Faktorisasi matriks — Fondasi Teori Ukuran

Saya menggunakan beberapa halaman untuk membahas aljabar linear \(\BbbR^r\) yang diperlukan bagi Bab 26. Saya hanya memberikan satu bukti, karena materi ini dapat ditemukan dalam setiap buku ajar aljabar linear elementer; tetapi saya rasa akan bermanfaat untuk meninjau gagasan-gagasan dasarnya dalam bahasa yang saya gunakan untuk risalah ini.

2A6A Determinan

Kita perlu mengetahui hal-hal berikut tentang determinan.

(i) Setiap matriks real \(r\times r\) \(T\) mempunyai determinan real \(\det T\).

(ii) Untuk setiap matriks \(r\times r\) \(S\) dan \(T\), \(\det ST=\det S\det T\).

(iii) Jika \(T\) matriks diagonal, determinannya adalah hasil kali entri-entri diagonalnya.

(iv) Untuk setiap matriks \(r\times r\) \(T\), \(\det T\trs=\det T\), dengan \(T\trs\) transpos dari \(T\).

(v) \(\det T\) merupakan fungsi kontinu dari koefisien-koefisien \(T\).

Ada begitu banyak jalan untuk membahas topik ini sehingga saya bahkan menghindari pemberian definisi ‘determinan’; saya mengajak Anda memeriksa ingatan Anda, atau buku kesukaan Anda, untuk memastikan bahwa Anda memang memahami fakta-fakta di atas.

2A6B Keluarga ortonormal

Untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\), \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\), tuliskan \(x\dotproduct y=\sum_{i=1}^r\xi_i\eta_i\); tentu saja \(\|x\|\), sebagaimana didefinisikan dalam 1A2A, adalah \(\sqrt{x\dotproduct x}\). Ingat bahwa \(x_1,\ldots,x_k\) disebut ortonormal jika \(x_i\dotproduct x_j=0\) untuk \(i\ne j\), dan \(1\) untuk \(i=j\). Hasil-hasil yang kita perlukan di sini adalah:

(i) Jika \(x_1,\ldots,x_k\) merupakan vektor-vektor ortonormal dalam \(\BbbR^r\), dengan \(k<r\), maka terdapat vektor \(x_{k+1},\ldots,x_r\) dalam \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(x_1,\ldots,x_r\) ortonormal.

(ii) Matriks \(r\times r\) \(P\) disebut ortogonal jika \(P\trs P\) adalah matriks identitas; secara ekuivalen, jika kolom-kolom \(P\) ortonormal.

(iii) Untuk matriks ortogonal \(P\), \(\det P\) harus bernilai \(\pm 1\) (gabungkan (ii)–(iv) dari 2A6A).

(iv) Jika \(P\) ortogonal, maka \(Px\dotproduct Py\mskip5mu =P\trs Px\dotproduct y=x\dotproduct y\) untuk semua \(x\), \(y\in\BbbR^r\).

(v) Jika \(P\) ortogonal, maka \(P\trs=P^{-1}\) juga ortogonal.

(vi) Jika \(P\) dan \(Q\) ortogonal, maka \(PQ\) juga ortogonal.

2A6C

Sekarang saya memberikan suatu proposisi yang tidak selalu disertakan dalam penyajian elementer. Tentu saja ada banyak pendekatan untuk hal ini; saya menawarkan pendekatan langsung.

Proposisi Misalkan \(T\) sebarang matriks real \(r\times r\). Maka \(T\) dapat dinyatakan sebagai \(PDQ\), dengan \(P\) dan \(Q\) matriks ortogonal dan \(D\) matriks diagonal berkoefisien tak negatif.

Bukti

Kita menggunakan induksi pada \(r\).

(a) Jika \(r=1\), maka \(T=(\tau_{11})\). Tetapkan \(D=(|\tau_{11}|)\), \(P=(1)\), dan \(Q=(1)\) jika \(\tau_{11}\ge 0\), serta \((-1)\) jika tidak.

(b)(i) Untuk langkah induksi ke \(r+1\ge 2\), pertimbangkan bola satuan \(B=\{x:x\in\BbbR^{r+1},\,\|x\|\le 1\}\). Ini adalah himpunan tertutup dan terbatas dalam \(\BbbR^{r+1}\), sehingga kompak (2A2F). Pemetaan \(x\mapsto Tx:\BbbR^{r+1}\to\BbbR^{r+1}\) dan \(x\mapsto\|x\|:\BbbR^{r+1}\to\Bbb R\) kontinu, sehingga fungsi \(x\mapsto\|Tx\|:B\to\Bbb R\) terbatas dan mencapai batas-batasnya (2A2G), dan terdapat \(u\in B\) sedemikian sehingga \(\|Tu\|\ge\|Tx\|\) untuk setiap \(x\in B\). Perhatikan bahwa \(\|Tu\|\) harus merupakan norma \(\|T\|\) dari \(T\) sebagaimana didefinisikan dalam 262H. Tetapkan \(\delta=\|T\|=\|Tu\|\). Jika \(\delta=0\), maka \(T\) harus merupakan matriks nol dan hasilnya trivial; jadi anggaplah \(\delta>0\). Dalam kasus ini \(\|u\|\) harus tepat sama dengan \(1\), sebab jika tidak, kita akan mempunyai \(u=\|u\|u'\) dengan \(\|u'\|=1\) dan \(\|Tu'\|>\|Tu\|\).

