Menyelesaikan Persamaan dengan Koefisien Pecahan atau Desimal

Menyelesaikan Persamaan dengan Koefisien Pecahan

Mari gunakan strategi umum untuk menyelesaikan persamaan linear yang telah diperkenalkan sebelumnya guna menyelesaikan persamaan $\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$


Untuk mengisolasi suku $x$ , kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua ruas.
Sederhanakan ruas kiri.
Ubah konstanta menjadi pecahan senilai dengan PPK.
Kurangkan.
Kalikan kedua ruas dengan kebalikan dari $\frac{1}{8}$ .
Sederhanakan.

Cara ini berhasil dengan baik, tetapi banyak siswa merasa kurang yakin ketika melihat begitu banyak pecahan. Karena itu, kita akan menunjukkan cara lain untuk menyelesaikan persamaan yang memuat pecahan. Cara alternatif ini menghilangkan pecahan.

Kita akan menerapkan Sifat Perkalian pada Kesamaan dan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut persekutuan terkecil dari semua pecahan dalam persamaan tersebut. Operasi ini menghasilkan persamaan baru yang senilai dengan persamaan semula, tetapi tidak lagi memuat pecahan. Proses ini disebut menghilangkan pecahan dari persamaan. Mari selesaikan kembali persamaan yang sama, kali ini dengan menggunakan cara yang menghilangkan pecahan.

Selesaikan: $\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari semua pecahan dalam persamaan.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan PPK tersebut, yaitu 8. Langkah ini menghilangkan pecahan.
Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan—perhatikan, tidak ada pecahan lagi!
Selesaikan dengan strategi umum untuk menyelesaikan persamaan linear.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = −2$

Perhatikan pada bahwa setelah pecahan dihilangkan dari persamaan, persamaan tersebut menjadi seperti persamaan yang telah kita selesaikan sebelumnya dalam bab ini. Kita mengubah soal itu menjadi soal yang sudah kita ketahui cara menyelesaikannya! Selanjutnya, kita menggunakan strategi umum untuk menyelesaikan persamaan linear.

Selesaikan: $7 = \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} x - \frac{2}{3} x .$

Solusi

Penyelesaian

Kita akan menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan PPK dari semua pecahan dalam persamaan.

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari semua pecahan dalam persamaan.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan 12.
Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan—perhatikan, tidak ada pecahan lagi!
Gabungkan suku-suku sejenis.
Bagi dengan 7.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = 12 .$

Pada contoh berikutnya, terdapat variabel dan pecahan pada kedua ruas persamaan.

Selesaikan: $x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} x - \frac{1}{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Tentukan PPK dari semua pecahan dalam persamaan.
Kalikan kedua ruas dengan PPK.
Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan—tidak ada pecahan lagi!
Kurangkan $x$ dari kedua ruas.
Sederhanakan.
Kurangkan 2 dari kedua ruas.
Sederhanakan.
Bagi dengan 5.
Sederhanakan.
Periksa: Substitusikan $x = −1 .$

Pada , kita akan memulai dengan menggunakan Sifat Distributif. Langkah ini akan langsung menghilangkan pecahan!

Selesaikan: $1 = \frac{1}{2} (4 x + 2) .$

Solusi

Penyelesaian


Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan. Sekarang tidak ada pecahan yang perlu dihilangkan!
Kurangkan 1 dari kedua ruas.
Sederhanakan.
Bagi dengan 2.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = 0 .$

Sering kali, pecahan masih tetap ada bahkan setelah menggunakan Sifat Distributif.

