Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Berbeda

Menentukan Penyebut Persekutuan Terkecil

Pada bagian sebelumnya, kita menjelaskan cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan berpenyebut sama. Namun, bagaimana kita dapat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan berpenyebut berbeda?

Mari kita pikirkan kembali tentang uang logam. Dapatkah Anda menjumlahkan satu koin 25 sen AS dan satu koin 10 sen AS? Anda dapat mengatakan bahwa ada dua koin, tetapi keterangan itu tidak terlalu berguna. Untuk menentukan nilai total satu koin 25 sen ditambah satu koin 10 sen, ubahlah keduanya menjadi jenis satuan yang sama, yaitu sen. Satu koin 25 sen bernilai $25$ sen dan satu koin 10 sen bernilai $10$ sen, sehingga jumlahnya adalah $35$ sen. Lihat .

Satu koin 25 sen AS dan satu koin 10 sen AS ditampilkan. Di bawahnya tertulis 25 sen ditambah 10 sen. Di bawah itu tertulis 35 sen. — Jika digabungkan, satu koin 25 sen dan satu koin 10 sen bernilai $35$ sen, atau $\frac{35}{100}$ dolar.

Demikian pula, ketika menjumlahkan pecahan berpenyebut berbeda, kita harus mengubahnya menjadi pecahan senilai yang berpenyebut sama. Pada contoh koin, ketika kita mengubah nilainya menjadi sen, penyebutnya adalah $100 .$ Karena satu dolar terdiri atas $100$ sen, $25$ sen adalah $\frac{25}{100}$ dolar dan $10$ sen adalah $\frac{10}{100} .$ Jadi, kita menjumlahkan $\frac{25}{100} + \frac{10}{100}$ untuk memperoleh $\frac{35}{100},$ yaitu $35$ sen.

Anda telah berlatih menjumlahkan dan mengurangkan pecahan berpenyebut sama. Sekarang mari kita lihat apa yang perlu dilakukan terhadap pecahan berpenyebut berbeda.

Pertama, kita akan menggunakan blok pecahan untuk memodelkan cara menentukan penyebut yang sama bagi $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3} .$

Kita akan mulai dengan satu blok $\frac{1}{2}$ dan satu blok $\frac{1}{3}$ . Kita ingin menemukan blok pecahan yang sama yang dapat digunakan untuk mencocokkan keduanya, yaitu $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3}$ , secara tepat.

Jika kita mencoba keping $\frac{1}{4}$ , $2$ keping tersebut tepat menutupi keping $\frac{1}{2}$ , tetapi tidak tepat menutupi keping $\frac{1}{3}$ .

Dua persegi panjang ditampilkan berdampingan. Persegi panjang pertama berlabel 1/2. Persegi panjang kedua lebih pendek dan berlabel 1/3. Di bawah persegi panjang pertama terdapat persegi panjang berukuran sama yang dibagi vertikal menjadi dua keping, masing-masing berlabel 1/4. Di bawah persegi panjang kedua terdapat dua keping yang masing-masing berlabel 1/4. Kedua keping tersebut jika digabungkan lebih panjang daripada persegi panjang berlabel 1/3.

Jika kita mencoba keping $\frac{1}{5}$ , keping-keping tersebut tidak tepat menutupi keping $\frac{1}{2}$ maupun keping $\frac{1}{3}$ .

Dua persegi panjang ditampilkan berdampingan. Persegi panjang pertama berlabel 1/2 dan persegi panjang kedua yang lebih pendek berlabel 1/3. Di bawah persegi panjang pertama terdapat tiga keping yang masing-masing berlabel 1/5; jika digabungkan, ketiganya lebih panjang daripada persegi panjang 1/2. Di bawah persegi panjang kedua terdapat dua keping yang masing-masing berlabel 1/5; jika digabungkan, keduanya lebih panjang daripada persegi panjang 1/3.

Jika kita mencoba keping $\frac{1}{6}$ , tampak bahwa tepat $3$ keping menutupi keping $\frac{1}{2}$ dan tepat $2$ keping menutupi keping $\frac{1}{3}$ .

Jika kita mencoba keping $\frac{1}{12}$ , keping-keping itu juga dapat digunakan.

Keping yang lebih kecil lagi, seperti $\frac{1}{24}$ dan $\frac{1}{48},$ juga akan tepat menutupi keping $\frac{1}{2}$ dan keping $\frac{1}{3}$ .

