Memvisualisasikan Pecahan

Memahami Makna Pecahan

Andy dan Bobby menyukai piza. Pada Senin malam, mereka membagi sebuah piza sama rata. Berapa bagian piza yang diperoleh masing-masing? Apakah Anda berpikir bahwa setiap anak mendapat setengah piza? Benar. Ada satu piza utuh yang dibagi rata menjadi dua bagian, sehingga setiap anak mendapat satu dari dua bagian yang sama besar.

Dalam matematika, kita menulis $\frac{1}{2}$ untuk menyatakan satu dari dua bagian.

Gambar piza bundar yang dipotong vertikal tepat di tengah sehingga terbentuk dua bagian sama besar. Setiap bagian berlabel setengah.

Pada Selasa, Andy dan Bobby berbagi sebuah piza dengan orang tua mereka, Fred dan Christy, dan setiap orang mendapat bagian yang sama dari seluruh piza. Berapa bagian piza yang diperoleh setiap orang? Ada satu piza utuh yang dibagi rata menjadi empat bagian sama besar. Setiap orang mendapat satu dari empat bagian yang sama besar, sehingga masing-masing memperoleh $\frac{1}{4}$ piza.

Gambar piza bundar yang dipotong vertikal dan horizontal sehingga terbentuk empat bagian sama besar. Setiap bagian berlabel seperempat.

Pada Rabu, keluarga itu mengundang beberapa teman untuk makan piza bersama. Seluruhnya ada $12$ orang. Jika mereka membagi piza sama rata, setiap orang akan mendapat $\frac{1}{12}$ piza.

Gambar piza bundar yang dipotong menjadi dua belas juring sama besar. Setiap bagian berlabel seperdua belas.

Pecahan merupakan cara untuk menyatakan bagian dari suatu keseluruhan. Penyebut $b$ menyatakan banyaknya bagian sama besar yang membagi keseluruhan tersebut, sedangkan pembilang $a$ menyatakan banyaknya bagian yang disertakan. Penyebut $b,$ tidak boleh sama dengan nol karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Pada , lingkaran dibagi menjadi tiga bagian sama besar. Setiap bagian menyatakan $\frac{1}{3}$ lingkaran. Model seperti ini disebut lingkaran pecahan. Bentuk lain, seperti persegi panjang, juga dapat digunakan untuk memodelkan pecahan.

Sebuah lingkaran dibagi menjadi tiga juring sama besar. Setiap bagian berlabel sepertiga.

Apa yang dinyatakan oleh pecahan $\frac{2}{3}$ ? Pecahan $\frac{2}{3}$ berarti dua dari tiga bagian sama besar.

Sebuah lingkaran dibagi menjadi tiga juring sama besar. Dua juring diarsir.

Sebutkan pecahan dari bentuk yang diarsir pada setiap gambar.

Pada bagian “a”, sebuah lingkaran dibagi menjadi delapan juring sama besar. Lima juring diarsir. Pada bagian “b”, sebuah persegi dibagi menjadi sembilan bagian sama besar. Dua bagian diarsir.

Solusi

Penyelesaian

Kita perlu mengajukan dua pertanyaan. Pertama, ada berapa bagian sama besar? Jawabannya menjadi penyebut. Kedua, dari bagian-bagian sama besar tersebut, berapa yang diarsir? Jawabannya menjadi pembilang.

ⓐ
$\begin{matrix} Ada berapa bagian sama besar? & Ada delapan bagian sama besar . \\ Berapa bagian yang diarsir? & Lima bagian diarsir . \end{matrix}$

Lima dari delapan bagian diarsir. Jadi, pecahan lingkaran yang diarsir adalah $\frac{5}{8} .$

ⓑ
$\begin{matrix} Ada berapa bagian sama besar? & Ada sembilan bagian sama besar . \\ Berapa bagian yang diarsir? & Dua bagian diarsir . \end{matrix}$

Dua dari sembilan bagian diarsir. Jadi, pecahan persegi yang diarsir adalah $\frac{2}{9} .$

Arsirlah $\frac{3}{4}$ bagian lingkaran.

Solusi

Penyelesaian

Penyebutnya adalah $4,$ sehingga kita membagi lingkaran menjadi empat bagian sama besar ⓐ.

Pembilangnya adalah $3,$ sehingga kita mengarsir tiga dari empat bagian tersebut ⓑ.

Pada bagian “a”, sebuah lingkaran dibagi menjadi empat bagian sama besar. Sebuah anak panah mengarah dari “a” ke “b”. Pada bagian “b”, gambar yang sama ditampilkan dengan tiga bagian diarsir.

$\frac{3}{4}$ bagian lingkaran diarsir.

Pada dan , kita menggunakan lingkaran dan persegi panjang untuk memodelkan pecahan. Pecahan juga dapat dimodelkan dengan alat peraga yang disebut blok pecahan, seperti ditunjukkan pada . Di sini, keseluruhan dimodelkan sebagai satu blok persegi panjang yang panjang dan tidak terbagi. Di bawahnya terdapat blok-blok yang sama panjang, tetapi dibagi menjadi jumlah bagian sama besar yang berbeda-beda.

Sebuah blok persegi panjang panjang yang tidak terbagi ditampilkan dengan label “1”. Di bawahnya terdapat blok persegi panjang dengan ukuran dan bentuk yang sama, dibagi vertikal menjadi dua bagian sama besar yang masing-masing berlabel setengah. Di bawahnya terdapat blok lain yang dibagi menjadi tiga bagian sama besar, masing-masing berlabel sepertiga. Di bawahnya terdapat blok lain yang dibagi menjadi empat bagian sama besar, masing-masing berlabel seperempat. Di bawahnya terdapat blok lain yang dibagi menjadi enam bagian sama besar, masing-masing berlabel seperenam.

Kita akan menggunakan blok pecahan untuk menemukan beberapa fakta dasar tentang pecahan. Gunakan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

Tabel ini menunjukkan bagaimana berbagai bagian pecahan, seperti setengah dan sepertiga, bergabung membentuk satu keseluruhan melalui serangkaian pertanyaan dan jawaban.
Berapa blok pecahan $\frac{1}{2}$ yang diperlukan untuk membentuk satu blok utuh?	Diperlukan dua blok setengah untuk membentuk satu keseluruhan, sehingga dua dari dua adalah $\frac{2}{2} = 1 .$
Berapa blok pecahan $\frac{1}{3}$ yang diperlukan untuk membentuk satu blok utuh?	Diperlukan tiga blok sepertiga, sehingga tiga dari tiga adalah $\frac{3}{3} = 1 .$
Berapa blok pecahan $\frac{1}{4}$ yang diperlukan untuk membentuk satu blok utuh?	Diperlukan empat blok seperempat, sehingga empat dari empat adalah $\frac{4}{4} = 1 .$
Berapa blok pecahan $\frac{1}{6}$ yang diperlukan untuk membentuk satu blok utuh?	Diperlukan enam blok seperenam, sehingga enam dari enam adalah $\frac{6}{6} = 1 .$
Bagaimana jika keseluruhan dibagi menjadi $24$ bagian sama besar? (Blok pecahannya tidak ditampilkan di sini, tetapi cobalah membayangkannya.) Berapa blok pecahan $\frac{1}{24}$ yang diperlukan untuk membentuk satu blok utuh?	Diperlukan $24$ bagian per dua puluh empat, sehingga $\frac{24}{24} = 1 .$

Diperlukan $24$ bagian per dua puluh empat, sehingga $\frac{24}{24} = 1 .$

Hal ini membawa kita pada Sifat Satu.

