanakan. 3y

Sederhanakan: 23418.

Solusi

Penyelesaian

Contoh langkah demi langkah untuk membagi pecahan campuran dengan pecahan, termasuk pengubahan dan penyederhanaannya.
23418
Tulis ulang sebagai pembagian. 234÷18
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati. 114÷18
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. 114·81
Kalikan. 11·84·1
Cari faktor persekutuan. 11·4̸·24̸·1
Hilangkan faktor persekutuan dan sederhanakan. 22

Menyederhanakan Bentuk dengan Garis Pecahan

Di manakah tanda negatif ditempatkan pada pecahan? Biasanya, tanda negatif ditempatkan di depan pecahan, tetapi kadang-kadang Anda akan melihat pecahan dengan pembilang atau penyebut negatif. Ingatlah bahwa pecahan mewakili pembagian. Pecahan −13 dapat merupakan hasil pembagian −13, yaitu bilangan negatif dengan bilangan positif, atau pembagian 1−3, yaitu bilangan positif dengan bilangan negatif. Jika pembilang dan penyebut memiliki tanda yang berbeda, hasil baginya negatif.

Negatif satu per positif tiga sama dengan negatif sepertiga; negatif dibagi positif menghasilkan negatif. Positif satu per negatif tiga sama dengan negatif sepertiga; positif dibagi negatif menghasilkan negatif.

Jika pembilang dan penyebut keduanya negatif, pecahannya sendiri bernilai positif karena kita membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif.

−1−3=13negatifnegatif=positif

Manakah di antara pecahan berikut yang senilai dengan 7−8?

−7−8,−78,78,−78
Solusi

Penyelesaian

Hasil bagi bilangan positif dengan bilangan negatif adalah negatif, sehingga 7−8 bernilai negatif. Di antara pecahan yang dicantumkan, −78 dan −78 juga bernilai negatif.

Garis pecahan berfungsi sebagai simbol pengelompokan. Bentuk di atas dan di bawah garis pecahan harus diperlakukan seolah-olah berada di dalam tanda kurung. Sebagai contoh, 4+85−3 berarti (4+8)÷(5−3). Urutan operasi mengharuskan kita menyederhanakan pembilang dan penyebut terlebih dahulu—seolah-olah keduanya berada di dalam tanda kurung—sebelum membagi.

Kita akan menambahkan garis pecahan pada kumpulan simbol pengelompokan dari Menggunakan Bahasa Aljabar agar daftar di sini lebih lengkap.

Sederhanakan: 4+85−3.

Solusi

Penyelesaian

Menunjukkan penyederhanaan pecahan matematis langkah demi langkah.
4+85−3
Sederhanakan bentuk pada pembilang. 125−3
Sederhanakan bentuk pada penyebut. 122
Sederhanakan pecahan. 6

Sederhanakan: 4−2(3)22+2.

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan bentuk matematis langkah demi langkah dengan menggunakan urutan operasi.
4−2(3)22+2
Gunakan urutan operasi. Kalikan pada pembilang dan hitung pangkat pada penyebut. 4−64+2
Sederhanakan pembilang dan penyebut. −26
Sederhanakan pecahan. −13

Sederhanakan: (8−4)282−42.

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan pecahan matematis langkah demi langkah dengan urutan operasi, dari bentuk awal hingga bentuk akhir yang paling sederhana.
(8−4)282−42
Gunakan urutan operasi (tanda kurung terlebih dahulu, kemudian pangkat). (4)264−16
Sederhanakan pembilang dan penyebut. 1648
Sederhanakan pecahan. 13

Sederhanakan: 4(−3)+6(−2)−3(2)−2.

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan penyederhanaan bentuk rasional kompleks langkah demi langkah, mulai dari perkalian hingga pembagian terakhir.
4(−3)+6(−2)−3(2)−2
Kalikan. −12+(−12)−6−2
Sederhanakan. −24−8
Bagi. 3

Konsep Kunci

  • Mengalikan atau membagi pecahan campuran.
    1. Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati.
    2. Ikuti aturan perkalian atau pembagian pecahan.
    3. Sederhanakan jika mungkin.
  • Menyederhanakan pecahan kompleks.
    1. Tulis ulang pecahan kompleks sebagai soal pembagian.
    2. Ikuti aturan pembagian pecahan.
    3. Sederhanakan jika mungkin.
  • Penempatan tanda negatif pada pecahan.
    • Untuk sembarang bilangan positif a dan b, −ab=a−b=−ab.
  • Menyederhanakan bentuk dengan garis pecahan.
    1. Sederhanakan pembilang.
    2. Sederhanakan penyebut.
    3. Sederhanakan pecahan.

Latihan Membentuk Kemahiran

Mengalikan dan Membagi Pecahan Campuran

Dalam latihan berikut, kalikan, lalu tulis jawabannya dalam bentuk paling sederhana.

438·710

249·67

Solusi

4421

1522·335

2536·6310

Solusi

358

423(−118)

225(−229)

Solusi

−163

−449·51316

−1720·21112

Solusi

−6316

Dalam latihan berikut, bagi, lalu tulis jawabannya dalam bentuk paling sederhana.