Penyebut keping terbesar yang menutupi kedua pecahan tersebut adalah penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari kedua pecahan. Jadi, penyebut persekutuan terkecil dari $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3}$ adalah $6 .$

Perhatikan bahwa semua keping yang menutupi $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3}$ memiliki kesamaan: penyebutnya merupakan kelipatan persekutuan dari $2$ dan $3,$ yaitu penyebut dari $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3} .$ Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari kedua penyebut adalah $6,$ sehingga kita mengatakan bahwa $6$ adalah penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari pecahan $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{3} .$

Untuk menentukan PPK dari dua pecahan, kita akan menentukan KPK dari penyebutnya. Kita mengikuti prosedur yang sebelumnya digunakan untuk menentukan KPK dari dua bilangan. Saat menentukan PPK, kita hanya menggunakan penyebut pecahan, bukan pembilangnya.

Tentukan PPK dari pecahan $\frac{7}{12}$ dan $\frac{5}{18} .$

Solusi

Penyelesaian

Faktorkan setiap penyebut menjadi faktor-faktor primanya.
Tuliskan faktor-faktor prima 12 dan 18 serta sejajarkan faktor yang sama dalam kolom jika memungkinkan.
Turunkan setiap kolom.
Kalikan faktor-faktornya. Hasil kalinya adalah KPK.	KPK $= 36$
KPK dari 12 dan 18 adalah 36, sehingga PPK dari $\frac{7}{12}$ dan $\frac{5}{18}$ adalah 36.	PPK dari $\frac{7}{12}$ dan $\frac{5}{18}$ adalah 36.

Untuk menentukan PPK dari dua pecahan, tentukan KPK dari penyebutnya. Perhatikan bahwa langkah-langkah di bawah ini mirip dengan langkah yang kita gunakan untuk menentukan KPK.

Tentukan PPK dari pecahan $\frac{8}{15}$ dan $\frac{11}{24} .$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan PPK, kita menentukan KPK dari penyebutnya.

Tentukan KPK dari $15$ dan $24 .$

Baris teratas menunjukkan 15 sama dengan 3 kali 5. Baris berikutnya menunjukkan 24 sama dengan 2 kali 2 kali 2 kali 3. Kedua faktor 3 disejajarkan secara vertikal. Baris berikutnya menunjukkan PPK sama dengan 2 kali 2 kali 2 kali 3 kali 5. Baris terakhir menunjukkan PPK sama dengan 120.

KPK dari $15$ dan $24$ adalah $120 .$ Jadi, PPK dari $\frac{8}{15}$ dan $\frac{11}{24}$ adalah $120 .$

Mengubah Pecahan Menjadi Pecahan Senilai dengan PPK

Sebelumnya, kita menggunakan blok pecahan untuk melihat bahwa PPK dari $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{6}$ adalah $12 .$ Kita melihat bahwa tiga keping $\frac{1}{12}$ tepat menutupi $\frac{1}{4}$ dan dua keping $\frac{1}{12}$ tepat menutupi $\frac{1}{6},$ sehingga

\frac{1}{4} = \frac{3}{12} dan \frac{1}{6} = \frac{2}{12} .

Di sebelah kiri terdapat persegi panjang berlabel 1/4. Di bawahnya terdapat persegi panjang identik yang dibagi vertikal menjadi 3 bagian sama besar, masing-masing berlabel 1/12. Di sebelah kanan terdapat persegi panjang berlabel 1/6. Di bawahnya terdapat persegi panjang identik yang dibagi vertikal menjadi 2 bagian sama besar, masing-masing berlabel 1/12.

Kita mengatakan bahwa $\frac{1}{4}$ dan $\frac{3}{12}$ merupakan pecahan senilai, dan bahwa $\frac{1}{6}$ dan $\frac{2}{12}$ juga merupakan pecahan senilai.

Kita dapat menggunakan Sifat Pecahan Senilai untuk mengubah suatu pecahan secara aljabar menjadi pecahan yang senilai. Ingatlah bahwa dua pecahan senilai jika nilainya sama. Sifat Pecahan Senilai diulangi di bawah ini sebagai acuan.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan berpenyebut berbeda, mula-mula kita harus mengubah setiap pecahan menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya. Mari kita lihat cara mengubah $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{6}$ menjadi pecahan senilai berpenyebut $12$ tanpa menggunakan model.

Ubah $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{6}$ menjadi pecahan senilai dengan penyebut $12,$ yaitu PPK keduanya.

Solusi

Penyelesaian

Tentukan PPK.	PPK dari $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{6}$ adalah 12.
Tentukan bilangan yang harus dikalikan dengan 4 agar menghasilkan 12.
Tentukan bilangan yang harus dikalikan dengan 6 agar menghasilkan 12.
Gunakan Sifat Pecahan Senilai untuk mengubah setiap pecahan menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya; kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan bilangan yang sama.
Sederhanakan pembilang dan penyebutnya.

Kita tidak menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika disederhanakan, pecahan itu akan kembali menjadi pecahan semula dan kehilangan penyebut yang sama.

