10 Uji Hipotesis (Bagian II)
Gambaran Umum
Pelajaran ini melanjutkan pembahasan awal kita tentang pengujian hipotesis melalui beragam contoh yang kurang dikenal serta menunjukkan bagaimana selang kepercayaan dan uji hipotesis merupakan dua sisi dari hal yang sama. Anda juga akan mempelajari mengapa mutu uji bergantung pada kuasa—peluang mendeteksi efek yang nyata—dan bagaimana faktor-faktor seperti ukuran sampel, tingkat signifikansi (\(\alpha\)), dan ukuran efek saling berkaitan. Terakhir, kita meninjau sekilas uji Wald, suatu metode umum yang memanfaatkan penduga kemungkinan maksimum ketika statistik uji klasik sulit diturunkan.
Tujuan
Setelah menyelesaikan pelajaran ini, Anda diharapkan mampu:
- Menghubungkan selang kepercayaan dengan uji hipotesis,
- Menentukan kuasa suatu uji,
- Menentukan ukuran sampel yang diperlukan untuk suatu tingkat signifikansi dan kuasa yang diinginkan,
- Menyusun secara numerik uji hipotesis sederhana untuk parameter yang diduga melalui pendugaan kemungkinan maksimum numerik di R
10.1 Contoh Uji Hipotesis Lain
Pada bagian ini, kita akan melanjutkan dengan beberapa contoh uji hipotesis yang mungkin tidak seakrab contoh-contoh yang telah kita lihat sejauh ini.
Contoh 10.1 Bagian I
Misalkan kita memiliki sampel acak berukuran \(n=8\) dari distribusi Seragam pada selang \((0, \theta)\). Kita ingin menguji hipotesis berikut:
\[ \begin{align*} H_0:\theta=2 \text{ versus }H_a:\theta<2 \end{align*} \]
Turunkan suatu uji statistik untuk hipotesis-hipotesis ini.
Solusi
Langkah 1 telah ditentukan dalam soal. Langkah berikutnya adalah menetapkan tingkat signifikansi. Mari kita tetapkan peluang galat tipe I sebesar \(\alpha=0.10\).
Langkah selanjutnya adalah menentukan statistik uji. Kita perlu mengetahui distribusi statistik uji tersebut. Pilihan yang logis adalah statistik urutan maksimum. Jika hipotesis nol benar, statistik urutan terbesar, \(Y_n=Y_8\), akan “dekat” dengan \(\theta=2\), dan nilai \(Y_8\) yang jauh lebih kecil daripada \(\theta=2\) akan menjadi bukti yang mendukung hipotesis alternatif, \(H_a:\theta<2\).
Aturan keputusannya kira-kira berbentuk: tolak \(H_0:\theta=2\) jika \(Y_8\le c\) , dengan \[\begin{align*} \alpha=0.1=P(Y_8\le c|H_0\text{ is true}) \end{align*}\]
Kita mengetahui bahwa statistik urutan tersebut memiliki distribusi berikut:
\[\begin{align*} f_{y_n}(y)=\frac{n}{\theta^n}y^{n-1}=\frac{8}{\theta^8}y^7, \qquad 0\le y\le \theta \end{align*}\]
Di bawah hipotesis nol, distribusinya adalah: \[\begin{align*} f_{y_8}(y)=\frac{n}{2^n}y^{n-1}=\frac{8}{2^8}y^7=\frac{1}{32}y^7, \qquad 0\le y\le 2 \end{align*}\]
Kembali ke aturan keputusan kita, kita menolak jika \(P(Y_8\le c|H_0)=0.1\). Dengan menggabungkan semuanya, kita dapat menentukan \(c\).
\[\begin{align*} 0.1=\int_0^c \frac{1}{32}y^7dy=\frac{1}{256}c^8 \end{align*}\]
Dengan menyelesaikan persamaan untuk \(c\), kita peroleh: \[\begin{align*} c=\sqrt[8]{25.6}\approx 1.4998 \end{align*}\]
Dengan demikian, kita menolak hipotesis nol pada tingkat \(\alpha=0.1\) , jika \(Y_8\le 1.4998\).
Bagian II
Kita memiliki pengamatan berikut dari distribusi Seragam pada selang \((0, \theta)\).
\[0.3977\ 0.9518\ 0.4598\ 0.3963\ 0.5222\ 0.8519\ 0.5270\ 0.2767\]
Uji hipotesis \(H_0: \theta=2\) melawan \(H_a: \theta<2\).
Solusi
Statistik urutan maksimum adalah 0,8519. Karena nilainya kurang dari 1,4998, kita menolak hipotesis nol. Kita menyimpulkan bahwa pada tingkat \(\alpha=0.1\) terdapat cukup bukti bahwa parameter populasi \(\theta\) lebih kecil daripada 2.
Contoh 10.2 Empat pengukuran, 2, 0, 1, 0, dilakukan pada peubah acak Poisson \(X\) untuk menguji \[\begin{align*} H_0:\lambda=0.8 \text{ versus } H_a: \lambda>0.8 \end{align*}\]
Turunkan suatu uji statistik untuk hipotesis-hipotesis ini pada tingkat signifikansi 10%.
Solusi
Dua langkah pertama pengujian hipotesis telah diberikan dalam soal. Oleh karena itu, langkah berikutnya adalah menghitung statistik uji. Kita telah mengetahui sebelumnya bahwa \(\bar{X}\) merupakan statistik cukup bagi \(\lambda\). Kita juga telah mengetahui dalam STAT 414 bahwa \(\sum_{i=1}^4 X_i\) merupakan peubah acak Poisson dengan parameter \(\sum_{i=1}^4 \lambda=4\lambda\). Untuk contoh ini, mari kita gunakan jumlah tersebut sebagai statistik uji.
Jika distribusi jumlah tersebut adalah Poisson \(4\lambda\), maka hipotesis awal kita dapat dituliskan kembali sebagai:
\[\begin{align*} H_0: 4\lambda=4(0.8)=3.2 \text{ versus }H_a: 4\lambda>3.2 \end{align*}\]
Dalam menyusun aturan keputusan, kita ingin menolak hipotesis nol jika \(\sum x_i>c\), dengan \[P_0(Y>c)\leq 0.10\]
Ingatlah bahwa distribusi Poisson bersifat diskret. Oleh karena itu, tingkat \(\alpha\) yang kita inginkan mungkin tidak dapat dicapai secara tepat. Tabel di bawah menunjukkan fungsi massa peluang (PMF) suatu peubah acak Poisson dengan \(\lambda=3.2\). Kolom ketiga adalah \(P(\sum X_i>x)\) untuk nilai \(x\).
| \(x\) | \(P(X=x)\) | \(P(X>x)=1-P(X\le x)\) |
|---|---|---|
| 0 | 0.0408 | 0.9592 |
| 1 | 0.1304 | 0.8288 |
| 2 | 0.2087 | 0.6201 |
| 3 | 0.2226 | 0.3975 |
| 4 | 0.1781 | 0.2194 |
| 5 | 0.1140 | 0.1054 |
| 6 | 0.0608 | 0.0446 |
| 7 | 0.0278 | 0.0168 |
| 8 | 0.0111 | 0.0057 |
| 9 | 0.0040 | 0.0018 |
| 10 | 0.0013 | 0.0005 |
| 11 | 0.0004 | 0.0001 |
| 12 | 0.0001 | 0.0000 |
| 13 | 0.0000 | 0.0000 |
Kita ingin memperoleh nilai sedekat mungkin dengan \(\alpha=0.1\) . Nilai yang paling dekat dalam tabel adalah \(P_0(Y\geq 6)=0.105408105469177\approx 0.1054>0.10\). Akan tetapi, nilai ini melebihi tingkat signifikansi nominal 0,10. Pernyataan sumber berikut menggunakan tingkat signifikansi \(P_0(Y\geq 7)=0.044619100955301\approx 0.0446\leq 0.10\), yang bahkan tidak konsisten dengan nilai tabel 0,1054. Aturan sumber untuk menolak hipotesis nol adalah ketika \(Y\geq 7\).