Gunakan lingkaran pecahan untuk membentuk keseluruhan dari keping-keping berikut:

ⓐ $4$ keping seperempat
ⓑ $5$ keping seperlima
ⓒ $6$ keping seperenam

Solusi

Penyelesaian

Tiga lingkaran ditampilkan dan seluruh bagiannya diarsir. Lingkaran kiri dibagi menjadi empat bagian sama besar dan berlabel “4 perempat”. Lingkaran tengah dibagi menjadi lima bagian sama besar dan berlabel “5 perlima”. Lingkaran kanan dibagi menjadi enam bagian sama besar dan berlabel “6 perenam”. Di bawah setiap lingkaran tertulis “Membentuk 1 utuh”.

Bagaimana jika keping pecahan yang kita miliki melebihi jumlah yang diperlukan untuk membentuk $1$ keseluruhan? Kita akan membahasnya pada contoh berikut.

Gunakan lingkaran pecahan untuk membentuk keseluruhan dari keping-keping berikut:

ⓐ $3$ keping setengah
ⓑ $8$ keping seperlima
ⓒ $7$ keping sepertiga

Solusi

Penyelesaian

ⓐ $3$ keping setengah membentuk $1$ keseluruhan dengan sisa $1$ keping setengah.

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi dua bagian sama besar. Kedua bagian pada lingkaran kiri diarsir dan lingkaran itu berlabel “1”. Pada lingkaran kanan, satu bagian diarsir dan berlabel setengah.

ⓑ $8$ keping seperlima membentuk $1$ keseluruhan dengan sisa $3$ keping seperlima.

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi lima bagian sama besar. Kelima bagian pada lingkaran kiri diarsir dan lingkaran itu berlabel “1”. Pada lingkaran kanan, tiga bagian diarsir dan berlabel tiga per lima.

Tiga lingkaran ditampilkan dan semuanya dibagi menjadi tiga bagian sama besar. Ketiga bagian pada dua lingkaran kiri diarsir dan masing-masing lingkaran berlabel satu. Pada lingkaran kanan, satu bagian diarsir dan berlabel sepertiga.

Memodelkan Pecahan Tidak Sejati dan Pecahan Campuran

Pada bagian (b), Anda memiliki delapan keping seperlima yang sama besar. Lima keping digunakan untuk membentuk satu keseluruhan, dan tersisa tiga keping seperlima. Mari gunakan notasi pecahan untuk menunjukkan apa yang terjadi. Anda memiliki delapan keping yang masing-masing bernilai seperlima, $\frac{1}{5},$ sehingga seluruhnya ada delapan perlima, yang dapat ditulis sebagai $\frac{8}{5} .$ Pecahan $\frac{8}{5}$ sama dengan satu keseluruhan, $1,$ ditambah tiga perlima, $\frac{3}{5},$ atau $1 \frac{3}{5},$ yang dibaca satu dan tiga per lima.

Bilangan $1 \frac{3}{5}$ disebut pecahan campuran. Pecahan campuran terdiri atas bilangan cacah dan pecahan.

Pecahan seperti $\frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{5},$ dan $\frac{7}{3}$ disebut pecahan tidak sejati. Pada pecahan tidak sejati, pembilang lebih besar daripada atau sama dengan penyebut, sehingga nilainya lebih besar daripada atau sama dengan satu. Jika pembilang suatu pecahan lebih kecil daripada penyebutnya, pecahan itu disebut pecahan sejati dan nilainya kurang dari satu. Pecahan seperti $\frac{1}{2}, \frac{3}{7},$ dan $\frac{11}{18}$ merupakan pecahan sejati.

Sebutkan pecahan tidak sejati yang dimodelkan. Kemudian tuliskan pecahan tidak sejati tersebut sebagai pecahan campuran.

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi tiga bagian sama besar. Ketiga bagian pada lingkaran kiri diarsir. Pada lingkaran kanan, satu bagian diarsir.

Solusi

Penyelesaian

Setiap lingkaran dibagi menjadi tiga bagian, sehingga setiap bagian bernilai $\frac{1}{3}$ lingkaran. Ada empat bagian yang diarsir, sehingga terdapat empat pertiga atau $\frac{4}{3} .$ Gambar juga menunjukkan satu lingkaran utuh dan sepertiga lingkaran, yaitu $1 \frac{1}{3} .$ Jadi, $\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} .$

Gambarlah sebuah bangun untuk memodelkan $\frac{11}{8} .$

Solusi

Penyelesaian

Penyebut pecahan tidak sejati tersebut adalah $8 .$ Gambarlah sebuah lingkaran yang dibagi menjadi delapan bagian, lalu arsir semuanya. Langkah ini mencakup delapan perdelapan, tetapi kita memiliki $11$ perdelapan. Kita harus mengarsir tiga dari delapan bagian pada lingkaran lain.

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi delapan bagian sama besar. Kedelapan bagian pada lingkaran kiri diarsir dan berlabel delapan perdelapan. Pada lingkaran kanan, tiga bagian diarsir dan berlabel tiga perdelapan. Diagram menunjukkan bahwa delapan perdelapan ditambah tiga perdelapan sama dengan satu ditambah tiga perdelapan.

Jadi, $\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} .$

Gunakan sebuah model untuk menuliskan kembali pecahan tidak sejati $\frac{11}{6}$ sebagai pecahan campuran.

Solusi

Penyelesaian

Kita mulai dengan $11$ bagian seperenam $(\frac{11}{6}) .$ Kita mengetahui bahwa enam perenam membentuk satu keseluruhan.

\frac{6}{6} = 1

Tersisa lima bagian seperenam, yaitu $\frac{5}{6} (11 perenam dikurangi 6 perenam adalah 5 perenam) .$

Jadi, $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} .$

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi enam bagian sama besar. Keenam bagian pada lingkaran kiri diarsir dan berlabel enam perenam. Pada lingkaran kanan, lima bagian diarsir dan berlabel lima perenam. Di bawah lingkaran tertulis satu ditambah lima perenam, lalu enam perenam ditambah lima perenam sama dengan sebelas perenam, dan satu ditambah lima perenam sama dengan satu dan lima perenam. Selanjutnya dinyatakan bahwa sebelas perenam sama dengan satu dan lima perenam.

