Pengurangan Bilangan Bulat

Memodelkan Pengurangan Bilangan Bulat

Ingatkah Anda pada kisah di bagian sebelumnya tentang anak kecil dan kue? Anak-anak belajar mengurangkan bilangan melalui pengalaman sehari-hari. Pengalaman nyata menjadi model untuk mengurangkan bilangan positif dan, dalam beberapa kasus seperti suhu, untuk menjumlahkan bilangan negatif maupun positif. Namun, pengurangan bilangan negatif sulit dikaitkan dengan pengalaman hidup yang umum. Kebanyakan orang tidak memahami pengurangan yang melibatkan bilangan negatif secara intuitif. Karena itu, guru matematika menggunakan beberapa model untuk menjelaskan pengurangan bilangan negatif.

Kita akan terus menggunakan keping hitung untuk memodelkan pengurangan. Ingatlah bahwa keping biru mewakili bilangan positif dan keping merah mewakili bilangan negatif.

Ketika masih kecil, Anda mungkin membaca $5-3$ sebagai lima dikurangi tiga. Dengan keping hitung, kita dapat memandang pengurangan sebagai tindakan menyingkirkan keping.

Kita akan memodelkan empat fakta pengurangan menggunakan bilangan $5$ dan $3.$

Modelkan: $5-3.$

Solusi

Penyelesaian

Tafsirkan ekspresi.	$5-3$ berarti menyingkirkan $3$ dari $5$.
Modelkan bilangan pertama. Mulailah dengan 5 keping positif.
Singkirkan bilangan kedua. Jadi, singkirkan 3 keping positif.
Tentukan keping yang tersisa.
	$5-3=2$. Selisih antara $5$ dan $3$ adalah $2$.

Modelkan: $\mathrm{-5}-(\mathrm{-3}).$

Solusi

Penyelesaian

Tafsirkan ekspresi.	$\mathrm{-5}-\left(\mathrm{-3}\right)$ berarti menyingkirkan $\mathrm{-3}$ dari $\mathrm{-5}$.
Modelkan bilangan pertama. Mulailah dengan 5 keping negatif.
Singkirkan bilangan kedua. Jadi, singkirkan 3 keping negatif.
Tentukan banyak keping yang tersisa.
	$\mathrm{-5}-\left(\mathrm{-3}\right)=\mathrm{-2}$. Selisih antara $\mathrm{-5}$ dan $\mathrm{-3}$ adalah $\mathrm{-2}$.

Perhatikan bahwa dan sangat serupa.

• Pertama, kita mengurangkan $3$ keping positif dari $5$ keping positif dan memperoleh $2$ keping positif.
• Kemudian, kita mengurangkan $3$ keping negatif dari $5$ keping negatif dan memperoleh $2$ keping negatif.

Setiap contoh hanya menggunakan keping satu warna, sehingga model pengurangan dengan “menyingkirkan” mudah diterapkan.

Sekarang, mari kita lihat apa yang terjadi ketika kita mengurangkan satu bilangan positif dan satu bilangan negatif. Kita perlu menggunakan keping positif dan negatif, serta kadang-kadang beberapa pasangan netral. Menambahkan pasangan netral tidak mengubah nilainya.

Model: $\mathrm{-5}-3.$

Solusi

Penyelesaian

Tafsirkan ekspresinya.	$\mathrm{-5}-3$ berarti menyingkirkan $3$ dari $\mathrm{-5}$.
Modelkan bilangan pertama. Mulailah dengan 5 keping negatif.
Singkirkan bilangan kedua. Jadi, kita perlu menyingkirkan 3 keping positif.
Namun, belum ada keping positif yang dapat disingkirkan. Tambahkan pasangan netral sampai tersedia 3 keping positif.
Sekarang, singkirkan 3 keping positif.
Hitung banyaknya keping yang tersisa.
	$\mathrm{-5}-3=\mathrm{-8}$. Selisih antara $\mathrm{-5}$ dan $3$ adalah $\mathrm{-8}$.

Model: $5-(\mathrm{-3}).$

Solusi

Penyelesaian

Tafsirkan ekspresinya.	$5-\left(\mathrm{-3}\right)$ berarti menyingkirkan $\mathrm{-3}$ dari $5$.
Modelkan bilangan pertama. Mulailah dengan 5 keping positif.
Singkirkan bilangan kedua, yaitu 3 keping negatif.
Namun, belum ada keping negatif yang dapat disingkirkan. Tambahkan pasangan netral sampai tersedia 3 keping negatif.
Kemudian, singkirkan 3 keping negatif.
Hitung banyaknya keping yang tersisa.
	Selisih antara $5$ dan $\mathrm{-3}$ adalah $8$. $5-\left(\mathrm{-3}\right)=8$

Modelkan setiap pengurangan.