Aturan tersebut berukuran 0,105408..., sehingga bukan uji bertingkat 0,10. Uji tak teracak yang konservatif menolak ketika jumlah sekurang-kurangnya 7; ukuran tepat 0,10 diperoleh dengan aturan yang sama serta penolakan dengan peluang 0,9110348 ketika jumlah sama dengan 6. Dengan data yang diberikan, jumlahnya adalah \(Y=2+0+1+0=3\). Karena jumlah tersebut kurang dari 6 (dan juga kurang dari ambang konservatif 7), kita gagal menolak hipotesis nol. Sumber melaporkan kesimpulan ini pada \(\operatorname{size}=0.044619100955301\approx 0.0446\) ; dengan uji bertingkat 0,10 yang telah dikoreksi, tetap tidak terdapat cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa \(4\lambda>3.2\) atau, secara ekuivalen, \(\lambda>0.8\).
Catatan tingkat eksak: aturan nonacak Y ≥ 7 bersifat konservatif dengan ukuran 0,044619100955301. Ukuran tepat 0,10 diperoleh dengan menolak ketika Y ≥ 7 dan, ketika Y = 6, menolak dengan peluang 0,911034807817211.
10.2 Menghubungkan Selang Kepercayaan dengan Uji Hipotesis
Sampai di sini, kita telah menunjukkan cara melakukan pendugaan selang bagi parameter yang tidak diketahui dan cara menguji nilai tertentu dari parameter tersebut. Adakah hubungan antara pendugaan selang dan uji hipotesis? Jawabannya: ada!
Sejauh ini, kita hanya membahas selang kepercayaan dua sisi, yaitu selang yang memiliki batas atas dan batas bawah. Pembahasan kita akan berfokus pada selang dan uji dua sisi tersebut. Namun, hal yang kita pelajari di sini juga dapat diterapkan pada selang kepercayaan satu sisi kanan atau kiri dan uji hipotesis satu sisi.
Seperti biasa, mari kita perhatikan sebuah contoh.
Contoh 10.3 Mari kita tinjau kembali contoh sebelumnya. Rataan tekanan darah sistolik diasumsikan sebesar \(\mu = 120\) mm Hg. Dalam Honolulu Heart Study, sampel sebanyak \(n=100\) orang memiliki rataan tekanan darah sistolik 130,1 mm Hg dengan simpangan baku 21,21 mm Hg. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi rataan tekanan darah sistolik populasi.
Solusi
Selang kepercayaan 95% adalah: \[\begin{align*} \bar{x}\pm t_{0.025, 99}\frac{s}{\sqrt{n}} \end{align*}\]
Dengan informasi yang diberikan, kita memperoleh selang: \[\begin{align*} 130.1\pm 1.984\left(\frac{21.21}{\sqrt{100}}\right)=130.1\pm 4.2081=(125.8919, 134.3081) \end{align*}\]
Kita yakin 95% bahwa rataan tekanan darah sistolik populasi berada di antara \((125.8919, 134.3081)\).
Sebelumnya, kita bertanya: Apakah kelompok tersebut berbeda secara signifikan (dalam hal tekanan darah sistolik!) dari populasi umum? Kita menguji hipotesis: \[\begin{align*} H_0: \mu=120 \text{ versus }H_a: \mu\ne 120 \end{align*}\]
Statistik ujinya adalah \(t=4.76\). Nilai-p untuk uji ini adalah \(p=2P(T_{99}\geq 4.761904\ldots)\approx 0.00000656270>0\). Nilai-p dua sisi yang lebih teliti adalah sekitar 0,00000656. Oleh karena itu, kita menolak hipotesis nol pada tingkat \(\alpha=0.05\) .
Jika kita melihat selang kepercayaan tersebut, tampak bahwa nilai 120 TIDAK berada di dalamnya. Apakah ini suatu kebetulan?
Pendekatan daerah penolakan untuk uji hipotesis \(\alpha=0.05\) menyatakan bahwa kita menolak hipotesis nol bahwa \(\mu=120\):
\[\begin{align*} \text{ if }t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\geq 1.9842 \text{ or if }t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\leq -1.9842 \end{align*}\]
yang ekuivalen dengan menolak jika: \[\begin{align*} \text{ if }\bar{x}-\mu_0 \geq 1.9842\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) \text{ or if }\bar{x}-\mu_0 \leq -1.9842\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) \end{align*}\]
yang ekuivalen dengan menolak jika: \[\begin{align*} \text{ if }\mu_0 \leq \bar{x}-1.9842\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)\text{ or if }\mu_0 \geq \bar{x}+1.9842\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) \end{align*}\]
yang, setelah data untuk contoh ini dimasukkan, ekuivalen dengan menolak jika: \[\begin{align*} \text{if }\mu_0 \leq 125.89\text{ or if }\mu_0 \geq 134.31 \end{align*}\]
yang ternyata (!) merupakan titik-titik ujung selang kepercayaan 95% bagi rataan. Jadi, hasilnya memang konsisten! Dengan selang tertutup 95% dan aturan penolakan nilai-p < α yang lazim, hipotesis nol ditolak tepat ketika nilai parameter yang ditetapkannya berada di luar selang; jika aturan nilai-p ≤ α digunakan, perlakuan pada titik ujung harus dinyatakan secara eksplisit.
10.3 Kuasa Uji
Setiap kali melakukan uji hipotesis, kita ingin memastikan bahwa uji tersebut bermutu tinggi. Salah satu cara mengukur mutunya adalah memastikan bahwa uji itu memiliki kuasa yang tinggi. Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari arti uji dengan kuasa tinggi dan cara menentukan ukuran sampel n yang diperlukan agar uji hipotesis yang kita lakukan memiliki kuasa tinggi. Pembahasan dan contoh kita berfokus pada pengujian rataan populasi yang tidak diketahui dari suatu distribusi Normal.
10.3.1 Definisi Kuasa
Mari kita mulai pembahasan kuasa statistik dengan mengingat kembali dua definisi yang kita pelajari ketika pertama kali memperkenalkan pengujian hipotesis:
- Galat tipe I terjadi jika kita menolak hipotesis nol \(H_0\) (untuk mendukung hipotesis alternatif \(H_a\)) ketika hipotesis nol \(H_0\) benar. Kita lambangkan \(\alpha=P(\text{Type I error})\).
- Galat tipe II terjadi jika kita gagal menolak hipotesis nol \(H_0\) ketika hipotesis nol \(H_0\) salah (atau hipotesis alternatif benar). Kita lambangkan \(\beta=P(\text{Type II error})\).
Anda benar-benar perlu memahami kedua definisi ini secara menyeluruh karena keduanya akan sering digunakan dalam pelajaran ini dan setiap kali kelak Anda perlu menghitung ukuran sampel, baik untuk diri sendiri maupun untuk orang lain.
Contoh 10.4 Bagian I
Skala kekerasan Brinell adalah salah satu dari beberapa definisi yang digunakan dalam ilmu material untuk mengukur kekerasan sepotong logam. Pengukuran kekerasan Brinell untuk jenis batang tulangan tertentu yang digunakan untuk memperkuat struktur beton dan pasangan bata diasumsikan berdistribusi Normal dengan simpangan baku 10 kilogram-gaya per milimeter persegi. Dengan menggunakan sampel acak sebanyak \(n=25\) batang, seorang insinyur hendak melakukan uji hipotesis berikut:
- hipotesis nol \(H_0:\mu=170\)
- melawan hipotesis alternatif \(H_a: \mu>170\)
Jika insinyur tersebut memutuskan untuk menolak hipotesis nol apabila rataan sampel sekurang-kurangnya 172, yaitu \(\bar{X}\ge 172\), berapakah peluang bahwa insinyur tersebut melakukan galat tipe I?
Solusi
Dalam kasus ini, insinyur tersebut melakukan galat tipe I jika rataan sampel yang diamatinya berada di daerah penolakan, yaitu sekurang-kurangnya 172, padahal rataan populasi yang sebenarnya (dan tidak diketahui) adalah 170. Secara grafis, \(\alpha\), peluang insinyur tersebut melakukan galat tipe I tampak seperti berikut:
Sekarang, kita dapat menghitung nilai \(\alpha\) bagi insinyur tersebut dengan mentransformasikan distribusi Normal yang memiliki rataan 170 dan simpangan baku 10 menjadi \(Z\), distribusi Normal baku, dengan menggunakan:
\[\begin{align*} Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \end{align*}\]
Dengan demikian, kita peroleh:
Dengan demikian, peluang insinyur melakukan galat tipe I dapat dihitung sebagai suatu peluang Normal. Nilainya adalah 0,1587, seperti diilustrasikan berikut:
\[\begin{align*} \alpha=P(\bar{X}\ge 172 \text{ if }\mu=170)=P(Z\ge 1.00)=0.1587 \end{align*}\]
Peluang 0,1587 agak tinggi. Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari cara insinyur tersebut dapat memperkecil peluang melakukan galat tipe I.
