Menyelesaikan Persamaan dengan Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan

Kita telah memperkenalkan Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan dalam Menyelesaikan Persamaan dengan Bilangan Bulat; Sifat Pembagian pada Kesamaan dan Menyelesaikan Persamaan dengan Pecahan. Kita memodelkan cara kerja sifat-sifat ini menggunakan amplop dan keping hitung, lalu menerapkannya untuk menyelesaikan persamaan (Lihat Menyelesaikan Persamaan dengan Bilangan Bulat; Sifat Pembagian pada Kesamaan). Kita menyatakannya kembali di sini sebagai persiapan sebelum menggunakannya.

Ketika Anda membagi atau mengalikan kedua ruas suatu persamaan dengan besaran yang sama, kesamaan tetap berlaku.

Mari kita tinjau cara menerapkan sifat-sifat kesamaan ini untuk menyelesaikan persamaan. Ingatlah bahwa tujuannya adalah “meniadakan” operasi pada variabel. Pada contoh berikut, variabel dikalikan dengan $4,$ sehingga kita akan membagi kedua ruas dengan $4$ untuk “meniadakan” perkalian.

Selesaikan: $4 x = −28 .$

Solusi

Penyelesaian

Kita menggunakan Sifat Pembagian pada Kesamaan untuk membagi kedua ruas dengan $4 .$


Bagi kedua ruas dengan 4 untuk meniadakan perkalian.
Sederhanakan.
Periksa jawaban Anda. Misalkan $x = −7$ .

Karena ini merupakan pernyataan benar, $x = −7$ adalah penyelesaian persamaan $4 x = −28 .$

Pada contoh sebelumnya, untuk “meniadakan” perkalian, kita melakukan pembagian. Menurut Anda, bagaimana cara “meniadakan” pembagian?

Selesaikan: $\frac{a}{−7} = −42 .$

Solusi

Penyelesaian

Di sini $a$ dibagi dengan $−7 .$ Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan $−7$ untuk mengisolasi $a .$


Kalikan kedua ruas dengan $−7$ .
Sederhanakan.
Periksa jawaban Anda. Misalkan $a = 294$ .

Selesaikan: $- r = 2 .$

Solusi

Penyelesaian

Ingatlah bahwa $- r$ ekuivalen dengan $−1 r .$


Tulis ulang $- r$ sebagai $−1 r$ .
Bagi kedua ruas dengan $−1$ .

Periksa.
Substitusikan $r = −2$ .
Sederhanakan.

Dalam Menyelesaikan Persamaan dengan Pecahan, kita telah melihat bahwa ada dua cara lain untuk menyelesaikan $- r = 2 .$

Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan $−1 .$

Kita dapat mengambil lawan dari kedua ruas.

Selesaikan: $\frac{2}{3} x = 18 .$

Solusi

Penyelesaian

Karena hasil kali suatu bilangan dan kebalikannya adalah $1,$ strategi kita adalah mengisolasi $x$ dengan mengalikan kedua ruas dengan kebalikan dari $\frac{2}{3} .$


Kalikan kedua ruas dengan kebalikan dari $\frac{2}{3}$ .
Hasil kali bilangan-bilangan yang saling berkebalikan adalah satu.
Kalikan.
Periksa jawaban Anda. Gunakan $x = 27$ .

Perhatikan bahwa kita sebenarnya dapat membagi kedua ruas persamaan $\frac{2}{3} x = 18$ dengan $\frac{2}{3}$ untuk mengisolasi $x .$ Cara ini memang berhasil, tetapi mengalikan dengan kebalikannya memerlukan lebih sedikit langkah.

Menyelesaikan Persamaan yang Perlu Disederhanakan

Banyak persamaan pada awalnya lebih rumit daripada persamaan yang baru saja kita selesaikan. Pertama-tama, kita perlu menyederhanakan kedua ruas persamaan semaksimal mungkin.

Selesaikan: $8 x + 9 x - 5 x = −3 + 15 .$

Solusi

Penyelesaian

Mulailah dengan menggabungkan suku-suku sejenis untuk menyederhanakan setiap ruas.


Gabungkan suku-suku sejenis.
Bagi kedua ruas dengan 12 untuk mengisolasi x.
Sederhanakan.
Periksa jawaban Anda. Gunakan $x = 1$ .

Selesaikan: $11 - 20 = 17 y - 8 y - 6 y .$

Solusi

Penyelesaian

Sederhanakan setiap ruas dengan menggabungkan suku-suku sejenis.


Sederhanakan setiap ruas.
Bagi kedua ruas dengan 3 untuk mengisolasi y.
Sederhanakan.
Periksa jawaban Anda. Misalkan $y = −3$ .

Perhatikan bahwa ketika kita menyelesaikan persamaan tersebut, variabel berada di ruas kanan tanda sama dengan. Anda mungkin lebih suka melakukan satu langkah lagi untuk menuliskan penyelesaian dengan variabel di ruas kiri tanda sama dengan.

Selesaikan: $−3 (n - 2) - 6 = 21 .$

Solusi

Penyelesaian

Ingat—selalu sederhanakan setiap ruas terlebih dahulu.


Distribusikan.
Sederhanakan.
Bagi kedua ruas dengan −3 untuk mengisolasi n.
Periksa jawaban Anda. Misalkan $n = −7$ .

