Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Sama

Memodelkan Penjumlahan Pecahan

Berapa banyak koin seperempat dolar yang ditampilkan? Satu koin seperempat dolar ditambah $2$ koin seperempat dolar sama dengan $3$ koin seperempat dolar.

Tiga koin seperempat dolar AS ditampilkan. Satu koin berada di sebelah kiri dan dua koin di sebelah kanan.

Ingatlah bahwa koin seperempat dolar benar-benar mewakili pecahan dari satu dolar. Seperempat adalah nama lain untuk satu per empat. Jadi, gambar koin tersebut menunjukkan bahwa

\begin{matrix} \frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4} \\ seperempat & + & dua perempat & = & tiga perempat \end{matrix}

Mari gunakan lingkaran pecahan untuk memodelkan contoh yang sama, $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} .$

Mulailah dengan satu keping $\frac{1}{4}$ .
Tambahkan dua keping $\frac{1}{4}$ lagi.
Hasilnya adalah $\frac{3}{4}$ .

Jadi, sekali lagi kita melihat bahwa

\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}

Gunakan model untuk menentukan jumlah $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Mulailah dengan tiga keping $\frac{1}{8}$ .
Tambahkan dua keping $\frac{1}{8}$ .
Ada berapa keping $\frac{1}{8}$ ?

Ada lima keping $\frac{1}{8}$ , yaitu lima perdelapan. Model tersebut menunjukkan bahwa $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} .$

Menjumlahkan Pecahan Berpenyebut Sama

menunjukkan bahwa untuk menjumlahkan bagian-bagian yang sama besar—artinya pecahan-pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama—kita cukup menjumlahkan banyaknya bagian.

Tentukan jumlahnya: $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Panduan langkah demi langkah untuk menjumlahkan pecahan berpenyebut sama.
	$\frac{3}{5} + \frac{1}{5}$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$\frac{3 + 1}{5}$
Sederhanakan.	$\frac{4}{5}$

Tentukan jumlahnya: $\frac{x}{3} + \frac{2}{3} .$

Solusi

Penyelesaian

Menunjukkan penjumlahan pecahan berpenyebut sama, beserta langkah dan bentuk hasilnya.
	$\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$\frac{x + 2}{3}$

Perhatikan bahwa pecahan ini tidak dapat disederhanakan lagi. Karena $x$ dan $2$ bukan suku sejenis, keduanya tidak dapat digabungkan.

Tentukan jumlahnya: $- \frac{9}{d} + \frac{3}{d} .$

Solusi

Penyelesaian

Kita mulai dengan menulis ulang pecahan pertama dengan tanda negatif pada pembilang.

$- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b}$

Menunjukkan penyederhanaan −9/d + 3/d langkah demi langkah dengan menjumlahkan pecahan berpenyebut sama.
	$- \frac{9}{d} + \frac{3}{d}$
Tulis ulang pecahan pertama dengan tanda negatif pada pembilang.	$\frac{−9}{d} + \frac{3}{d}$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$\frac{−9 + 3}{d}$
Sederhanakan pembilang.	$\frac{−6}{d}$
Tulis ulang dengan tanda negatif di depan pecahan.	$- \frac{6}{d}$

Tentukan jumlahnya: $\frac{2 n}{11} + \frac{5 n}{11} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan penyederhanaan bentuk aljabar yang memuat pecahan berpenyebut sama langkah demi langkah.
	$\frac{2 n}{11} + \frac{5 n}{11}$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$\frac{2 n + 5 n}{11}$
Gabungkan suku sejenis.	$\frac{7 n}{11}$

Tentukan jumlahnya: $- \frac{3}{12} + (- \frac{5}{12}) .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah menjumlahkan dan menyederhanakan dua pecahan negatif berpenyebut sama.
	$- \frac{3}{12} + (- \frac{5}{12})$
Jumlahkan pembilangnya dan tempatkan hasil penjumlahan di atas penyebut yang sama.	$\frac{−3 + (−5)}{12}$
Jumlahkan.	$\frac{−8}{12}$
Sederhanakan pecahan.	$- \frac{2}{3}$

Memodelkan Pengurangan Pecahan

Mengurangkan dua pecahan berpenyebut sama sangat mirip dengan menjumlahkan pecahan. Bayangkan sebuah piza yang dipotong menjadi $12$ potong. Misalkan lima potong dimakan saat makan malam. Artinya, setelah makan malam, tersisa tujuh potong (atau $\frac{7}{12}$ bagian piza) di dalam kotak. Jika Leonardo memakan $2$ dari potongan yang tersisa ini (atau $\frac{2}{12}$ bagian piza), berapa banyak yang tersisa? Akan tersisa $5$ potong (atau $\frac{5}{12}$ bagian piza).

