Sifat Identitas, Invers, dan Nol

Mengenali Sifat Identitas Penjumlahan dan Perkalian

Apa yang terjadi ketika kita menambahkan nol pada suatu bilangan? Menambahkan nol tidak mengubah nilainya. Karena itu, $0$ disebut identitas penjumlahan.

Sebagai contoh,

\begin{matrix} 13 + 0 & −14 + 0 & 0 + (−3 x) \\ 13 & −14 & −3 x \end{matrix}

Apa yang terjadi ketika suatu bilangan dikalikan dengan satu? Mengalikan dengan satu tidak mengubah nilainya. Karena itu, $1$ disebut identitas perkalian.

Sebagai contoh,

\begin{matrix} 43 \cdot 1 & −27 \cdot 1 & 1 \cdot \frac{6 y}{5} \\ 43 & −27 & \frac{6 y}{5} \end{matrix}

Tentukan apakah setiap persamaan menunjukkan Sifat Identitas Penjumlahan atau Perkalian.

ⓐ $7 + 0 = 7$
ⓑ $−16 (1) = −16$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan Sifat Identitas Penjumlahan melalui contoh bahwa menambahkan nol pada suatu bilangan menghasilkan bilangan semula.
ⓐ
	$7 + 0 = 7$
Kita menambahkan 0.	Kita menggunakan Sifat Identitas Penjumlahan.

Tabel ini menunjukkan Sifat Identitas Perkalian melalui contoh bahwa mengalikan suatu bilangan dengan satu menghasilkan bilangan semula.
ⓑ
	$−16 (1) = −16$
Kita mengalikan dengan 1.	Kita menggunakan Sifat Identitas Perkalian.

Menggunakan Sifat Invers Penjumlahan dan Perkalian

Bilangan apa yang jika ditambahkan pada 5 menghasilkan identitas penjumlahan, 0?
$5 +_____= 0$
Bilangan apa yang jika ditambahkan pada −6 menghasilkan identitas penjumlahan, 0?
$−6 +_____= 0$

Perhatikan bahwa pada setiap kasus, bilangan yang belum diketahui adalah lawan dari bilangan yang diberikan.

Kita menyebut $- a$ sebagai invers penjumlahan dari $a .$ Lawan suatu bilangan adalah invers penjumlahannya. Suatu bilangan dan lawannya berjumlah $0,$ yaitu identitas penjumlahan.

Bilangan apa yang jika dikalikan dengan $\frac{2}{3}$ menghasilkan identitas perkalian, $1 ?$ Dengan kata lain, dua pertiga dikalikan dengan bilangan apa menghasilkan $1 ?$

\frac{2}{3} \cdot___= 1

Teks ‘Kita tahu 2/3 · 3/2 = 1’ menunjukkan bahwa dua pertiga dikalikan dengan invers perkaliannya, tiga perdua yang disorot merah, sama dengan 1.

Bilangan apa yang jika dikalikan dengan $2$ menghasilkan identitas perkalian, $1 ?$ Dengan kata lain, dua dikalikan dengan bilangan apa menghasilkan $1 ?$

2 \cdot___= 1

Teks ‘Kita tahu 2 · 1/2 = 1’ menunjukkan bahwa 2 dikalikan dengan invers perkaliannya, satu perdua yang disorot merah, sama dengan 1.

Perhatikan bahwa pada setiap kasus, bilangan yang belum diketahui adalah kebalikan dari bilangan yang diberikan.

Kita menyebut $\frac{1}{a}$ sebagai invers perkalian dari $a (a \neq 0) .$ Kebalikan suatu bilangan bukan nol adalah invers perkaliannya. Hasil kali suatu bilangan bukan nol dan kebalikannya adalah $1,$ yaitu identitas perkalian.

Berikut adalah pernyataan formal Sifat Invers:

Tentukan invers penjumlahan dari setiap bentuk: ⓐ $13$ ⓑ $- \frac{5}{8}$ ⓒ $0.6$ .

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan invers penjumlahan, tentukan lawannya.