Ubah $\frac{8}{15}$ dan $\frac{11}{24}$ menjadi pecahan senilai dengan penyebut $120,$ yaitu PPK keduanya.

Solusi

Penyelesaian

	PPK adalah 120. Kita akan mulai dari Langkah 2.
Tentukan bilangan yang harus dikalikan dengan 15 agar menghasilkan 120.
Tentukan bilangan yang harus dikalikan dengan 24 agar menghasilkan 120.
Gunakan Sifat Pecahan Senilai.
Sederhanakan pembilang dan penyebutnya.

Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Berbeda

Setelah mengubah dua pecahan menjadi bentuk senilai yang berpenyebut sama, kita dapat menjumlahkan atau mengurangkannya dengan menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

Jumlahkan: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Tentukan PPK dari 2 dan 3.
Ubah menjadi pecahan senilai dengan PPK 6.
Sederhanakan pembilang dan penyebutnya.	$\frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
Jumlahkan.	$\frac{5}{6}$

Ingatlah untuk selalu memeriksa apakah jawaban dapat disederhanakan. Karena $5$ dan $6$ tidak memiliki faktor persekutuan selain 1, pecahan $\frac{5}{6}$ tidak dapat disederhanakan lagi.

Kurangkan: $\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4}) .$

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4})$
Tentukan PPK dari 2 dan 4.
Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK 4.
Sederhanakan pecahan pertama.	$\frac{2}{4} - (- \frac{1}{4})$
Kurangkan.	$\frac{2 - (−1)}{4}$
Sederhanakan.	$\frac{3}{4}$

Salah satu pecahan sudah memiliki penyebut persekutuan terkecil, sehingga kita hanya perlu mengubah pecahan yang lain.

Jumlahkan: $\frac{7}{12} + \frac{5}{18} .$

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{7}{12} + \frac{5}{18}$
Tentukan PPK dari 12 dan 18.
Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK.
Sederhanakan pembilang dan penyebutnya.	$\frac{21}{36} + \frac{10}{36}$
Jumlahkan.	$\frac{31}{36}$

Karena $31$ adalah bilangan prima, bilangan tersebut tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 dengan $36 .$ Jawabannya sudah dalam bentuk paling sederhana.

Ketika menggunakan Sifat Pecahan Senilai, ada cara cepat untuk menentukan bilangan pengali yang diperlukan agar memperoleh PPK. Tuliskan faktor-faktor penyebut dan PPK seperti ketika Anda menentukan PPK. Faktor yang “hilang” dari setiap penyebut adalah bilangan yang Anda perlukan.

Baris pertama menunjukkan 12 sama dengan 2 kali 2 kali 3, dengan ruang kosong di samping faktor 3. Baris berikutnya menunjukkan 18 sama dengan 2 kali 3 kali 3, dengan ruang kosong di antara faktor 2 dan faktor 3 pertama. Garis merah dari ruang kosong menunjuk pada label faktor yang hilang. Di bawah garis horizontal tertulis PPK sama dengan 2 kali 2 kali 3 kali 3, lalu PPK sama dengan 36.

PPK, yaitu $36,$ memiliki $2$ faktor $2$ dan $2$ faktor $3 .$

Dua belas memiliki dua faktor $2,$ tetapi hanya satu faktor $3$ —jadi, bilangan itu “kehilangan” satu faktor $3 .$ Kita mengalikan pembilang dan penyebut $\frac{7}{12}$ dengan $3$ untuk memperoleh pecahan senilai berpenyebut $36 .$

Delapan belas kehilangan satu faktor $2$ —jadi, kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{5}{18}$ dengan $2$ untuk memperoleh pecahan senilai berpenyebut $36 .$ Kita akan menerapkan metode ini ketika mengurangkan pecahan pada contoh berikutnya.

Kurangkan: $\frac{7}{15} - \frac{19}{24} .$

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{7}{15} - \frac{19}{24}$
Tentukan PPK. 15 kehilangan tiga faktor 2 24 kehilangan satu faktor 5
Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK.
Sederhanakan setiap pembilang dan penyebut.	$\frac{56}{120} - \frac{95}{120}$
Kurangkan.	$- \frac{39}{120}$
Tulis ulang dengan menunjukkan faktor persekutuan 3.	$- \frac{13 \cdot 3}{40 \cdot 3}$
Hilangkan faktor persekutuan untuk menyederhanakan.	$- \frac{13}{40}$

Jumlahkan: $- \frac{11}{30} + \frac{23}{42} .$

Solusi

Penyelesaian

	$- \frac{11}{30} + \frac{23}{42}$
Tentukan PPK.
Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK.
Sederhanakan setiap pembilang dan penyebut.	$- \frac{77}{210} + \frac{115}{210}$
Jumlahkan.	$\frac{38}{210}$
Tulis ulang dengan menunjukkan faktor persekutuan 2.	$\frac{19 \cdot 2}{105 \cdot 2}$
Hilangkan faktor persekutuan untuk menyederhanakan.	$\frac{19}{105}$

Pada contoh berikutnya, salah satu pecahan memiliki variabel pada pembilangnya. Kita mengikuti langkah-langkah yang sama seperti ketika kedua pembilang berupa bilangan.