Bagian II
Melanjutkan contoh ini, jika—tanpa diketahui insinyur tersebut—rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=173\), berapakah peluang bahwa insinyur tersebut melakukan galat tipe II?
Solusi
Dalam kasus ini, insinyur tersebut melakukan galat tipe II jika rataan sampel yang diamatinya tidak berada di daerah penolakan, yaitu jika kurang dari 172, padahal rataan populasi yang sebenarnya (dan tidak diketahui) adalah 173. Secara grafis, \(\beta\), peluang insinyur tersebut melakukan galat tipe II tampak seperti berikut:
Sekali lagi, kita dapat menghitung nilai \(\beta\) bagi insinyur tersebut dengan mentransformasikan distribusi Normal yang memiliki rataan 173 dan simpangan baku 10 menjadi \(Z\), distribusi Normal baku. Dengan demikian, kita peroleh:
Dengan demikian, peluang insinyur melakukan galat tipe II sekali lagi dapat dihitung sebagai suatu peluang Normal. Nilainya adalah 0,3085, seperti diilustrasikan berikut: \[\begin{align*} \beta=P(\bar{X}< 172 \text{ if }\mu=173)=P(Z<-0.50)=0.3085 \end{align*}\]
Peluang 0,3085 agak tinggi. Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari cara insinyur tersebut dapat memperkecil peluang melakukan galat tipe II.
Jika dipikirkan, memperhatikan peluang melakukan galat tipe II mirip dengan memandang gelas sebagai setengah kosong. Alih-alih memperhatikan peluang bahwa insinyur tersebut melakukan galat, kita dapat memperhatikan peluang bahwa ia mengambil keputusan yang benar. Untuk itu, kita menghitung besaran yang disebut kuasa uji hipotesis.
Def. 10.1 (Kuasa Uji) Besarnya kuasa suatu uji hipotesis adalah peluang mengambil keputusan yang benar jika hipotesis alternatif benar. Artinya, kuasa uji hipotesis adalah peluang menolak hipotesis nol \(H_0\) ketika hipotesis alternatif \(H_a\) merupakan hipotesis yang benar.
Mari kita kembali ke masalah insinyur tadi untuk melihat apakah kita dapat memandang gelas sebagai setengah penuh!
Contoh 10.5 Melanjutkan contoh sebelumnya, jika—tanpa diketahui insinyur tersebut—rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=173\), berapakah peluang bahwa insinyur tersebut mengambil keputusan yang benar dengan menolak hipotesis nol untuk mendukung hipotesis alternatif?
Solusi
Dalam kasus ini, insinyur tersebut mengambil keputusan yang benar jika rataan sampel yang diamatinya berada di daerah penolakan, yaitu jika sekurang-kurangnya 172, ketika rataan populasi yang sebenarnya (dan tidak diketahui) adalah 173. Secara grafis, kuasa uji hipotesis insinyur tersebut tampak seperti berikut:
Dengan demikian, kuasa uji hipotesis insinyur tersebut adalah 0,6915, seperti diilustrasikan berikut: \[\begin{align*} \text{Power}=P(\bar{X}\ge 172 \text{ if }\mu=173)=P(Z\ge -0.50)=0.6915 \end{align*}\] yang tentu saja juga dapat dihitung dengan mengurangkan peluang melakukan galat tipe II dari 1, seperti berikut: \[\begin{align*} \text{Power}=1-\beta=1-0.3085=0.6915 \end{align*}\]
Bagaimanapun, jika rataan populasi yang tidak diketahui adalah 173, uji hipotesis insinyur tersebut setidaknya sedikit lebih baik daripada melempar koin seimbang, yang hanya memberinya peluang 50% untuk memilih hipotesis yang benar. Dalam kasus ini, peluangnya adalah 69,15%. Ia masih dapat memperbaikinya.
Secara umum, untuk setiap uji hipotesis yang kita lakukan, kita ingin:
Meminimumkan peluang melakukan galat tipe I. Artinya, meminimumkan \(\alpha=P(\text{Type I error})\). Umumnya, tingkat signifikansi sebesar \(\alpha\le 0.10\) diinginkan.
Memaksimumkan kuasa (pada nilai parameter di bawah hipotesis alternatif yang bermakna secara ilmiah). Umumnya, kita menginginkan kuasa sebesar 0,80 atau lebih. Sebagai alternatif, kita dapat meminimumkan \(\beta=P(\text{Type II error})\) , dengan menargetkan tingkat galat tipe II sebesar 0,20 atau kurang.
Omong-omong, pada butir kedua, apa sebenarnya arti “pada nilai parameter di bawah hipotesis alternatif yang bermakna secara ilmiah”? Misalkan seorang peneliti medis ingin menguji hipotesis nol bahwa rataan kadar kolesterol total dalam darah pada suatu populasi pasien adalah 200 mg/dl melawan hipotesis alternatif bahwa rataan kadar kolesterol total dalam darah lebih besar daripada 200 mg/dl. Hipotesis alternatif tersebut memuat tak terhingga banyak kemungkinan nilai rataan. Di bawah hipotesis alternatif, rataan populasi dapat bernilai 201, 202, 210, dan nilai-nilai lainnya. Misalkan peneliti medis itu menolak hipotesis nol karena rataannya 201. Lalu apa istimewanya—apakah itu akan menjadi kesimpulan yang menggemparkan? Mungkin tidak. Sebaliknya, misalkan peneliti medis itu menolak hipotesis nol karena rataannya 215. Dalam kasus tersebut, rataannya cukup jauh berbeda dari rataan yang diasumsikan di bawah hipotesis nol sehingga kita mungkin akan menganggap hasilnya menarik. Singkatnya, dalam contoh ini, kita mungkin semua sepakat menganggap rataan 215 “bermakna secara ilmiah”, sedangkan rataan 201 tidak.
Tentu saja, seluruh pembicaraan ini terdengar agak tidak masuk akal karena kita tidak akan pernah benar-benar mengetahui apakah rataan populasi yang sebenarnya dan tidak diketahui adalah 201 atau 215; jika mengetahuinya, kita tidak perlu menjalani proses pengujian hipotesis tentang rataan tersebut. Namun, ada hal yang dapat kita lakukan. Kita dapat merencanakan penelitian ilmiah agar uji hipotesis kita memiliki kuasa yang memadai untuk menolak hipotesis nol guna mendukung nilai-nilai parameter di bawah hipotesis alternatif yang bermakna secara ilmiah.
10.3.2 Fungsi Kuasa
Mari kita lihat contoh lain yang melibatkan penghitungan kuasa uji hipotesis.
Contoh 10.6 Misalkan \(X\) menyatakan IQ seorang warga Amerika dewasa yang dipilih secara acak. Anggaplah, meskipun agak tidak realistis, bahwa \(X\) berdistribusi Normal dengan rataan yang tidak diketahui \(\mu\) dan simpangan baku 16. Ambil sampel acak sebanyak \(n=16\) mahasiswa; namun, mahasiswa bukan dengan sendirinya kerangka sampel acak bagi populasi warga Amerika dewasa. Dengan keterbatasan itu, setelah menetapkan peluang melakukan galat tipe I sebesar \(\alpha=0.05\), kita dapat menguji hipotesis nol \(H_0:\mu=100\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_a: \mu>100\).
Berapakah kuasa uji hipotesis jika rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=108\)?