ⓐ Invers penjumlahan dari $13$ adalah lawannya, yaitu $−13 .$
ⓑ Invers penjumlahan dari $- \frac{5}{8}$ adalah lawannya, yaitu $\frac{5}{8} .$
ⓒ Invers penjumlahan dari $0.6$ adalah lawannya, yaitu $−0.6 .$

Tentukan invers perkalian: ⓐ $9$ ⓑ $- \frac{1}{9}$ ⓒ $0.9$ .

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan invers perkalian, tentukan kebalikannya.

ⓐ Invers perkalian dari $9$ adalah kebalikannya, yaitu $\frac{1}{9} .$
ⓑ Invers perkalian dari $- \frac{1}{9}$ adalah kebalikannya, yaitu $−9 .$
ⓒ Untuk menentukan invers perkalian dari $0.9,$ ubah terlebih dahulu $0.9$ menjadi pecahan, yaitu $\frac{9}{10} .$ Kemudian tentukan kebalikannya, yaitu $\frac{10}{9} .$

Menggunakan Sifat-Sifat Nol

Kita telah mempelajari bahwa nol adalah identitas penjumlahan karena nol dapat ditambahkan ke bilangan apa pun tanpa mengubah nilainya. Namun, nol juga memiliki beberapa sifat khusus dalam perkalian dan pembagian.

Perkalian dengan Nol

Apa yang terjadi ketika Anda mengalikan suatu bilangan dengan $0 ?$ Mengalikan dengan $0$ membuat hasil kalinya sama dengan nol. Hasil kali setiap bilangan real dan $0$ adalah $0 .$

Sederhanakan: ⓐ $−8 \cdot 0$ ⓑ $\frac{5}{12} \cdot 0$ ⓒ $0 (2.94)$ .

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan bahwa hasil kali setiap bilangan real dan nol adalah nol, disertai sebuah contoh.
ⓐ
	$−8 \cdot 0$
Hasil kali setiap bilangan real dan 0 adalah 0.	$0$

Contoh yang menunjukkan sifat perkalian dengan nol: setiap bilangan yang dikalikan dengan nol menghasilkan nol.
ⓑ
	$\frac{5}{12} \cdot 0$
Hasil kali setiap bilangan real dan 0 adalah 0.	$0$

Tabel yang menunjukkan sifat perkalian dengan nol beserta pernyataan dan contohnya.
ⓒ
	$0 (2.94)$
Hasil kali setiap bilangan real dan 0 adalah 0.	$0$

Pembagian yang Melibatkan Nol

Bagaimana dengan pembagian yang melibatkan $0 ?$ Perhatikan contoh nyata: jika tidak ada kue di dalam stoples dan tiga orang ingin membaginya, berapa banyak kue yang akan diperoleh setiap orang? Ada $0$ kue untuk dibagi, jadi setiap orang memperoleh $0$ kue.

0 \div 3 = 0

Ingatlah bahwa pembagian selalu dapat diperiksa dengan fakta perkalian yang terkait. Jadi, kita tahu bahwa

0 \div 3 = 0 karena 0 \cdot 3 = 0 .

Nol dibagi dengan setiap bilangan real selain nol adalah nol.

Sederhanakan: ⓐ $0 \div 5$ ⓑ $\frac{0}{−2}$ ⓒ $0 \div \frac{7}{8}$ .

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan bahwa nol dibagi dengan setiap bilangan real bukan nol menghasilkan nol, disertai sebuah contoh matematika.
ⓐ
	$0 \div 5$
Nol dibagi dengan setiap bilangan real selain 0 adalah nol.	$0$

Aturan matematika bahwa nol dibagi dengan setiap bilangan real bukan nol sama dengan nol, disertai sebuah contoh.
ⓑ
	$\frac{0}{−2}$
Nol dibagi dengan setiap bilangan real selain 0 adalah nol.	$0$

Tabel ini menunjukkan aturan bahwa nol dibagi dengan setiap bilangan real bukan nol sama dengan nol, disertai sebuah contoh.
ⓒ
	$0 \div \frac{7}{8}$
Nol dibagi dengan setiap bilangan real selain 0 adalah nol.	$0$