Jumlahkan: $\frac{3}{5} + \frac{x}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Kedua pecahan memiliki penyebut yang berbeda.

	$\frac{3}{5} + \frac{x}{8}$
Tentukan PPK.
Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK.
Sederhanakan pembilang dan penyebutnya.	$\frac{24}{40} + \frac{5 x}{40}$
Jumlahkan.	$\frac{24 + 5 x}{40}$

Kita tidak dapat menjumlahkan $24$ dan $5 x$ karena keduanya bukan suku sejenis, sehingga bentuk tersebut tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.

Mengidentifikasi dan Menggunakan Operasi Pecahan

Sejauh ini, Anda telah berlatih mengalikan, membagi, menjumlahkan, dan mengurangkan pecahan. Tabel berikut merangkum keempat operasi pecahan tersebut. Ingat: Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, Anda memerlukan penyebut yang sama, tetapi tidak untuk mengalikan atau membagi pecahan.

Sederhanakan:

ⓐ $- \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ $- \frac{1}{4} \div \frac{1}{6}$

Solusi

Penyelesaian

Pertama-tama, kita bertanya, “Operasi apa yang digunakan?”

ⓐ Operasinya adalah penjumlahan.

Apakah penyebut kedua pecahan sama? Tidak.

	$- \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
Tentukan PPK.
Tulis ulang setiap pecahan sebagai pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.
Sederhanakan pembilang dan penyebut.	$- \frac{3}{12} + \frac{2}{12}$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$- \frac{1}{12}$
Periksa apakah jawaban dapat disederhanakan. Jawaban tersebut tidak dapat disederhanakan.

ⓑ Operasinya adalah pembagian. Kita tidak memerlukan penyebut yang sama.

Langkah-langkah membagi pecahan dengan mengubah pembagian menjadi perkalian dengan kebalikan, lalu menyederhanakan hasilnya.
	$- \frac{1}{4} \div \frac{1}{6}$
Untuk membagi pecahan, kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.	$- \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{1}$
Kalikan.	$- \frac{6}{4}$
Sederhanakan.	$- \frac{3}{2}$

Sederhanakan:

ⓐ $\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}$
ⓑ $\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Operasinya adalah pengurangan. Kedua pecahan tidak memiliki penyebut yang sama.

Langkah-langkah mengurangkan pecahan aljabar dengan menentukan PPK.
	$\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}$
Tulis ulang setiap pecahan sebagai pecahan senilai dengan PPK 30 sebagai penyebutnya.	$\frac{5 x \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3}$
	$\frac{25 x}{30} - \frac{9}{30}$
Kurangkan pembilangnya dan tempatkan selisihnya di atas penyebut yang sama.	$\frac{25 x - 9}{30}$

ⓑ Operasinya adalah perkalian; penyebut yang sama tidak diperlukan.

Contoh langkah demi langkah untuk mengalikan dan menyederhanakan pecahan aljabar.
	$\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}$
Untuk mengalikan pecahan, kalikan pembilang kedua pecahan dan kalikan penyebut kedua pecahan.	$\frac{5 x \cdot 3}{6 \cdot 10}$
Tulis ulang dengan menampilkan faktor persekutuan.	$\frac{5 \cdot x \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5}$
Hilangkan faktor persekutuan untuk menyederhanakan.	$\frac{x}{4}$

Menggunakan Urutan Operasi Hitung untuk Menyederhanakan Pecahan Kompleks

Dalam Mengalikan dan Membagi Pecahan Campuran dan Pecahan Kompleks, kita telah melihat bahwa pecahan kompleks adalah pecahan yang pembilang atau penyebutnya memuat pecahan. Kita menyederhanakan pecahan kompleks dengan menulisnya ulang sebagai soal pembagian. Sebagai contoh,

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{8}

Sekarang kita akan membahas pecahan kompleks yang pembilang atau penyebutnya dapat disederhanakan. Sesuai urutan operasi hitung, kita menyederhanakan pembilang dan penyebut secara terpisah terlebih dahulu. Kemudian, kita membagi pembilang dengan penyebut.