Konsep Utama

Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan
- Sifat Pembagian pada Kesamaan: Untuk semua bilangan real a, b, c, dengan $c \neq 0$ , jika $a = b$ , maka $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ .
- Sifat Perkalian pada Kesamaan: Untuk semua bilangan real a, b, c, jika $a = b$ , maka $a c = b c$ .

Latihan Membentuk Kemahiran

Menyelesaikan Persamaan dengan Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan menggunakan Sifat Pembagian pada Kesamaan dan periksa penyelesaiannya.

$8 x = 32$

$7 p = 63$

Solusi

p = 9

$−5 c = 55$

$−9 x = −27$

Solusi

x = 3

$−90 = 6 y$

$−72 = 12 y$

Solusi

y = −6

$−16 p = −64$

$−8 m = −56$

Solusi

m = 7

$0.25 z = 3.25$

$0.75 a = 11.25$

Solusi

a = 15

$−3 x = 0$

$4 x = 0$

Solusi

x = 0

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan menggunakan Sifat Perkalian pada Kesamaan dan periksa penyelesaiannya.

$\frac{x}{4} = 15$

$\frac{z}{2} = 14$

Solusi

z = 28

$−20 = \frac{q}{−5}$

$\frac{c}{−3} = −12$

Solusi

c = 36

$\frac{y}{9} = −6$

$\frac{q}{6} = −8$

Solusi

q = −48

$\frac{m}{−12} = 5$

$−4 = \frac{p}{−20}$

Solusi

p = 80

$\frac{2}{3} y = 18$

$\frac{3}{5} r = 15$

Solusi

r = 25

$- \frac{5}{8} w = 40$

$24 = - \frac{3}{4} x$

Solusi

x = −32

$- \frac{2}{5} = \frac{1}{10} a$

$- \frac{1}{3} q = - \frac{5}{6}$

Solusi

$q = \frac{5}{2}$

Menyelesaikan Persamaan yang Perlu Disederhanakan

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan.

$8 a + 3 a - 6 a = −17 + 27$

$6 y - 3 y + 12 y = −43 + 28$

Solusi

y = −1

$−9 x - 9 x + 2 x = 50 - 2$

$−5 m + 7 m - 8 m = −6 + 36$

Solusi

m = −5

$100 - 16 = 4 p - 10 p - p$

$−18 - 7 = 5 t - 9 t - 6 t$

Solusi

$t = \frac{5}{2}$

$\frac{7}{8} n - \frac{3}{4} n = 9 + 2$

$\frac{5}{12} q + \frac{1}{2} q = 25 - 3$

Solusi

q = 24

$0.25 d + 0.10 d = 6 - 0.75$

$0.05 p - 0.01 p = 2 + 0.24$

Solusi

p = 56

Matematika Sehari-hari

Balon Ramona membeli $18$ balon untuk sebuah pesta. Ia ingin membaginya menjadi $3$ kelompok yang sama banyak. Tentukan banyaknya balon dalam setiap kelompok, $b,$ dengan menyelesaikan persamaan $3 b = 18 .$

Mengajar Kelas taman kanak-kanak Connie terdiri atas $24$ anak. Ia ingin membagi mereka menjadi $4$ kelompok yang sama besar. Tentukan jumlah anak dalam setiap kelompok, $g,$ dengan menyelesaikan persamaan $4 g = 24 .$

Solusi

6 anak

Harga tiket Daria membayar $$36.25$ untuk $5$ tiket anak-anak di arena seluncur es. Tentukan harga setiap tiket, $p,$ dengan menyelesaikan persamaan $5 p = 36.25 .$

Harga satuan Nishant membayar $$12.96$ untuk satu pak berisi $12$ botol jus. Tentukan harga setiap botol, $b,$ dengan menyelesaikan persamaan $12 b = 12.96 .$

Solusi

$1.08

Efisiensi bahan bakar Efisiensi bahan bakar SUV Tania, dalam mil per galon (mpg), adalah setengah efisiensi mobil hibrida milik suaminya. SUV tersebut mencapai $18 mpg .$ Tentukan efisiensi bahan bakar mobil hibrida dalam mil per galon, $m,$ dengan menyelesaikan persamaan $\frac{1}{2} m = 18 .$

Kain Tim baris-berbaris menggunakan $14$ yard kain untuk membuat bendera bagi sepertiga anggotanya. Tentukan banyaknya kain, $f,$ yang diperlukan untuk membuat bendera bagi seluruh tim dengan menyelesaikan persamaan $\frac{1}{3} f = 14 .$

Solusi

42 yard

Latihan Menulis

Frida mulai menyelesaikan persamaan $−3 x = 36$ dengan menambahkan $3$ pada kedua ruas. Jelaskan mengapa metode Frida tidak akan menyelesaikan persamaan tersebut.

Emiliano menganggap $x = 40$ merupakan penyelesaian persamaan $\frac{1}{2} x = 80 .$ Jelaskan mengapa ia keliru.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan dua tujuan: menyelesaikan persamaan menggunakan Sifat Pembagian dan Perkalian pada Kesamaan; serta menyelesaikan persamaan yang perlu disederhanakan. Untuk setiap tujuan, pilih Dengan yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar yakin telah menguasai semua tujuan?