Mengalikan dan Membagi Pecahan

Menyederhanakan Pecahan

Saat mempelajari pecahan senilai, Anda telah melihat bahwa pecahan yang bernilai sama, atau yang mewakili bagian yang sama dari suatu keseluruhan, dapat ditulis dengan berbagai cara. Bagaimana Anda mengetahui bentuk mana yang harus digunakan? Biasanya, kita menggunakan pecahan dalam bentuk paling sederhana.

Suatu pecahan berada dalam bentuk paling sederhana jika tidak ada faktor persekutuan selain $1,$ pada pembilang dan penyebutnya. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor persekutuan, kita dapat mengubah pecahan itu ke bentuk paling sederhana dengan menghilangkan faktor persekutuan tersebut.

Sebagai contoh,

$\frac{2}{3}$ sudah dalam bentuk paling sederhana karena tidak ada faktor persekutuan dari $2$ dan $3 .$
$\frac{10}{15}$ belum dalam bentuk paling sederhana karena $5$ merupakan faktor persekutuan dari $10$ dan $15 .$

Proses menyederhanakan pecahan sering disebut penyederhanaan pecahan. Pada bagian sebelumnya, kita menggunakan Sifat Pecahan Senilai untuk menentukan pecahan senilai. Kita juga dapat menggunakan sifat ini secara terbalik untuk menyederhanakan pecahan. Berikut ini kedua bentuk sifat tersebut dituliskan bersama-sama.

Perhatikan bahwa $c$ merupakan faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut. Setiap faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut dapat dihilangkan.

Sederhanakan: $\frac{10}{15} .$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menyederhanakan pecahan, kita mencari faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut.

Perhatikan bahwa 5 adalah faktor dari 10 maupun 15.	$\frac{10}{15}$
Faktorkan pembilang dan penyebut.
Coret faktor persekutuan.
Sederhanakan.	$\frac{2}{3}$

Untuk menyederhanakan pecahan negatif, kita menggunakan proses yang sama seperti dalam . Ingatlah untuk mempertahankan tanda negatif.

Sederhanakan: $- \frac{18}{24} .$

Solusi

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 18 dan 24 sama-sama memiliki faktor 6.	$- \frac{18}{24}$
Tuliskan kembali pembilang dan penyebut untuk memperlihatkan faktor persekutuannya.
Coret faktor persekutuan.
Sederhanakan.	$- \frac{3}{4}$

Setelah menyederhanakan pecahan, kita harus memeriksa hasilnya untuk memastikan bahwa pembilang dan penyebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan selain 1. Ingat definisi pecahan dalam bentuk paling sederhana: suatu pecahan berada dalam bentuk paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan selain 1.

Ketika menyederhanakan pecahan tidak sejati, kita tidak perlu mengubahnya menjadi pecahan campuran.

Sederhanakan: $- \frac{56}{32} .$

Solusi

Penyelesaian

	$- \frac{56}{32}$
Tuliskan kembali pembilang dan penyebut untuk memperlihatkan faktor persekutuan 8.
Coret faktor persekutuan.
Sederhanakan.	$- \frac{7}{4}$

Kadang-kadang faktor persekutuan pembilang dan penyebut tidak mudah ditemukan. Dalam keadaan ini, sebaiknya faktorkan pembilang dan penyebut menjadi bilangan-bilangan prima. (Anda dapat menggunakan pohon faktor untuk menentukan faktor-faktor primanya.) Kemudian hilangkan faktor-faktor persekutuan menggunakan Sifat Pecahan Senilai.

Sederhanakan: $\frac{210}{385} .$

Solusi

Penyelesaian

Gunakan pohon faktor untuk memfaktorkan pembilang dan penyebut.	$\frac{210}{385}$
Tuliskan kembali pembilang dan penyebut sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.	$\frac{210}{385} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 11}$
Coret faktor-faktor persekutuan.
Sederhanakan.	$\frac{2 \cdot 3}{11}$
Kalikan faktor-faktor yang tersisa.	$\frac{6}{11}$

Kita juga dapat menyederhanakan pecahan yang memuat variabel. Jika suatu variabel merupakan faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, kita menghilangkannya dengan cara yang sama seperti faktor bilangan bulat.