1. ⓐ 8 − 2
2. ⓑ −5 − 4
3. ⓒ 6 − (−6)
4. ⓓ −8 − (−3)

Solusi

Tabel ini memperagakan langkah demi langkah pengurangan 8 dikurangi 2.

ⓐ
	$8-2$ Ini berarti menyingkirkan $2$ dari $8$.
Mulailah dengan 8 keping positif.
Singkirkan 2 keping positif.
Berapa keping yang tersisa?	$6$
	$8-2=6$

Peragaan visual pengurangan bilangan bulat negatif 5 dikurangi 4 dengan model keping hitung.

ⓑ
	$\mathrm{-5}-4$ Ini berarti menyingkirkan $4$ dari $\mathrm{-5}$.
Mulailah dengan 5 keping negatif.
Kita perlu menyingkirkan 4 keping positif. Tambahkan 4 pasangan netral agar tersedia 4 keping positif.
Singkirkan 4 keping positif.
Berapa keping yang tersisa?
	$\mathrm{-9}$
	$\mathrm{-5}-4=\mathrm{-9}$

Peragaan visual langkah demi langkah untuk menghitung 6 dikurangi negatif 6 dengan keping positif dan negatif.

ⓒ
	$6-\left(\mathrm{-6}\right)$ Ini berarti menyingkirkan $\mathrm{-6}$ dari $6$.
Mulailah dengan 6 keping positif.
Tambahkan 6 pasangan netral agar tersedia 6 keping negatif untuk disingkirkan.
Singkirkan 6 keping negatif.
Berapa keping yang tersisa?
	$12$
	$6-\left(\mathrm{-6}\right)=12$

Peragaan visual langkah demi langkah untuk mengurangkan negatif 3 dari negatif 8.

ⓓ
	$\mathrm{-8}-\left(\mathrm{-3}\right)$ Ini berarti menyingkirkan $\mathrm{-3}$ dari $\mathrm{-8}$.
Mulailah dengan 8 keping negatif.
Singkirkan 3 keping negatif.
Berapa keping yang tersisa?
	$\mathrm{-5}$
	$\mathrm{-8}-\left(\mathrm{-3}\right)=\mathrm{-5}$

Modelkan setiap ekspresi pengurangan:

1. ⓐ $2-8$
2. ⓑ $\mathrm{-3}-(\mathrm{-8})$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Kita mulai dengan 2 keping positif.
Kita perlu menyingkirkan 8 keping positif, tetapi hanya memiliki 2 keping positif.
Tambahkan pasangan netral sampai tersedia 8 keping positif untuk disingkirkan.
Kemudian, singkirkan delapan keping positif.
Tentukan banyaknya keping yang tersisa. Terdapat 6 keping negatif.
	$2-8=\mathrm{-6}$

ⓑ Kita mulai dengan 3 keping negatif.
Kita perlu menyingkirkan 8 keping negatif, tetapi hanya memiliki 3 keping negatif.
Tambahkan pasangan netral sampai tersedia 8 keping negatif untuk disingkirkan.
Kemudian, singkirkan 8 keping negatif.
Tentukan banyaknya keping yang tersisa. Terdapat 5 keping positif.
	$\mathrm{-3}-\left(\mathrm{-8}\right)=5$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Bilangan Bulat

Apakah Anda melihat suatu pola? Apakah Anda siap mengurangkan bilangan bulat tanpa keping hitung? Mari kita lakukan dua pengurangan lagi. Kita akan membayangkan cara memodelkannya dengan keping hitung, tetapi tidak benar-benar menggunakan keping tersebut.

• Kurangkan $\mathrm{-23}-7.$
  Pikirkan: Kita mulai dengan $23$ keping negatif.
  Kita harus mengurangkan $7$ keping positif, tetapi belum ada keping positif yang dapat disingkirkan.
  Jadi, kita tambahkan $7$ pasangan netral untuk memperoleh $7$ keping positif. Sekarang, kita singkirkan $7$ keping positif tersebut.
  Apa yang tersisa? Kita memiliki $23$ keping negatif semula ditambah $7$ keping negatif lagi dari pasangan netral. Hasilnya adalah $30$ keping negatif.
  