Solusi
Dengan menetapkan \(\alpha\), yaitu peluang melakukan galat tipe I, sebesar 0,05, berarti bahwa kita harus menolak hipotesis nol ketika statistik uji \(Z\ge 1.645\), atau secara ekuivalen, ketika rataan sampel teramati sebesar 106,58 atau lebih:
karena kita mentransformasikan statistik uji \(Z\) ke rataan sampel melalui: \[\begin{aligned}Z&=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n},\qquad \bar X=\mu+Z\frac{\sigma}{\sqrt n}\\\bar X&=100+1.645\left(\frac{16}{\sqrt{16}}\right)=106.58\end{aligned}\]
Sekarang, hal itu berarti bahwa kuasa, yaitu peluang menolak hipotesis nol, ketika \(\mu=108\) adalah 0,6406 sebagaimana dihitung di sini (ingat bahwa \(\Phi(z)\) merupakan notasi baku untuk fungsi distribusi kumulatif peubah acak Normal baku):
\[\begin{aligned}\operatorname{Power}&=P(\bar X\geq106.58\mid\mu=108)=P\!\left(Z\geq\frac{106.58-108}{16/\sqrt{16}}\right)\\&=P(Z\geq-0.36)=1-P(Z<-0.36)=1-\Phi(-0.36)\end{aligned}\]
dan diilustrasikan di sini:
Singkatnya, kita telah menentukan bahwa kita (hanya) memiliki peluang 64,06% untuk menolak hipotesis nol \(H_0:\mu=100\) demi mendukung hipotesis alternatif \(H_a: \mu>100\), jika rataan populasi sebenarnya yang tidak diketahui pada kenyataannya adalah \(\mu=108\).
Bagian II
Melanjutkan contoh ini, berapakah kuasa uji hipotesis jika rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=112\)?
Solusi
Karena kita menetapkan \(\alpha\), yaitu peluang melakukan galat tipe I, sebesar 0,05, kita kembali menolak hipotesis nol ketika statistik uji \(Z\ge 1.645\), atau secara ekuivalen, ketika rataan sampel teramati sebesar 106,58 atau lebih. Artinya, peluang menolak hipotesis nol ketika \(\mu=112\), adalah 0,9131 sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} \text{Power}&=P(\bar{X}\ge 106.58\text{ when }\mu=112)\\&=P\left(Z\ge \frac{106.58-112}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right) \\ &= P(Z\ge -1.36)\\&=1-P(Z<-1.36)\\&=1-\Phi(-1.36)\\&=1-0.0869=0.9131 \end{align*}\]
dan diilustrasikan di sini:
Singkatnya, kita telah menentukan bahwa sekarang kita memiliki peluang 91,31% untuk menolak hipotesis nol \(H_0: \mu=100\) demi mendukung hipotesis alternatif \(H_a: \mu>100\) jika rataan populasi sebenarnya yang tidak diketahui pada kenyataannya adalah \(\mu=112\). Hmm…. seharusnya masuk akal bahwa peluang menolak hipotesis nol lebih besar untuk nilai rataan, seperti 112, yang jauh dari rataan yang diasumsikan di bawah hipotesis nol.
Bagian III
Sekali lagi, melanjutkan contoh sebelumnya. Berapakah kuasa uji hipotesis jika rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=116\)?
Solusi
Sekali lagi, karena kita menetapkan \(\alpha\), yaitu peluang melakukan galat tipe I, sebesar 0,05, kita menolak hipotesis nol ketika statistik uji \(Z\ge 1.645\), atau secara ekuivalen, ketika rataan sampel teramati sebesar 106,58 atau lebih. Artinya, peluang menolak hipotesis nol ketika \(\mu=116\) adalah 0,9909 sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} \text{Power}&=P(\bar{X}\ge 106.58\text{ when }\mu\\&=116) =P\left(Z\ge \dfrac{106.58-116}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right)\\ &= P(Z\ge -2.36)\\&=1-P(Z<-2.36)\\&= 1-\Phi(-2.36)\\&=1-0.0091=0.9909 \end{align*}\]
dan diilustrasikan di sini:
Singkatnya, kita telah menentukan bahwa dalam kasus ini kita memiliki peluang 99,09% untuk menolak hipotesis nol \(H_0: \mu=100\) demi mendukung hipotesis alternatif \(H_a: \mu>100\) jika rataan populasi sebenarnya yang tidak diketahui pada kenyataannya adalah \(\mu=116\). Peluang menolak hipotesis nol adalah yang terbesar di antara semua peluang yang telah kita hitung, karena rataan 116 paling jauh dari rataan yang diasumsikan di bawah hipotesis nol.
Apakah Anda mulai jenuh dengan pembahasan ini? Mari kita rangkum beberapa hal yang telah kita pelajari dari latihan ini:
Pertama dan terutama, pengajar saya terkadang bisa menjemukan….. eh, maksud saya, pertama dan terutama, kuasa uji hipotesis bergantung pada nilai parameter yang dikaji. Dalam contoh di atas, kuasa uji hipotesis bergantung pada nilai rataan \(\mu\).
Ketika rataan sebenarnya \(\mu\) bergerak semakin jauh ke kanan dari nilai rataan \(\mu=100\) di bawah hipotesis nol, kuasa uji hipotesis meningkat.
Pokok pertama itulah yang membawa kita pada sesuatu yang disebut fungsi kuasa uji hipotesis. Jika kembali melihat uraian di atas, Anda akan melihat bahwa setiap penghitungan kuasa yang kita lakukan melibatkan sebuah langkah yang tampak seperti ini:
\[\begin{align*} \text{Power } =1 - \Phi (z) \end{align*}\]
Artinya, jika kita menggunakan notasi baku \(K(\mu)\) untuk menyatakan fungsi kuasa yang bergantung pada \(\mu\), kita memperoleh: \[\begin{align*} K(\mu) = 1- \Phi \left( \frac{106.58 - \mu}{16 / \sqrt{16}} \right) \end{align*}\]
Jadi, sebenarnya pengajar Anda bisa saja jauh lebih menjemukan dengan menghitung kuasa untuk setiap nilai yang mungkin dari \(\mu\) di bawah hipotesis alternatif! Sebagai gantinya, kita dapat membuat grafik fungsi kuasa, dengan rataan \(\mu\) pada sumbu horizontal dan kuasa \(K(\mu)\) pada sumbu vertikal. Dengan melakukannya, dalam kasus ini kita memperoleh grafik yang tampak seperti berikut:
Sekarang, apa yang dapat kita pelajari dari grafik ini?
Nah:
- Kita dapat melihat bahwa \(\alpha\) (peluang terjadinya galat tipe I), \(\beta\) (peluang terjadinya galat tipe II), dan \(K(\mu)\) semuanya ditampilkan pada grafik fungsi kuasa, seperti diilustrasikan di sini:
Kita dapat melihat bahwa peluang terjadinya galat tipe I adalah \(\alpha=K(100)=0.05\), yaitu peluang menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol benar adalah 0,05.
Kita dapat melihat kuasa uji \(K(\mu)\), serta peluang terjadinya galat tipe II \(\beta(\mu)\), untuk setiap nilai yang mungkin dari \(\mu\).
Kita dapat melihat bahwa \(\beta(\mu)=1-K(\mu)\) dan sebaliknya, yakni \(K(\mu)=1-\beta(\mu)\).
Dan secara grafis kita dapat melihat bahwa, memang, ketika rataan sebenarnya \(\mu\) bergerak semakin jauh ke kanan dari rataan di bawah hipotesis nol \(\mu=100\), kuasa uji hipotesis meningkat.
Sekarang, menurut Anda apa yang akan terjadi pada kuasa uji hipotesis jika kita mengubah besarnya peluang galat tipe I yang bersedia kita tanggung? Apakah kuasa untuk nilai \(\mu\) tertentu akan meningkat, menurun, atau tetap sama? Sebagai contoh, misalkan kita ingin menetapkan \(\alpha=0.01\) alih-alih \(\alpha=0.05\). Mari kita kembali ke contoh untuk menelaah pertanyaan ini.
Contoh 10.7 Misalkan \(X\) menyatakan IQ seorang warga Amerika dewasa yang dipilih secara acak. Anggaplah, meskipun agak tidak realistis, bahwa \(X\) berdistribusi Normal dengan rataan yang tidak diketahui \(\mu\) dan simpangan baku 16. Ambil sampel acak sebanyak \(n=16\) mahasiswa; namun, mahasiswa bukan dengan sendirinya kerangka sampel acak bagi populasi warga Amerika dewasa. Dengan keterbatasan itu, setelah menetapkan peluang melakukan galat tipe I sebesar \(\alpha=0.01\), kita dapat menguji hipotesis nol \(H_0:\mu=100\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_a: \mu>100\).
Berapakah kuasa uji hipotesis jika rataan populasi yang sebenarnya adalah \(\mu=108\)?