Sederhanakan: $\frac{5 x y}{15 x} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini memperlihatkan langkah-langkah menyederhanakan bentuk pecahan aljabar dengan memfaktorkan dan mencoret faktor-faktor persekutuan.
	$\frac{5 x y}{15 x}$
Tuliskan kembali pembilang dan penyebut untuk memperlihatkan faktor-faktor persekutuannya.	$\frac{5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot x}$
Coret faktor-faktor persekutuan.	$\frac{5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot x}$
Sederhanakan.	$\frac{y}{3}$

Mengalikan Pecahan

Sebuah model dapat membantu Anda memahami perkalian pecahan. Kita akan menggunakan blok pecahan untuk memodelkan $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .$ Untuk mengalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{4},$ pikirkan $\frac{1}{2}$ dari $\frac{3}{4} .$

Mulailah dengan blok pecahan yang mewakili tiga perempat. Untuk menentukan setengah dari tiga perempat, kita harus membaginya menjadi dua kelompok sama besar. Karena ketiga blok $\frac{1}{4}$ tidak dapat dibagi rata menjadi dua kelompok, kita menukarnya dengan blok yang lebih kecil.

Batang bagian atas terdiri atas tiga blok seperempat. Sebuah panah menunjuk ke batang senilai di bawahnya yang terdiri atas enam blok seperdelapan. Kurung kurawal membagi enam blok itu menjadi dua kelompok yang masing-masing mewakili tiga perdelapan.

Kita melihat bahwa $\frac{6}{8}$ senilai dengan $\frac{3}{4} .$ Mengambil setengah dari enam blok $\frac{1}{8}$ menghasilkan tiga blok $\frac{1}{8}$ , yaitu $\frac{3}{8} .$

Jadi,

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Gunakan diagram untuk memodelkan $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Pertama, arsir $\frac{3}{4}$ bagian persegi panjang.

Sebuah persegi panjang dibagi secara vertikal menjadi empat bagian sama besar; tiga bagiannya diarsir.

Kita akan mengambil $\frac{1}{2}$ dari $\frac{3}{4},$ sehingga kita mengarsir lebih gelap $\frac{1}{2}$ dari daerah yang telah diarsir.

Sebuah persegi panjang dibagi secara vertikal menjadi empat bagian sama besar; tiga bagiannya diarsir. Sebuah garis horizontal membagi persegi panjang itu menjadi delapan bagian sama besar; tiga dari delapan bagian tersebut diarsir lebih gelap.

Perhatikan bahwa $3$ dari $8$ bagian diarsir lebih gelap. Artinya, $\frac{3}{8}$ bagian persegi panjang diarsir lebih gelap.

Jadi, $\frac{1}{2}$ dari $\frac{3}{4}$ adalah $\frac{3}{8},$ atau $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .$

Perhatikan hasil yang kita peroleh dari model dalam . Kita menemukan bahwa $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .$ Perhatikan bahwa kita dapat memperoleh jawaban yang sama dengan mengalikan kedua pembilang dan mengalikan kedua penyebut.

Langkah-langkah mengalikan dua pecahan.
	$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Kalikan kedua pembilang, lalu kalikan kedua penyebut.	$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Sederhanakan.	$\frac{3}{8}$

Dari sini kita memperoleh definisi perkalian pecahan. Untuk mengalikan pecahan, kalikan kedua pembilang dan kalikan kedua penyebut. Kemudian tuliskan pecahan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.

Kalikan dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah dan bentuk matematika yang memperlihatkan perkalian pecahan 3 per 4 dengan 1 per 5.
	$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}$
Kalikan kedua pembilang; kalikan kedua penyebut.	$\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$
Sederhanakan.	$\frac{3}{20}$

Tidak ada faktor persekutuan selain 1, sehingga pecahan sudah dalam bentuk paling sederhana.

Ketika mengalikan pecahan, sifat-sifat bilangan positif dan negatif tetap berlaku. Sebaiknya tentukan tanda hasil kali sebagai langkah pertama. Dalam Contoh 4.26, kita akan mengalikan dua bilangan negatif sehingga hasil kalinya positif.