\frac{7}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Mari kita gunakan lingkaran pecahan untuk memodelkan contoh yang sama, $\frac{7}{12} - \frac{2}{12} .$

Mulailah dengan tujuh keping $\frac{1}{12}$ . Ambil dua keping $\frac{1}{12}$ . Berapa banyak bagian seperdua belas yang tersisa?

Di bagian bawah tertulis 7 per 12 dikurangi 2 per 12 sama dengan 5 per 12. Di atas 7 per 12 terdapat lingkaran yang dibagi menjadi 12 bagian sama besar, dengan 7 bagian diarsir jingga. Di atas 2 per 12 ditampilkan lingkaran yang sama, tetapi 2 dari 7 bagian tersebut diarsir abu-abu. Di atas 5 per 12, kedua bagian abu-abu tidak lagi diarsir, sehingga lingkaran yang terbagi menjadi 12 bagian itu memiliki 5 bagian yang diarsir jingga.

Sekali lagi, kita memperoleh lima per dua belas, $\frac{5}{12} .$

Gunakan lingkaran pecahan untuk menentukan selisihnya: $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Mulailah dengan empat keping $\frac{1}{5}$ . Ambil satu keping $\frac{1}{5}$ . Hitung berapa banyak bagian seperlima yang tersisa. Tersisa tiga keping $\frac{1}{5}$ .

Di bagian bawah tertulis 4 per 5 dikurangi 1 per 5 sama dengan 3 per 5. Di atas 4 per 5 terdapat lingkaran yang dibagi menjadi 5 bagian sama besar, dengan 4 bagian diarsir jingga. Di atas 1 per 5 ditampilkan lingkaran yang sama, tetapi 1 dari 4 bagian tersebut diarsir abu-abu. Di atas 3 per 5, bagian abu-abu itu tidak lagi diarsir, sehingga lingkaran yang terbagi menjadi 5 bagian tersebut memiliki 3 bagian yang diarsir jingga.

Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Sama

Kita mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama dengan cara yang hampir sama seperti ketika menjumlahkan pecahan berpenyebut sama.

Tentukan selisihnya: $\frac{23}{24} - \frac{14}{24} .$

Solusi

Penyelesaian

Langkah-langkah mengurangkan pecahan berpenyebut sama dan menyederhanakan hasilnya.
	$\frac{23}{24} - \frac{14}{24}$
Kurangkan pembilangnya dan tempatkan selisihnya di atas penyebut yang sama.	$\frac{23 - 14}{24}$
Sederhanakan pembilangnya.	$\frac{9}{24}$
Sederhanakan pecahan dengan menghilangkan faktor persekutuan.	$\frac{3}{8}$

Tentukan selisihnya: $\frac{y}{6} - \frac{1}{6} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyederhanaan bentuk pecahan dengan mengurangkan pembilang di atas penyebut yang sama.
	$\frac{y}{6} - \frac{1}{6}$
Kurangkan pembilangnya dan tempatkan selisihnya di atas penyebut yang sama.	$\frac{y - 1}{6}$

Pecahan tersebut sudah disederhanakan karena suku-suku pada pembilang tidak dapat digabungkan.

Tentukan selisihnya: $- \frac{10}{x} - \frac{4}{x} .$

Solusi

Penyelesaian

Ingatlah bahwa pecahan $- \frac{10}{x}$ dapat ditulis sebagai $\frac{−10}{x} .$

Langkah-langkah yang menunjukkan pengurangan dan penyederhanaan bentuk aljabar yang memuat pecahan berpenyebut sama.
	$- \frac{10}{x} - \frac{4}{x}$
Kurangkan pembilangnya.	$\frac{−10 - 4}{x}$
Sederhanakan.	$\frac{−14}{x}$
Tulis ulang dengan tanda negatif di depan pecahan.	$- \frac{14}{x}$

Sekarang mari kita kerjakan contoh yang melibatkan penjumlahan sekaligus pengurangan.

