Menggunakan Sifat-Sifat Perkalian Eksponen

Menyederhanakan Ekspresi dengan Eksponen

Ingatlah bahwa eksponen menunjukkan perkalian berulang dari besaran yang sama. Sebagai contoh, $2^{4}$ berarti mengalikan empat faktor $2,$ sehingga $2^{4}$ berarti $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .$ Bentuk ini dikenal sebagai notasi eksponensial.

Dalam ekspresi $a^{m},$ eksponen menunjukkan berapa kali kita menggunakan bilangan pokok $a$ sebagai faktor.

Tujuh pangkat tiga ditulis sebagai tiga faktor 7. Negatif 8 di dalam tanda kurung pangkat lima ditulis sebagai lima faktor negatif 8.

Sebelum mulai mengerjakan ekspresi variabel yang memuat eksponen, mari kita sederhanakan beberapa ekspresi yang hanya memuat bilangan.

Sederhanakan:

ⓐ $5^{3}$
ⓑ $9^{1}$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini merinci langkah-langkah menghitung ekspresi berpangkat 5^3, dari penguraiannya hingga hasil akhir yang disederhanakan.
ⓐ
	$5^{3}$
Kalikan 3 faktor 5.	$5 \cdot 5 \cdot 5$
Sederhanakan.	$125$

Tabel ini menunjukkan definisi dan penghitungan 9 pangkat 1, beserta ekspresi dan nilai bilangannya.
ⓑ
	$9^{1}$
Kalikan 1 faktor 9.	$9$

Sederhanakan:

ⓐ ${(\frac{7}{8})}^{2}$
ⓑ ${(0.74)}^{2}$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah menghitung kuadrat pecahan 7/8 melalui perkalian dan penyederhanaan.
ⓐ
	${(\frac{7}{8})}^{2}$
Kalikan dua faktor.	$(\frac{7}{8}) (\frac{7}{8})$
Sederhanakan.	$\frac{49}{64}$

Langkah-langkah menghitung kuadrat 0,74, dari ekspresi pangkat awal hingga hasil desimal akhir yang disederhanakan.
ⓑ
	${(0.74)}^{2}$
Kalikan dua faktor.	$(0.74) (0.74)$
Sederhanakan.	$0.5476$

Sederhanakan:

ⓐ ${(−3)}^{4}$
ⓑ ${−3}^{4}$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah menghitung ekspresi berpangkat (−3)^4.
ⓐ
	${(−3)}^{4}$
Kalikan empat faktor −3.	$(−3) (−3) (−3) (−3)$
Sederhanakan.	$81$

Langkah-langkah menyederhanakan ekspresi matematika −3^4, dari proses penghitungan hingga hasil akhirnya.
ⓑ
	${−3}^{4}$
Kalikan empat faktor.	$- (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$
Sederhanakan.	$−81$

Perhatikan persamaan dan perbedaan pada bagian ⓐ dan ⓑ. Mengapa jawabannya berbeda? Pada bagian ⓐ, tanda kurung menunjukkan bahwa (−3) dipangkatkan 4. Pada bagian ⓑ, hanya 3 yang dipangkatkan 4, kemudian kita mencari lawannya.

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Perkalian Eksponen

Anda telah melihat bahwa ketika menggabungkan suku sejenis melalui penjumlahan dan pengurangan, bilangan pokok dan eksponennya harus sama. Namun, ketika mengalikan dan membagi, eksponennya dapat berbeda, dan terkadang bilangan pokoknya juga dapat berbeda. Kita akan menurunkan sifat-sifat eksponen dengan mencari pola dalam beberapa contoh. Semua sifat eksponen berlaku untuk setiap bilangan real, tetapi untuk sekarang kita hanya akan menggunakan eksponen bilangan cacah.

Pertama, kita akan melihat contoh yang mengarah pada Sifat Perkalian Eksponen.


Apa artinya? Berapa banyak faktor seluruhnya?
Jadi, kita memperoleh
Perhatikan bahwa 5 adalah jumlah eksponen 2 dan 3.
Kita menuliskan:	$x^{2} \cdot x^{3}$ $x^{2 + 3}$ $x^{5}$

Bilangan pokoknya tetap sama dan kita menjumlahkan eksponennya. Hal ini mengarah pada Sifat Perkalian Eksponen.

Contoh dengan bilangan membantu memverifikasi sifat ini.