  $\mathrm{-23}-7=\mathrm{-30}$
  
  Perhatikan bahwa untuk mengurangkan $\text{7,}$ kita menambahkan $7$ keping negatif.
• Kurangkan $30-(\mathrm{-12}).$
  Pikirkan: Kita mulai dengan $30$ keping positif.
  Kita harus mengurangkan $12$ keping negatif, tetapi belum ada keping negatif yang dapat disingkirkan.
  Jadi, kita tambahkan $12$ pasangan netral pada $30$ keping positif. Sekarang, kita singkirkan $12$ keping negatif tersebut.
  Apa yang tersisa? Kita memiliki $30$ keping positif semula ditambah $12$ keping positif lagi dari pasangan netral. Hasilnya adalah $42$ keping positif.
  
  $30-(\mathrm{-12})=42$
  
  Perhatikan bahwa untuk mengurangkan $\mathrm{-12},$ kita menambahkan $12.$

Kita mungkin tidak selalu menggunakan keping hitung, terutama ketika bekerja dengan bilangan besar. Namun, latihan awal dengan keping hitung memberi kita cara konkret untuk menerapkan konsep tersebut, sehingga kita dapat membayangkan dan mengingat cara melakukan pengurangan tanpa keping hitung.

Apakah Anda memperhatikan bahwa bilangan bertanda dapat dikurangkan dengan menambahkan lawannya? Gagasan yang disebut Sifat Pengurangan ini sering ditulis sebagai berikut:

Perhatikan dua contoh berikut.

Kita melihat bahwa $6-4$ memberikan jawaban yang sama dengan $6+(\mathrm{-4}).$

Tentu saja, jika suatu soal pengurangan hanya memuat bilangan positif seperti contoh pertama, kita langsung melakukan pengurangan. Kita sudah lama mengetahui cara menghitung $6-4$. Namun, mengetahui bahwa $6-4$ memberikan jawaban yang sama dengan $6+(\mathrm{-4})$ membantu kita saat mengurangkan bilangan negatif.

Sekarang, perhatikan apa yang terjadi ketika kita mengurangkan bilangan negatif.

Kita melihat bahwa $8-(\mathrm{-5})$ memberikan hasil yang sama dengan $8+5.$ Mengurangkan bilangan negatif sama seperti menambahkan bilangan positif.

Perhatikan kembali hasil –.

Sederhanakan: $7-(\mathrm{-4}-3)-9.$

Solusi

Penyelesaian

Kita menggunakan urutan operasi untuk menyederhanakan ekspresi ini, dengan mengerjakan operasi di dalam tanda kurung terlebih dahulu. Kemudian, kita mengurangkan dari kiri ke kanan.

Tabel ini memperagakan penyederhanaan ekspresi matematika langkah demi langkah melalui uraian dan representasi visual.

Sederhanakan bagian di dalam tanda kurung terlebih dahulu.
Kurangkan dari kiri ke kanan.
Kurangkan.

Sederhanakan: $3·7-4·7-5·8.$

Solusi

Penyelesaian

Kita menggunakan urutan operasi untuk menyederhanakan ekspresi ini. Pertama, kita mengalikan, lalu mengurangkan dari kiri ke kanan.

Tabel ini memperagakan urutan langkah untuk menghitung nilai ekspresi matematika sesuai urutan operasi.

Kalikan terlebih dahulu.
Kurangkan dari kiri ke kanan.
Kurangkan.

Menghitung Nilai Ekspresi Variabel dengan Bilangan Bulat

Sekarang, kita akan berlatih menghitung nilai ekspresi yang melibatkan pengurangan bilangan negatif maupun bilangan positif.

Hitung nilai $x-4\text{ketika}$

1. ⓐ $x=3$
2. ⓑ $x=\mathrm{-6}.$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Untuk menghitung nilai $x-4$ ketika $x=3$, substitusikan $3$ untuk $x$ dalam ekspresi tersebut.

Kurangkan.

ⓑ Untuk menghitung nilai $x-4$ ketika $x=\mathrm{-6},$ substitusikan $\mathrm{-6}$ untuk $x$ dalam ekspresi tersebut.

Kurangkan.