Sederhanakan: $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk bentuk (1/2)^2/(4 + 3^2), beserta setiap perubahan matematis hingga hasil akhir 1/52.
	$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}}$
Sederhanakan pembilang.	$\frac{\frac{1}{4}}{4 + 3^{2}}$
Sederhanakan suku berpangkat pada penyebut.	$\frac{\frac{1}{4}}{4 + 9}$
Jumlahkan suku-suku pada penyebut.	$\frac{\frac{1}{4}}{13}$
Bagi pembilang dengan penyebut.	$\frac{1}{4} \div 13$
Tulis ulang sebagai perkalian dengan kebalikan.	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13}$
Kalikan.	$\frac{1}{52}$

Sederhanakan: $\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyelesaian langkah demi langkah untuk menyederhanakan pecahan kompleks, beserta setiap operasi dan bentuk matematikanya.
	$\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}$
Tulis ulang pembilang dengan PPK 6 dan penyebut dengan PPK 12.	$\frac{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}}{\frac{9}{12} - \frac{2}{12}}$
Jumlahkan pada pembilang. Kurangkan pada penyebut.	$\frac{\frac{7}{6}}{\frac{7}{12}}$
Bagi pembilang dengan penyebut.	$\frac{7}{6} \div \frac{7}{12}$
Tulis ulang sebagai perkalian dengan kebalikan.	$\frac{7}{6} \cdot \frac{12}{7}$
Tulis ulang dengan menampilkan faktor persekutuan.	$\frac{7 \cdot 6 \cdot 2}{6 \cdot 7 \cdot 1}$
Sederhanakan.	2

Menghitung Nilai Bentuk Aljabar dengan Pecahan

Kita telah menghitung nilai bentuk aljabar sebelumnya, dan sekarang kita juga dapat menghitung nilai bentuk aljabar yang memuat pecahan. Ingatlah bahwa untuk menghitung nilai suatu bentuk, kita mengganti variabel dengan nilainya, kemudian menyederhanakannya.

Hitung nilai

x + \frac{1}{3}

jika

ⓐ $x = - \frac{1}{3}$
ⓑ $x = - \frac{3}{4} .$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Untuk menghitung nilai $x + \frac{1}{3}$ jika $x = - \frac{1}{3},$ gunakan $- \frac{1}{3}$ sebagai pengganti $x$ dalam bentuk tersebut.

	$x + \frac{1}{3}$

Sederhanakan.	$0$

ⓑ Untuk menghitung nilai $x + \frac{1}{3}$ jika $x = - \frac{3}{4},$ kita menggunakan $- \frac{3}{4}$ sebagai pengganti $x$ dalam bentuk tersebut.

	$x + \frac{1}{3}$

Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK 12 sebagai penyebutnya.	$- \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}$
Sederhanakan pembilang dan penyebut.	$- \frac{9}{12} + \frac{4}{12}$
Jumlahkan.	$- \frac{5}{12}$

Hitung nilai $y - \frac{5}{6}$ jika $y = - \frac{2}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita menggunakan $- \frac{2}{3}$ sebagai pengganti $y$ dalam bentuk tersebut.

	$y - \frac{5}{6}$

Tulis ulang sebagai pecahan senilai dengan PPK 6 sebagai penyebutnya.	$- \frac{4}{6} - \frac{5}{6}$
Kurangkan.	$- \frac{9}{6}$
Sederhanakan.	$- \frac{3}{2}$

Hitung nilai $2 x^{2} y$ jika $x = \frac{1}{4}$ dan $y = - \frac{2}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Gantikan variabel dengan nilai-nilainya dalam bentuk tersebut. Dalam bentuk $2 x^{2} y,$ pangkat hanya berlaku untuk $x .$



Sederhanakan pangkat terlebih dahulu.
Kalikan. Hasil kalinya akan negatif.
Sederhanakan.
Hilangkan faktor persekutuan.
Sederhanakan.

Hitung nilai $\frac{p + q}{r}$ jika $p = −4, q = −2,$ dan $r = 8 .$

Solusi

Penyelesaian

Kita mengganti variabel dengan nilainya dalam bentuk tersebut, lalu menyederhanakannya.

	$\frac{p + q}{r}$

Jumlahkan pembilang terlebih dahulu.	$- \frac{6}{8}$
Sederhanakan.	$- \frac{3}{4}$