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2^{3} & \overset{?}{=} & 2^{2 + 3} \\ 4 \cdot 8 & \overset{?}{=} & 2^{5} \\ 32 & = & 32 ✓ \end{matrix}

Sederhanakan: $x^{5} \cdot x^{7} .$

Solusi

Penyelesaian

	$x^{5} \cdot x^{7}$
Gunakan Sifat Perkalian Eksponen, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$
Sederhanakan.	$x^{12}$

Sederhanakan: $b^{4} \cdot b .$

Solusi

Penyelesaian

	$b^{4} \cdot b$
Tulis ulang $b = b^{1} .$	$b^{4} \cdot b^{1}$
Gunakan Sifat Perkalian Eksponen, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$
Sederhanakan.	$b^{5}$

Sederhanakan: $2^{7} \cdot 2^{9} .$

Solusi

Penyelesaian

	$2^{7} \cdot 2^{9}$
Gunakan Sifat Perkalian Eksponen, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$
Sederhanakan.	$2^{16}$

Sederhanakan: $y^{17} \cdot y^{23} .$

Solusi

Penyelesaian

	$y^{17} \cdot y^{23}$
Perhatikan bahwa bilangan pokoknya sama, jadi jumlahkan eksponennya.
Sederhanakan.	$y^{40}$

Kita dapat memperluas Sifat Perkalian Eksponen untuk lebih dari dua faktor.

Sederhanakan: $x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2} .$

Solusi

Penyelesaian

	$x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2}$
Jumlahkan eksponen karena bilangan pokoknya sama.
Sederhanakan.	$x^{9}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Pangkat dari Pangkat

Sekarang mari kita perhatikan ekspresi eksponensial yang memuat suatu bentuk berpangkat yang dipangkatkan lagi. Cobalah menemukan sifat umumnya.



Apa artinya? Berapa banyak faktor seluruhnya?
Jadi, kita peroleh
Perhatikan bahwa 6 adalah hasil kali eksponen 2 dan 3.
Kita tulis:	${(x^{2})}^{3}$ $x^{2 \cdot 3}$ $x^{6}$

Kita mengalikan eksponennya. Hal ini menghasilkan Sifat Pangkat dari Pangkat.

Contoh dengan bilangan membantu memverifikasi sifat ini.

\begin{matrix} {(5^{2})}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{2 \cdot 3} \\ {(25)}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{6} \\ 15,625 & = & 15,625 ✓ \end{matrix}

Sederhanakan:

ⓐ ${(x^{5})}^{7}$
ⓑ ${(3^{6})}^{8}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ
	${(x^{5})}^{7}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Pangkat, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$
Sederhanakan.	$x^{35}$

ⓑ
	${(3^{6})}^{8}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Pangkat, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$
Sederhanakan.	$3^{48}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Pangkat dari Perkalian

Sekarang kita akan mempelajari ekspresi yang memuat suatu hasil kali yang dipangkatkan. Carilah polanya.

Tabel ini memperlihatkan Sifat Pangkat dari Perkalian dengan menguraikan dan menyederhanakan (2x)^3 menjadi 2^3 · x^3 langkah demi langkah.
	${(2 x)}^{3}$
Apa artinya?	$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$
Kita kelompokkan faktor-faktor sejenis.	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
Ada berapa faktor 2 dan faktor $x ?$	$2^{3} \cdot x^{3}$
Perhatikan bahwa setiap faktor dipangkatkan.	${(2 x)}^{3} adalah 2^{3} \cdot x^{3}$
Kita tulis:	${(2 x)}^{3}$ $2^{3} \cdot x^{3}$

Eksponen berlaku pada setiap faktor. Hal ini menghasilkan Sifat Pangkat dari Perkalian.

Contoh dengan bilangan membantu memverifikasi sifat ini:

\begin{matrix} {(2 \cdot 3)}^{2} & \overset{?}{=} & 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} & \overset{?}{=} & 4 \cdot 9 \\ 36 & = & 36 ✓ \end{matrix}

Sederhanakan: ${(−11 x)}^{2} .$

Solusi

Penyelesaian

	${(−11 x)}^{2}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Perkalian, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$
Sederhanakan.	$121 x^{2}$

Sederhanakan: ${(3 x y)}^{3} .$

Solusi

Penyelesaian

	${(3 x y)}^{3}$
Pangkatkan setiap faktor dengan pangkat tiga.
Sederhanakan.	$27 x^{3} y^{3}$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Menerapkan Beberapa Sifat

Sekarang kita memiliki tiga sifat untuk mengalikan ekspresi yang memuat eksponen. Mari kita rangkum ketiganya, lalu kerjakan beberapa contoh yang menggunakan lebih dari satu sifat.