Hitung nilai $20-z\text{ketika}$

1. ⓐ $z=12$
2. ⓑ $z=-12$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Untuk menghitung nilai $20-z\text{ketika}z=12,$ substitusikan $12$ untuk $z$ dalam ekspresi tersebut.

Kurangkan.

ⓑ Untuk menghitung nilai $20-z\text{ketika}z=\mathrm{-12},\text{substitusikan}\mathrm{-12}\text{untuk}z\text{dalam ekspresi tersebut.}$

Kurangkan.

Mengubah Frasa Verbal Menjadi Ekspresi Aljabar

Ketika pertama kali memperkenalkan simbol operasi, kita melihat bahwa ekspresi $a-b$ dapat dibaca dengan beberapa cara seperti ditunjukkan di bawah ini.

Pastikan $a$ dan $b$ ditulis dalam urutan yang benar!

Ubahlah menjadi ekspresi aljabar, lalu sederhanakan:

1. ⓐ selisih antara $13$ dan $\mathrm{-21}$
2. ⓑ kurangkan $24$ dari $\mathrm{-19}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Selisih berarti pengurangan. Kurangkan bilangan-bilangan tersebut sesuai urutan penyebutannya.

Ubah menjadi ekspresi.
Sederhanakan.

ⓑ Kurangkan berarti menyingkirkan $24$ dari $\mathrm{-19}.$

Ubah menjadi ekspresi.
Sederhanakan.

Mengurangkan Bilangan Bulat dalam Penerapan

Sesuatu sulit ditemukan jika kita tidak mengetahui apa yang dicari atau apa namanya. Karena itu, saat menyelesaikan soal penerapan, pertama-tama kita perlu menentukan apa yang diminta. Kemudian, kita dapat menulis frasa yang memuat informasi untuk menemukannya. Kita mengubah frasa itu menjadi ekspresi, lalu menyederhanakan ekspresinya untuk memperoleh jawaban. Terakhir, kita merangkum jawaban dalam sebuah kalimat untuk memastikan bahwa jawabannya masuk akal.

Geografi memberikan penerapan lain bagi bilangan negatif melalui ketinggian tempat-tempat yang berada di bawah permukaan laut.

Mengelola uang dapat melibatkan bilangan positif maupun negatif. Rekening giro Anda mungkin memiliki perlindungan cerukan. Artinya, bank mengizinkan Anda menulis cek dengan nilai melebihi saldo rekening (selama bank yakin uang itu dapat ditagih kembali dari Anda!).

Leslie memiliki $\text{\$25}$ dalam rekening gironya dan menulis cek senilai $\text{\$8.}$

1. ⓐ Berapakah saldonya setelah ia menulis cek tersebut?
2. ⓑ Ia menulis cek kedua senilai $\text{\$20.}$ Berapakah saldo barunya setelah cek ini?
3. ⓒ Teman Leslie memberi tahu bahwa ia kehilangan cek senilai $\text{\$10}$ yang diberikan Leslie bersama kartu ulang tahunnya. Berapakah saldo rekening giro Leslie sekarang?

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menguraikan langkah dari pertanyaan hingga jawaban akhir untuk menyelesaikan soal cerita dasar tentang saldo rekening.

ⓐ
Apa yang diminta?	saldo rekening
Tulis sebuah frasa.	$\mathrm{\$25}$ dikurangi $\mathrm{\$8}$
Ubah menjadi ekspresi.
Sederhanakan.
Tulis jawaban dalam sebuah kalimat.	Saldonya adalah $\$17$.

Penyelesaian langkah demi langkah untuk menghitung saldo bank setelah penarikan dalam keadaan cerukan.

ⓑ
Apa yang diminta?	saldo baru
Tulis sebuah frasa.	$\mathrm{\$17}$ dikurangi $\mathrm{\$20}$
Ubah menjadi ekspresi.
Sederhanakan.
Tulis jawaban dalam sebuah kalimat.	Rekeningnya mengalami cerukan sebesar $\$3$.

Penyelesaian langkah demi langkah untuk menghitung saldo baru, mulai dari menentukan masalah hingga menyatakan jawaban akhir.

ⓒ
Apa yang diminta?	saldo baru
Tulis sebuah frasa.	$\mathrm{\$10}$ lebih banyak daripada $-\mathrm{\$3}$
Ubah menjadi ekspresi.
Sederhanakan.
Tulis jawaban dalam sebuah kalimat.	Saldonya sekarang $\$7$.