Gunakan sebuah model untuk menuliskan kembali pecahan campuran $1 \frac{4}{5}$ sebagai pecahan tidak sejati.

Solusi

Penyelesaian

Pecahan campuran $1 \frac{4}{5}$ berarti satu keseluruhan ditambah empat perlima. Penyebutnya adalah $5,$ sehingga satu keseluruhan sama dengan $\frac{5}{5} .$ Lima perlima ditambah empat perlima sama dengan sembilan perlima.

Jadi, $1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5} .$

Dua lingkaran ditampilkan dan masing-masing dibagi menjadi lima bagian sama besar. Kelima bagian pada lingkaran kiri diarsir dan berlabel 5 perlima. Pada lingkaran kanan, empat bagian diarsir dan berlabel 4 perlima. Selanjutnya dinyatakan bahwa 5 perlima ditambah 4 perlima sama dengan 9 perlima dan bahwa 9 perlima sama dengan satu ditambah 4 perlima.

Mengubah Pecahan Tidak Sejati dan Pecahan Campuran

Dalam , kita mengubah pecahan tidak sejati $\frac{11}{6}$ menjadi pecahan campuran $1 \frac{5}{6}$ dengan menggunakan lingkaran pecahan. Kita melakukannya dengan mengelompokkan enam keping seperenam untuk membentuk satu satuan utuh, lalu melihat berapa banyak dari $11$ keping yang tersisa. Kita melihat bahwa $\frac{11}{6}$ membentuk satu kelompok utuh yang terdiri atas enam keping seperenam, ditambah lima keping seperenam lagi. Ini menunjukkan bahwa $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} .$

Bentuk pembagian $\frac{11}{6}$ (yang juga dapat ditulis sebagai $611$ ) meminta kita menentukan berapa banyak kelompok berisi $6$ yang terdapat dalam $11 .$ Untuk mengubah pecahan tidak sejati menjadi pecahan campuran tanpa lingkaran pecahan, kita melakukan pembagian.

Ubah $\frac{11}{6}$ menjadi pecahan campuran.

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{11}{6}$
Bagilah pembilang dengan penyebut.	Ingatlah bahwa $\frac{11}{6}$ berarti $11 \div 6$ .

Tentukan hasil bagi, sisa, dan pembagi.
Tuliskan pecahan campuran sebagai $hasil bagi \frac{sisa}{pembagi}$ .	$1 \frac{5}{6}$
Jadi, $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$

Ubah pecahan tidak sejati $\frac{33}{8}$ menjadi pecahan campuran.

Solusi

Penyelesaian

	$\frac{33}{8}$
Bagilah pembilang dengan penyebut.	Ingatlah bahwa $\frac{33}{8}$ berarti $833$ .
Tentukan hasil bagi, sisa, dan pembagi.
Tuliskan pecahan campuran sebagai hasil bagi $\frac{sisa}{pembagi}$ .	$4 \frac{1}{8}$
	Jadi, $\frac{33}{8} = 4 \frac{1}{8}$

Dalam , kita mengubah $1 \frac{4}{5}$ menjadi pecahan tidak sejati dengan terlebih dahulu memahami bahwa satu satuan utuh terdiri atas lima keping seperlima. Jadi, kita memiliki lima keping seperlima dan empat keping seperlima lagi.

\frac{5}{5} + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}

Dari mana angka sembilan berasal? Ada sembilan keping seperlima—satu satuan utuh (lima keping seperlima) ditambah empat keping seperlima. Mari gunakan gagasan ini untuk melihat cara mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati.

Ubah pecahan campuran $4 \frac{2}{3}$ menjadi pecahan tidak sejati.

Solusi

Penyelesaian

	$4 \frac{2}{3}$
Kalikan bilangan cacah dengan penyebut.
Bilangan cacahnya adalah 4 dan penyebutnya adalah 3.
Sederhanakan.
Tambahkan pembilang pada hasil kali.
Pembilang pecahan campuran adalah 2.
Sederhanakan.
Tuliskan jumlah akhir di atas penyebut semula.
Penyebutnya adalah 3.	$\frac{14}{3}$

Ubah pecahan campuran $10 \frac{2}{7}$ menjadi pecahan tidak sejati.

Solusi

Penyelesaian

	$10 \frac{2}{7}$
Kalikan bilangan cacah dengan penyebut.
Bilangan cacahnya adalah 10 dan penyebutnya adalah 7.
Sederhanakan.
Tambahkan pembilang pada hasil kali.
Pembilang pecahan campuran adalah 2.
Sederhanakan.
Tuliskan jumlah akhir di atas penyebut semula.
Penyebutnya adalah 7.	$\frac{72}{7}$

Memodelkan Pecahan Senilai

Mari kita pikirkan kembali Andy dan Bobby serta makanan kesukaan mereka. Jika Andy memakan $\frac{1}{2}$ bagian piza dan Bobby memakan $\frac{2}{4}$ bagian piza, apakah mereka memakan piza dalam jumlah yang sama? Dengan kata lain, apakah $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} ?$ Kita dapat menggunakan blok pecahan untuk mengetahui apakah Andy dan Bobby memakan bagian piza yang senilai.

Blok pecahan merupakan model pecahan senilai yang berguna. Anda dapat menggunakan blok pecahan untuk melakukan kegiatan berikut. Pilihan lain, buatlah salinan dan perluas hingga mencakup bagian seperdelapan, sepersepuluh, dan seperdua belas.

Mulailah dengan sebuah blok $\frac{1}{2}$ . Berapa banyak bagian seperempat yang senilai dengan setengah? Berapa banyak blok $\frac{1}{4}$ yang tepat menutupi blok $\frac{1}{2}$ ?

Sebuah persegi panjang utuh ditampilkan. Di bawahnya terdapat persegi panjang yang dibagi secara vertikal menjadi dua bagian, masing-masing berlabel satu per dua. Di bawahnya lagi terdapat persegi panjang yang dibagi secara vertikal menjadi empat bagian, masing-masing berlabel satu per empat.

Karena dua blok $\frac{1}{4}$ menutupi blok $\frac{1}{2}$ , kita melihat bahwa $\frac{2}{4}$ sama dengan $\frac{1}{2},$ atau $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} .$

Berapa banyak blok $\frac{1}{6}$ yang menutupi blok $\frac{1}{2}$ ?