Solusi
Dengan menetapkan \(\alpha\), yaitu peluang melakukan galat tipe I, sebesar 0,01, berarti bahwa kita harus menolak hipotesis nol ketika statistik uji \(Z\ge 2.326\), atau secara ekuivalen, ketika rataan sampel teramati sebesar 109,304 atau lebih:
\[\begin{align*} \bar{x} = \mu + z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) =100 + 2.326\left( \frac{16}{\sqrt{16}} \right)=109.304 \end{align*}\]
Artinya, peluang menolak hipotesis nol ketika \(\mu=108\) adalah 0,3722 sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} \text{Power}&=P(\bar{X}\ge 109.304 \text{ when }\mu=108)=P\left(Z\ge \frac{109.304-108}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right)\\ & = P(Z\ge 0.326)=1-P(Z<0.326)=1-\Phi(0.326)\\ & = 1-0.6278=0.3722 \end{align*}\]
Jadi, kuasa ketika \(\mu=108\) dan \(\alpha=0.01\) lebih kecil (0,3722) daripada kuasa ketika \(\mu=108\) dan \(\alpha=0.05\) (0,6406)! Mungkin kita dapat melihatnya secara grafis:
Omong-omong, sebagai alternatif kita dapat kembali memandang gelas sebagai setengah kosong. Dalam hal ini, peluang terjadinya galat tipe II ketika \(\mu=108\) dan \(\alpha=0.01\) adalah \(1-0.3722=0.6278\). Dalam kasus ini, peluang terjadinya galat tipe II lebih besar daripada peluang terjadinya galat tipe II ketika \(\mu=108\) dan \(\alpha=0.05\).
Semua ini dapat dilihat secara grafis dengan memplot kedua fungsi kuasa, yang satu ketika \(\alpha=0.01\) dan yang lain ketika \(\alpha=0.05\), secara bersamaan. Dengan melakukannya, kita memperoleh grafik yang tampak seperti ini:
Contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa dengan syarat ukuran sampel \(n\) tetap, penurunan \(\alpha\) menyebabkan peningkatan \(\beta\), dan, setidaknya secara teoretis, kalaupun tidak secara praktis, penurunan \(\beta\) menyebabkan peningkatan \(\alpha\). Dalam pengaturan uji rataan Normal ini, dengan faktor lain tetap, \(\alpha\) dan \(\beta\) dapat dikurangi secara bersamaan dengan meningkatkan ukuran sampel dalam rancangan ini. Di luar rancangan tetap tersebut, pengukuran yang lebih baik, varians yang lebih kecil, rancangan yang lebih kuat, atau uji yang lebih efisien juga dapat memperbaiki kedua galat. \(n\).
10.3.3 Menghitung Ukuran Sampel
Sebelum mempelajari cara menghitung ukuran sampel yang diperlukan agar suatu uji hipotesis memiliki kuasa uji tertentu, ada baiknya kita memahami pengaruh ukuran sampel terhadap kuasa uji. Mari kita selidiki dengan kembali ke contoh IQ kita.
Contoh 10.8 Misalkan \(X\) menyatakan IQ seorang warga Amerika dewasa yang dipilih secara acak. Asumsikan, sekali lagi dengan sedikit tidak realistis, bahwa \(X\) berdistribusi Normal dengan rataan yang tidak diketahui \(\mu\) dan simpangan baku (yang anehnya diketahui) sebesar 16. Kali ini, alih-alih mengambil sampel acak sebanyak \(n=16\) mahasiswa—dengan catatan bahwa mahasiswa bukan dengan sendirinya kerangka sampel acak bagi populasi warga Amerika dewasa—mari kita tingkatkan ukuran sampel menjadi \(n=64\). Sementara itu, dengan menetapkan peluang melakukan galat tipe I sebesar \(\alpha=0.05\), ujilah hipotesis nol \(H_0:\mu=100\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_a:\mu>100\).
Berapakah kuasa uji hipotesis ketika \(\mu=108\), \(\mu=112\), dan \(\mu=116\)?
Solusi
Menetapkan \(\alpha\), yaitu peluang melakukan galat tipe I, sebesar 0,05 berarti bahwa kita harus menolak hipotesis nol ketika statistik uji \(Z\ge 1.645\), atau secara ekuivalen, ketika rataan sampel teramati sebesar 103,29 atau lebih:
karena:
\[\begin{align*} \bar{x} &= \mu + z \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\\ &= 100 +1.645\left(\dfrac{16}{\sqrt{64}} \right) = 103.29 \end{align*}\]
Oleh karena itu, fungsi kuasa \(K(\mu)\), ketika \(\mu>100\) merupakan nilai sebenarnya, adalah:
\[\begin{align*} K(\mu) &= P(\bar{X} \ge 103.29 | \mu)\\ &= P \left(Z \ge \dfrac{103.29 - \mu}{16 / \sqrt{64}} \right)\\ &= 1 - \Phi \left(\dfrac{103.29 - \mu}{2} \right) \end{align*}\]
Oleh karena itu, peluang menolak hipotesis nol pada tingkat \(\alpha=0.05\) ketika \(\mu=108\) bernilai 0,9907, sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} K(108) &= 1 - \Phi \left( \dfrac{103.29-108}{2} \right) = 1- \Phi(-2.355) = 0.9907 \end{align*}\]
Selanjutnya, peluang menolak hipotesis nol pada tingkat \(\alpha=0.05\) ketika \(\mu=112\) bernilai lebih besar dari 0,9999, sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} K(112) &= 1 - \Phi \left( \dfrac{103.29-112}{2} \right)\\ &= 1- \Phi(-4.355)\\ &= 0.9999\ldots \end{align*}\]
Selanjutnya, peluang menolak hipotesis nol pada tingkat \(\alpha=0.05\) ketika \(\mu=116\) bernilai lebih besar dari 0,999999, sebagaimana dihitung di sini:
\[\begin{align*} K(116) &= 1 - \Phi \left( \dfrac{103.29-116}{2} \right)\\ &= 1- \Phi(-6.355)\\ &= 0.999999... \end{align*}\]
Singkatnya, dalam berbagai contoh di sepanjang pelajaran ini, kita telah menghitung kuasa uji untuk \(H_0:\mu=100\) terhadap \(H_a:\mu>100\) untuk dua ukuran sampel (\(n=16\) dan \(n=64\)) dan untuk tiga nilai rataan yang mungkin ( \(\mu=108\), \(\mu=112\), dan \(\mu=116\)). Berikut ringkasan perhitungan kuasa uji kita:
| Kuasa Uji | \(K(108)\) | \(K(112)\) | \(K(116)\) |
|---|---|---|---|
| \(n=16\) | 0.6406 | 0.9131 | 0.9909 |
| \(n=64\) | 0.9907 | 0.9999… | 0.999999… |
Seperti terlihat, hasil kita menunjukkan bahwa untuk nilai rataan tertentu \(\mu\) di bawah hipotesis alternatif, makin besar ukuran sampel \(n\), makin besar kuasa uji \(K(u)\). Barangkali tidak ada cara yang lebih baik untuk melihat hal ini daripada secara grafis dengan memplot kedua fungsi kuasa secara bersamaan, yang satu ketika \(n=16\) dan yang lain ketika \(n=64\):
Seperti ditunjukkan oleh grafik ini, jika kita ingin meningkatkan peluang menolak hipotesis nol ketika hipotesis alternatif benar, kita dapat melakukannya dengan meningkatkan ukuran sampel \(n\). Manfaat ini mungkin paling besar untuk nilai rataan yang dekat dengan nilai rataan yang diasumsikan di bawah hipotesis nol. Mari kita lihat dua contoh yang menggambarkan perhitungan ukuran sampel yang dapat kita lakukan untuk memastikan uji hipotesis kita memiliki kuasa uji yang memadai.
Contoh 10.9 Misalkan \(X\) menyatakan hasil panen jagung yang diukur sebagai banyaknya bushel per ekar. Asumsikan (secara tidak realistis) bahwa \(X\) berdistribusi Normal dengan rataan yang tidak diketahui \(\mu\) dan simpangan baku \(\sigma=6\). Seorang peneliti pertanian sedang berupaya meningkatkan hasil panen rata-rata yang saat ini sebesar 40 bushel per ekar. Oleh karena itu, ia ingin menguji, dengan \(\alpha=0.05\) sebagai tingkat signifikansi, hipotesis nol \(H_0:\mu=40\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_a:\mu>40\). Tentukan ukuran sampel \(n\) yang diperlukan untuk mencapai kuasa uji 0,90 pada nilai alternatif \(\mu=45\).