Konsep Kunci

Menentukan penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari dua pecahan.
1. Faktorkan setiap penyebut menjadi faktor-faktor primanya.
2. Susun faktor-faktor prima dalam daftar dan sejajarkan faktor yang sama dalam kolom jika memungkinkan.
3. Turunkan faktor-faktor pada setiap kolom.
4. Kalikan faktor-faktor tersebut. Hasil kalinya adalah KPK dari penyebut-penyebut itu.
5. KPK dari penyebut-penyebut tersebut adalah PPK pecahan-pecahan itu.
Sifat Pecahan Senilai
- Jika $a, b$ , dan $c$ adalah bilangan cacah dengan $b \neq 0$ , $c \neq 0$ , maka
  $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ dan $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$
Mengubah dua pecahan menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.
1. Tentukan PPK.
2. Untuk setiap pecahan, tentukan bilangan yang harus dikalikan dengan penyebut agar menghasilkan PPK.
3. Gunakan Sifat Pecahan Senilai untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan dari Langkah 2.
4. Sederhanakan pembilang dan penyebut.
Menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda.
1. Tentukan PPK.
2. Ubah setiap pecahan menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.
3. Jumlahkan atau kurangkan pecahan-pecahan tersebut.
4. Tulis hasilnya dalam bentuk paling sederhana.
Ringkasan Operasi Pecahan
- Perkalian pecahan: Kalikan pembilang kedua pecahan dan kalikan penyebut kedua pecahan.
  $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$
- Pembagian pecahan: Kalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.
  $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
- Penjumlahan pecahan: Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, ubah terlebih dahulu keduanya menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.
  $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
- Pengurangan pecahan: Kurangkan pembilangnya dan tempatkan selisihnya di atas penyebut yang sama. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, ubah terlebih dahulu keduanya menjadi pecahan senilai dengan PPK sebagai penyebutnya.
  $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
Menyederhanakan pecahan kompleks.
1. Sederhanakan pembilang.
2. Sederhanakan penyebut.
3. Bagi pembilang dengan penyebut.
4. Sederhanakan jika mungkin.

Latihan Membentuk Kemahiran

Menentukan Penyebut Persekutuan Terkecil (PPK)

Dalam latihan berikut, tentukan penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari setiap kelompok pecahan.

$\frac{2}{3}$ dan $\frac{3}{4}$

$\frac{3}{4}$ dan $\frac{2}{5}$

Solusi

$\frac{7}{12}$ dan $\frac{5}{8}$

$\frac{9}{16}$ dan $\frac{7}{12}$

Solusi

$\frac{13}{30}$ dan $\frac{25}{42}$

$\frac{23}{30}$ dan $\frac{5}{48}$

Solusi

240

$\frac{21}{35}$ dan $\frac{39}{56}$

$\frac{18}{35}$ dan $\frac{33}{49}$

Solusi

245

$\frac{2}{3}, \frac{1}{6},$ dan $\frac{3}{4}$

$\frac{2}{3}, \frac{1}{4},$ dan $\frac{3}{5}$

Solusi

Mengubah Pecahan Menjadi Pecahan Senilai dengan PPK

Dalam latihan berikut, ubahlah pecahan yang diberikan menjadi pecahan senilai dengan menggunakan PPK.

$\frac{1}{3}$ dan $\frac{1}{4},$ PPK $= 12$

$\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{5},$ PPK $= 20$

Solusi

$\frac{5}{20}, \frac{4}{20}$

$\frac{5}{12}$ dan $\frac{7}{8},$ PPK $= 24$

$\frac{7}{12}$ dan $\frac{5}{8},$ PPK $= 24$

Solusi

$\frac{14}{24}, \frac{15}{24}$

$\frac{13}{16}$ dan $- \frac{11}{12},$ PPK $= 48$

$\frac{11}{16}$ dan $- \frac{5}{12},$ PPK $= 48$

Solusi

$\frac{33}{48}, - \frac{20}{48}$

$\frac{1}{3}, \frac{5}{6},$ dan $\frac{3}{4},$ PPK $= 12$

$\frac{1}{3}, \frac{3}{4},$ dan $\frac{3}{5},$ PPK $= 60$

Solusi

$\frac{20}{60}, \frac{45}{60}, \frac{36}{60}$

Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Berbeda

Dalam latihan berikut, jumlahkan atau kurangkan. Tulislah hasilnya dalam bentuk paling sederhana.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5}$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Solusi

$\frac{9}{20}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{7}$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{8}$