Selesaikan: $\frac{1}{2} (y - 5) = \frac{1}{4} (y - 1) .$

Solusi

Penyelesaian


Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan.
Kalikan dengan PPK, yaitu 4.
Gunakan Sifat Distributif.
Sederhanakan.
Kumpulkan suku-suku $y$ di ruas kiri.
Sederhanakan.
Kumpulkan konstanta di ruas kanan.
Sederhanakan.
Periksa: Substitusikan $9$ untuk $y .$

Menyelesaikan Persamaan dengan Koefisien Desimal

Beberapa persamaan memuat desimal. Persamaan semacam ini akan muncul ketika kita menyelesaikan soal yang berkaitan dengan uang dan persen. Namun, desimal sebenarnya hanyalah cara lain untuk menyatakan pecahan. Sebagai contoh, $0.3 = \frac{3}{10}$ dan $0.17 = \frac{17}{100} .$ Jadi, ketika kita memiliki persamaan dengan desimal, kita dapat menggunakan proses yang sama seperti ketika menghilangkan pecahan—kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut persekutuan terkecil.

Selesaikan: $0.8 x - 5 = 7 .$

Solusi

Penyelesaian

Satu-satunya desimal dalam persamaan adalah $0.8 .$ Karena $0.8 = \frac{8}{10},$ kita dapat mengalikan kedua ruas dengan $10$ untuk menghilangkan desimal.


Kalikan kedua ruas dengan 10 untuk menghilangkan desimal.
Gunakan Sifat Distributif.
Kalikan; perhatikan, tidak ada lagi desimal!
Tambahkan 50 agar semua konstanta berada di ruas kanan.
Sederhanakan.
Bagi kedua ruas dengan 8.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = 15 .$

Selesaikan: $0.06 x + 0.02 = 0.25 x - 1.5 .$

Solusi

Penyelesaian

Perhatikan desimal-desimal tersebut dan pikirkan pecahan yang ekuivalen.

$0.06 = \frac{6}{100}, 0.02 = \frac{2}{100}, 0.25 = \frac{25}{100}, 1.5 = 1 \frac{5}{10}$

Perhatikan bahwa PPK-nya adalah $100 .$

Dengan mengalikan kedua ruas dengan PPK, kita akan menghilangkan desimal.


Kalikan kedua ruas dengan 100.
Gunakan Sifat Distributif.
Kalikan; kini tidak ada lagi desimal.
Kumpulkan suku-suku variabel di ruas kanan.
Sederhanakan.
Kumpulkan konstanta di ruas kiri.
Sederhanakan.
Bagi kedua ruas dengan 19.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = 8 .$

Contoh berikut menggunakan persamaan yang lazim dijumpai dalam penerapan tentang uang pada bab berikutnya. Perhatikan bahwa kita akan menerapkan Sifat Distributif pada suku desimal terlebih dahulu sebelum menghilangkan semua desimal dalam persamaan.

Selesaikan: $0.25 x + 0.05 (x + 3) = 2.85 .$

Solusi

Penyelesaian


Gunakan Sifat Distributif terlebih dahulu.
Gabungkan suku-suku sejenis.
Untuk menghilangkan desimal, kalikan kedua ruas dengan 100.
Gunakan Sifat Distributif.
Kurangkan 15 dari kedua ruas.
Sederhanakan.
Bagi kedua ruas dengan 30.
Sederhanakan.
Periksa: Misalkan $x = 9 .$

Konsep Utama

Selesaikan persamaan yang memiliki koefisien pecahan dengan menghilangkan pecahan.
1. Tentukan penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari semua pecahan dalam persamaan.
2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan PPK tersebut. Langkah ini menghilangkan pecahan.
3. Selesaikan dengan strategi umum untuk menyelesaikan persamaan linear.

Latihan Bagian

Latihan Membentuk Kemahiran

Menyelesaikan persamaan dengan koefisien pecahan

Pada latihan berikut, selesaikan persamaan dengan menghilangkan pecahan.