Karena tiga blok $\frac{1}{6}$ menutupi blok $\frac{1}{2}$ , kita melihat bahwa $\frac{3}{6}$ sama dengan $\frac{1}{2} .$

Jadi, $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$ Kedua pecahan tersebut merupakan pecahan senilai.

Gunakan blok pecahan untuk menentukan pecahan senilai. Tunjukkan hasil Anda dengan gambar.

ⓐ Berapa banyak bagian seperdelapan yang senilai dengan setengah?
ⓑ Berapa banyak bagian sepersepuluh yang senilai dengan setengah?
ⓒ Berapa banyak bagian seperdua belas yang senilai dengan setengah?

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Diperlukan empat blok $\frac{1}{8}$ untuk tepat menutupi blok $\frac{1}{2}$ , sehingga $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$

Sebuah persegi panjang utuh berlabel 1 ditampilkan. Di bawahnya terdapat persegi panjang yang sama, dibagi secara vertikal menjadi dua bagian yang masing-masing berlabel satu per dua. Di bawahnya lagi terdapat persegi panjang yang sama, dibagi secara vertikal menjadi delapan bagian yang masing-masing berlabel satu per delapan.

ⓑ Diperlukan lima blok $\frac{1}{10}$ untuk tepat menutupi blok $\frac{1}{2}$ , sehingga $\frac{5}{10} = \frac{1}{2} .$

Misalkan Anda memiliki blok berlabel $\frac{1}{20} .$ Berapa banyak blok yang diperlukan agar senilai dengan $\frac{1}{2} ?$ Apakah Anda memikirkan sepuluh blok? Jika demikian, jawaban Anda benar karena $\frac{10}{20} = \frac{1}{2} .$

Kita telah menunjukkan bahwa $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \frac{4}{8}, \frac{5}{10}, \frac{6}{12},$ dan $\frac{10}{20}$ semuanya merupakan pecahan senilai.

Menentukan Pecahan Senilai

Kita menggunakan blok pecahan untuk menunjukkan bahwa ada banyak pecahan yang senilai dengan $\frac{1}{2} .$ Sebagai contoh, $\frac{2}{4}, \frac{3}{6},$ dan $\frac{4}{8}$ semuanya senilai dengan $\frac{1}{2} .$ Ketika blok-blok pecahan disejajarkan, diperlukan empat blok $\frac{1}{8}$ untuk memperoleh panjang yang sama dengan sebuah blok $\frac{1}{2}$ . Ini menunjukkan bahwa $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$ Lihat .

Kita juga dapat menunjukkannya dengan piza. (a) menampilkan satu piza yang dipotong menjadi dua bagian sama besar, dengan $\frac{1}{2}$ bagian diarsir. (b) menampilkan piza kedua berukuran sama yang dipotong menjadi delapan bagian, dengan $\frac{4}{8}$ bagian diarsir.

Dua piza ditampilkan. Piza di sebelah kiri dibagi menjadi 2 bagian sama besar dan 1 bagiannya diarsir. Piza di sebelah kanan dibagi menjadi 8 bagian sama besar dan 4 bagiannya diarsir.

Ini merupakan cara lain untuk menunjukkan bahwa $\frac{1}{2}$ senilai dengan $\frac{4}{8} .$

Bagaimana kita dapat menggunakan matematika untuk mengubah $\frac{1}{2}$ menjadi $\frac{4}{8} ?$ Bagaimana Anda dapat mengubah piza yang dipotong menjadi dua bagian agar menjadi delapan bagian? Potonglah masing-masing dari dua bagian besar itu menjadi empat bagian yang lebih kecil. Seluruh piza kemudian akan terbagi menjadi delapan bagian, bukan hanya dua. Secara matematis, uraian tersebut dapat ditulis sebagai:

Satu kali 4 per 2 kali 4 dituliskan dengan kedua angka 4 disorot warna hijau mint. Bentuk ini disamakan dengan 4 per 8.

Model-model ini mengarahkan kita pada Sifat Pecahan Senilai, yang menyatakan bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, nilai pecahan tersebut tidak berubah.

Ketika mengerjakan pecahan, kita sering perlu menyatakan pecahan yang sama dalam bentuk berbeda. Untuk menentukan bentuk-bentuk senilai suatu pecahan, kita dapat menggunakan Sifat Pecahan Senilai. Sebagai contoh, perhatikan pecahan setengah.

Baris teratas menyatakan bahwa 1 kali 3 per 2 kali 3 sama dengan 3 per 6, sehingga satu per dua sama dengan 3 per 6. Baris berikutnya menyatakan bahwa 1 kali 2 per 2 kali 2 sama dengan 2 per 4, sehingga satu per dua sama dengan 2 per 4. Baris terakhir menyatakan bahwa 1 kali 10 per 2 kali 10 sama dengan 10 per 20, sehingga satu per dua sama dengan 10 per 20.

Jadi, kita menyatakan bahwa $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6},$ dan $\frac{10}{20}$ merupakan pecahan senilai.

Tentukan tiga pecahan yang senilai dengan $\frac{2}{5} .$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan pecahan yang senilai dengan $\frac{2}{5},$ kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama (tetapi bukan nol). Mari kalikan keduanya dengan $2, 3,$ dan $5 .$

Di sebelah kiri, 2 kali 2 per 5 kali 2 sama dengan 4 per 10. Di tengah, 2 kali 3 per 5 kali 3 sama dengan 6 per 15. Di sebelah kanan, 2 kali 5 per 5 kali 5 sama dengan 10 per 25.

Jadi, $\frac{4}{10}, \frac{6}{15},$ dan $\frac{10}{25}$ senilai dengan $\frac{2}{5} .$

Tentukan pecahan berpenyebut $21$ yang senilai dengan $\frac{2}{7} .$

Solusi

Penyelesaian

Untuk menentukan pecahan senilai, kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. Dalam hal ini, penyebut perlu dikalikan dengan suatu bilangan sehingga menghasilkan $21 .$

Karena $7$ dapat dikalikan dengan $3$ untuk memperoleh $21,$ kita dapat menentukan pecahan senilai dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $3 .$

Dua per 7 sama dengan 2 kali 3 per 7 kali 3. Kedua angka 3 disorot warna hijau mint. Bentuk ini disamakan dengan 6 per 21.

Menempatkan Pecahan dan Pecahan Campuran pada Garis Bilangan

Sekarang kita siap menempatkan pecahan pada garis bilangan. Hal ini akan membantu kita memvisualisasikan pecahan dan memahami nilainya.

Mari tempatkan $\frac{1}{5}, \frac{4}{5}, 3, 3 \frac{1}{3}, \frac{7}{4}, \frac{9}{2}, 5,$ dan $\frac{8}{3}$ pada garis bilangan.

Kita akan mulai dengan bilangan cacah $3$ dan $5$ karena keduanya paling mudah ditempatkan.