Sederhanakan: ${(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan ekspresi eksponensial langkah demi langkah dengan menerapkan Sifat Pangkat dari Pangkat dan menjumlahkan eksponen.
	${(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Pangkat.	$x^{12} \cdot x^{20}$
Jumlahkan eksponennya.	$x^{32}$

Sederhanakan: ${(- 7 x^{3} y^{4})}^{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini memperlihatkan penyederhanaan ekspresi aljabar (-7x^3y^4)^2 langkah demi langkah menggunakan Sifat Pangkat dari Pangkat.
	${(- 7 x^{3} y^{4})}^{2}$
Pangkatkan setiap faktor dengan pangkat dua.	${(−7)}^{2} {(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Pangkat.	$49 x^{6} y^{8}$

Sederhanakan: ${(6 n)}^{2} (4 n^{3}) .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan ekspresi aljabar langkah demi langkah dengan menerapkan sifat-sifat eksponen.
	${(6 n)}^{2} (4 n^{3})$
Pangkatkan $6 n$ dengan pangkat dua.	$6^{2} n^{2} \cdot 4 n^{3}$
Sederhanakan.	$36 n^{2} \cdot 4 n^{3}$
Gunakan Sifat Komutatif.	$36 \cdot 4 \cdot n^{2} \cdot n^{3}$
Kalikan konstanta dan jumlahkan eksponennya.	$144 n^{5}$

Perhatikan bahwa pada monomial pertama, eksponen berada di luar tanda kurung sehingga berlaku pada kedua faktor di dalamnya. Pada monomial kedua, eksponen berada di dalam tanda kurung sehingga hanya berlaku pada n.

Sederhanakan: ${(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan ekspresi aljabar (3p^2q)^4(2pq^2)^3 langkah demi langkah hingga bentuk sederhananya dengan menerapkan sifat-sifat eksponen.
	${(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Perkalian.	$3^{4} {(p^{2})}^{4} q^{4} \cdot 2^{3} p^{3} {(q^{2})}^{3}$
Gunakan Sifat Pangkat dari Pangkat.	$81 p^{8} q^{4} \cdot 8 p^{3} q^{6}$
Gunakan Sifat Komutatif.	$81 \cdot 8 \cdot p^{8} \cdot p^{3} \cdot q^{4} \cdot q^{6}$
Kalikan konstanta dan jumlahkan eksponen untuk setiap variabel.	$648 p^{11} q^{10}$

Mengalikan Monomial

Karena monomial merupakan ekspresi aljabar, kita dapat menggunakan sifat-sifat untuk menyederhanakan ekspresi yang memuat eksponen ketika mengalikan monomial.

Kalikan: $(4 x^{2}) (- 5 x^{3}) .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah mengalikan dua monomial dengan menyusun ulang faktor-faktornya menggunakan Sifat Komutatif untuk menyederhanakan ekspresi.
	$(4 x^{2}) (- 5 x^{3})$
Gunakan Sifat Komutatif untuk menyusun ulang faktor-faktornya.	$4 \cdot (−5) \cdot x^{2} \cdot x^{3}$
Kalikan.	$- 20 x^{5}$

Kalikan: $(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2}) .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan ekspresi aljabar langkah demi langkah dengan menerapkan Sifat Komutatif untuk menyusun ulang faktor-faktor sebelum mengalikannya.
	$(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2})$
Gunakan Sifat Komutatif untuk menyusun ulang faktor-faktornya.	$\frac{3}{4} \cdot 12 \cdot c^{3} \cdot c \cdot d \cdot d^{2}$
Kalikan.	$9 c^{4} d^{3}$

Konsep Kunci

Notasi Eksponensial
Bentuk ini dibaca $a$ pangkat $m^{th}$ .
Sifat Perkalian Eksponen
- Jika $a$ adalah bilangan real dan $m, n$ adalah bilangan cacah, maka
  $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
- Untuk mengalikan bentuk dengan bilangan pokok yang sama, jumlahkan eksponennya.
Sifat Pangkat dari Pangkat
- Jika $a$ adalah bilangan real dan $m, n$ adalah bilangan cacah, maka
  ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Sifat Pangkat dari Perkalian
- Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real dan $m$ adalah bilangan cacah, maka
  ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Latihan Membuat Sempurna

Menyederhanakan Ekspresi dengan Eksponen

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi dengan eksponen.