Sederhanakan: $\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyelesaian langkah demi langkah untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan berpenyebut sama.
	$\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8}$
Gabungkan pembilangnya di atas penyebut yang sama.	$\frac{3 + (−5) - 1}{8}$
Sederhanakan pembilangnya dengan mengerjakan dari kiri ke kanan.	$\frac{−2 - 1}{8}$
Kurangkan suku-suku pada pembilang.	$\frac{−3}{8}$
Tulis ulang dengan tanda negatif di depan pecahan.	$- \frac{3}{8}$

Konsep Penting

Penjumlahan Pecahan
- Jika $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan dengan $c \neq 0$ , maka $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ .
- Untuk menjumlahkan pecahan, jumlahkan pembilangnya dan tempatkan jumlahnya di atas penyebut yang sama.
Pengurangan Pecahan
- Jika $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan dengan $c \neq 0$ , maka $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ .
- Untuk mengurangkan pecahan, kurangkan pembilangnya dan tempatkan selisihnya di atas penyebut yang sama.

Latihan Membentuk Kemahiran

Memodelkan Penjumlahan Pecahan

Dalam latihan berikut, gunakan model untuk menjumlahkan pecahan. Buat diagram untuk menggambarkan model Anda.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$

$\frac{3}{10} + \frac{4}{10}$

Solusi

Sebuah lingkaran dibagi menjadi 10 bagian sama besar. Tujuh bagian diarsir.
$\frac{7}{10}$

$\frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

$\frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

Solusi

Sebuah lingkaran dibagi menjadi delapan bagian sama besar. Enam bagian diarsir.
$\frac{3}{4}$

Menjumlahkan Pecahan Berpenyebut Sama

Dalam latihan berikut, tentukan setiap jumlah.

$\frac{4}{9} + \frac{1}{9}$

$\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$

Solusi

$\frac{7}{9}$

$\frac{6}{13} + \frac{7}{13}$

$\frac{9}{15} + \frac{7}{15}$

Solusi

$\frac{16}{15}$

$\frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

$\frac{y}{3} + \frac{2}{3}$

Solusi

$\frac{y + 2}{3}$

$\frac{7}{p} + \frac{9}{p}$

$\frac{8}{q} + \frac{6}{q}$

Solusi

$\frac{14}{q}$

$\frac{8 b}{9} + \frac{3 b}{9}$

$\frac{5 a}{7} + \frac{4 a}{7}$

Solusi

$\frac{9 a}{7}$

$\frac{−12 y}{8} + \frac{3 y}{8}$

$\frac{−11 x}{5} + \frac{7 x}{5}$

Solusi

$\frac{−4 x}{5}$

$- \frac{1}{8} + (- \frac{3}{8})$

$- \frac{1}{8} + (- \frac{5}{8})$

Solusi

$- \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{16} + (- \frac{7}{16})$

$- \frac{5}{16} + (- \frac{9}{16})$

Solusi

$- \frac{7}{8}$

$- \frac{8}{17} + \frac{15}{17}$

$- \frac{9}{19} + \frac{17}{19}$

Solusi

$\frac{8}{19}$

$\frac{6}{13} + (- \frac{10}{13}) + (- \frac{12}{13})$

$\frac{5}{12} + (- \frac{7}{12}) + (- \frac{11}{12})$

Solusi

$- \frac{13}{12}$

Memodelkan Pengurangan Pecahan

Dalam latihan berikut, gunakan model untuk mengurangkan pecahan. Buat diagram untuk menggambarkan model Anda.

$\frac{5}{8} - \frac{2}{8}$

$\frac{5}{6} - \frac{2}{6}$

Solusi

Tiga diagram lingkaran, masing-masing dibagi menjadi enam bagian sama besar, menunjukkan lima per enam dikurangi dua per enam sama dengan tiga per enam.
$\frac{1}{2}$

Mengurangkan Pecahan Berpenyebut Sama

Dalam latihan berikut, tentukan setiap selisih.