Garis bilangan menampilkan angka 3, 4, dan 5. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada 3 dan 5.

Pecahan sejati yang tercantum adalah $\frac{1}{5}$ dan $\frac{4}{5} .$ Kita tahu bahwa nilai pecahan sejati kurang dari satu. Oleh karena itu, $\frac{1}{5}$ dan $\frac{4}{5}$ terletak di antara bilangan cacah $0$ dan $1 .$ Kedua penyebutnya adalah $5,$ sehingga kita perlu membagi ruas garis bilangan antara $0$ dan $1$ menjadi lima bagian sama panjang. Caranya adalah menggambar empat tanda dengan jarak sama pada garis bilangan, lalu memberi label $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5},$ dan $\frac{4}{5} .$

Sekarang tempatkan titik pada $\frac{1}{5}$ dan $\frac{4}{5} .$

Garis bilangan menampilkan 0, satu per lima, dua per lima, tiga per lima, empat per lima, dan 1. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada satu per lima dan empat per lima.

Satu-satunya pecahan campuran yang perlu ditempatkan adalah $3 \frac{1}{3} .$ Di antara dua bilangan cacah mana $3 \frac{1}{3} ?$ Ingatlah bahwa pecahan campuran merupakan bilangan cacah ditambah pecahan sejati, sehingga $3 \frac{1}{3} > 3 .$ Karena nilainya lebih besar dari $3,$ tetapi selisihnya tidak sampai satu satuan utuh, $3 \frac{1}{3}$ terletak di antara $3$ dan $4 .$ Kita perlu membagi bagian garis bilangan antara $3$ dan $4$ menjadi tiga bagian sama panjang (pertigaan), lalu menempatkan $3 \frac{1}{3}$ pada tanda pertama.

Garis bilangan menampilkan bilangan cacah 0 hingga 5. Di antara 3 dan 4, tiga satu per tiga dan tiga dua per tiga diberi label. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada tiga satu per tiga.

Terakhir, perhatikan pecahan tidak sejati $\frac{7}{4}, \frac{9}{2},$ dan $\frac{8}{3} .$ Titik-titik ini akan lebih mudah ditempatkan jika setiap pecahan diubah menjadi pecahan campuran.

\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}, \frac{9}{2} = 4 \frac{1}{2}, \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}

Berikut adalah garis bilangan dengan semua titik yang telah ditempatkan.

Garis bilangan menampilkan bilangan cacah 0 hingga 6. Di antara 0 dan 1, satu per lima dan empat per lima diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, tujuh per empat diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 2 dan 3, delapan per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 3 dan 4, tiga satu per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 4 dan 5, sembilan per dua diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Tempatkan dan beri label bilangan-bilangan berikut pada garis bilangan: $\frac{3}{4}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 4 \frac{1}{5},$ dan $\frac{7}{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Mulailah dengan menempatkan pecahan sejati $\frac{3}{4} .$ Pecahan ini terletak di antara $0$ dan $1 .$ Untuk melakukannya, bagi jarak antara $0$ dan $1$ menjadi empat bagian sama panjang. Kemudian tempatkan $\frac{3}{4} .$

Garis bilangan menampilkan 0, satu per empat, dua per empat, tiga per empat, dan 1. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada tiga per empat.

Berikutnya, tempatkan pecahan campuran $4 \frac{1}{5} .$ Pecahan ini terletak di antara $4$ dan $5$ pada garis bilangan. Bagi garis bilangan antara $4$ dan $5$ menjadi lima bagian sama panjang, lalu tempatkan $4 \frac{1}{5}$ seperlima jarak dari $4$ menuju $5$ .

Garis bilangan menampilkan 4, empat satu per lima, empat dua per lima, empat tiga per lima, empat empat per lima, dan 5. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada empat satu per lima.

Sekarang tempatkan pecahan tidak sejati $\frac{4}{3}$ dan $\frac{5}{3}$ .

Keduanya lebih mudah ditempatkan jika terlebih dahulu diubah menjadi pecahan campuran.

\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}, \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}

Bagi jarak antara $1$ dan $2$ menjadi pertigaan.

Garis bilangan menampilkan 1, satu satu per tiga, satu dua per tiga, dan 2. Di bawah 1 tertulis tiga per tiga. Di bawah satu satu per tiga tertulis empat per tiga. Di bawah satu dua per tiga tertulis lima per tiga. Di bawah 2 tertulis enam per tiga. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada satu satu per tiga dan satu dua per tiga.

Berikutnya, mari tempatkan $\frac{7}{2} .$ Kita menuliskannya sebagai pecahan campuran, $\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$ . Tempatkan pecahan tersebut di antara $3$ dan $4 .$

Garis bilangan menampilkan 3, tiga satu per dua, dan 4. Di bawah 3 tertulis enam per dua. Di bawah tiga satu per dua tertulis tujuh per dua. Di bawah 4 tertulis delapan per dua. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada tiga satu per dua.

Garis bilangan berikut menampilkan semua bilangan yang telah ditempatkan.

Garis bilangan menampilkan bilangan cacah 0 hingga 5. Di antara setiap dua bilangan terdapat 9 tanda skala. Di antara 0 dan 1, antara tanda skala ke-7 dan ke-8, tiga per empat diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, empat per tiga dan lima per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 3 dan 4, tujuh per dua diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 4 dan 5, empat satu per lima diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Dalam Pengantar Bilangan Bulat, kita mendefinisikan lawan suatu bilangan. Lawan adalah bilangan yang berjarak sama dari nol pada garis bilangan, tetapi berada di sisi nol yang berlawanan. Sebagai contoh, kita melihat bahwa lawan dari $7$ adalah $−7$ dan lawan dari $−7$ adalah $7 .$

Garis bilangan menampilkan negatif 7, 0, dan 7. Terdapat titik biru kehijauan pada negatif 7 dan 7. Jarak antara negatif 7 dan 0 diberi label 7 satuan. Jarak antara 0 dan 7 diberi label 7 satuan.

Pecahan juga memiliki lawan. Lawan dari $\frac{3}{4}$ adalah $- \frac{3}{4} .$ Keduanya berjarak sama dari $0$ pada garis bilangan, tetapi berada di sisi yang berlawanan dari $0 .$

Garis bilangan menampilkan negatif 1, negatif tiga per empat, 0, tiga per empat, dan 1. Terdapat titik biru kehijauan pada negatif tiga per empat dan tiga per empat. Jarak antara negatif tiga per empat dan 0 diberi label tiga per empat satuan. Jarak antara 0 dan tiga per empat diberi label tiga per empat satuan.

Dengan memandang pecahan negatif sebagai lawan pecahan positif, kita akan lebih mudah menempatkannya pada garis bilangan. Untuk menempatkan $- \frac{15}{8}$ pada garis bilangan, pertama-tama tentukan letak $\frac{15}{8}$ . Bilangan ini merupakan pecahan tidak sejati, jadi kita terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan campuran $1 \frac{7}{8}$ dan melihat bahwa letaknya di antara $1$ dan $2$ pada garis bilangan. Oleh karena itu, lawannya, $- \frac{15}{8},$ terletak di antara $−1$ dan $−2$ pada garis bilangan.

Garis bilangan menampilkan negatif 2, negatif 1, 0, 1, dan 2. Di antara negatif 2 dan negatif 1, negatif satu tujuh per delapan diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan. Jarak antara negatif satu tujuh per delapan dan 0 ditandai sebagai lima belas per delapan satuan. Di antara 1 dan 2, satu tujuh per delapan diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan. Jarak antara 0 dan satu tujuh per delapan ditandai sebagai lima belas per delapan satuan.

Tempatkan dan beri label bilangan-bilangan berikut pada garis bilangan: $\frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, 1 \frac{1}{3}, −1 \frac{1}{3}, \frac{5}{2},$ dan $- \frac{5}{2} .$

Solusi

Penyelesaian

Gambarlah garis bilangan. Tandai $0$ di tengah, lalu tandai beberapa satuan ke kiri dan kanan.

Untuk menempatkan $\frac{1}{4},$ bagi selang antara $0$ dan $1$ menjadi empat bagian sama panjang. Setiap bagian mewakili seperempat jarak. Jadi, tempatkan $\frac{1}{4}$ pada tanda pertama.

Garis bilangan menampilkan negatif 4, negatif 3, negatif 2, negatif 1, 0, 1, 2, 3, dan 4. Terdapat 3 tanda skala di antara negatif 1 dan 0 serta 3 tanda skala di antara 0 dan 1. Tanda pertama antara 0 dan 1 diberi label satu per empat dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Untuk menempatkan $- \frac{1}{4},$ bagi selang antara $0$ dan $−1$ menjadi empat bagian sama panjang. Tempatkan $- \frac{1}{4}$ pada tanda pertama di sebelah kiri $0 .$

Karena $1 \frac{1}{3}$ terletak di antara $1$ dan $2,$ bagi selang antara $1$ dan $2$ menjadi tiga bagian sama panjang. Tempatkan $1 \frac{1}{3}$ pada tanda pertama di sebelah kanan $1 .$ Karena $−1 \frac{1}{3}$ adalah lawan dari $1 \frac{1}{3}$ , letaknya di antara $−1$ dan $−2 .$ Bagi selang antara $−1$ dan $−2$ menjadi tiga bagian sama panjang. Tempatkan $−1 \frac{1}{3}$ pada tanda pertama di sebelah kiri $−1 .$

Garis bilangan menampilkan bilangan bulat negatif 2 hingga 2. Di antara negatif 2 dan negatif 1, negatif satu satu per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, satu satu per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Untuk menempatkan $\frac{5}{2}$ dan $- \frac{5}{2},$ akan membantu jika keduanya ditulis ulang sebagai pecahan campuran $2 \frac{1}{2}$ dan $−2 \frac{1}{2} .$

Karena $2 \frac{1}{2}$ terletak di antara $2$ dan $3,$ bagi selang antara $2$ dan $3$ menjadi dua bagian sama panjang. Tempatkan $\frac{5}{2}$ pada tanda tersebut. Kemudian, karena $−2 \frac{1}{2}$ terletak di antara $−2$ dan $−3,$ bagi selang antara $−2$ dan $−3$ menjadi dua bagian sama panjang. Tempatkan $- \frac{5}{2}$ pada tanda tersebut.

Garis bilangan menampilkan bilangan bulat negatif 4 hingga 4. Di antara negatif 3 dan negatif 2, negatif lima per dua diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan. Di antara negatif 2 dan negatif 1, negatif satu dua per tiga diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, satu dua per tiga diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan. Di antara 2 dan 3, lima per dua diberi label dan ditandai dengan titik biru kehijauan.

Mengurutkan Pecahan dan Pecahan Campuran

Kita dapat menggunakan simbol pertidaksamaan untuk mengurutkan pecahan. Ingatlah bahwa $a > b$ berarti $a$ berada di sebelah kanan $b$ pada garis bilangan. Ketika bergerak dari kiri ke kanan pada garis bilangan, nilainya bertambah.

Urutkan setiap pasangan bilangan berikut dengan menggunakan

<

atau

>:

ⓐ $- \frac{2}{3}____−1$
ⓑ $−3 \frac{1}{2}____−3$
ⓒ $- \frac{3}{7}____- \frac{3}{8}$
ⓓ $−2____\frac{−16}{9}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ $- \frac{2}{3} > −1$

Garis bilangan menampilkan bilangan bulat negatif 3 hingga 3. Negatif 1 ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara negatif 1 dan 0, negatif dua per tiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

ⓑ $−3 \frac{1}{2} < −3$

Garis bilangan menampilkan bilangan bulat negatif 4 hingga 4. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada negatif 3. Di antara negatif 4 dan negatif 3, negatif tiga satu per dua diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Garis bilangan menampilkan negatif 3, negatif 2, negatif 1, 0, 1, 2, dan 3. Di antara negatif 1 dan 0, negatif tiga per tujuh dan negatif tiga per delapan diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

ⓓ $−2 < \frac{−16}{9}$

Garis bilangan menampilkan negatif 3, negatif 2, negatif 1, 0, 1, 2, dan 3. Terdapat titik berwarna biru kehijauan pada negatif 2. Di antara negatif 2 dan negatif 1, negatif enam belas per sembilan diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

Konsep Kunci

Sifat Satu
- Setiap bilangan, selain nol, jika dibagi dengan dirinya sendiri akan menghasilkan satu.
  $\frac{a}{a} = 1$ , dengan $a \neq 0$ .
Pecahan Campuran
- Sebuah pecahan campuran terdiri atas bilangan cacah $a$ dan pecahan $\frac{b}{c}$ , dengan $c \neq 0$ .
- Pecahan tersebut ditulis sebagai berikut: $a \frac{b}{c} c \neq 0$
Pecahan Sejati dan Pecahan Tidak Sejati
- Pecahan $\frac{a}{b}$ merupakan pecahan sejati jika $a < b$ dan pecahan tidak sejati jika $a \geq b$ .
Mengubah pecahan tidak sejati menjadi pecahan campuran.
1. Bagilah pembilang dengan penyebut.
2. Tentukan hasil bagi, sisa, dan pembagi.
3. Tuliskan pecahan campuran sebagai hasil bagi $\frac{sisa}{pembagi}$ .
Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati.
1. Kalikan bilangan cacah dengan penyebut.
2. Tambahkan pembilang pada hasil kali yang diperoleh pada Langkah 1.
3. Tuliskan jumlah akhir di atas penyebut semula.
Sifat Pecahan Senilai
- Jika $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan dengan $b \neq 0$ , $c \neq 0$ , maka $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ .

Latihan Membentuk Kemahiran

Dalam latihan berikut, tentukan pecahan yang diarsir pada setiap gambar.

Pada bagian “a”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Sebanyak 1 bagian diarsir. Pada bagian “b”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Sebanyak 3 bagian diarsir. Pada bagian “c”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Sebanyak 3 bagian diarsir. Pada bagian “d”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Sebanyak 5 bagian diarsir.

Solusi

ⓐ $\frac{1}{4}$
ⓑ $\frac{3}{4}$
ⓒ $\frac{3}{8}$
ⓓ $\frac{5}{8}$

Pada bagian “a”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 12 bagian yang sama besar. Sebanyak 7 bagian diarsir. Pada bagian “b”, sebuah lingkaran dibagi menjadi 12 bagian yang sama besar. Sebanyak 5 bagian diarsir. Pada bagian “c”, sebuah persegi dibagi menjadi 9 bagian yang sama besar. Sebanyak 4 bagian diarsir. Pada bagian “d”, sebuah persegi dibagi menjadi 9 bagian yang sama besar. Sebanyak 5 bagian diarsir.

Dalam latihan berikut, arsir bagian-bagian lingkaran atau persegi untuk memodelkan pecahan yang diberikan.

$\frac{1}{2}$

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan 1 bagian diarsir.

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{4}$

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar dan 3 bagian diarsir.

$\frac{2}{5}$

$\frac{5}{6}$

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 6 bagian yang sama besar dan 5 bagian diarsir.

$\frac{7}{8}$

$\frac{5}{8}$

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar dan 5 bagian diarsir.

$\frac{7}{10}$

Dalam latihan berikut, gunakan lingkaran pecahan untuk membentuk keseluruhan dari keping-keping berikut.

$3$ keping sepertiga

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 3 bagian yang sama besar dan ketiganya diarsir.

$8$ keping seperdelapan

$7$ keping seperenam

Solusi

Dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 6 bagian yang sama besar. Keenam bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir, sedangkan 1 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

$4$ keping sepertiga

$7$ keping seperlima

Solusi

Dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 5 bagian yang sama besar. Kelima bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir, sedangkan 2 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

$7$ keping seperempat

Dalam latihan berikut, tentukan pecahan tidak sejatinya. Kemudian tulis setiap pecahan tidak sejati sebagai pecahan campuran.

Pada bagian “a”, dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Keempat bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir dan 1 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir. Pada bagian “b”, dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Keempat bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir dan 3 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir. Pada bagian “c”, dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Kedelapan bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir dan 3 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

Solusi

ⓐ $\frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$
ⓑ $\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$
ⓒ $\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}$

Pada bagian “a”, 2 lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Kedelapan bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir dan 1 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir. Pada bagian “b”, dua persegi ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Keempat bagian pada persegi sebelah kiri diarsir dan 1 bagian pada persegi sebelah kanan diarsir. Pada bagian “c”, dua persegi ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 9 bagian yang sama besar. Kesembilan bagian pada persegi sebelah kiri diarsir dan 2 bagian pada persegi sebelah kanan diarsir.

Pada bagian “a”, 3 lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Seluruh bagian pada dua lingkaran pertama diarsir, sedangkan 3 bagian pada lingkaran ketiga diarsir. Pada bagian “b”, 3 lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Seluruh bagian pada dua lingkaran pertama diarsir, sedangkan 3 bagian pada lingkaran ketiga diarsir.

Solusi

ⓐ $\frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$
ⓑ $\frac{19}{8} = 2 \frac{3}{8}$

Dalam latihan berikut, gambarlah lingkaran pecahan untuk memodelkan pecahan yang diberikan.

$\frac{3}{3}$

$\frac{4}{4}$

Solusi

Sebuah lingkaran ditampilkan. Lingkaran itu dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar dan keempatnya diarsir.

$\frac{7}{4}$

$\frac{5}{3}$

Solusi

Dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 3 bagian yang sama besar. Ketiga bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir, sedangkan 2 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

$\frac{11}{6}$

$\frac{13}{8}$

Solusi

Dua lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Kedelapan bagian pada lingkaran sebelah kiri diarsir, sedangkan 5 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

$\frac{10}{3}$

$\frac{9}{4}$

Solusi

Tiga lingkaran ditampilkan. Masing-masing dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Keempat bagian pada dua lingkaran sebelah kiri diarsir, sedangkan 1 bagian pada lingkaran sebelah kanan diarsir.

Dalam latihan berikut, ubah pecahan tidak sejati menjadi pecahan campuran.

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{3}$

Solusi

$1 \frac{2}{3}$

$\frac{11}{4}$

$\frac{13}{5}$

Solusi

$2 \frac{3}{5}$

$\frac{25}{6}$

$\frac{28}{9}$

Solusi

$3 \frac{1}{9}$

$\frac{42}{13}$

$\frac{47}{15}$

Solusi

$3 \frac{2}{15}$

Dalam latihan berikut, ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak sejati.

$1 \frac{2}{3}$

$1 \frac{2}{5}$

Solusi

$\frac{7}{5}$

$2 \frac{1}{4}$

$2 \frac{5}{6}$

Solusi

$\frac{17}{6}$

$2 \frac{7}{9}$

$2 \frac{5}{7}$

Solusi

$\frac{19}{7}$

$3 \frac{4}{7}$

$3 \frac{5}{9}$

Solusi

$\frac{32}{9}$

Dalam latihan berikut, gunakan blok pecahan atau buatlah gambar untuk menentukan pecahan senilai.

Berapa banyak seperenam yang senilai dengan sepertiga?

Berapa banyak seperdua belas yang senilai dengan sepertiga?

Solusi

Berapa banyak seperdelapan yang senilai dengan tiga perempat?

Berapa banyak seperdua belas yang senilai dengan tiga perempat?

Solusi

Berapa banyak seperempat yang senilai dengan tiga perdua?

Berapa banyak seperenam yang senilai dengan tiga perdua?

Solusi

Dalam latihan berikut, tentukan tiga pecahan yang senilai dengan pecahan yang diberikan. Tunjukkan cara Anda memperoleh jawaban dengan menggunakan gambar atau aljabar.

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi. Jawaban yang benar antara lain $\frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{4}{12} .$

$\frac{3}{8}$

$\frac{5}{6}$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi. Jawaban yang benar antara lain $\frac{10}{12}, \frac{15}{18}, \frac{20}{24} .$

$\frac{2}{7}$

$\frac{5}{9}$

Solusi

Jawaban dapat bervariasi. Jawaban yang benar antara lain $\frac{10}{18}, \frac{15}{27}, \frac{20}{36} .$

Dalam latihan berikut, tempatkan bilangan-bilangan tersebut pada garis bilangan.