Solusi

$\frac{11}{24}$

$\frac{1}{3} - (- \frac{1}{9})$

$\frac{1}{4} - (- \frac{1}{8})$

Solusi

$\frac{3}{8}$

$\frac{1}{5} - (- \frac{1}{10})$

$\frac{1}{2} - (- \frac{1}{6})$

Solusi

$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$

Solusi

$\frac{23}{20}$

$\frac{7}{12} + \frac{5}{8}$

$\frac{5}{12} + \frac{3}{8}$

Solusi

$\frac{19}{24}$

$\frac{7}{12} - \frac{9}{16}$

$\frac{7}{16} - \frac{5}{12}$

Solusi

$\frac{1}{48}$

$\frac{11}{12} - \frac{3}{8}$

$\frac{5}{8} - \frac{7}{12}$

Solusi

$\frac{1}{24}$

$\frac{2}{3} - \frac{3}{8}$

$\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{1}{12}$

$- \frac{11}{30} + \frac{27}{40}$

$- \frac{9}{20} + \frac{17}{30}$

Solusi

$\frac{7}{60}$

$- \frac{13}{30} + \frac{25}{42}$

$- \frac{23}{30} + \frac{5}{48}$

Solusi

$- \frac{53}{80}$

$- \frac{39}{56} - \frac{22}{35}$

$- \frac{33}{49} - \frac{18}{35}$

Solusi

$- \frac{291}{245}$

$- \frac{2}{3} - (- \frac{3}{4})$

$- \frac{3}{4} - (- \frac{4}{5})$

Solusi

$\frac{1}{20}$

$- \frac{9}{16} - (- \frac{4}{5})$

$- \frac{7}{20} - (- \frac{5}{8})$

Solusi

$\frac{11}{40}$

$1 + \frac{7}{8}$

$1 + \frac{5}{6}$

Solusi

$\frac{11}{6}$

$1 - \frac{5}{9}$

$1 - \frac{3}{10}$

Solusi

$\frac{7}{10}$

$\frac{x}{3} + \frac{1}{4}$

$\frac{y}{2} + \frac{2}{3}$

Solusi

$\frac{3 y + 4}{6}$

$\frac{y}{4} - \frac{3}{5}$

$\frac{x}{5} - \frac{1}{4}$

Solusi

$\frac{4 x - 5}{20}$

Mengidentifikasi dan Menggunakan Operasi Pecahan

Dalam latihan berikut, lakukan operasi yang ditunjukkan. Tulislah jawaban Anda dalam bentuk paling sederhana.

ⓐ $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{3}{4} \div \frac{1}{6}$

ⓐ $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}$

Solusi

ⓐ $\frac{5}{6}$
ⓑ $4$

ⓐ $- \frac{2}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8}$

ⓐ $- \frac{4}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Solusi

ⓐ $- \frac{37}{40}$
ⓑ $- \frac{1}{10}$

ⓐ $\frac{5 n}{6} \div \frac{8}{15}$
ⓑ $\frac{5 n}{6} - \frac{8}{15}$

ⓐ $\frac{3 a}{8} \div \frac{7}{12}$
ⓑ $\frac{3 a}{8} - \frac{7}{12}$

Solusi

ⓐ $\frac{9 a}{14}$
ⓑ $\frac{9 a - 14}{24}$

ⓐ $\frac{9}{10} \cdot (- \frac{11 d}{12})$
ⓑ $\frac{9}{10} + (- \frac{11 d}{12})$

ⓐ $\frac{4}{15} \cdot (- \frac{5 q}{9})$
ⓑ $\frac{4}{15} + (- \frac{5 q}{9})$

Solusi

ⓐ $- \frac{4 q}{27}$
ⓑ $\frac{12 - 25 q}{45}$

$- \frac{3}{8} \div (- \frac{3}{10})$

$- \frac{5}{12} \div (- \frac{5}{9})$

Solusi

$\frac{3}{4}$

$- \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$

$- \frac{1}{8} + \frac{7}{12}$

Solusi

$\frac{11}{24}$

$\frac{5}{6} - \frac{1}{9}$

$\frac{5}{9} - \frac{1}{6}$

Solusi

$\frac{7}{18}$

$\frac{3}{8} \cdot (- \frac{10}{21})$

$\frac{7}{12} \cdot (- \frac{8}{35})$

Solusi

$- \frac{2}{15}$

$- \frac{7}{15} - \frac{y}{4}$

$- \frac{3}{8} - \frac{x}{11}$

Solusi

$\frac{−33 - 8 x}{88}$

$\frac{11}{12 a} \cdot \frac{9 a}{16}$

$\frac{10 y}{13} \cdot \frac{8}{15 y}$

Solusi

$\frac{16}{39}$

Menggunakan Urutan Operasi Hitung untuk Menyederhanakan Pecahan Kompleks

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$\frac{{(\frac{1}{5})}^{2}}{2 + 3^{2}}$

$\frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{5 + 2^{2}}$

Solusi

$\frac{1}{81}$

$\frac{2^{3} + 4^{2}}{{(\frac{2}{3})}^{2}}$

$\frac{3^{3} - 3^{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Solusi

$\frac{{(\frac{3}{5})}^{2}}{{(\frac{3}{7})}^{2}}$

$\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{8})}^{2}}$

Solusi

$\frac{36}{25}$

$\frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}$

$\frac{5}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

Solusi

$\frac{60}{7}$

$\frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}}$

$\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{5}{6} - \frac{2}{3}}$

Solusi

$\frac{15}{2}$

$\frac{\frac{7}{8} - \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{8}}$

$\frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{5}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{5}}$