$\frac{4}{5} - \frac{1}{5}$

$\frac{4}{5} - \frac{3}{5}$

Solusi

$\frac{1}{5}$

$\frac{11}{15} - \frac{7}{15}$

$\frac{9}{13} - \frac{4}{13}$

Solusi

$\frac{5}{13}$

$\frac{11}{12} - \frac{5}{12}$

$\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$

Solusi

$\frac{1}{6}$

$\frac{4}{21} - \frac{19}{21}$

$- \frac{8}{9} - \frac{16}{9}$

Solusi

$- \frac{8}{3}$

$\frac{y}{17} - \frac{9}{17}$

$\frac{x}{19} - \frac{8}{19}$

Solusi

$\frac{x - 8}{19}$

$\frac{5 y}{8} - \frac{7}{8}$

$\frac{11 z}{13} - \frac{8}{13}$

Solusi

$\frac{11 z - 8}{13}$

$- \frac{8}{d} - \frac{3}{d}$

$- \frac{7}{c} - \frac{7}{c}$

Solusi

$- \frac{14}{c}$

$- \frac{23}{u} - \frac{15}{u}$

$- \frac{29}{v} - \frac{26}{v}$

Solusi

$- \frac{55}{v}$

$\frac{6 c}{7} - \frac{5 c}{7}$

$\frac{12 d}{11} - \frac{9 d}{11}$

Solusi

$\frac{3 d}{11}$

$\frac{−4 r}{13} - \frac{5 r}{13}$

$\frac{−7 s}{3} - \frac{7 s}{3}$

Solusi

$- \frac{14 s}{3}$

$- \frac{3}{5} - (- \frac{4}{5})$

$- \frac{3}{7} - (- \frac{5}{7})$

Solusi

$\frac{2}{7}$

$- \frac{7}{9} - (- \frac{5}{9})$

$- \frac{8}{11} - (- \frac{5}{11})$

Solusi

$- \frac{3}{11}$

Latihan Campuran

Dalam latihan berikut, lakukan operasi yang ditunjukkan dan tulis jawaban Anda dalam bentuk paling sederhana.

$- \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{10}$

$- \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}$

Solusi

$- \frac{1}{8}$

$\frac{n}{5} - \frac{4}{5}$

$\frac{6}{11} - \frac{s}{11}$

Solusi

$\frac{6 - s}{11}$

$- \frac{7}{24} + \frac{2}{24}$

$- \frac{5}{18} + \frac{1}{18}$

Solusi

$- \frac{2}{9}$

$\frac{8}{15} \div \frac{12}{5}$

$\frac{7}{12} \div \frac{9}{28}$

Solusi

$\frac{49}{27}$

Matematika Sehari-hari

Campuran Camilan Jacob mencampurkan kacang-kacangan dan kismis untuk membuat campuran camilan. Ia memiliki $\frac{6}{10}$ pon kacang-kacangan dan $\frac{3}{10}$ pon kismis. Berapa pon campuran camilan yang dapat dibuatnya?

Membuat Kue Janet memerlukan $\frac{5}{8}$ cangkir tepung untuk resep yang sedang dibuatnya. Ia hanya memiliki $\frac{3}{8}$ cangkir tepung dan akan meminjam sisanya dari tetangga sebelah. Berapa cangkir tepung yang harus dipinjamnya?

Solusi

$\frac{1}{4}$ cangkir

Latihan Menulis

Greg menjatuhkan kotak mata bornya, sehingga tiga mata bor terlepas. Kotak itu memiliki slot-slot untuk mata bor yang diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Greg harus mengembalikan ketiga mata bor tersebut ke slot yang kosong. Di slot mana saja ketiga mata bor itu harus ditempatkan? Jelaskan cara Anda mengetahuinya.
Mata bor di dalam kotak: $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{8}$ , ___, ___, $\frac{5}{16}$ , $\frac{3}{8}$ , ___, $\frac{1}{2}$ , $\frac{9}{16}$ , $\frac{5}{8}$ .
Mata bor yang terlepas: $\frac{7}{16}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{1}{4}$ .

Setelah pesta, Lupe memiliki sisa $\frac{5}{12}$ piza keju, $\frac{4}{12}$ piza pepperoni, dan $\frac{4}{12}$ piza sayuran. Apakah semua potongan itu muat dalam $1$ kotak piza? Jelaskan alasan Anda.

Solusi

Tidak. Menjumlahkan bagian piza yang tersisa menghasilkan $\frac{13}{12}$ , yang lebih besar dari 1. (Jawaban dapat bervariasi.)

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

ⓑ Pada skala 1–10, bagaimana Anda menilai penguasaan Anda atas bagian ini berdasarkan jawaban Anda pada daftar periksa? Apa yang dapat Anda lakukan untuk meningkatkannya?