Metode delta pada titik reguler dan titik dengan turunan nol
Ambil \(\overline X\sim N(\theta,1/n)\), \(n=50\), dan \(g(\theta)=\theta^2\). Metode delta orde pertama memprediksi (\sqrt n{g(\overline X)-g(\theta)}\Rightarrow N(0,4\theta^2)) ketika aproksimasi linearnya tidak berdegenerasi. Konsekuensi dan syaratnya dibahas pada Ekspansi kuadratik lokal fungsi log-kemungkinan, normalitas asimtotik, dan metode delta dan Prosedur Wald, skor, dan rasio fungsi kemungkinan. Pada \(\theta=0\), \(g'(0)=0\); limit dengan penskalaan akar-\(n\) berdegenerasi di nol, sedangkan penskalaan yang informatif adalah \(n\overline X^2\), yang berdistribusi \(\chi^2_1\) dalam contoh ini.
Rancangan yang dapat direproduksi
- Benih generator PCG64:
140002. - Replikasi untuk setiap nilai parameter: 160.000.
- Nilai parameter: \(\theta\in\{0;0{,}2;1\}\).
- Lingkungan komputasi terkunci: Python 3.13.9 dan NumPy 2.4.4.
Pada \(\theta=1\), rasio varians empiris terhadap prediksi metode delta adalah
1,004405. Pada \(\theta=0\), rataan \(n\overline X^2\) adalah 0,996552 dan
kuantil 95%-nya 3,820332, dekat dengan rataan 1 dan kuantil 3,841459 dari
\(\chi^2_1\). Pemeriksaan menilai kedua rezim secara terpisah. Rasio terhadap
prediksi varians metode delta tidak dihitung karena penyebutnya nol; nilainya
dicatat sebagai undefined.
Data tersedia dalam CSV SIM002.
Batas inferensi
Keberhasilan aproksimasi pada \(\theta=1\) tidak mengatasi degenerasi di \(\theta=0\). Sebelum memakai metode delta, selalu evaluasi gradien pada nilai parameter yang relevan; jika gradien nol, tentukan suku Taylor pertama yang tak nol dan laju konvergensi yang tepat alih-alih melaporkan selang berbasis akar-\(n\) yang tampak presisi tetapi tidak informatif.