Sekarang mari kita pikirkan tentang membagi suatu bilangan dengan nol. Berapakah hasil $4$ dibagi dengan $0 ?$ Pikirkan fakta perkalian yang terkait. Adakah bilangan yang jika dikalikan dengan $0$ menghasilkan $4 ?$

4 \div 0 =___berarti___\cdot 0 = 4

Karena setiap bilangan real yang dikalikan dengan $0$ sama dengan $0,$ tidak ada bilangan real yang dapat dikalikan dengan $0$ untuk memperoleh $4 .$ Kita dapat menyimpulkan bahwa $4 \div 0,$ tidak memiliki jawaban, sehingga kita mengatakan bahwa pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Sederhanakan: ⓐ $7.5 \div 0$ ⓑ $\frac{−32}{0}$ ⓒ $\frac{4}{9} \div 0$ .

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan bahwa pembagian dengan nol tidak terdefinisi, dengan contoh 7.5 ÷ 0.
ⓐ
	$7.5 \div 0$
Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.	tidak terdefinisi

Tabel ini menunjukkan bahwa pembagian dengan nol tidak terdefinisi, dengan contoh −32 ÷ 0.
ⓑ
	$\frac{−32}{0}$
Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.	tidak terdefinisi

Tabel ini menunjukkan bahwa pembagian dengan nol tidak terdefinisi, dengan contoh (4/9) ÷ 0 dan aturan umumnya.
ⓒ
	$\frac{4}{9} \div 0$
Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.	tidak terdefinisi

Kita merangkum sifat-sifat nol.

Menyederhanakan Bentuk Menggunakan Sifat Identitas, Invers, dan Nol

Sekarang kita akan berlatih menggunakan sifat identitas, invers, dan nol untuk menyederhanakan bentuk.

Sederhanakan: $3 x + 15 - 3 x .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan bentuk aljabar 3x + 15 − 3x yang menunjukkan penggunaan invers penjumlahan.
	$3 x + 15 - 3 x$
Perhatikan invers penjumlahan, $3 x$ dan $−3 x$ .	$0 + 15$
Jumlahkan.	$15$

Sederhanakan: $4 (0.25 q) .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan langkah-langkah penyederhanaan bentuk 4(0,25q) menjadi q dengan menerapkan sifat-sifat matematika.
	$4 (0.25 q)$
Kelompokkan kembali dengan menggunakan sifat asosiatif.	$[4 (0.25)] q$
Kalikan.	$1.00 q$
Sederhanakan; 1 adalah identitas perkalian.	$q$

Sederhanakan: $\frac{0}{n + 5}$ , dengan $n \neq −5$ .

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan sifat matematika bahwa nol dibagi dengan sebarang bilangan real tak nol adalah nol.
	$\frac{0}{n + 5}$
Nol dibagi dengan sebarang bilangan real selain nol adalah nol.	$0$

Sederhanakan: $\frac{10 - 3 p}{0} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menjelaskan bahwa pembagian dengan nol tidak terdefinisi dengan menampilkan sebuah contoh matematika dan statusnya.
	$\frac{10 - 3 p}{0}$
Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.	tidak terdefinisi

Sederhanakan: $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12) .$

Solusi

Penyelesaian

Kita tidak dapat menggabungkan suku-suku di dalam tanda kurung, jadi kita mengalikan kedua pecahan terlebih dahulu.

Menunjukkan langkah-langkah penyederhanaan bentuk aljabar dengan menggunakan bilangan-bilangan kebalikan dan identitas perkalian.
	$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12)$
Kalikan; hasil kali bilangan-bilangan yang saling berkebalikan adalah 1.	$1 (6 x + 12)$
Sederhanakan dengan mengenali identitas perkalian.	$6 x + 12$

Semua sifat bilangan real yang telah kita gunakan dalam bab ini dirangkum dalam .