$4^{5}$

Solusi

1,024

$10^{3}$

${(\frac{1}{2})}^{2}$

Solusi

$\frac{1}{4}$

${(\frac{3}{5})}^{2}$

${(0.2)}^{3}$

Solusi

0.008

${(0.4)}^{3}$

${(−5)}^{4}$

Solusi

625

${(−3)}^{5}$

${−5}^{4}$

Solusi

−625

${−3}^{5}$

${−10}^{4}$

Solusi

−10,000

${−2}^{6}$

${(- \frac{2}{3})}^{3}$

Solusi

$- \frac{8}{27}$

${(- \frac{1}{4})}^{4}$

$- {0.5}^{2}$

Solusi

−0.25

$- {0.1}^{4}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Perkalian Eksponen

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi menggunakan Sifat Perkalian Eksponen.

$x^{3} \cdot x^{6}$

Solusi

x⁹

$m^{4} \cdot m^{2}$

$a \cdot a^{4}$

Solusi

a⁵

$y^{12} \cdot y$

$3^{5} \cdot 3^{9}$

Solusi

3¹⁴

$5^{10} \cdot 5^{6}$

$z \cdot z^{2} \cdot z^{3}$

Solusi

z⁶

$a \cdot a^{3} \cdot a^{5}$

$x^{a} \cdot x^{2}$

Solusi

x^a+2

$y^{p} \cdot y^{3}$

$y^{a} \cdot y^{b}$

Solusi

y^a+b

$x^{p} \cdot x^{q}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Pangkat dari Pangkat

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi menggunakan Sifat Pangkat dari Pangkat.

${(u^{4})}^{2}$

Solusi

u⁸

${(x^{2})}^{7}$

${(y^{5})}^{4}$

Solusi

y²⁰

${(a^{3})}^{2}$

${(10^{2})}^{6}$

Solusi

10¹²

${(2^{8})}^{3}$

${(x^{15})}^{6}$

Solusi

x⁹⁰

${(y^{12})}^{8}$

${(x^{2})}^{y}$

Solusi

x^2y

${(y^{3})}^{x}$

${(5^{x})}^{y}$

Solusi

5^xy

${(7^{a})}^{b}$

Menyederhanakan Ekspresi Menggunakan Sifat Pangkat pada Hasil Kali

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi menggunakan Sifat Pangkat pada Hasil Kali.

${(5 a)}^{2}$

Solusi

25a²

${(7 x)}^{2}$

${(- 6 m)}^{3}$

Solusi

−216m³

${(- 9 n)}^{3}$

${(4 r s)}^{2}$

Solusi

16r²s²

${(5 a b)}^{3}$

${(4 x y z)}^{4}$

Solusi

256x⁴y⁴z⁴

${(- 5 a b c)}^{3}$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Menerapkan Beberapa Sifat

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi.

${(x^{2})}^{4} \cdot {(x^{3})}^{2}$

Solusi

x¹⁴

${(y^{4})}^{3} \cdot {(y^{5})}^{2}$

${(a^{2})}^{6} \cdot {(a^{3})}^{8}$

Solusi

a³⁶

${(b^{7})}^{5} \cdot {(b^{2})}^{6}$

${(3 x)}^{2} (5 x)$

Solusi

45x³

${(2 y)}^{3} (6 y)$

${(5 a)}^{2} {(2 a)}^{3}$

Solusi

200a⁵

${(4 b)}^{2} {(3 b)}^{3}$

${(2 m^{6})}^{3}$

Solusi

8m¹⁸

${(3 y^{2})}^{4}$

${(10 x^{2} y)}^{3}$

Solusi

1,000x⁶y³

${(2 m n^{4})}^{5}$

${(−2 a^{3} b^{2})}^{4}$

Solusi

16a¹²b⁸

${(−10 u^{2} v^{4})}^{3}$

${(\frac{2}{3} x^{2} y)}^{3}$

Solusi

$\frac{8}{27} x^{6} y^{3}$

${(\frac{7}{9} p q^{4})}^{2}$

${(8 a^{3})}^{2} {(2 a)}^{4}$

Solusi

1,024a¹⁰

${(5 r^{2})}^{3} {(3 r)}^{2}$

${(10 p^{4})}^{3} {(5 p^{6})}^{2}$

Solusi

25,000p²⁴

${(4 x^{3})}^{3} {(2 x^{5})}^{4}$

${(\frac{1}{2} x^{2} y^{3})}^{4} {(4 x^{5} y^{3})}^{2}$

Solusi

x¹⁸y¹⁸

${(\frac{1}{3} m^{3} n^{2})}^{4} {(9 m^{8} n^{3})}^{2}$

${(3 m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}$

Solusi

144m⁸n²²

${(2 p q^{4})}^{3} {(5 p^{6} q)}^{2}$

Mengalikan Monomial

Dalam latihan berikut, kalikan monomial-monomial berikut.