513÷4

1312÷9

Solusi

32

−12÷3311

−7÷514

Solusi

−43

638÷218

215÷1110

Solusi

2

−935÷(−135)

−1834÷(−334)

Solusi

5

Mengubah Frasa Menjadi Bentuk Aljabar dengan Pecahan

Dalam latihan berikut, ubah setiap frasa menjadi bentuk aljabar.

hasil bagi 5u dan 11

hasil bagi 7v dan 13

Solusi

7v13

hasil bagi p dan q

hasil bagi a dan b

Solusi

ab

hasil bagi r dan jumlah s dan 10

hasil bagi A dan selisih 3 dan B

Solusi

A3−B

Menyederhanakan Pecahan Kompleks

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap pecahan kompleks.

2389

45815

Solusi

32

−8211235

−9163340

Solusi

−1522

−452

−9103

Solusi

−310

258

5310

Solusi

16

m3n2

r5s3

Solusi

3r5s

−x6−89

−38−y12

Solusi

92y

245110

42316

Solusi

28

79−245

38−634

Solusi

−118

Menyederhanakan Bentuk dengan Garis Pecahan

Dalam latihan berikut, tentukan pecahan-pecahan yang senilai.

Manakah di antara pecahan berikut yang senilai dengan 5−11?
−5−11,−511,511,−511

Manakah di antara pecahan berikut yang senilai dengan −49?
−4−9,−49,49,−49

Solusi

−49,−49

Manakah di antara pecahan berikut yang senilai dengan −113?
−113,113,−11−3,11−3

Manakah di antara pecahan berikut yang senilai dengan −136?
136,13−6,−13−6,−136

Solusi

13−6,−136

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

4+118

9+37

Solusi

127

22+310

19−46

Solusi

52

4824−15

464+4

Solusi

234

−6+68+4

−6+317−8

Solusi

−13

22−1419−13

15+918+12

Solusi

45

5⋅8−10

3⋅4−24

Solusi

−12

4⋅36⋅6

6⋅69⋅2

Solusi

2

42−125

72+160

Solusi

56

8⋅3+2⋅914+3

9⋅6−4⋅722+3

Solusi

2625

15⋅5−522⋅10

12⋅9−323⋅18

Solusi

116

5⋅6−3⋅44⋅5−2⋅3

8⋅9−7⋅65⋅6−9⋅2

Solusi

52

52−323−5

62−424−6

Solusi

−10

2+4(3)−3−22

7+3(5)−2−32

Solusi

−2

7⋅4−2(8−5)9⋅3−3⋅5

9⋅7−3(12−8)8⋅7−6⋅6

Solusi

5120

9(8−2)−3(15−7)6(7−1)−3(17−9)

8(9−2)−4(14−9)7(8−3)−3(16−9)

Solusi

187

Matematika Sehari-hari

Membuat Kue Sebuah resep kukis keping cokelat memerlukan 214 cangkir tepung. Graciela ingin membuat dua kali takaran resep tersebut.

  1. ⓐ Berapa cangkir tepung yang dibutuhkan Graciela? Tunjukkan perhitungan Anda. Tulislah hasilnya sebagai pecahan tidak sejati dan sebagai pecahan campuran.
  2. ⓑ Cangkir ukur biasanya tersedia dalam satu set berukuran 18,14,13,12, dan 1 cangkir. Gambarlah diagram yang menunjukkan dua cara berbeda bagi Graciela untuk mengukur tepung yang dibutuhkan untuk membuat dua kali takaran resep.

Membuat Kue Sebuah stan di pekan raya daerah menjual fudge per pon. Fudge “Chocolate Overdose” mereka yang memenangkan penghargaan mengandung 223 cangkir keping cokelat untuk setiap pon.

  1. ⓐ Berapa cangkir keping cokelat yang terdapat dalam setengah pon fudge?
  2. ⓑ Pemilik stan membuat fudge dalam sekali produksi sebanyak 10 pon. Berapa cangkir keping cokelat yang mereka perlukan untuk membuat 10 pon fudge? Tulislah hasilnya sebagai pecahan tidak sejati dan sebagai pecahan campuran.
Solusi
  1. ⓐ 43=113 cangkir
  2. ⓑ 803=2623 cangkir

Latihan Menulis

Jelaskan cara menentukan kebalikan suatu pecahan campuran.

Jelaskan cara mengalikan pecahan campuran.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Randy menganggap bahwa 312·514 sama dengan 1518. Jelaskan kesalahan dalam cara berpikir Randy.

Jelaskan mengapa −12,−12, dan 1−2 merupakan pecahan senilai.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

Tabel evaluasi diri untuk keterampilan mengalikan dan membagi pecahan campuran, mengubah frasa menjadi bentuk aljabar yang memuat pecahan, menyederhanakan pecahan kompleks, serta menyederhanakan bentuk yang ditulis dengan garis pecahan. Kolom penilaiannya adalah “Dengan yakin”, “Dengan sedikit bantuan”, dan “Tidak—saya belum paham!”

ⓑ Apa yang ditunjukkan daftar periksa ini tentang penguasaan Anda atas bagian ini? Langkah apa yang akan Anda lakukan untuk meningkatkannya?

pecahan kompleks
Pecahan kompleks adalah pecahan yang pembilang atau penyebutnya mengandung pecahan.