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

Solusi

x = −1

$\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{6} y - \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}$

Solusi

y = −1

$\frac{5}{6} y - \frac{1}{3} = - \frac{7}{6}$

$\frac{1}{2} a + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

Solusi

$a = \frac{3}{4}$

$\frac{5}{8} b + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

$2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} x$

Solusi

x = 4

$2 = \frac{3}{5} x - \frac{1}{3} x + \frac{2}{5} x$

$\frac{1}{4} m - \frac{4}{5} m + \frac{1}{2} m = −1$

Solusi

m = 20

$\frac{5}{6} n - \frac{1}{4} n - \frac{1}{2} n = −2$

$x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Solusi

x = −3

$x + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{5}{4}$

$\frac{1}{3} w + \frac{5}{4} = w - \frac{1}{4}$

Solusi

$w = \frac{9}{4}$

$\frac{3}{2} z + \frac{1}{3} = z - \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{6}$

Solusi

x = 1

$\frac{1}{2} a - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} a + \frac{1}{12}$

$\frac{1}{3} b + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} b - \frac{3}{5}$

Solusi

b = 12

$\frac{1}{3} x + \frac{2}{5} = \frac{1}{5} x - \frac{2}{5}$

$1 = \frac{1}{6} (12 x - 6)$

Solusi

x = 1

$1 = \frac{1}{5} (15 x - 10)$

$\frac{1}{4} (p - 7) = \frac{1}{3} (p + 5)$

Solusi

p = −41

$\frac{1}{5} (q + 3) = \frac{1}{2} (q - 3)$

$\frac{1}{2} (x + 4) = \frac{3}{4}$

Solusi

$x = - \frac{5}{2}$

$\frac{1}{3} (x + 5) = \frac{5}{6}$

Menyelesaikan Persamaan dengan Koefisien Desimal

Pada latihan berikut, selesaikan persamaan dengan menghilangkan desimal.

$0.6 y + 3 = 9$

Solusi

y = 10

$0.4 y - 4 = 2$

$3.6 j - 2 = 5.2$

Solusi

j = 2

$2.1 k + 3 = 7.2$

$0.4 x + 0.6 = 0.5 x - 1.2$

Solusi

x = 18

$0.7 x + 0.4 = 0.6 x + 2.4$

$0.23 x + 1.47 = 0.37 x - 1.05$

Solusi

x = 18

$0.48 x + 1.56 = 0.58 x - 0.64$

$0.9 x - 1.25 = 0.75 x + 1.75$

Solusi

x = 20

$1.2 x - 0.91 = 0.8 x + 2.29$

$0.05 n + 0.10 (n + 8) = 2.15$

Solusi

n = 9

$0.05 n + 0.10 (n + 7) = 3.55$

$0.10 d + 0.25 (d + 5) = 4.05$

Solusi

d = 8

$0.10 d + 0.25 (d + 7) = 5.25$

$0.05 (q - 5) + 0.25 q = 3.05$

Solusi

q = 11

$0.05 (q - 8) + 0.25 q = 4.10$

Matematika Sehari-hari

Koin Taylor memiliki $$2.00$ dalam bentuk koin sepuluh sen dan satu sen. Jumlah koin satu sen adalah $2$ lebih banyak daripada jumlah koin sepuluh sen. Selesaikan persamaan $0.10 d + 0.01 (d + 2) = 2$ untuk $d,$ yaitu jumlah koin sepuluh sen.

Solusi

d = 18

Prangko Travis membeli prangko senilai $$9.45$ berupa prangko $49 sen$ dan prangko $21 sen$ . Jumlah prangko $21 sen$ adalah $5$ lebih sedikit daripada jumlah prangko $49 sen$ . Selesaikan persamaan $0.49 s + 0.21 (s - 5) = 9.45$ untuk $s,$ guna menentukan jumlah prangko $49 sen$ yang dibeli Travis.

Latihan Menulis

Jelaskan cara menentukan penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari $\frac{3}{8}, \frac{1}{6}, dan \frac{2}{3} .$

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Jika sebuah persamaan memuat beberapa pecahan, bagaimana mengalikan kedua ruas dengan PPK membuat persamaan lebih mudah diselesaikan?

Jika sebuah persamaan memuat pecahan hanya pada satu ruas, mengapa kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan PPK?

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Dalam persamaan $0.35 x + 2.1 = 3.85,$ berapakah PPK-nya? Bagaimana Anda mengetahuinya?