Solusi

$\frac{3}{13}$

Latihan Campuran

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{12}$

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{19}{30}$

$1 - \frac{3}{5} \div \frac{1}{10}$

$1 - \frac{5}{6} \div \frac{1}{12}$

Solusi

−9

$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5}$

Solusi

$\frac{91}{60}$

$\frac{3}{8} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$

$\frac{2}{5} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4}$

Solusi

$\frac{11}{40}$

$12 (\frac{9}{20} - \frac{4}{15})$

$8 (\frac{15}{16} - \frac{5}{6})$

Solusi

$\frac{5}{6}$

$\frac{\frac{5}{8} + \frac{1}{6}}{\frac{19}{24}}$

$\frac{\frac{1}{6} + \frac{3}{10}}{\frac{14}{30}}$

Solusi

$(\frac{5}{9} + \frac{1}{6}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})$

$(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \div (\frac{5}{8} - \frac{1}{3})$

Solusi

$\frac{22}{7}$

Dalam latihan berikut, hitung nilai bentuk yang diberikan. Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk paling sederhana dengan menggunakan pecahan tidak sejati jika diperlukan.

x + \frac{1}{2}

jika

ⓐ $x = - \frac{1}{8}$
ⓑ $x = - \frac{1}{2}$

x + \frac{2}{3}

jika

ⓐ $x = - \frac{1}{6}$
ⓑ $x = - \frac{5}{3}$

Solusi

ⓐ $\frac{1}{2}$
ⓑ $−1$

x + (- \frac{5}{6})

jika

ⓐ $x = \frac{1}{3}$
ⓑ $x = - \frac{1}{6}$

x + (- \frac{11}{12})

jika

ⓐ $x = \frac{11}{12}$
ⓑ $x = \frac{3}{4}$

Solusi

ⓐ $0$
ⓑ $- \frac{1}{6}$

x - \frac{2}{5}

jika

ⓐ $x = \frac{3}{5}$
ⓑ $x = - \frac{3}{5}$

x - \frac{1}{3}

jika

ⓐ $x = \frac{2}{3}$
ⓑ $x = - \frac{2}{3}$

Solusi

ⓐ $\frac{1}{3}$
ⓑ $−1$

\frac{7}{10} - w

jika

ⓐ $w = \frac{1}{2}$
ⓑ $w = - \frac{1}{2}$

\frac{5}{12} - w

jika

ⓐ $w = \frac{1}{4}$
ⓑ $w = - \frac{1}{4}$

Solusi

ⓐ $\frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{2}{3}$

$4 p^{2} q$ jika $p = - \frac{1}{2}$ dan $q = \frac{5}{9}$

$5 m^{2} n$ jika $m = - \frac{2}{5}$ dan $n = \frac{1}{3}$

Solusi

$\frac{4}{15}$

$2 x^{2} y^{3}$ jika $x = - \frac{2}{3}$ dan $y = - \frac{1}{2}$

$8 u^{2} v^{3}$ jika $u = - \frac{3}{4}$ dan $v = - \frac{1}{2}$

Solusi

$- \frac{9}{16}$

$\frac{u + v}{w}$ jika $u = −4, v = −8, w = 2$

$\frac{m + n}{p}$ jika $m = −6, n = −2, p = 4$

Solusi

−2

$\frac{a + b}{a - b}$ jika $a = −3, b = 8$

$\frac{r - s}{r + s}$ jika $r = 10, s = −5$

Solusi

Matematika Sehari-hari

Menghias Laronda sedang membuat sarung untuk bantal-bantal hias di sofanya. Untuk setiap sarung bantal, ia memerlukan $\frac{3}{16}$ yard kain bermotif dan $\frac{3}{8}$ yard kain polos. Berapa yard kain seluruhnya yang diperlukan Laronda untuk setiap sarung bantal?

Membuat Kue Vanessa sedang membuat kukis keping cokelat dan kukis havermut. Ia memerlukan $1 \frac{1}{4}$ cangkir gula untuk kukis keping cokelat dan $1 \frac{1}{8}$ cangkir untuk kukis havermut. Berapa cangkir gula yang diperlukannya seluruhnya?

Solusi

Ia memerlukan $2 \frac{3}{8}$ cangkir.

Latihan Menulis

Jelaskan mengapa pecahan harus memiliki penyebut sama agar dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jelaskan cara menentukan PPK dari dua pecahan.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

ⓑ Setelah melihat daftar periksa, menurut Anda apakah Anda telah siap untuk bagian berikutnya? Mengapa atau mengapa tidak?

penyebut persekutuan terkecil (PPK)

Penyebut persekutuan terkecil (PPK) dari dua pecahan adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya.