Eksponen Bilangan Bulat dan Notasi Ilmiah

Menggunakan Definisi Eksponen Negatif

Sifat Hasil Bagi Eksponen, yang diperkenalkan dalam Membagi Monomial, memiliki dua bentuk, bergantung pada apakah eksponen pada pembilang atau penyebut yang lebih besar.

Bagaimana jika kita langsung mengurangkan eksponen, tanpa memedulikan mana yang lebih besar? Mari kita perhatikan $\frac{x^{2}}{x^{5}} .$

Kita mengurangkan eksponen pada penyebut dari eksponen pada pembilang.

\frac{x^{2}}{x^{5}}

x^{2 - 5}

x^{−3}

Kita juga dapat menyederhanakan $\frac{x^{2}}{x^{5}}$ dengan mencoret faktor-faktor persekutuan: $\frac{x^{2}}{x^{5}} .$

Ditampilkan sebuah pecahan. Pembilangnya adalah x kali x, sedangkan penyebutnya adalah x kali x kali x kali x kali x. Dua x pada bagian atas dan bawah dicoret dengan warna merah. Di bawahnya ditampilkan pecahan 1 per x pangkat tiga.

Hal ini menyiratkan bahwa $x^{−3} = \frac{1}{x^{3}}$ dan membawa kita pada definisi eksponen negatif.

Eksponen negatif menunjukkan bahwa kita harus menulis ulang ekspresi dengan mengambil kebalikan dari basisnya, lalu mengubah tanda eksponennya. Ekspresi yang memiliki eksponen negatif belum dianggap berada dalam bentuk paling sederhana. Kita akan menggunakan definisi eksponen negatif dan sifat-sifat eksponen lainnya untuk menulis ekspresi yang hanya memiliki eksponen positif.

Sederhanakan:

ⓐ $4^{−2}$
ⓑ $10^{−3}$

Solusi

Langkah-langkah untuk menyederhanakan ekspresi dengan eksponen negatif, yang memperagakan pengubahan dan perhitungan 4^-2 menjadi 1/16.
ⓐ
	$4^{−2}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{4^{2}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{16}$

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk 10 pangkat -3, yang memperagakan penggunaan definisi eksponen negatif.
ⓑ
	$10^{−3}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{10^{3}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{1000}$

Saat menyederhanakan ekspresi apa pun yang mengandung eksponen, kita harus cermat mengidentifikasi basis yang dipangkatkan oleh setiap eksponen.

Sederhanakan:

ⓐ ${(−3)}^{−2}$
ⓑ ${−3}^{−2}$

Solusi

Tanda negatif pada eksponen tidak memengaruhi tanda basis.

Langkah-langkah untuk menyederhanakan ekspresi dengan eksponen negatif, yang memerinci setiap operasi matematika.
ⓐ
Eksponen diterapkan pada basis $- 3$ .	${(−3)}^{−2}$
Ambil kebalikan dari basis, lalu ubah tanda eksponennya.	$\frac{1}{{(−3)}^{2}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{9}$

Perhitungan langkah demi langkah untuk -3^(-2), yang memperagakan aturan eksponen negatif dan basis.
ⓑ
Ekspresi $- 3^{−2}$ berarti "tentukan lawan dari $3^{−2}$ ". Eksponen hanya diterapkan pada basis 3.	$- 3^{−2}$
Tulis ulang sebagai perkalian dengan −1.	$−1 \cdot 3^{−2}$
Ambil kebalikan dari basis, lalu ubah tanda eksponennya.	$−1 \cdot \frac{1}{3^{2}}$
Sederhanakan.	$- \frac{1}{9}$

Kita harus cermat mengikuti urutan operasi. Pada contoh berikut, bagian ⓐ dan ⓑ tampak serupa, tetapi memberikan hasil yang berbeda.

Sederhanakan:

ⓐ $4 \cdot 2^{−1}$
ⓑ ${(4 \cdot 2)}^{−1}$

Solusi

Ingatlah untuk selalu mengikuti urutan operasi.

Perhitungan langkah demi langkah untuk 4 * 2^-1, yang memperagakan aturan eksponen dan urutan operasi.
ⓐ
Kerjakan perpangkatan sebelum perkalian.	$4 \cdot 2^{−1}$
Gunakan $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$4 \cdot \frac{1}{2^{1}}$
Sederhanakan.	$2$

Memperagakan penyederhanaan langkah demi langkah untuk (4 * 2)^-1 dengan menggunakan aturan eksponen negatif.
ⓑ	${(4 \cdot 2)}^{−1}$
Sederhanakan bagian di dalam tanda kurung terlebih dahulu.	${(8)}^{−1}$
Gunakan $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{8^{1}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{8}$

Ketika suatu variabel dipangkatkan dengan eksponen negatif, kita menerapkan definisinya dengan cara yang sama seperti pada bilangan.

Sederhanakan: $x^{−6} .$

Solusi

Memperagakan cara menerapkan definisi eksponen negatif untuk menyederhanakan ekspresi matematika.
	$x^{−6}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{x^{6}}$

Jika terdapat perkalian dan eksponen, kita harus cermat menerapkan eksponen pada kuantitas yang tepat. Menurut urutan operasi, ekspresi di dalam tanda kurung disederhanakan sebelum eksponen diterapkan. Kita akan melihat cara kerjanya pada contoh berikut.

Sederhanakan:

ⓐ $5 y^{−1}$
ⓑ ${(5 y)}^{−1}$
ⓒ ${(−5 y)}^{−1}$

Solusi

Tabel ini menggambarkan penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi 5y^-1 dan memperagakan cara menangani eksponen negatif.
ⓐ
Perhatikan bahwa eksponen hanya diterapkan pada basis $y$ .	$5 y^{−1}$
Ambil kebalikan dari $y$ , lalu ubah tanda eksponennya.	$5 \cdot \frac{1}{y^{1}}$
Sederhanakan.	$\frac{5}{y}$

Langkah-langkah yang memperagakan penyederhanaan ekspresi aljabar (5y)^-1 dengan aturan eksponen negatif.
ⓑ
Di sini, tanda kurung membuat eksponen diterapkan pada basis $5 y$ .	${(5 y)}^{−1}$
Ambil kebalikan dari $5 y$ , lalu ubah tanda eksponennya.	$\frac{1}{{(5 y)}^{1}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{5 y}$

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi aljabar (-5y)^-1, yang memperagakan aturan eksponen negatif.
ⓒ
	${(−5 y)}^{−1}$
Basisnya adalah $- 5 y$ . Ambil kebalikan dari $- 5 y$ , lalu ubah tanda eksponennya.	$\frac{1}{{(−5 y)}^{1}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{−5 y}$
Gunakan $\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b} .$	$- \frac{1}{5 y}$

Setelah kita mendefinisikan eksponen negatif, Sifat Hasil Bagi Eksponen hanya memerlukan satu bentuk, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n},$ dengan $a \neq 0$ serta m dan n merupakan bilangan bulat.

Jika eksponen pada penyebut lebih besar daripada eksponen pada pembilang, eksponen hasil baginya akan negatif. Jika hasilnya memberi kita eksponen negatif, kita akan menulis ulang hasil tersebut dengan menggunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Eksponen Bilangan Bulat

Semua sifat eksponen yang telah kita kembangkan sebelumnya dalam bab ini untuk eksponen bilangan cacah juga berlaku bagi eksponen bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut disajikan kembali di sini sebagai rujukan.

Sederhanakan:

ⓐ $x^{−4} \cdot x^{6}$
ⓑ $y^{−6} \cdot y^{4}$
ⓒ $z^{−5} \cdot z^{−3}$

Solusi

Langkah-langkah untuk menyederhanakan ekspresi eksponensial x^(-4) * x^6 dengan sifat perkalian sehingga menghasilkan x^2.
ⓐ
	$x^{−4} \cdot x^{6}$
Gunakan Sifat Perkalian, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$	$x^{−4 + 6}$
Sederhanakan.	$x^{2}$

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi eksponensial yang melibatkan sifat perkalian dan eksponen negatif.
ⓑ
	$y^{−6} \cdot y^{4}$
Basis-basisnya sama, jadi jumlahkan eksponennya.	$y^{−6 + 4}$
Sederhanakan.	$y^{−2}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{y^{2}}$

Langkah-langkah untuk menyederhanakan ekspresi eksponensial z^(-5) * z^(-3) dengan menerapkan sifat perkalian dan definisi eksponen negatif.
ⓒ
	$z^{−5} \cdot z^{−3}$
Basis-basisnya sama, jadi jumlahkan eksponennya.	$z^{−5−3}$
Sederhanakan.	$z^{−8}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$\frac{1}{z^{8}}$

Pada dua contoh berikut, kita akan mulai dengan menggunakan Sifat Komutatif untuk mengelompokkan variabel-variabel yang sama. Hal ini memudahkan kita mengenali basis-basis sejenis sebelum menggunakan Sifat Perkalian Eksponen.

Sederhanakan: $(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2}) .$

Solusi

Memperagakan penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi aljabar yang melibatkan eksponen.
	$(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2})$
Gunakan Sifat Komutatif untuk mengelompokkan basis-basis sejenis.	$m^{4} m^{−5} \cdot n^{−2} n^{−3}$
Jumlahkan eksponen untuk setiap basis.	$m^{−1} \cdot n^{−5}$
Ambil kebalikannya dan ubah tanda setiap eksponen.	$\frac{1}{m^{1}} \cdot \frac{1}{n^{5}}$
Sederhanakan.	$\frac{1}{m n^{5}}$

Jika monomial-monomial memiliki koefisien numerik, kita mengalikan koefisiennya, seperti yang telah dilakukan dalam Menggunakan Sifat-Sifat Perkalian Eksponen.

Sederhanakan: $(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3}) .$

Solusi

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi aljabar yang melibatkan eksponen.
	$(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3})$
Tulis ulang dengan mengelompokkan basis-basis sejenis.	$2 (−5) \cdot (x^{−6} x^{5}) \cdot (y^{8} y^{−3})$
Sederhanakan.	$−10 \cdot x^{−1} \cdot y^{5}$
Gunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$−10 \cdot \frac{1}{x^{1}} \cdot y^{5}$
Sederhanakan.	$\frac{−10 y^{5}}{x}$

Pada dua contoh berikut, kita akan menggunakan Sifat Pangkat pada Pangkat dan Sifat Pangkat pada Hasil Kali.

Sederhanakan: ${(k^{3})}^{−2} .$

Solusi

Menggambarkan penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi eksponensial (k^3)^(-2) dengan aturan eksponen sehingga menghasilkan 1/k^6.
	${(k^{3})}^{−2}$
Gunakan Sifat Pangkat pada Pangkat, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$	$k^{3 (−2)}$
Sederhanakan.	$k^{−6}$
Tulis ulang dengan eksponen positif.	$\frac{1}{k^{6}}$

Sederhanakan: ${(5 x^{−3})}^{2} .$

Solusi

Penyederhanaan langkah demi langkah untuk ekspresi aljabar (5x^-3)^2 dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
	${(5 x^{−3})}^{2}$
Gunakan Sifat Pangkat pada Hasil Kali, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$	$5^{2} {(x^{−3})}^{2}$
Sederhanakan $5^{2}$ dan kalikan eksponen-eksponen dari $x$ dengan menggunakan Sifat Pangkat pada Pangkat, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$	$25 x^{−6}$
Tulis ulang $x^{−6}$ dengan menggunakan definisi eksponen negatif, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$	$25 \cdot \frac{1}{x^{6}}$
Sederhanakan	$\frac{25}{x^{6}}$

Untuk menyederhanakan pecahan, kita menggunakan Sifat Hasil Bagi.

Sederhanakan: $\frac{r^{5}}{r^{−4}} .$

Solusi


Gunakan Sifat Hasil Bagi, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ .

Sederhanakan.

Mengubah dari Notasi Desimal ke Notasi Ilmiah

Ingatkah Anda ketika mempelajari nilai tempat untuk bilangan cacah dan desimal? Sistem bilangan kita didasarkan pada pangkat dari $10 .$ Kita menggunakan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya. Bilangan desimal kita juga didasarkan pada pangkat sepuluh—persepuluhan, perseratusan, perseribuan, dan seterusnya.

Perhatikan bilangan $4000$ dan $0.004 .$ Kita tahu bahwa $4000$ berarti $4 \times 1000$ dan $0.004$ berarti $4 \times \frac{1}{1000} .$ Jika kita menulis $1000$ sebagai pangkat sepuluh dalam bentuk eksponensial, bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\begin{matrix} 4000 & 0.004 \\ 4 \times 1000 & 4 \times \frac{1}{1000} \\ 4 \times 10^{3} & 4 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

Jika suatu bilangan ditulis sebagai hasil kali dua bilangan, dengan faktor pertama berupa bilangan yang lebih besar daripada atau sama dengan satu tetapi kurang dari $10,$ dan faktor kedua berupa pangkat dari $10$ yang ditulis dalam bentuk eksponensial, bilangan tersebut dikatakan berada dalam notasi ilmiah.

Dalam notasi ilmiah, $\times$ lazim digunakan sebagai tanda perkalian, meskipun kita menghindari penggunaan tanda ini di bagian lain aljabar.

Notasi ilmiah berguna untuk menulis bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Notasi ini sering digunakan dalam ilmu pengetahuan untuk mempermudah perhitungan.

Dengan memperhatikan perubahan letak titik desimal, kita dapat melihat cara mudah untuk mengubah notasi desimal menjadi notasi ilmiah.

Di sebelah kiri, 4000 sama dengan 4 dikali 10 pangkat 3; titik desimal digeser 3 tempat ke kiri. Di sebelah kanan, 0.004 sama dengan 4 dikali 10 pangkat negatif 3; titik desimal digeser 3 tempat ke kanan.

Dalam kedua kasus tersebut, titik desimal digeser $3$ tempat sehingga faktor pertama, $4,$ berdiri sendiri.

Pangkat dari $10$ bernilai positif jika bilangannya lebih besar daripada $1 : 4000 = 4 \times 10^{3} .$
Pangkat dari $10$ bernilai negatif jika bilangannya berada di antara $0$ dan $1 : 0.004 = 4 \times 10^{- 3} .$

Tulislah $37,000$ dalam notasi ilmiah.

Solusi

Langkah 1: Geser titik desimal sehingga faktor pertama lebih besar daripada atau sama dengan 1 tetapi kurang dari 10.
Langkah 2: Hitung banyaknya tempat desimal, $n$ , yang dilalui saat titik desimal digeser.	3.7000 4 tempat
Langkah 3: Tulislah bilangan sebagai hasil kali dengan suatu pangkat dari 10.	$3.7 \times 10^{4}$
Jika bilangan semula: lebih besar daripada 1, pangkat dari 10 adalah $10^{n}$ . berada di antara 0 dan 1, pangkat dari 10 adalah $10^{−n}$
Langkah 4: Periksa.
$10^{4}$ adalah 10,000 dan 10,000 dikali 3.7 menghasilkan 37,000.
	$37,000 = 3.7 \times 10^{4}$

Tulislah dalam notasi ilmiah: $0.0052 .$

Solusi

	0.0052
Geser titik desimal untuk memperoleh 5.2, sebuah bilangan di antara 1 dan 10.
Hitung banyaknya tempat desimal yang dilalui saat titik digeser.	3 tempat
Tulislah sebagai hasil kali dengan suatu pangkat dari 10.	$5.2 \times 10^{−3}$
Periksa jawaban Anda: $\begin{matrix} 5.2 \times 10^{−3} \\ 5.2 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 5.2 \times \frac{1}{1000} \\ 5.2 \times 0.001 \\ 0.0052 \end{matrix}$
	$0.0052 = 5.2 \times 10^{−3}$

Mengubah Notasi Ilmiah ke Bentuk Desimal

Bagaimana cara mengubah notasi ilmiah ke bentuk desimal? Mari kita perhatikan dua bilangan yang ditulis dalam notasi ilmiah.

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} & 9.12 \times 10^{−4} \\ 9.12 \times 10,000 & 9.12 \times 0.0001 \\ 91,200 & 0.000912 \end{matrix}

Dengan memperhatikan letak titik desimal, kita dapat melihat cara mudah untuk mengubah bilangan dari notasi ilmiah ke bentuk desimal.

Di sebelah kiri terlihat 9.12 dikali 10 pangkat 4 sama dengan 91,200. Di bawahnya terdapat 9.12 yang diikuti dua ruang, dengan panah dari titik desimal ke setelah ruang kedua, lalu dikali 10 pangkat 4 sama dengan 91,200. Di sebelah kanan terlihat 9.12 dikali 10 pangkat negatif 4 sama dengan 0.000912. Di bawahnya terdapat tiga ruang yang diikuti 9.12, dengan panah dari titik desimal ke setelah ruang pertama, lalu dikali 10 pangkat negatif 4 sama dengan 0.000912.

Dalam kedua kasus, titik desimal digeser 4 tempat. Ketika eksponennya positif, titik desimal digeser ke kanan. Ketika eksponennya negatif, titik desimal digeser ke kiri.

Ubahlah ke bentuk desimal: $6.2 \times 10^{3} .$

Solusi

Langkah 1: Tentukan eksponen, $n$ , pada faktor 10.	$6.2 \times 10^{3}$
Langkah 2: Geser titik desimal sebanyak $n$ tempat dan tambahkan angka nol jika diperlukan.
Jika eksponennya positif, geser titik desimal sebanyak $n$ tempat ke kanan. Jika eksponennya negatif, geser titik desimal sebanyak $\| n \|$ tempat ke kiri.	6,200
Langkah 3: Periksa apakah jawaban Anda masuk akal.
$10^{3}$ adalah 1000 dan 1000 dikali 6.2 menghasilkan 6,200.	$6.2 \times 10^{3} = 6,200$

Ubahlah ke bentuk desimal: $8.9 \times 10^{−2} .$

Solusi

	$8.9 \times 10^{−2}$
Tentukan eksponen $n$ pada faktor 10.	Eksponennya adalah −2.
Geser titik desimal 2 tempat ke kiri.
Tambahkan angka nol sebagai pengisi tempat jika diperlukan.	0.089
	$8.9 \times 10^{−2} = 0.089$
Pemeriksaannya diserahkan kepada Anda.

Mengalikan dan Membagi Menggunakan Notasi Ilmiah

Kita menggunakan sifat-sifat eksponen untuk mengalikan dan membagi bilangan dalam notasi ilmiah.

Kalikan. Tulislah jawaban dalam bentuk desimal: $(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) .$

Solusi

Langkah-langkah mengalikan bilangan dalam notasi ilmiah, yang menunjukkan penyusunan ulang, perkalian, dan pengubahan ke bentuk desimal.
	$(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7})$
Gunakan Sifat Komutatif untuk menyusun ulang faktor-faktornya.	$4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{−7}$
Kalikan 4 dengan 2 dan gunakan Sifat Perkalian untuk mengalikan $10^{5}$ dengan $10^{−7}$ .	$8 \times 10^{−2}$
Ubah ke bentuk desimal dengan menggeser titik desimal dua tempat ke kiri.	$0.08$

Bagilah. Tulislah jawaban dalam bentuk desimal: $\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}} .$

Solusi

Langkah-langkah menyederhanakan pecahan dengan notasi ilmiah, yang memperlihatkan proses dari pemisahan faktor hingga bentuk desimal akhir.
	$\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}$
Pisahkan faktor-faktornya.	$\frac{9}{3} \times \frac{10^{3}}{10^{−2}}$
Bagi 9 dengan 3 dan gunakan Sifat Pembagian Eksponen untuk membagi $10^{3}$ dengan $10^{−2}$ .	$3 \times 10^{5}$
Ubah ke bentuk desimal dengan menggeser titik desimal lima tempat ke kanan.	$300,000$

Konsep Utama

Ringkasan Sifat-Sifat Eksponen
- Jika $a, b$ adalah bilangan real dan $m, n$ adalah bilangan bulat, maka
  $\begin{matrix} Sifat Perkalian & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ Sifat Pangkat dari Pangkat & {(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} \\ Sifat Pangkat pada Hasil Kali & {(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} \\ Sifat Pembagian Eksponen & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0 \\ Sifat Eksponen Nol & a^{0} = 1, a \neq 0 \\ Sifat Pangkat pada Hasil Bagi & {(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \\ Definisi Eksponen Negatif & a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \end{matrix}$
Mengubah dari Notasi Desimal ke Notasi Ilmiah: Untuk mengubah bilangan desimal ke notasi ilmiah:
1. Geser titik desimal sehingga faktor pertama lebih besar daripada atau sama dengan 1 tetapi kurang dari 10.
2. Hitung banyaknya tempat desimal, $n$ , yang dilalui saat titik desimal digeser.
3. Tulislah bilangan sebagai hasil kali dengan suatu pangkat dari 10.
  - Jika bilangan semula lebih besar daripada 1, pangkat dari 10 adalah $10^{n}$ .
  - Jika bilangan semula berada di antara 0 dan 1, pangkat dari 10 adalah $10^{- n}$ .
4. Periksa.
Mengubah Notasi Ilmiah ke Bentuk Desimal: Untuk mengubah notasi ilmiah ke bentuk desimal:
1. Tentukan eksponen, $n$ , pada faktor 10.
2. Geser titik desimal sebanyak n tempat dan tambahkan angka nol jika diperlukan.
  - Jika eksponennya positif, geser titik desimal sebanyak $n$ tempat ke kanan.
  - Jika eksponennya negatif, geser titik desimal sebanyak $| n |$ tempat ke kiri.
3. Periksa.

Latihan Membawa Kemahiran

Menggunakan Definisi Eksponen Negatif

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$5^{−3}$

$8^{−2}$

Solusi

$\frac{1}{64}$

$3^{−4}$

$2^{−5}$

Solusi

$\frac{1}{32}$

$7^{−1}$

$10^{−1}$

Solusi

$\frac{1}{10}$

$2^{−3} + 2^{−2}$

$3^{−2} + 3^{−1}$

Solusi

$\frac{4}{9}$

$3^{−1} + 4^{−1}$

$10^{−1} + 2^{−1}$

Solusi

$\frac{3}{5}$

$10^{0} - 10^{−1} + 10^{−2}$

$2^{0} - 2^{−1} + 2^{−2}$

Solusi

$\frac{3}{4}$

ⓐ ${(−6)}^{−2}$
ⓑ $- 6^{−2}$

ⓐ ${(−8)}^{−2}$
ⓑ $- 8^{−2}$

Solusi

ⓐ $\frac{1}{64}$
ⓑ $- \frac{1}{64}$

ⓐ ${(−10)}^{−4}$
ⓑ $- 10^{−4}$

ⓐ ${(−4)}^{−6}$
ⓑ $- 4^{−6}$

Solusi

ⓐ $\frac{1}{4096}$
ⓑ $- \frac{1}{4096}$

ⓐ $5 \cdot 2^{−1}$
ⓑ ${(5 \cdot 2)}^{−1}$

ⓐ $10 \cdot 3^{−1}$
ⓑ ${(10 \cdot 3)}^{−1}$

Solusi

ⓐ $\frac{10}{3}$
ⓑ $\frac{1}{30}$

ⓐ $4 \cdot 10^{−3}$
ⓑ ${(4 \cdot 10)}^{−3}$

ⓐ $3 \cdot 5^{−2}$
ⓑ ${(3 \cdot 5)}^{−2}$

Solusi

ⓐ $\frac{3}{25}$
ⓑ $\frac{1}{225}$

$n^{−4}$

$p^{−3}$

Solusi

$\frac{1}{p^{3}}$

$c^{−10}$

$m^{−5}$

Solusi

$\frac{1}{m^{5}}$

ⓐ $4 x^{−1}$
ⓑ ${(4 x)}^{−1}$
ⓒ ${(−4 x)}^{−1}$

ⓐ $3 q^{−1}$
ⓑ ${(3 q)}^{−1}$
ⓒ ${(−3 q)}^{−1}$

Solusi

ⓐ $\frac{3}{q}$
ⓑ $\frac{1}{3 q}$
ⓒ $- \frac{1}{3 q}$

ⓐ $6 m^{−1}$
ⓑ ${(6 m)}^{−1}$
ⓒ ${(−6 m)}^{−1}$

ⓐ $10 k^{−1}$
ⓑ ${(10 k)}^{−1}$
ⓒ ${(−10 k)}^{−1}$

Solusi

ⓐ $\frac{10}{k}$
ⓑ $\frac{1}{10 k}$
ⓒ $- \frac{1}{10 k}$

Menyederhanakan Bentuk dengan Eksponen Bilangan Bulat

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$p^{−4} \cdot p^{8}$

$r^{−2} \cdot r^{5}$

Solusi

r³

$n^{−10} \cdot n^{2}$

$q^{−8} \cdot q^{3}$

Solusi

$\frac{1}{q^{5}}$

$k^{−3} \cdot k^{−2}$

$z^{−6} \cdot z^{−2}$

Solusi

$\frac{1}{z^{8}}$

$a \cdot a^{−4}$

$m \cdot m^{−2}$

Solusi

$\frac{1}{m}$

$p^{5} \cdot p^{−2} \cdot p^{−4}$

$x^{4} \cdot x^{−2} \cdot x^{−3}$

Solusi

$\frac{1}{x}$

$a^{3} b^{−3}$

$u^{2} v^{−2}$

Solusi

$\frac{u^{2}}{v^{2}}$

$(x^{5} y^{−1}) (x^{−10} y^{−3})$

$(a^{3} b^{−3}) (a^{−5} b^{−1})$

Solusi

$\frac{1}{a^{2} b^{4}}$

$(u v^{−2}) (u^{−5} v^{−4})$

$(p q^{−4}) (p^{−6} q^{−3})$

Solusi

$\frac{1}{p^{5} q^{7}}$

$(−2 r^{−3} s^{9}) (6 r^{4} s^{−5})$

$(−3 p^{−5} q^{8}) (7 p^{2} q^{−3})$

Solusi

$- \frac{21 q^{5}}{p^{3}}$

$(−6 m^{−8} n^{−5}) (−9 m^{4} n^{2})$

$(−8 a^{−5} b^{−4}) (−4 a^{2} b^{3})$

Solusi

$\frac{32}{a^{3} b}$

${(a^{3})}^{−3}$

${(q^{10})}^{−10}$

Solusi

$\frac{1}{q^{100}}$

${(n^{2})}^{−1}$

${(x^{4})}^{−1}$

Solusi

$\frac{1}{x^{4}}$

${(y^{−5})}^{4}$

${(p^{−3})}^{2}$

Solusi

$\frac{1}{p^{6}}$

${(q^{−5})}^{−2}$

${(m^{−2})}^{−3}$

Solusi

m⁶

${(4 y^{−3})}^{2}$

${(3 q^{−5})}^{2}$

Solusi

$\frac{9}{q^{10}}$

${(10 p^{−2})}^{−5}$

${(2 n^{−3})}^{−6}$

Solusi

$\frac{n^{18}}{64}$

$\frac{u^{9}}{u^{−2}}$

$\frac{b^{5}}{b^{−3}}$

Solusi

b⁸

$\frac{x^{−6}}{x^{4}}$

$\frac{m^{5}}{m^{−2}}$

Solusi

m⁷

$\frac{q^{3}}{q^{12}}$

$\frac{r^{6}}{r^{9}}$

Solusi

$\frac{1}{r^{3}}$

$\frac{n^{−4}}{n^{−10}}$

$\frac{p^{−3}}{p^{−6}}$

Solusi

p³

Mengubah dari Notasi Desimal ke Notasi Ilmiah

Dalam latihan berikut, tulislah setiap bilangan dalam notasi ilmiah.

45,000

280,000

Solusi

2.8 × 10⁵

8,750,000

1,290,000

Solusi

1.29 × 10⁶

0.036

0.041

Solusi

4.1 × 10⁻²

0.00000924

0.0000103

Solusi

1.03 × 10⁻⁵

Jumlah penduduk Amerika Serikat pada 4 Juli 2010 hampir mencapai $310,000,000 .$

Jumlah penduduk dunia pada 4 Juli 2010 lebih dari $6,850,000,000 .$

Solusi

6.85 × 10⁹

Lebar rata-rata sehelai rambut manusia adalah $0.0018$ sentimeter.

Peluang memenangkan lotre Megamillions tahun $2010$ adalah sekitar $0.0000000057 .$

Solusi

5.7 × 10⁻⁹

Mengubah Notasi Ilmiah ke Bentuk Desimal

Dalam latihan berikut, ubahlah setiap bilangan ke bentuk desimal.