Kalikan dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3}) .$

Solusi

Penyelesaian

	$- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3})$
Tandanya sama, sehingga hasil kalinya positif. Kalikan kedua pembilang dan kalikan kedua penyebut.	$\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}$
Sederhanakan.	$\frac{10}{24}$
Cari faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut. Tuliskan kembali untuk memperlihatkan faktor persekutuannya.
Coret faktor persekutuan.	$\frac{5}{12}$

Cara lain untuk menentukan hasil kali ini adalah dengan mencoret faktor persekutuan lebih awal.

	$- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3})$
Tentukan tanda hasil kali. Kalikan.	$\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}$
Perlihatkan faktor persekutuan, lalu coret faktor tersebut.
Kalikan faktor-faktor yang tersisa.	$\frac{5}{12}$

Kita memperoleh hasil yang sama.

Kalikan dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21} .$

Solusi

Penyelesaian

	$- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21}$
Tentukan tanda hasil kali; kalikan.	$- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21}$
Apakah pembilang dan penyebut memiliki faktor persekutuan? Kita mengetahui bahwa 7 adalah faktor dari 14 dan 21, serta 5 adalah faktor dari 20 dan 15.
Tuliskan kembali untuk memperlihatkan faktor-faktor persekutuan.
Coret faktor-faktor persekutuan.	$- \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}$
Kalikan faktor-faktor yang tersisa.	$- \frac{8}{9}$

Ketika mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, menuliskan bilangan bulat itu sebagai pecahan dapat mempermudah perhitungan. Setiap bilangan bulat $a,$ dapat ditulis sebagai $\frac{a}{1} .$ Jadi, $3 = \frac{3}{1},$ misalnya.

Kalikan dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana:

ⓐ $\frac{1}{7} \cdot 56$

ⓑ $\frac{12}{5} (−20 x)$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah mengalikan pecahan 1 per 7 dengan bilangan bulat 56 untuk memperoleh hasil 8.
ⓐ
	$\frac{1}{7} \cdot 56$
Tuliskan 56 sebagai pecahan.	$\frac{1}{7} \cdot \frac{56}{1}$
Tentukan tanda hasil kali; kalikan.	$\frac{56}{7}$
Sederhanakan.	$8$

ⓑ
	$\frac{12}{5} (−20 x)$
Tuliskan −20x sebagai pecahan.	$\frac{12}{5} (\frac{−20 x}{1})$
Tentukan tanda hasil kali; kalikan.	$- \frac{12 \cdot 20 \cdot x}{5 \cdot 1}$
Perlihatkan faktor persekutuan, lalu coret faktor tersebut.
Kalikan faktor-faktor yang tersisa; sederhanakan.	−48x

Menentukan Kebalikan

Pecahan $\frac{2}{3}$ dan $\frac{3}{2}$ memiliki hubungan khusus. Demikian pula $- \frac{10}{7}$ dan $- \frac{7}{10} .$ Dapatkah Anda melihat hubungannya? Selain tampak saling terbalik, jika pecahan-pecahan dalam setiap pasangan tersebut dikalikan, hasil kalinya adalah $1 .$

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 dan - \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1

Bilangan-bilangan dalam setiap pasangan seperti ini disebut kebalikan satu sama lain.

Untuk menentukan kebalikan suatu pecahan, kita membalik pecahan tersebut. Artinya, pembilang ditempatkan sebagai penyebut dan penyebut ditempatkan sebagai pembilang.

Agar hasil kali dua bilangan bernilai positif, kedua bilangan harus bertanda sama. Oleh karena itu, suatu bilangan dan kebalikannya harus bertanda sama.

Diagram menunjukkan bahwa suatu bilangan dan kebalikannya bertanda sama serta hasil kalinya 1: a per b dikali b per a sama dengan 1; 3 dikali sepertiga sama dengan 1 dengan kedua faktor positif; dan negatif 3 dikali negatif sepertiga sama dengan 1 dengan kedua faktor negatif.

Untuk menentukan kebalikan, pertahankan tandanya dan balik pecahannya. Bilangan nol tidak memiliki kebalikan. Mengapa? Hasil kali suatu bilangan dan kebalikannya adalah $1 .$ Adakah bilangan $r$ sehingga $0 \cdot r = 1 ?$ Tidak. Jadi, bilangan $0$ tidak memiliki kebalikan.

Tentukan kebalikan setiap bilangan. Kemudian periksa bahwa hasil kali setiap bilangan dan kebalikannya adalah $1 .$

ⓐ $\frac{4}{9}$
ⓑ $- \frac{1}{6}$
ⓒ $- \frac{14}{5}$
ⓓ $7$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan kebalikan, kita mempertahankan tandanya dan membalik pecahannya.

Tabel ini menunjukkan langkah demi langkah cara menentukan kebalikan suatu pecahan dan memeriksa hasilnya.
ⓐ
Tentukan kebalikan dari $\frac{4}{9}$ .	Kebalikan dari $\frac{4}{9}$ adalah $\frac{9}{4}$ .
Periksa:
Kalikan bilangan tersebut dengan kebalikannya.	$\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}$
Kalikan kedua pembilang, lalu kalikan kedua penyebut.	$\frac{36}{36}$
Sederhanakan.	$1 ✓$

Tabel ini menunjukkan cara menentukan kebalikan pecahan negatif, menyederhanakan hasilnya, dan memeriksanya.
ⓑ
Tentukan kebalikan dari $- \frac{1}{6}$ .	$- \frac{6}{1}$
Sederhanakan.	$- 6$
Periksa:	$- \frac{1}{6} \cdot (- 6)$
	$1 ✓$

Tabel ini menunjukkan cara menentukan kebalikan suatu pecahan dan memeriksa hasilnya.
ⓒ
Tentukan kebalikan dari $- \frac{14}{5}$ .	$- \frac{5}{14}$
Periksa:	$- \frac{14}{5} \cdot (- \frac{5}{14})$
	$\frac{70}{70}$
	$1 ✓$

Tabel ini menunjukkan langkah demi langkah cara menentukan kebalikan bilangan 7 dan memeriksa hasilnya.
ⓓ
Tentukan kebalikan dari $7$ .
Tuliskan $7$ sebagai pecahan.	$\frac{7}{1}$
Tuliskan kebalikan dari $\frac{7}{1}$ .	$\frac{1}{7}$
Periksa:	$7 \cdot (\frac{1}{7})$
	$1 ✓$

Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari lawan dan nilai mutlak. membandingkan lawan, nilai mutlak, dan kebalikan.

Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
bertanda berlawanan	tidak pernah negatif	bertanda sama, pecahan dibalik

Lengkapi tabel untuk setiap bilangan pada kolom kiri:

Bilangan	Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
$- \frac{3}{8}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{9}{5}$
$−5$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan lawan, ubah tandanya. Untuk menentukan nilai mutlak, pertahankan bilangan positif, sedangkan bilangan negatif diganti dengan lawannya. Untuk menentukan kebalikan, pertahankan tandanya dan balik pecahannya.

Bilangan	Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
$- \frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$- \frac{8}{3}$
$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$2$
$\frac{9}{5}$	$- \frac{9}{5}$	$\frac{9}{5}$	$\frac{5}{9}$
$−5$	$5$	$5$	$- \frac{1}{5}$

Membagi Pecahan

Mengapa $12 \div 3 = 4 ?$ Sebelumnya kita memodelkan pembagian ini dengan keping hitung. Berapa kelompok yang masing-masing berisi $3$ keping hitung dapat dibentuk dari $12$ keping hitung?

Empat oval ditampilkan; masing-masing oval mengelilingi tiga lingkaran.

Ada $4$ kelompok yang masing-masing berisi $3$ keping hitung. Dengan kata lain, ada empat kelompok berisi $3$ dalam $12 .$ Jadi, $12 \div 3 = 4 .$

Bagaimana dengan pembagian pecahan? Misalkan kita ingin menentukan hasil bagi $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} .$ Kita harus menentukan berapa banyak bagian $\frac{1}{6}$ yang terdapat dalam $\frac{1}{2} .$ Kita dapat menggunakan blok pecahan untuk memodelkan pembagian ini. Mulailah dengan menjajarkan blok setengah dan seperenam seperti dalam . Perhatikan bahwa ada tiga blok $\frac{1}{6}$ dalam $\frac{1}{2},$ sehingga $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .$

Sebuah persegi panjang berlabel satu per dua ditampilkan. Di bawahnya terdapat persegi panjang yang sama, dibagi menjadi tiga bagian sama besar yang masing-masing berlabel satu per enam.

Modelkan: $\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita ingin menentukan berapa banyak bagian $\frac{1}{8}$ yang terdapat dalam $\frac{1}{4} .$ Mulailah dengan satu blok $\frac{1}{4}$ . Jajarkan blok-blok $\frac{1}{8}$ di bawah blok $\frac{1}{4}$ .

Sebuah persegi panjang berlabel satu per empat ditampilkan. Di bawahnya terdapat persegi panjang yang sama, dibagi menjadi dua bagian sama besar yang masing-masing berlabel satu per delapan.

Ada dua bagian $\frac{1}{8}$ dalam $\frac{1}{4} .$

Jadi, $\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = 2 .$

Modelkan: $2 \div \frac{1}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita ingin menentukan berapa banyak bagian $\frac{1}{4}$ yang terdapat dalam $2 .$ Kita dapat memodelkannya seperti pada gambar.

Dua persegi panjang ditampilkan dan masing-masing berlabel 1. Di bawahnya terdapat dua persegi panjang yang sama; masing-masing dibagi menjadi empat bagian berlabel satu per empat, sehingga seluruhnya ada delapan bagian.

Karena ada delapan bagian $\frac{1}{4}$ dalam $2, 2 \div \frac{1}{4} = 8 .$

Mari gunakan uang untuk memodelkan $2 \div \frac{1}{4}$ dengan cara lain. Dalam bahasa Inggris, $\frac{1}{4}$ sering dibaca “quarter”. Koin seperempat dolar AS bernilai seperempat dolar, seperti dalam . Jadi, kita dapat memaknai $2 \div \frac{1}{4}$ sebagai “Berapa banyak koin seperempat dolar dalam dua dolar?” Satu dolar sama dengan $4$ koin seperempat dolar, sehingga $2$ dolar sama dengan $8$ koin seperempat dolar. Jadi sekali lagi, $2 \div \frac{1}{4} = 8 .$

Gambar koin seperempat dolar Amerika Serikat ditampilkan. — Koin AS yang disebut “quarter” bernilai seperempat dolar.

Dengan blok pecahan, kita telah memperlihatkan bahwa $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .$ Perhatikan bahwa $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = 3$ juga benar. Apa hubungan antara $\frac{1}{6}$ dan $\frac{6}{1}$ ? Keduanya merupakan kebalikan satu sama lain. Dari sini kita memperoleh prosedur pembagian pecahan.

Kita harus menetapkan $b \neq 0, c \neq 0$ dan $d \neq 0$ agar tidak terjadi pembagian dengan nol.

Bagilah dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7}) .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah membagi pecahan, dari soal awal hingga hasil akhir dalam bentuk paling sederhana.
	$\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7})$
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.	$\frac{2}{5} (- \frac{7}{3})$
Kalikan. Hasil kalinya negatif.	$- \frac{14}{15}$

Bagilah dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $\frac{2}{3} \div \frac{n}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini memperlihatkan langkah-langkah membagi dua pecahan dengan mengubah pembagian menjadi perkalian dengan kebalikan.
	$\frac{2}{3} \div \frac{n}{5}$
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.	$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{n}$
Kalikan.	$\frac{10}{3 n}$

Bagilah dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8}) .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah membagi dua pecahan negatif, dari bentuk awal hingga hasil dalam bentuk paling sederhana.
	$- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8})$
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.	$- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{8}{7})$
Kalikan. Ingatlah untuk menentukan tandanya terlebih dahulu.	$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 7}$
Tuliskan kembali untuk memperlihatkan faktor-faktor persekutuan.	$\frac{3 \cdot 4 \cdot 2}{4 \cdot 7}$
Coret faktor-faktor persekutuan dan sederhanakan.	$\frac{6}{7}$

Bagilah dan tuliskan jawabannya dalam bentuk paling sederhana: $\frac{7}{18} \div \frac{14}{27} .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah membagi dua pecahan, dari soal awal hingga hasil dalam bentuk paling sederhana.
	$\frac{7}{18} \div \frac{14}{27}$
Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.	$\frac{7}{18} \cdot \frac{27}{14}$
Kalikan.	$\frac{7 \cdot 27}{18 \cdot 14}$
Tuliskan kembali untuk memperlihatkan faktor-faktor persekutuan.
Coret faktor-faktor persekutuan.	$\frac{3}{2 \cdot 2}$
Sederhanakan.	$\frac{3}{4}$

Konsep Utama

Sifat Pecahan Senilai
- Jika $a, b, c$ adalah bilangan-bilangan dengan $b \neq 0$ , $c \neq 0$ , maka $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ dan $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ .
Menyederhanakan pecahan.
1. Tuliskan kembali pembilang dan penyebut untuk memperlihatkan faktor-faktor persekutuannya. Jika perlu, faktorkan pembilang dan penyebut menjadi bilangan-bilangan prima.
2. Sederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor persekutuan menggunakan Sifat Pecahan Senilai.
3. Kalikan faktor-faktor yang tersisa.
Perkalian Pecahan
- Jika $a, b, c,$ dan $d$ adalah bilangan-bilangan dengan $b \neq 0$ dan $d \neq 0$ , maka $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ .
Kebalikan
- Hasil kali suatu bilangan dan kebalikannya adalah $1$ . $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$
- Lawan Nilai Mutlak Kebalikan
  
  memiliki tanda yang berlawanan tidak pernah negatif memiliki tanda yang sama; pembilang dan penyebut bertukar tempat
Pembagian Pecahan
- Jika $a, b, c,$ dan $d$ adalah bilangan-bilangan dengan $b \neq 0$ , $c \neq 0$ dan $d \neq 0$ , maka
  $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
- Untuk membagi pecahan, kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.

Latihan Membentuk Kemahiran

Menyederhanakan Pecahan

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap pecahan. Jangan ubah pecahan tidak sejati menjadi pecahan campuran.

$\frac{7}{21}$

Solusi

$\frac{1}{3}$

$\frac{8}{24}$

$\frac{15}{20}$

Solusi

$\frac{3}{4}$

$\frac{12}{18}$

$- \frac{40}{88}$

Solusi

$- \frac{5}{11}$

$- \frac{63}{99}$

$- \frac{108}{63}$

Solusi

$- \frac{12}{7}$

$- \frac{104}{48}$

$\frac{120}{252}$

Solusi

$\frac{10}{21}$

$\frac{182}{294}$

$- \frac{168}{192}$

Solusi

$- \frac{7}{8}$

$- \frac{140}{224}$

$\frac{11 x}{11 y}$

Solusi

$\frac{x}{y}$

$\frac{15 a}{15 b}$

$- \frac{3 x}{12 y}$

Solusi

$- \frac{x}{4 y}$

$- \frac{4 x}{32 y}$

$\frac{14 x^{2}}{21 y}$

Solusi

$\frac{2 x^{2}}{3 y}$

$\frac{24 a}{32 b^{2}}$

Mengalikan Pecahan

Dalam latihan berikut, gunakan diagram untuk membuat model.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Solusi

$\frac{1}{3}$
Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 2 baris dan 3 kolom. Empat dari 6 bagian diarsir hijau untuk menunjukkan dua pertiga, dan 2 bagian pada satu baris diarsir lebih gelap untuk menunjukkan setengah dari dua pertiga, yaitu sepertiga.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}$

Solusi

$\frac{5}{18}$
Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 3 baris dan 6 kolom. Lima belas dari 18 bagian diarsir hijau untuk menunjukkan lima perenam, dan 5 bagian pada satu baris diarsir lebih gelap untuk menunjukkan sepertiga dari lima perenam, yaitu lima per delapan belas.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Dalam latihan berikut, kalikan, lalu tulis jawabannya dalam bentuk paling sederhana.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Solusi

$\frac{2}{15}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{10}$

Solusi

$\frac{27}{40}$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7}$

$- \frac{2}{3} (- \frac{3}{8})$

Solusi

$\frac{1}{4}$

$- \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

$- \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10}$

Solusi

$- \frac{1}{6}$

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}$

$\frac{7}{12} (- \frac{8}{21})$

Solusi

$- \frac{2}{9}$

$\frac{5}{12} (- \frac{8}{15})$

$(- \frac{14}{15}) (\frac{9}{20})$

Solusi

$- \frac{21}{50}$

$(- \frac{9}{10}) (\frac{25}{33})$

$(- \frac{63}{84}) (- \frac{44}{90})$

Solusi

$\frac{11}{30}$

$(- \frac{33}{60}) (- \frac{40}{88})$

$4 \cdot \frac{5}{11}$

Solusi

$\frac{20}{11}$

$5 \cdot \frac{8}{3}$

$\frac{3}{7} \cdot 21 n$

Solusi

$\frac{5}{6} \cdot 30 m$

$−28 p (- \frac{1}{4})$

Solusi

$−51 q (- \frac{1}{3})$

$−8 (\frac{17}{4})$

Solusi

−34

$\frac{14}{5} (−15)$

$−1 (- \frac{3}{8})$

Solusi

$\frac{3}{8}$

$(−1) (- \frac{6}{7})$

${(\frac{2}{3})}^{3}$

Solusi

$\frac{8}{27}$

${(\frac{4}{5})}^{2}$

${(\frac{6}{5})}^{4}$

Solusi

$\frac{1296}{625}$

${(\frac{4}{7})}^{4}$

Menentukan Kebalikan

Dalam latihan berikut, tentukan kebalikannya.

$\frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{4}{3}$

$\frac{2}{3}$

$- \frac{5}{17}$

Solusi

$- \frac{17}{5}$

$- \frac{6}{19}$

$\frac{11}{8}$

Solusi

$\frac{8}{11}$

$−13$

$−19$

Solusi

$- \frac{1}{19}$

$−1$

$1$

Solusi

Isilah tabel.

Bilangan	Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
$- \frac{7}{11}$
$\frac{4}{5}$
$\frac{10}{7}$
$−8$

Solusi

Isilah tabel.

Bilangan	Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
$- \frac{3}{13}$
$\frac{9}{14}$
$\frac{15}{7}$
$−9$

Solusi

Membagi Pecahan

Dalam latihan berikut, buatlah model untuk setiap pembagian pecahan.

$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \div \frac{1}{8}$

Solusi

4
Satu blok seperdua ditampilkan di atas 4 blok seperdelapan yang sama panjang; jadi, seperdua dibagi seperdelapan sama dengan 4.

$2 \div \frac{1}{5}$

$3 \div \frac{1}{4}$

Solusi

12
Tiga blok satuan ditampilkan di atas 12 blok seperempat yang sama panjang; jadi, 3 dibagi seperempat sama dengan 12.

Dalam latihan berikut, bagi, lalu tulis jawabannya dalam bentuk paling sederhana.

$\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \div \frac{1}{8}$

Solusi

$\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}$

$\frac{4}{5} \div \frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{16}{15}$

$- \frac{4}{5} \div \frac{4}{7}$

$- \frac{3}{4} \div \frac{3}{5}$

Solusi

$- \frac{5}{4}$

$- \frac{7}{9} \div (- \frac{7}{9})$

$- \frac{5}{6} \div (- \frac{5}{6})$

Solusi

$\frac{3}{4} \div \frac{x}{11}$

$\frac{2}{5} \div \frac{y}{9}$

Solusi

$\frac{18}{5 y}$

$\frac{5}{8} \div \frac{a}{10}$

$\frac{5}{6} \div \frac{c}{15}$

Solusi

$\frac{25}{2 c}$

$\frac{5}{18} \div (- \frac{15}{24})$

$\frac{7}{18} \div (- \frac{14}{27})$

Solusi

$- \frac{3}{4}$

$\frac{7 p}{12} \div \frac{21 p}{8}$

$\frac{5 q}{12} \div \frac{15 q}{8}$

Solusi

$\frac{2}{9}$

$\frac{8 u}{15} \div \frac{12 v}{25}$

$\frac{12 r}{25} \div \frac{18 s}{35}$

Solusi

$\frac{14 r}{15 s}$

$−5 \div \frac{1}{2}$

$−3 \div \frac{1}{4}$

Solusi

−12

$\frac{3}{4} \div (−12)$

$\frac{2}{5} \div (−10)$

Solusi

$- \frac{1}{25}$

$−18 \div (- \frac{9}{2})$

$−15 \div (- \frac{5}{3})$

Solusi

$\frac{1}{2} \div (- \frac{3}{4}) \div \frac{7}{8}$

$\frac{11}{2} \div \frac{7}{8} \cdot \frac{2}{11}$

Solusi

$\frac{8}{7}$

Matematika Sehari-hari

Membuat Kue Sebuah resep kukis cokelat memerlukan $\frac{3}{4}$ cangkir gula cokelat. Imelda ingin membuat dua kali takaran resep tersebut.

ⓐ Berapa banyak gula cokelat yang dibutuhkan Imelda? Tunjukkan perhitungan Anda. Tulislah hasilnya sebagai pecahan tidak sejati dan sebagai pecahan campuran.

ⓑ Cangkir ukur biasanya tersedia dalam satu set berukuran $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ dan $1$ cangkir. Gambarlah diagram yang menunjukkan dua cara berbeda bagi Imelda untuk mengukur gula cokelat yang dibutuhkan untuk membuat dua kali takaran resep.

Membuat Kue Nina membuat $4$ loyang fudge untuk disajikan setelah resital musik. Untuk setiap loyang, ia membutuhkan $\frac{2}{3}$ cangkir susu kental manis.

ⓐ Berapa banyak susu kental manis yang dibutuhkan Nina? Tunjukkan perhitungan Anda. Tulislah hasilnya sebagai pecahan tidak sejati dan sebagai pecahan campuran.
ⓑ Cangkir ukur biasanya tersedia dalam satu set berukuran $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ dan $1$ cangkir. Gambarlah diagram yang menunjukkan dua cara berbeda bagi Nina untuk mengukur susu kental manis yang dibutuhkannya.

Solusi

ⓐ $4 \cdot \frac{2}{3}$ cangkir $= \frac{8}{3}$ cangkir $= 2 \frac{2}{3}$ cangkir
ⓑ Jawaban dapat bervariasi.

Pembagian Porsi Don membeli sebungkus besar permen seberat $5$ pon. Ia ingin menjual permen tersebut dalam kantong-kantong kecil yang masing-masing memuat $\frac{1}{4}$ pon. Berapa banyak kantong kecil yang dapat ia isi dari bungkusan besar tersebut?

Pembagian Porsi Kristen memiliki pita sepanjang $\frac{3}{4}$ yard. Ia ingin memotongnya menjadi bagian-bagian sama panjang untuk membuat pita rambut bagi $6$ boneka putrinya. Berapa panjang pita rambut setiap boneka?

Solusi

$\frac{1}{8}$ yard

Latihan Menulis

Jelaskan cara menentukan kebalikan suatu pecahan.

Jelaskan cara menentukan kebalikan suatu pecahan negatif.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Rafael ingin memesan setengah piza berukuran sedang di sebuah restoran. Pelayan memberitahunya bahwa piza berukuran sedang dapat dipotong menjadi $6$ atau $8$ potong. Apakah ia lebih memilih $3$ dari $6$ potong atau $4$ dari $8$ potong? Rafael menjawab bahwa karena ia tidak terlalu lapar, ia lebih memilih $3$ dari $6$ potong. Jelaskan kesalahan dalam penalaran Rafael.

Berikan contoh dari kehidupan sehari-hari yang menunjukkan bahwa $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ sama dengan $\frac{1}{3} .$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar yakin telah menguasai semua tujuan?

kebalikan

Kebalikan dari pecahan

\frac{a}{b}

adalah

\frac{b}{a}

, dengan

a \neq 0

dan

b \neq 0

pecahan dalam bentuk paling sederhana

Suatu pecahan dianggap berada dalam bentuk paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan selain 1.

Lawan	Nilai Mutlak	Kebalikan
memiliki tanda yang berlawanan	tidak pernah negatif	memiliki tanda yang sama; pembilang dan penyebut bertukar tempat