$(12 x^{2}) (−5 x^{4})$

Solusi

−60x⁶

$(−10 y^{3}) (7 y^{2})$

$(−8 u^{6}) (−9 u)$

Solusi

72u⁷

$(−6 c^{4}) (−12 c)$

$(\frac{1}{5} r^{8}) (20 r^{3})$

Solusi

4r¹¹

$(\frac{1}{4} a^{5}) (36 a^{2})$

$(4 a^{3} b) (9 a^{2} b^{6})$

Solusi

36a⁵b⁷

$(6 m^{4} n^{3}) (7 m n^{5})$

$(\frac{4}{7} x y^{2}) (14 x y^{3})$

Solusi

8x²y⁵

$(\frac{5}{8} u^{3} v) (24 u^{5} v)$

$(\frac{2}{3} x^{2} y) (\frac{3}{4} x y^{2})$

Solusi

$\frac{1}{2} x^{3} y^{3}$

$(\frac{3}{5} m^{3} n^{2}) (\frac{5}{9} m^{2} n^{3})$

Matematika Sehari-hari

Surel Janet mengirimkan lelucon melalui surel kepada enam temannya dan meminta mereka meneruskannya kepada enam teman masing-masing, yang kemudian meneruskannya kepada enam teman masing-masing, dan seterusnya. Banyak orang yang menerima surel pada putaran kedua adalah $6^{2},$ dan pada putaran ketiga adalah $6^{3},$ seperti ditunjukkan dalam tabel. Berapa banyak orang yang akan menerima surel pada putaran kedelapan? Sederhanakan ekspresi untuk menunjukkan banyak orang yang menerima surel.

Putaran	Banyak orang
$1$	$6$
$2$	$6^{2}$
$3$	$6^{3}$
$\dots$	$\dots$
$8$	$?$

Solusi

1,679,616

Gaji Atasan Raul memberinya kenaikan gaji sebesar $5%$ setiap tahun pada hari ulang tahunnya. Artinya, setiap tahun gaji Raul menjadi $1.05$ kali gajinya pada tahun sebelumnya. Jika gaji awalnya sebesar $$40,000$ , gajinya setelah $1$ tahun adalah $$40,000 (1.05),$ setelah $2$ tahun adalah $$40,000 {(1.05)}^{2},$ dan setelah $3$ tahun adalah $$40,000 {(1.05)}^{3},$ seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah. Berapa gaji Raul setelah $10$ tahun? Sederhanakan ekspresi untuk menunjukkan gaji Raul dalam dolar.

Tahun	Gaji
$1$	$$40,000 (1.05)$
$2$	$$40,000 {(1.05)}^{2}$
$3$	$$40,000 {(1.05)}^{3}$
$\dots$	$\dots$
$10$	$?$

Latihan Menulis

Gunakan Sifat Perkalian Eksponen untuk menjelaskan mengapa $x \cdot x = x^{2} .$

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Jelaskan mengapa ${−5}^{3} = {(−5)}^{3}$ , tetapi ${−5}^{4} \neq {(−5)}^{4} .$

Jorge menganggap ${(\frac{1}{2})}^{2}$ sama dengan $1 .$ Apa yang salah dengan penalarannya?

Solusi

Jawaban akan bervariasi.

Jelaskan mengapa $x^{3} \cdot x^{5}$ sama dengan $x^{8},$ bukan $x^{15} .$

Pemeriksaan Mandiri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk mengevaluasi penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Kisi dengan enam keterampilan: menyederhanakan ekspresi dengan eksponen; menggunakan sifat perkalian eksponen; menggunakan sifat pangkat dari pangkat; menggunakan sifat pangkat pada hasil kali; menerapkan beberapa sifat; dan mengalikan monomial. Setiap keterampilan dapat dinilai pada kolom Dengan yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Saya belum paham.

ⓑ Setelah meninjau daftar periksa ini, apa yang akan Anda lakukan agar yakin menguasai semua tujuan?