O006-C140-CMP-SIM005 · id-ID · CC BY-SA 4.0 · OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra

Pertanyaan dan kontrak reproduksi

Laboratorium ini menguji tiga klaim yang harus dipisahkan:

di bawah model Gaussian homoskedastik, selang $$t$$ eksak untuk kemiringan mempunyai cakupan mendekati 0,95;
di bawah rataan linear tetapi varians galat yang berubah menurut desain, OLS tetap hampir tak bias, sementara galat baku klasik dapat keliru;
satu titik dengan leverage tinggi dapat mengubah kemiringan dalam jumlah yang berarti, meskipun sisaan mentahnya tidak tampak ekstrem.

Generator kanonis adalah simulations/run_c2_simulations.py. Lingkungan terkunci pada Python 3.13.9, NumPy 2.4.4, PCG64, benih acak 2026082805, dan 12.000 replikasi. Generator tidak memakai jaringan atau peramban, mencakup pemeriksaan numerik, dan menghasilkan CSV/SVG statis yang dapat dihasilkan ulang secara identik, byte demi byte.

Desain tetap dan penduga

Dalam eksperimen cakupan, $$n=80$$ dan $$p=3$$ . Matriks desain memuat intersep, kisi $$x$$ dari $$-2$$ sampai $$2$$ , serta satu prediktor sinus yang distandardisasi. Peringkat $$X$$ adalah tiga dan derajat bebas sisaan adalah 77. Parameter sebenarnya adalah

\beta=(1,\ 0{,}8,\ -0{,}5)^\mathsf T.

Pada setiap replikasi dihitung

\widehat\beta=(X^\mathsf TX)^{-1}X^\mathsf TY, \qquad s^2=\frac{\|Y-X\widehat\beta\|^2}{77}.

Skenario eksak memakai $\varepsilon_i\stackrel{\mathrm{iid}}\sim N(0,1)$ dan selang

\widehat\beta_1\pm t_{77;0{,}975}\, s\sqrt{[(X^\mathsf TX)^{-1}]_{22}}.

Skenario heteroskedastik mempertahankan rata-rata yang sama, tetapi memakai

\operatorname{sd}(\varepsilon_i) =0{,}35+1{,}65\left(\frac{|x_i|}{2}\right)^2.

Dalam skenario ini, selang klasik dibandingkan dengan selang asimtotik berbasis hampiran normal yang memakai kovarians HC3 dari Kovarians OLS di bawah kovarians galat umum.

Hasil cakupan

Cakupan koefisien kemiringan pada 12.000 replikasi
Skenario	Bias	SD empiris	Rataan galat baku	Cakupan 95%
Gaussian, selang t eksak	0,00036	0,09554	0,09515	0,94792
Heteroskedastik, SE klasik	−0,00064	0,13953	0,09913	0,83958
Heteroskedastik, HC3	−0,00064	0,13953	0,13860	0,94317

Hasil pertama memverifikasi hasil eksak pada Inferensi Gaussian eksak: proyeksi, t, F, ANOVA, dan prediksi: cakupan 0,94792 konsisten dengan fluktuasi Monte Carlo di sekitar 0,95. Pada skenario heteroskedastik, bias OLS tetap sangat kecil, sesuai Kovarians OLS di bawah kovarians galat umum, tetapi galat baku klasik 0,09913 jauh di bawah SD empiris 0,13953. Cakupan turun menjadi 0,83958. HC3 memberi rataan SE 0,13860 dan memulihkan cakupan menjadi 0,94317.

Ini bukan bukti bahwa HC3 selalu benar. Eksperimen hanya menguji desain dan kelas galat tertentu; ia tidak mencakup salah spesifikasi fungsi rataan, dependensi, atau nilai leverage yang tidak terkendali.

Diagram batang cakupan tiga selang: Gaussian eksak sekitar 0,948, heteroskedastik dengan galat baku klasik sekitar 0,840, dan heteroskedastik dengan HC3 sekitar 0,943; garis putus-putus menunjukkan sasaran 0,95. — Cakupan empiris dibanding sasaran nominal 0,95.

Data lengkap: CSV cakupan.

Titik berpengaruh

Eksperimen kedua membangun 40 titik desain moderat, lalu menambahkan satu titik dengan $$x=6$$ dan respons yang ditetapkan tujuh unit di atas rataan model. Untuk titik tambahan itu diperoleh:

leverage $h_{ii}=0{,}89317$ ;
sisaan mentah $e_i=0{,}48223$ ;
jarak Cook $D_i=105{,}90367$ ;
kemiringan dengan titik tersebut: $$1{,}72771$$ ;
kemiringan setelah titik dihapus: $$1{,}15449$$ ;
perubahan absolut kemiringan: $$0{,}57322$$ .

Sisaan 0,48 sendiri tidak tampak luar biasa dibanding galat dengan simpangan baku satu. Namun $1-h_{ii}$ hanya sekitar 0,107, sehingga faktor leverage pada jarak Cook sangat besar. Identitas penghapusan satu pengamatan Identitas penghapusan-satu menjelaskan perubahan kemiringan itu. Jarak Cook terbesar di antara 40 titik lain hanya 0,15224.

Data lengkap: CSV pengaruh.

Interpretasi yang diizinkan

Eksperimen menunjukkan bahwa asumsi kovarians menentukan validitas galat baku dan bahwa pengaruh adalah gabungan sisaan serta leverage. Hasil ini bukan alasan otomatis untuk menghapus titik tambahan tersebut. Tindakan yang benar bergantung pada apakah titik itu merupakan kesalahan input data, berasal dari populasi sasaran, atau mengungkap wilayah desain yang memang penting. Laporan yang jujur menyertakan analisis dengan dan tanpa titik, mekanisme data, serta perubahan sasaran inferensi akibat pengecualian titik tersebut.