$4.1 \times 10^{2}$

$8.3 \times 10^{2}$

Solusi

830

$5.5 \times 10^{8}$

$1.6 \times 10^{10}$

Solusi

16,000,000,000

$3.5 \times 10^{−2}$

$2.8 \times 10^{−2}$

Solusi

0.028

$1.93 \times 10^{−5}$

$6.15 \times 10^{−8}$

Solusi

0.0000000615

Pada tahun 2010, jumlah pengguna Facebook setiap hari yang mengubah status mereka menjadi ‘bertunangan’ adalah $2 \times 10^{4} .$

Pada awal tahun 2012, utang federal AS berjumlah lebih dari $$1.5 \times 10^{13} .$

Solusi

$15,000,000,000,000

Konsentrasi karbon dioksida di atmosfer adalah $3.9 \times 10^{−4} .$

Lebar proton adalah $1 \times 10^{−5}$ kali lebar atom.

Solusi

0.00001

Mengalikan dan Membagi Menggunakan Notasi Ilmiah

Dalam latihan berikut, kalikan atau bagilah, lalu tulislah jawaban Anda dalam bentuk desimal.

$(2 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−9})$

$(3 \times 10^{2}) (1 \times 10^{−5})$

Solusi

0.003

$(1.6 \times 10^{−2}) (5.2 \times 10^{−6})$

$(2.1 \times 10^{−4}) (3.5 \times 10^{−2})$

Solusi

0.00000735

$\frac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}$

$\frac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}$

Solusi

20,000,000

$\frac{7 \times 10^{−2}}{1 \times 10^{−8}}$

$\frac{5 \times 10^{−3}}{1 \times 10^{−10}}$

Solusi

50,000,000

Matematika Sehari-hari

Kalori Pada Mei 2010, para Produsen Makanan dan Minuman berjanji mengurangi kandungan produk mereka sebanyak $1.5$ triliun kalori pada akhir tahun 2015.

ⓐ Tulislah $1.5$ triliun dalam notasi desimal.
ⓑ Tulislah $1.5$ triliun dalam notasi ilmiah.

Panjang satu tahun Selisih antara tahun kalender dan tahun astronomi adalah $0.000125$ hari.

ⓐ Tulislah bilangan ini dalam notasi ilmiah.
ⓑ Berapa tahun yang diperlukan agar selisih tersebut menjadi 1 hari?

Solusi

ⓐ 1.25 × 10⁻⁴
ⓑ 8,000

Tampilan kalkulator Banyak kalkulator secara otomatis menampilkan jawaban dalam notasi ilmiah jika jumlah digitnya melebihi kapasitas layar kalkulator. Untuk mencari peluang memperoleh kombinasi 5 kartu tertentu dari satu set kartu, Mario membagi $1$ dengan $2,598,960$ dan melihat jawaban $3.848 \times 10^{−7} .$ Tulislah bilangan tersebut dalam notasi desimal.

Tampilan kalkulator Banyak kalkulator secara otomatis menampilkan jawaban dalam notasi ilmiah jika jumlah digitnya melebihi kapasitas layar kalkulator. Untuk mencari banyaknya cara Barbara dapat membuat kolase dengan $6$ dari $50$ foto favoritnya, ia mengalikan $50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 .$ Kalkulatornya memberikan jawaban $1.1441304 \times 10^{10} .$ Tulislah bilangan tersebut dalam notasi desimal.

Solusi

11,441,304,000

Latihan Menulis

ⓐ Jelaskan arti eksponen dalam bentuk $2^{3} .$
ⓑ Jelaskan arti eksponen dalam bentuk $2^{−3}$

Ketika Anda mengubah suatu bilangan dari notasi desimal ke notasi ilmiah, bagaimana Anda mengetahui apakah eksponennya akan positif atau negatif?

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Daftar periksa penilaian diri untuk lima keterampilan: menggunakan definisi eksponen negatif; menyederhanakan bentuk dengan eksponen bilangan bulat; mengubah notasi desimal menjadi notasi ilmiah; mengubah notasi ilmiah menjadi bentuk desimal; serta mengalikan dan membagi menggunakan notasi ilmiah. Kolom responsnya adalah “Dengan yakin”, “Dengan sedikit bantuan”, dan “Tidak—saya belum memahaminya!”

ⓑ Setelah melihat daftar periksa tersebut, apakah Anda merasa sudah siap menghadapi bagian berikutnya? Mengapa atau mengapa tidak?