$\frac{2}{3}, \frac{5}{4}, \frac{12}{5}$

$\frac{1}{3}, \frac{7}{4}, \frac{13}{5}$

Solusi

Sebuah garis bilangan ditampilkan. Bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 diberi label. Di antara 0 dan 1, sepertiga diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, tujuh perempat diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 2 dan 3, tiga belas perlima diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

$\frac{1}{4}, \frac{9}{5}, \frac{11}{3}$

$\frac{7}{10}, \frac{5}{2}, \frac{13}{8}, 3$

Solusi

$2 \frac{1}{3}, −2 \frac{1}{3}$

$1 \frac{3}{4}, −1 \frac{3}{5}$

Solusi

Sebuah garis bilangan ditampilkan. Bilangan negatif 4, negatif 3, negatif 2, negatif 1, 0, 1, 2, 3, dan 4 diberi label. Di antara negatif 2 dan negatif 1, negatif 1 tiga perlima diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan. Di antara 1 dan 2, 1 tiga perempat diberi label dan ditandai dengan titik berwarna biru kehijauan.

$\frac{3}{4}, - \frac{3}{4}, 1 \frac{2}{3}, −1 \frac{2}{3}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

$\frac{2}{5}, - \frac{2}{5}, 1 \frac{3}{4}, −1 \frac{3}{4}, \frac{8}{3}, - \frac{8}{3}$

Solusi

Dalam latihan berikut, bandingkan setiap pasangan bilangan dengan menggunakan $<$ atau $>.$

$−1 \underset{__}{} - \frac{1}{4}$

$−1 \underset{__}{} - \frac{1}{3}$

Solusi

$−2 \frac{1}{2} \underset{__}{} - 3$

$−1 \frac{3}{4} \underset{__}{} - 2$

Solusi

$- \frac{5}{12} \underset{__}{} - \frac{7}{12}$

$- \frac{9}{10} \underset{__}{} - \frac{3}{10}$

Solusi

$−3 \underset{__}{} - \frac{13}{5}$

$−4 \underset{__}{} - \frac{23}{6}$

Solusi

Matematika Sehari-hari

Birama Musik Rangkaian tari yang dikoreografi dibagi menjadi hitungan. Hitungan $\frac{1}{1}$ memuat satu langkah dalam satu hitungan, hitungan $\frac{1}{2}$ memuat dua langkah dalam satu hitungan, dan hitungan $\frac{1}{3}$ memuat tiga langkah dalam satu hitungan. Berapa langkah yang terdapat dalam hitungan $\frac{1}{5}$ ? Jenis hitungan apa yang memuat empat langkah?

Birama Musik Pecahan sering digunakan dalam musik. Dalam birama

\frac{4}{4}

, terdapat empat not seperempat dalam satu birama.

ⓐ Berapa birama yang dibentuk oleh delapan not seperempat?
ⓑ Lagu “Happy Birthday to You” memiliki $25$ not seperempat. Ada berapa birama dalam “Happy Birthday to You”?

Solusi

ⓐ 2
ⓑ $6 \frac{1}{4}$

Membuat Kue Nina membuat lima loyang fudge untuk disajikan setelah resital musik. Untuk setiap loyang, ia membutuhkan

\frac{1}{2}

cangkir kacang kenari.

ⓐ Berapa cangkir kacang kenari yang dibutuhkan untuk lima loyang fudge?
ⓑ Menurut Anda, apakah jumlah ini lebih mudah diukur jika dinyatakan sebagai pecahan tidak sejati atau pecahan campuran? Mengapa?

Latihan Menulis

Berikan contoh dari pengalaman hidup Anda (di luar sekolah) ketika memahami pecahan merupakan hal yang penting.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Jelaskan cara Anda menempatkan pecahan tidak sejati $\frac{21}{4}$ pada garis bilangan yang hanya diberi tanda bilangan cacah dari $0$ hingga $10$ .

Evaluasi Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda atas tujuan bagian ini.

Tabel ini membantu peserta didik menilai pengetahuan mereka tentang pecahan, meliputi pemahaman, pemodelan, pengubahan bentuk, penempatan, dan pengurutan pecahan, dengan pilihan “Dengan yakin”, “Dengan sedikit bantuan”, atau “Tidak—saya belum paham!”

ⓑ Jika sebagian besar tanda centang Anda berada pada kolom:

…“Dengan yakin”. Selamat! Anda telah mencapai tujuan bagian ini. Renungkan keterampilan belajar yang Anda gunakan agar dapat terus menggunakannya. Apa yang Anda lakukan hingga yakin akan kemampuan Anda melakukan hal-hal tersebut? Jelaskan secara spesifik.

…“Dengan sedikit bantuan”. Hal ini harus segera ditangani karena topik yang belum Anda kuasai dapat menjadi hambatan dalam perjalanan menuju keberhasilan. Dalam matematika, setiap topik dibangun di atas materi sebelumnya. Pastikan Anda memiliki landasan yang kuat sebelum melanjutkan. Kepada siapa Anda dapat meminta bantuan? Teman sekelas dan pengajar merupakan sumber bantuan yang baik. Apakah tersedia tempat belajar dengan tutor matematika di kampus? Dapatkah keterampilan belajar Anda ditingkatkan?

…“Tidak—saya belum paham!” Ini merupakan tanda peringatan yang tidak boleh Anda abaikan. Segeralah mencari bantuan agar Anda tidak kewalahan. Temui pengajar Anda sesegera mungkin untuk membahas keadaan Anda. Bersama-sama, Anda dapat menyusun rencana agar memperoleh bantuan yang diperlukan.

pecahan senilai

Pecahan senilai adalah dua pecahan atau lebih yang memiliki nilai sama.

pecahan

Pecahan ditulis sebagai

\frac{a}{b}

. Dalam pecahan,

a

adalah pembilang dan

b

adalah penyebut. Pecahan menyatakan bagian-bagian dari suatu keseluruhan. Penyebut

b

menyatakan banyaknya bagian sama besar yang membagi keseluruhan tersebut, sedangkan pembilang

a

menunjukkan banyaknya bagian yang diambil.

pecahan campuran

Pecahan campuran terdiri atas bilangan cacah

a

dan pecahan

\frac{b}{c}

, dengan

c \neq 0

. Pecahan tersebut ditulis sebagai

a \frac{b}{c}

, dengan

c \neq 0

pecahan sejati dan pecahan tidak sejati

Pecahan

\frac{a}{b}

merupakan pecahan sejati jika

a < b

dan pecahan tidak sejati jika

a \geq b