Solusi
Seperti biasa, kita perlu memulai dengan menentukan nilai ambang \(c\), sedemikian sehingga jika rataan sampel lebih besar daripada \(c\), kita akan menolak hipotesis nol:
Dengan kata lain, agar uji hipotesis kita dilakukan dengan \(\alpha=0.05\) sebagai tingkat signifikansi, pernyataan berikut harus berlaku (dengan menggunakan transformasi \(Z\) yang biasa kita gunakan):
\[\begin{align} c = 40 + 1.645 \left( \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \end{align}\]
Namun, itu bukan satu-satunya syarat yang harus \(c\) penuhi, karena \(c\) juga perlu ditentukan untuk memastikan bahwa kuasa uji kita sebesar 0,90 atau, secara ekuivalen, bahwa peluang galat tipe II sebesar 0,10. Hal itu akan terjadi jika ada peluang 10% bahwa statistik uji kita kurang dari \(c\) ketika \(\mu=45\), sebagaimana ditunjukkan dengan warna biru pada gambar berikut:
Ilustrasi ini menunjukkan bahwa agar uji hipotesis kita memiliki kuasa uji 0,90, pernyataan berikut harus berlaku (dengan menggunakan transformasi \(Z\) yang biasa kita gunakan):
\[\begin{align} c = 45 - 1.28 \left( \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \end{align}\]
Aha! Kita memiliki dua persamaan ((1) dan (2)) dan dua variabel yang tidak diketahui! Kita hanya perlu menyamakan kedua persamaan itu dan menyelesaikannya untuk \(n\). Dengan demikian, kita memperoleh:
\[\begin{align*} & 40+1.645\left(\frac{6}{\sqrt{n}}\right)=45-1.28\left(\frac{6}{\sqrt{n}}\right)\\ & \Rightarrow 5=(1.645+1.28)\left(\frac{6}{\sqrt{n}}\right), \qquad \Rightarrow 5=\frac{17.55}{\sqrt{n}}, \qquad n=(3.51)^2=12.3201\approx 13 \end{align*}\]
Setelah mengetahui bahwa kita akan menetapkan \(n=13\), kita dapat menentukan nilai ambang \(c\):
\[\begin{align*} c = 40 + 1.645 \left( \dfrac{6}{\sqrt{13}} \right)=42.737 \end{align*}\]
Jadi, singkatnya, jika peneliti pertanian tersebut mengumpulkan data dari \(n=13\) petak jagung, dan menolak hipotesis nolnya \(H_0:\mu=40\) jika rataan hasil panen dari 13 petak tersebut lebih besar daripada 42,737445 bushel per ekar, ia akan memiliki peluang galat tipe I sekitar 4,9985% dan peluang galat tipe II sekitar 8,6974% (kuasa sekitar 91,3026%) jika rataan populasi \(\mu\) benar-benar sebesar 45 bushel per ekar.
Bagian II
Misalkan \(p\), yaitu proporsi sebenarnya pemilih yang mendukung kandidat politik tertentu. Seorang pelaksana jajak pendapat ingin menguji, dengan \(\alpha=0.01\) sebagai tingkat signifikansi, hipotesis nol \(H_0:p=0.5\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_a:p>0.5\). Tentukan ukuran sampel \(n\) yang diperlukan untuk mencapai kuasa uji 0,80 pada nilai alternatif \(p=0.55\).
Solusi
Dalam kasus ini, karena kita ingin melakukan uji hipotesis mengenai proporsi populasi \(p\), kita menggunakan statistik \(Z\):
\[\begin{align*} Z = \dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \end{align*}\]
Sekali lagi, kita mulai dengan menentukan nilai ambang \(c\), sedemikian sehingga jika proporsi sampel teramati lebih besar daripada \(c\), kita akan menolak hipotesis nol:
Dengan kata lain, agar uji hipotesis kita dilakukan dengan \(\alpha=0.01\) sebagai tingkat signifikansi, pernyataan berikut harus berlaku:
\[\begin{align} c = 0.5 + 2.326 \sqrt{ \dfrac{(0.5)(0.5)}{n}} \end{align}\]
Namun, sekali lagi, c tidak hanya harus memenuhi syarat itu, karena \(c\) juga perlu ditentukan untuk memastikan bahwa kuasa uji kita sebesar 0,80 atau, secara ekuivalen, bahwa peluang galat tipe II sebesar 0,20. Hal itu akan terjadi jika ada peluang 20% bahwa statistik uji kita kurang dari \(c\) ketika \(p=0.55\), sebagaimana ditunjukkan dengan warna biru pada gambar berikut:
Ilustrasi ini menunjukkan bahwa agar uji hipotesis kita memiliki kuasa uji 0,80, pernyataan berikut harus berlaku:
\[\begin{align} c = 0.55 - 0.842 \sqrt{ \dfrac{(0.55)(0.45)}{n}} \end{align}\]
Sekali lagi, kita memiliki dua persamaan ((3) dan (4)) dan dua variabel yang tidak diketahui! Kita hanya perlu menyamakan kedua persamaan itu dan menyelesaikannya untuk \(n\). Dengan demikian, kita memperoleh:
\[\begin{align*} 0.5+2.326\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{n}}&=0.55-0.842\sqrt{\dfrac{0.55(0.45)}{n}} \\ 2.326\dfrac{\sqrt{0.25}}{\sqrt{n}}+0.842\dfrac{\sqrt{0.2475}}{\sqrt{n}}&=0.55-0.5 \\ \dfrac{1}{\sqrt{n}}(1.5818897)&=0.05 \qquad\\ &\Rightarrow n\approx \left(\dfrac{1.5818897}{0.05}\right)^2\\ &= 1000.95 \approx 1001 \end{align*}\]
Setelah mengetahui bahwa kita akan menetapkan \(n=1001\), kita dapat menentukan nilai ambang \(c\):
\[\begin{align*} c = 0.5 + 2.326 \sqrt{\dfrac{(0.5)(0.5)}{1001}}= 0.5367 \end{align*}\]
Jadi, singkatnya, jika pelaksana jajak pendapat tersebut mengumpulkan data dari \(n=1001\) pemilih, dan menolak hipotesis nolnya \(H_0:p=0.5\) jika proporsi pemilih dalam sampel yang mendukung kandidat politik tersebut lebih besar daripada 0,5367 (yakni sekurang-kurangnya 538 dari 1001 pemilih), rancangan hampiran Normal ini menargetkan peluang galat tipe I 1% dan peluang galat tipe II 20%; secara Binomial eksak, peluangnya masing-masing sekitar 0,9647% dan 20,3437% jika proporsi populasi \(p\) benar-benar sebesar 0,55.
Sebagai catatan, kita selalu dapat memeriksa perhitungan hampiran Normal tersebut! Jika survei dan uji hipotesis selanjutnya dilakukan sebagaimana dijelaskan di atas, peluang hampiran melakukan galat tipe I adalah:
\[\begin{aligned}\hat p>0.5367&\Longleftrightarrow X\geq538,\\\alpha_{\mathrm{Normal}}&\approx0.01,\\\alpha_{\mathrm{exact}}&=P_{p=0.50}(X\geq538)=0.009647335485396\end{aligned}\]
dan peluang hampiran melakukan galat tipe II adalah:
\[\begin{aligned}\beta_{\mathrm{Normal}}&\approx0.199,\\\beta_{\mathrm{exact}}&=P_{p=0.55}(X\leq537)=0.203436671383695\end{aligned}\]
sesuai dengan target hampiran Normal yang diinginkan oleh pelaksana jajak pendapat tersebut, tetapi bukan nilai Binomial eksak.
Kita telah mengilustrasikan beberapa perhitungan ukuran sampel. Sekarang, mari kita rangkum informasi yang digunakan dalam perhitungan ukuran sampel. Untuk menentukan ukuran sampel bagi suatu uji hipotesis, Anda perlu menetapkan:
Tingkat signifikansi \(\alpha\) yang diinginkan, yaitu kesediaan Anda untuk melakukan galat tipe I.