(ii) Jika \(x\in\BbbR^{r+1}\) dan \(x\dotproduct u=0\), maka \(Tx\dotproduct Tu=0\). Bukti.? Jika tidak, tetapkan \(\gamma=Tx\dotproduct Tu\ne 0\). Pertimbangkan \(y=u+\eta\gamma x\) untuk \(\eta>0\) yang kecil. Kita mempunyai

\(\|y\|^2=y\dotproduct y =u\dotproduct u+2\eta\gamma u\dotproduct x+\eta^2\gamma^2 x\dotproduct x =\|u\|^2+\eta^2\gamma^2\|x\|^2 =1+\eta^2\gamma^2\|x\|^2\),

sedangkan

\(\|Ty\|^2=Ty\dotproduct Ty =Tu\dotproduct Tu+2\eta\gamma Tu\dotproduct Tx +\eta^2\gamma^2 Tx\dotproduct Tx =\delta^2+2\eta\gamma^2+\eta^2\gamma^2\|Tx\|^2\).

Tetapi juga \(\|Ty\|^2\le\delta^2\|y\|^2\) (2A4Fb), sehingga

\(\delta^2+2\eta\gamma^2+\eta^2\gamma^2\|Tx\|^2 \le\delta^2(1+\eta^2\gamma^2\|x\|^2)\)

dan

\(2\eta\gamma^2 \le\delta^2\eta^2\gamma^2\|x\|^2-\eta^2\gamma^2\|Tx\|^2\),

yaitu

\(2\le\eta(\delta^2\|x\|^2-\|Tx\|^2)\).

Namun ini tentu tidak mungkin benar untuk semua \(\eta>0\), jadi kita memperoleh kontradiksi. !∎

(iii) Tetapkan \(v=\delta^{-1}Tu\), sehingga \(\|v\|=1\). Misalkan \(u_1,\ldots,u_{r+1}\) vektor-vektor ortonormal dengan \(u_{r+1}=u\), dan misalkan \(Q_0\) matriks ortogonal \((r+1)\times(r+1)\) dengan kolom-kolom \(u_1,\ldots,u_{r+1}\); maka, dengan menuliskan \(e_1,\ldots,e_{r+1}\) untuk basis ortonormal baku dari \(\BbbR^{r+1}\), kita mempunyai \(Q_0e_i=u_i\) untuk setiap \(i\), dan \(Q_0e_{r+1}=u\). Demikian pula, terdapat matriks ortogonal \(P_0\) sedemikian sehingga \(P_0e_{r+1}=v\).

Tetapkan \(T_1=P_0^{-1}TQ_0\). Maka

\(T_1e_{r+1}=P_0^{-1}Tu=\delta P_0^{-1}v=\delta e_{r+1}\),

sedangkan jika \(x\dotproduct e_{r+1}=0\), maka \(Q_0x\dotproduct u=0\) (2A6B(iv)), sehingga

\(T_1x\dotproduct e_{r+1}=P_0T_1x\dotproduct P_0e_{r+1} =TQ_0x\dotproduct v=0\),

menurut (ii). Ini berarti bahwa \(T_1\) harus berbentuk

\[\begin{pmatrix}S&0\\0&\delta\end{pmatrix},\]

dengan \(S\) matriks \(r\times r\).

(iv) Menurut hipotesis induksi, \(S\) dapat dinyatakan sebagai \(\tilde P\tilde D\tilde Q\), dengan \(\tilde P\) dan \(\tilde Q\) matriks ortogonal \(r\times r\) dan \(\tilde D\) matriks diagonal \(r\times r\) berkoefisien tak negatif. Tetapkan

\[P_1=\begin{pmatrix}\tilde P&0\\0&1\end{pmatrix},\quad Q_1=\begin{pmatrix}\tilde Q&0\\0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}\tilde D&0\\0&\delta\end{pmatrix}.\]

Maka \(P_1\) dan \(Q_1\) ortogonal dan \(D\) diagonal berkoefisien tak negatif, serta \(P_1DQ_1=T_1\). Sekarang tetapkan

\(P=P_0P_1\), \(Q=Q_1Q_0^{-1}\),

sehingga \(P\) dan \(Q\) ortogonal (2A6B(v)–(vi)) dan

\(PDQ=P_0P_1DQ_1Q_0^{-1}=P_0T_1Q_0^{-1}=T\).

Jadi langkah induksi selesai.