Sifat-Sifat Bilangan Real
Sifat	Penjumlahan	Perkalian
Sifat Komutatif
Jika a dan b adalah bilangan real, maka…	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Sifat Asosiatif
Jika a, b, dan c adalah bilangan real, maka…	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Sifat Identitas	$0$ adalah identitas penjumlahan	$1$ adalah identitas perkalian
Untuk setiap bilangan real a,	$\begin{array}{l} a + 0 = a \\ 0 + a = a \end{array}$	$\begin{array}{l} a \cdot 1 = a \\ 1 \cdot a = a \end{array}$
Sifat Invers	$- a$ adalah invers penjumlahan dari $a$	$a, a \neq 0$ $1 / a$ adalah invers perkalian dari $a$
Untuk setiap bilangan real a,	$a + (− a) = 0$	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$
Sifat Distributif Jika $a, b, c$ adalah bilangan real, maka $a (b + c) = a b + a c$
Sifat-Sifat Nol
Untuk setiap bilangan real a,	$\begin{array}{l} a \cdot 0 = 0 \\ 0 \cdot a = 0 \end{array}$
Untuk setiap bilangan real $a, a \neq 0$	$\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$ tidak terdefinisi

Konsep Utama

Sifat Identitas
- Sifat Identitas Penjumlahan: Untuk setiap bilangan real a: $a + 0 = a 0 + a = a$ 0 adalah identitas penjumlahan
- Sifat Identitas Perkalian: Untuk setiap bilangan real a: $a \cdot 1 = a 1 \cdot a = a$ 1 adalah identitas perkalian
Sifat Invers
- Sifat Invers Penjumlahan: Untuk setiap bilangan real a: $a + (- a) = 0 - a$ adalah invers penjumlahan dari a
- Sifat Invers Perkalian: Untuk setiap bilangan real a: $(a \neq 0) a \cdot \frac{1}{a} = 1 \frac{1}{a}$ adalah invers perkalian dari a
Sifat-Sifat Nol
- Perkalian dengan Nol: Untuk setiap bilangan real a, $\begin{matrix} a \cdot 0 = 0 & 0 \cdot a = 0 & Hasil kali sebarang bilangan dengan 0 adalah 0. \end{matrix}$
- Pembagian Nol: Untuk setiap bilangan real a dengan $a \neq 0$ , $\begin{matrix} \frac{0}{a} = 0 & Nol dibagi dengan sebarang bilangan real selain nol adalah nol. \end{matrix}$
- Pembagian dengan Nol: Untuk setiap bilangan real a, $\frac{a}{0}$ tidak terdefinisi dan $a \div 0$ tidak terdefinisi. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Latihan Membentuk Kemahiran

Mengenali Sifat Identitas Penjumlahan dan Perkalian

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap contoh menggunakan sifat identitas penjumlahan atau perkalian.

$101 + 0 = 101$

$\frac{3}{5} (1) = \frac{3}{5}$

Solusi

sifat identitas perkalian

$−9 \cdot 1 = −9$

$0 + 64 = 64$

Solusi

sifat identitas penjumlahan

Menggunakan Sifat Invers Penjumlahan dan Perkalian

Dalam latihan berikut, tentukan invers perkaliannya.

$8$

$14$

Solusi

$\frac{1}{14}$

$−17$

$−19$

Solusi

$- \frac{1}{19}$

$\frac{7}{12}$

$\frac{8}{13}$

Solusi

$\frac{13}{8}$

$- \frac{3}{10}$

$- \frac{5}{12}$

Solusi

$- \frac{12}{5}$

$0.8$

$0.4$

Solusi

$\frac{5}{2}$

$−0.2$

$−0.5$

Solusi

−2

Menggunakan Sifat-Sifat Nol

Dalam latihan berikut, sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat nol.

$48 \cdot 0$

$\frac{0}{6}$

Solusi

0

$\frac{3}{0}$

$22 \cdot 0$

Solusi

0

$0 \div \frac{11}{12}$

$\frac{6}{0}$

Solusi

tidak terdefinisi

$\frac{0}{3}$

$0 \div \frac{7}{15}$

Solusi

0

$0 \cdot \frac{8}{15}$

$(−3.14) (0)$

Solusi

0

$5.72 \div 0$

$\frac{\frac{1}{10}}{0}$

Solusi

tidak terdefinisi

Menyederhanakan Bentuk Menggunakan Sifat Identitas, Invers, dan Nol

Dalam latihan berikut, sederhanakan dengan menggunakan sifat identitas, invers, dan nol.