Kuasa uji yang diinginkan atau, secara ekuivalen, tingkat \(\beta\) yang diinginkan, yaitu kesediaan Anda untuk melakukan galat tipe II.
Perbedaan yang bermakna dari nilai parameter yang ditentukan dalam hipotesis nol.
Simpangan baku statistik sampel atau, setidaknya, suatu nilai dugaan bagi simpangan baku (“galat baku”) statistik sampel.
10.4 Uji Wald Hampiran
Dalam uji hipotesis yang telah kita kembangkan sejauh ini, kita perlu menentukan statistik uji dan mengetahui distribusi statistik uji tersebut di bawah hipotesis nol. Namun, bagaimana kita memilih statistik uji? Dapatkah kita selalu menentukan distribusinya? Apakah statistik uji itu didasarkan pada suatu statistik (atau penduga) yang memiliki sifat-sifat yang diinginkan?
Berdasarkan apa yang telah kita pelajari sejauh ini dalam mata kuliah ini, kita mengetahui bahwa MLE memiliki sifat-sifat yang diinginkan, khususnya di bawah syarat tertentu. Dalam pelajaran ini, kita memperkenalkan uji Wald. Uji ini secara umum dapat diterapkan dengan menggunakan MLE dan bertumpu pada normalitas asimtotik MLE.
10.4.1 Langkah Berikutnya
Seperti telah kita catat sebelumnya, jika setiap titik data \(x_i\) dipandang sebagai peubah acak, dengan \[\begin{align*} x_i \sim f_X(x|\theta) \end{align*}\] maka setiap fungsi dari titik-titik data tersebut merupakan peubah acak. Secara khusus, MLE \(\hat{\theta}=\text{argmax}(L(\theta))\) merupakan fungsi dari data sehingga juga merupakan peubah acak. Dalam beberapa kasus sederhana, kita dapat menentukan distribusi \(\hat{\theta}\) secara langsung, tetapi dalam banyak kasus kita tidak dapat melakukannya. Untungnya, di bawah syarat keteraturan yang sesuai terdapat hasil normalitas asimtotik untuk MLE pada model dengan distribusi \(f_X\) yang menghasilkan data tersebut; hasil ini memerlukan keteridentifikasian, parameter sebenarnya di bagian dalam ruang parameter, konsistensi, informasi nonsingular, serta syarat diferensiasi dan pertukaran yang sesuai, dan dapat gagal pada kasus tak teratur atau batas.
Untuk model berparameter tunggal, hasilnya adalah sebagai berikut:
Jika \(L(\theta|x_1,x_2,\ldots,x_n)\) adalah fungsi kemungkinan dan \(\hat{\theta}=\text{argmax}(L(\theta))\) adalah MLE, maka, ketika \(n\rightarrow \infty\), \[\sqrt n(\hat\theta_{ML}-\theta_0)\xrightarrow{d}N\!\left(0,I_1(\theta_0)^{-1}\right)\] dengan \(I(\theta)\) adalah “informasi Fisher”, yang didefinisikan sebagai \[I(\theta) = -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\ell(\theta)\right]\] dengan \(\ell(\theta)=log(L(\theta))\) dan nilai harapan diambil atas semua \(x_1,x_2,\ldots,x_n\).
Dalam kasus multivariat, ketika ada dua parameter atau lebih yang akan diduga, \(\boldsymbol\theta=(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_p)\) adalah vektor dari \(p\) parameter yang akan diduga, dan distribusi asimtotiknya adalah sebagai berikut. Ketika \(n\rightarrow \infty\),
\[\sqrt n(\hat{\boldsymbol\theta}_{ML}-\boldsymbol\theta_0)\xrightarrow{d}N_p\!\left(\mathbf0,\mathbf I_1(\boldsymbol\theta_0)^{-1}\right)\]
dengan \(\mathbf{I}(\boldsymbol\theta)\) adalah “matriks informasi Fisher”, yang didefinisikan sebagai
\[\mathbf{I}(\boldsymbol\theta) = \left[\begin{array}{cccc} -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_1^2}\ell(\theta)\right] & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_1\partial\theta_2}\ell(\theta)\right] & \cdots & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_1\partial\theta_p}\ell(\theta)\right]\\ -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_2\partial\theta_1}\ell(\theta)\right] & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta_2^2}\ell(\theta)\right] & \cdots & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_2\partial\theta_p}\ell(\theta)\right] \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_p\partial\theta_1}\ell(\theta)\right] & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_p\partial\theta_2}\ell(\theta)\right] & \cdots & -E_x\left[\frac{\partial^2}{\partial \theta_p^2}\ell(\theta)\right] \end{array}\right] \] di mana, sekali lagi, \(\ell(\theta)=log(L(\theta))\) dan nilai harapan diambil atas semua \(x_1,x_2,\ldots,x_n\). Hasil ini menjelaskan distribusi bersama hampiran dari MLE semua parameter. Dalam banyak situasi (termasuk sebagian besar uji hipotesis), hasil yang lebih berguna adalah distribusi marginal yang dihasilkan bagi setiap MLE. Jika komponen \(k\)-nya adalah \(\theta_k\), dan MLE untuk parameter ini adalah \(\hat{\theta}_k\), maka langsung dari distribusi bersama di atas diperoleh bahwa distribusi marginal \(\hat{\theta}_k\) secara asimtotik mendekati distribusi Gaussian, dengan \[\hat\theta_k\approx N\!\left(\theta_{0,k},[\mathbf I_n(\hat{\boldsymbol\theta})^{-1}]_{kk}\right)\] Artinya, MLE \(\hat{\theta}_k\) secara hampiran berdistribusi Normal univariat, dengan rataan berupa parameter sebenarnya \(\theta_k\) dan varians yang sama dengan entri diagonal nomor \(k\)—yang terdapat pada invers \(\mathbf{I}^{-1}(\hat{\boldsymbol\theta})\) dari matriks informasi Fisher.
Kita dapat menggunakan distribusi Gaussian hampiran asimtotik dari MLE yang dijelaskan sebelumnya untuk membentuk statistik uji yang berguna dalam menguji \(H_0:\theta_k=c\) terhadap \(H_A:\theta_k \neq c\).
Karena kita mengetahui bahwa
\[\hat\theta_k\approx N\!\left(\theta_{0,k},[\mathbf I_n(\hat{\boldsymbol\theta})^{-1}]_{kk}\right)\] jika hipotesis nol menyatakan bahwa \(\theta_k=c\), maka di bawah \(H_0\), distribusi MLE adalah \[\hat\theta_k\approx N\!\left(c,[\mathbf I_n(\hat{\boldsymbol\theta})^{-1}]_{kk}\right)\quad\text{under }H_0\]
Mengikuti notasi di atas, kita memiliki statistik uji (yang kita tuliskan sebagai \(\hat{\theta}_k\) di sini, sedangkan dalam uraian umum di atas kita menyebutnya \(T^*\)), dan kita mengetahui distribusi (hampiran) statistik ini (\(T\sim N(c,\mathbf{I}^{-1}(\hat{\boldsymbol\theta})_{[k,k]})\) di bawah hipotesis nol). Namun, nilai-p yang benar harus didasarkan pada jarak T dan nilai MLE teramati dari c; rumus sumber berikut tidak terpusat pada c dan tidak benar jika c ≠ 0.
\[p=P_0\!\left(|T-c|\geq|\hat\theta_k-c|\right),\qquad T\sim N(c,\widehat{se}_k^{\,2})\]
Kita dapat menyederhanakannya sedikit. Jika terlebih dahulu kita mendefinisikan galat baku bernomor \(k\), yaitu \(se_k\) sebagai
\[se_k=\sqrt{\mathbf{I}^{-1}(\hat{\boldsymbol\theta})_{[k,k]}}\] kemudian, dengan mengurangkan rataan dan membaginya dengan \(se_k\) kita memperoleh
\[ Z^*=\frac{\hat{\theta}_k-c}{se_k}\sim N(0,1)\] dengan \(Z^*\approx N(0,1)\). Nilai-p (peluang mengamati nilai yang sekurang-kurangnya sama ekstrem jika hipotesis nol benar) kemudian dapat ditulis sebagai \[p=P(|Z|\geq|Z^*|)=P(Z\leq-|Z^*|)+P(Z\geq|Z^*|)\]
yang, dengan perlakuan batas kesamaan yang konsisten dan karena simetri distribusi Normal baku, sama dengan
\[p=2*P(Z\leq -|Z^*|)=2\Phi(-|Z^*|)\] Uji semacam ini, yang didasarkan pada distribusi Gaussian hampiran asimtotik dari MLE, disebut uji Wald.