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan tiga tujuan: menyelesaikan persamaan menggunakan strategi umum; menyelesaikan persamaan dengan koefisien pecahan; dan menyelesaikan persamaan dengan koefisien desimal. Untuk setiap tujuan, pilih Dengan yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Secara keseluruhan, setelah melihat daftar periksa, apakah Anda merasa siap untuk bab berikutnya? Mengapa atau mengapa tidak?

Latihan Tinjauan Bab

Menyelesaikan Persamaan dengan Sifat Pengurangan dan Penjumlahan pada Kesamaan

Pada latihan berikut, tentukan apakah bilangan yang diberikan merupakan penyelesaian persamaan.

$x + 16 = 31, x = 15$

Solusi

$w - 8 = 5, w = 3$

$−9 n = 45, n = 54$

Solusi

tidak

$4 a = 72, a = 18$

Pada latihan berikut, selesaikan persamaan menggunakan Sifat Pengurangan pada Kesamaan.

$x + 7 = 19$

Solusi

$y + 2 = −6$

$a + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Solusi

$a = \frac{4}{3}$

$n + 3.6 = 5.1$

Pada latihan berikut, selesaikan persamaan menggunakan Sifat Penjumlahan pada Kesamaan.

$u - 7 = 10$

Solusi

u = 17

$x - 9 = −4$

$c - \frac{3}{11} = \frac{9}{11}$

Solusi

$c = \frac{12}{11}$

$p - 4.8 = 14$

Pada latihan berikut, selesaikan persamaan.

$n - 12 = 32$

Solusi

n = 44

$y + 16 = −9$

$f + \frac{2}{3} = 4$

Solusi

$f = \frac{10}{3}$

$d - 3.9 = 8.2$

$y + 8 - 15 = −3$

Solusi

y = 4

$7 x + 10 - 6 x + 3 = 5$

$6 (n - 1) - 5 n = −14$

Solusi

n = −8

$8 (3 p + 5) - 23 (p - 1) = 35$

Pada latihan berikut, terjemahkan setiap kalimat menjadi persamaan aljabar, lalu selesaikan.

Jumlah dari $−6$ dan $m$ adalah $25 .$

Solusi

−6 + m = 25; m = 31

Empat kurang dari $n$ adalah $13 .$

Pada latihan berikut, terjemahkan menjadi persamaan aljabar dan selesaikan.

Putri Rochelle berusia $11$ tahun. Putranya $3$ tahun lebih muda. Berapa usia putranya?

Solusi

s = 11 − 3; 8 tahun

Berat Tan $146$ pon. Berat Minh $15$ pon lebih besar daripada berat Tan. Berapa berat Minh?

Peter membayar $$9.75$ untuk menonton film, yaitu $$46.25$ lebih sedikit daripada yang dibayarnya untuk menonton konser. Berapa yang ia bayar untuk konser?

Solusi

c − 46.25 = 9.75; $56.00

Elissa memperoleh $$152.84$ minggu ini, yaitu $$21.65$ lebih banyak daripada yang diperolehnya minggu lalu. Berapa yang ia peroleh minggu lalu?

Menyelesaikan Persamaan dengan Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan dengan menggunakan Sifat Pembagian pada Kesamaan.

$8 x = 72$

Solusi

x = 9

$13 a = −65$

$0.25 p = 5.25$

Solusi

p = 21

$- y = 4$

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan dengan menggunakan Sifat Perkalian pada Kesamaan.

$\frac{n}{6} = 18$

Solusi

n = 108

$\frac{y}{−10} = 30$

$36 = \frac{3}{4} x$

Solusi

x = 48

$\frac{5}{8} u = \frac{15}{16}$

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan.

$−18 m = −72$

Solusi

m = 4

$\frac{c}{9} = 36$

$0.45 x = 6.75$

Solusi

x = 15

$\frac{11}{12} = \frac{2}{3} y$

$5 r - 3 r + 9 r = 35 - 2$

Solusi

r = 3

$24 x + 8 x - 11 x = −7 −14$

Menyelesaikan Persamaan dengan Variabel dan Konstanta pada Kedua Ruas

Dalam latihan berikut, selesaikan persamaan dengan konstanta pada kedua ruas.