$19 a + 44 - 19 a$

$27 c + 16 - 27 c$

Solusi

16

$38 + 11 r - 38$

$92 + 31 s - 92$

Solusi

31s

$10 (0.1 d)$

$100 (0.01 p)$

Solusi

p

$5 (0.6 q)$

$40 (0.05 n)$

Solusi

2n

$\frac{0}{r + 20}$ , dengan $r \neq −20$

$\frac{0}{s + 13}$ , dengan $s \neq −13$

Solusi

0

$\frac{0}{u - 4.99}$ , dengan $u \neq 4.99$

$\frac{0}{v - 65.1}$ , dengan $v \neq 65.1$

Solusi

0

$0 \div (x - \frac{1}{2})$ , dengan $x \neq \frac{1}{2}$

$0 \div (y - \frac{1}{6})$ , dengan $y \neq \frac{1}{6}$

Solusi

0

$\frac{32 - 5 a}{0}$ , dengan $32 - 5 a \neq 0$

$\frac{28 - 9 b}{0}$ , dengan $28 - 9 b \neq 0$

Solusi

tidak terdefinisi

$\frac{2.1 + 0.4 c}{0}$ , dengan $2.1 + 0.4 c \neq 0$

$\frac{1.75 + 9 f}{0}$ , dengan $1.75 + 9 f \neq 0$

Solusi

tidak terdefinisi

$(\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m) \div 0$ , dengan $\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m \neq 0$

$(\frac{5}{16} n - \frac{3}{7}) \div 0$ , dengan $\frac{5}{16} n - \frac{3}{7} \neq 0$

Solusi

tidak terdefinisi

$\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} (18 p - 21)$

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} (20 q - 35)$

Solusi

20q − 35

$15 \cdot \frac{3}{5} (4 d + 10)$

$18 \cdot \frac{5}{6} (15 h + 24)$

Solusi

225h + 360

Matematika Sehari-hari

Bagian biaya yang ditanggung peserta asuransi Carrie harus menjalani $5$ penambalan gigi. Setiap penambalan berbiaya $$80 .$ Asuransi giginya mengharuskan ia membayar $20 %$ dari biaya tersebut. Hitung biaya yang harus dibayar Carrie

ⓐ dengan menentukan biaya yang harus ia bayar untuk setiap penambalan, lalu menentukan biaya total untuk $5$ penambalan, dan
ⓑ dengan mengalikan $5 (0.20) (80) .$

Waktu memasak Helen membeli kalkun seberat $24 pon$ untuk makan malam Thanksgiving keluarganya dan ingin mengetahui kapan harus memasukkan kalkun itu ke dalam oven. Ia menyediakan waktu memasak $20$ menit per pon.

ⓐ Hitung lama waktu yang diperlukan untuk memanggang kalkun dengan mengalikan $24 \cdot 20$ untuk memperoleh jumlah menit, lalu kalikan hasilnya dengan $\frac{1}{60}$ untuk mengubah menit menjadi jam.
ⓑ Kalikan $24 (20 \cdot \frac{1}{60}) .$
ⓒ Sifat Bilangan Real manakah yang memungkinkan Anda mengalikan $24 (20 \cdot \frac{1}{60})$ alih-alih $(24 \cdot 20) \frac{1}{60} ?$

Solusi

ⓐ 8 jam
ⓑ 8

Latihan Menulis

Dengan kata-kata Anda sendiri, jelaskan perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian suatu bilangan.

Bagaimana penggunaan sifat-sifat bilangan real dapat mempermudah penyederhanaan bentuk?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan empat tujuan: mengenali sifat identitas penjumlahan dan perkalian; menggunakan sifat invers penjumlahan dan perkalian; menggunakan sifat-sifat nol; serta menyederhanakan bentuk menggunakan sifat identitas, invers, dan nol. Setiap tujuan dinilai dengan salah satu dari tiga kategori: Dengan percaya diri, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Pada skala 1–10, bagaimana Anda menilai penguasaan Anda terhadap bagian ini berdasarkan jawaban pada daftar periksa? Bagaimana Anda dapat meningkatkannya?