$8 p + 7 = 47$

Solusi

p = 5

$10 w - 5 = 65$

$3 x + 19 = −47$

Solusi

x = −22

$32 = −4 - 9 n$

Dalam latihan berikut, selesaikan persamaan dengan variabel pada kedua ruas.

$7 y = 6 y - 13$

Solusi

y = −13

$5 a + 21 = 2 a$

$k = −6 k - 35$

Solusi

k = −5

$4 x - \frac{3}{8} = 3 x$

Dalam latihan berikut, selesaikan persamaan dengan konstanta dan variabel pada kedua ruas.

$12 x - 9 = 3 x + 45$

Solusi

x = 6

$5 n - 20 = −7 n - 80$

$4 u + 16 = −19 - u$

Solusi

u = −7

$\frac{5}{8} c - 4 = \frac{3}{8} c + 4$

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan linear dengan menggunakan strategi umum.

$6 (x + 6) = 24$

Solusi

x = −2

$9 (2 p - 5) = 72$

$- (s + 4) = 18$

Solusi

s = −22

$8 + 3 (n - 9) = 17$

$23 - 3 (y - 7) = 8$

Solusi

y = 12

$\frac{1}{3} (6 m + 21) = m - 7$

$8 (r - 2) = 6 (r + 10)$

Solusi

r = 38

$5 + 7 (2 - 5 x) = 2 (9 x + 1) - (13 x - 57)$

$4 (3.5 y + 0.25) = 365$

Solusi

y = 26

$0.25 (q - 8) = 0.1 (q + 7)$

Menyelesaikan Persamaan dengan Koefisien Pecahan atau Desimal

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan dengan menghilangkan pecahan.

$\frac{2}{5} n - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

Solusi

n = 2

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{5} x = 8$

$\frac{3}{4} a - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} a + \frac{5}{6}$

Solusi

$a = \frac{14}{3}$

$\frac{1}{2} (k + 3) = \frac{1}{3} (k + 16)$

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan dengan menghilangkan desimal.

$0.8 x - 0.3 = 0.7 x + 0.2$

Solusi

x = 5

$0.36 u + 2.55 = 0.41 u + 6.8$

$0.6 p - 1.9 = 0.78 p + 1.7$

Solusi

p = −20

$0.10 d + 0.05 (d - 4) = 2.05$

Tes Latihan Bab

Tentukan apakah setiap bilangan merupakan penyelesaian persamaan.

3 x + 5 = 23 .

ⓐ $6$
ⓑ $\frac{23}{5}$

Solusi

ⓐ ya
ⓑ tidak

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan.

$n - 18 = 31$

$9 c = 144$

Solusi

c = 16

$4 y - 8 = 16$

$−8 x - 15 + 9 x - 1 = −21$

Solusi

x = −5

$−15 a = 120$

$\frac{2}{3} x = 6$

Solusi

x = 9

$x + 3.8 = 8.2$

$10 y = −5 y + 60$

Solusi

y = 4

$8 n + 2 = 6 n + 12$

$9 m - 2 - 4 m + m = 42 - 8$

Solusi

m = 6

$−5 (2 x + 1) = 45$

$- (d + 9) = 23$

Solusi

d = −32

$\frac{1}{3} (6 m + 21) = m - 7$

$2 (6 x + 5) - 8 = −22$

Solusi

x = −2

$8 (3 a + 5) - 7 (4 a - 3) = 20 - 3 a$

$\frac{1}{4} p + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

Solusi

$p = \frac{2}{3}$

$0.1 d + 0.25 (d + 8) = 4.1$

Terjemahkan ke bentuk persamaan dan selesaikan: Selisih antara dua kali $x$ dan $4$ adalah $16 .$

Solusi

2x − 4 = 16; x = 10

Samuel membayar $$25.82$ untuk bensin minggu ini, yaitu $$3.47$ lebih sedikit daripada yang dibayarnya minggu lalu. Berapa banyak yang ia bayar minggu lalu?