10.4.2 Langkah-langkah Uji Wald
Untuk merangkum hasil di atas, jika \(x_i \sim f_X(x|\boldsymbol\theta)\) merupakan peubah acak yang saling bebas, dan kita ingin menguji hipotesis nol bahwa \(H_0:\theta_k=c\) terhadap hipotesis alternatif bahwa \(H_A:\theta_k \neq c\), maka uji Wald untuk hipotesis ini dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
- Pertama, kita menentukan MLE semua parameter \(\hat{\boldsymbol\theta}\) dalam model dan informasi Fisher yang bersesuaian \(\mathbf{I}(\hat{\boldsymbol\theta})\).
- Kemudian kita menentukan galat baku bernomor \(k\), yaitu \(se_k=\sqrt{\mathbf{I}^{-1}(\hat{\boldsymbol\theta})_{[k,k]}}\) dan membentuk statistik uji \[Z^*=\frac{\hat{\theta}_k-c}{se_k}\]
- Nilai-p Wald untuk uji ini adalah \[p=2*P(Z\leq -|Z^*|)=2\Phi(-|Z^*|)\]
- Jika nilai-p yang dihitung di atas adalah \(p\leq\alpha\) maka kita menolak \(H_0\) dan menyatakan bahwa hasil uji konsisten dengan \(H_A\). Jika nilai-p sama dengan α, tindakan pada batas harus ditetapkan secara eksplisit. Jika nilai-p yang dihitung di atas adalah \(p>\alpha\) maka kita gagal menolak \(H_0\) dan menyimpulkan bahwa bukti yang tersedia tidak cukup untuk menolak \(H_0\).
10.4.3 Contoh Pengujian Hipotesis
Pada bagian ini, kita menyajikan contoh pengujian hipotesis dengan berfokus pada uji Wald untuk MLE.
Contoh 10.10 (Contoh Pengujian Hipotesis Bernoulli/Binomial) Anggaplah sebuah kasino memiliki permainan peluang dengan peluang menang yang diumumkan sebesar 0.25. Anggaplah seseorang memainkan permainan peluang itu 20 kali dan menang tepat sekali. Berdasarkan pengalaman tersebut, apakah ada cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa permainan peluang itu sebenarnya tidak memiliki tingkat kemenangan 25%?
Untuk merumuskan masalah ini sebagai uji hipotesis, terlebih dahulu kita memerlukan model statistika parametrik untuk data teramati. Kita mengasumsikan bahwa masing-masing dari 20 permainan yang dimainkan saling bebas dan masing-masing memiliki peluang \(p\) untuk menghasilkan “kemenangan”. Jadi \[ x_i \sim Bern(p),\ \ i=1,2,\ldots,20\] Data yang benar-benar teramati mencakup tepat satu kemenangan (tanpa mengurangi keumuman, misalkan \(x_1=1\)) dan 19 kekalahan (misalkan \(x_2=0,\ x_3=0,\ \ldots,x_20=0\)).
Tujuan kita adalah menentukan apakah ada cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa tingkat kemenangan BUKAN 25%. Karena itu, kita menetapkan hipotesis nol bahwa \[H_0:p=0.25\] dengan hipotesis alternatif yang bersesuaian bahwa \(H_A:p\neq 0.25\). Kita akan mempertimbangkan uji Wald untuk hipotesis ini. Sebelum menyusun uji tersebut, kita menetapkan tingkat signifikansi uji sebesar \(\alpha=0.05\), sehingga kita bersedia menolak hipotesis nol jika peluang (di bawah \(H_0\)) untuk mengamati statistik uji yang akan kita bentuk adalah 5% atau kurang.
Uji Hipotesis Wald Analitik untuk Data Bernoulli
Pertama-tama, kita mengilustrasikan cara menyusun uji hipotesis Wald secara analitik dengan mengikuti prosedur yang diuraikan di atas.
Pertama, kita menentukan MLE dan informasi Fisher untuk parameter \(p\).
Dari contoh-contoh sebelumnya di kelas, kita mengetahui bahwa MLE-nya adalah \[\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^{20} x_i}{20}=\frac{1}{20}=0.05\] dan bahwa informasi Fisher adalah \[I(\hat{p})=-E_x(\ell''(\hat{p})))=\frac{20}{\hat{p}(1-\hat{p})}=\frac{20}{.05(.95)}=421.0526\]
Kemudian kita menentukan galat baku \[ se=\sqrt{1/I(\hat{p})}=\sqrt{1/421.0526}=0.0487\] dan membentuk statistik uji Wald \[ Z^*=\frac{\hat{p}-0.25}{se}=\frac{0.05-0.25}{0.0487}=-4.104\]
Kemudian kita menentukan nilai-p statistik uji ini di bawah hipotesis nol \[pval=2*P(Z\leq-|Z^*|)=2*P(Z\leq-4.104)\] yang kita evaluasi di R (kode sumber mengasumsikan R dasar, tetapi tidak menyatakan versi atau lingkungan eksekusinya):
phat=.05 I=421.0526 se=sqrt(1/I) Z.star=(.05-.25)/se pval=2*pnorm(-abs(Z.star)) pval[1] 4.062198e-05yang menghasilkan nilai-p sebesar 0.0000406. Untuk n=20 dengan hanya satu kemenangan dan parameter di dekat batas, hampiran Wald ini sangat tidak andal: nilai-p eksak dua sisi adalah sekitar 0.048625249730321 jika ekor kiri digandakan atau 0.038177041808922 jika hasil diurutkan menurut peluang.
Karena nilai-p Wald ini jauh lebih kecil daripada tingkat \(\alpha=0.05\), kita menolak \(H_0:p=0.25\) dan menyimpulkan bahwa data memberikan bukti bahwa tingkat kemenangan permainan peluang tersebut berbeda dari tingkat 0.25 yang dinyatakan (angka .025 dalam sumber merupakan salah ketik).
Uji Hipotesis Wald Numerik
Sekarang kita menyusun uji hipotesis yang sama dengan analisis kemungkinan maksimum numerik. Pertama, kita memasukkan data
x=c(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
n=length(x)Selanjutnya kita menulis fungsi untuk mengevaluasi negatif fungsi log-kemungkinan. Perhatikan bahwa kode sumber berikut tidak membatasi p pada (0,1) atau menangani nilai fungsi kemungkinan yang tidak valid; Hessian numerik yang dikembalikan merupakan informasi teramati, bukan informasi Fisher harapan. Kode tersebut mencari MLE menggunakan optim.
## negative log likelihood function
nll.bern=function(p,x){
if (!is.finite(p) || p <= 0 || p >= 1) return(Inf)
-sum(dbinom(x, size=1, prob=p, log=TRUE))
}
## run optim
out=optim(.5,nll.bern,x=x,method="L-BFGS-B",lower=.Machine$double.eps,upper=1-.Machine$double.eps,hessian=TRUE)
## save MLE
p.hat=out$par
## distinguish numerical observed information from expected Fisher information
I.obs=as.numeric(out$hessian)
I.expected=n/(p.hat*(1-p.hat))
stopifnot(isTRUE(all.equal(I.obs,I.expected,tolerance=1e-3)))
I=I.expectedDengan hasil tersebut, kita menentukan galat baku, lalu statistik uji Wald
se=sqrt(1/I)
## get Wald test statistic
T.star=(p.hat-0.25)/se
T.star[1] -4.103913Kemudian nilai-p-nya adalah
pval=2*pnorm(-abs(T.star),mean=0,sd=1)
pval[1] 4.062196e-05yang sekali lagi jauh lebih kecil daripada tingkat \(\alpha=0.05\), kita menolak \(H_0:p=0.25\) dan menyimpulkan bahwa data memberikan bukti bahwa tingkat kemenangan permainan peluang tersebut berbeda dari tingkat 0.25 yang dinyatakan (angka .025 dalam sumber merupakan salah ketik).
Catatan reproduktibilitas: sumber resmi tidak menetapkan versi R, keadaan sesi, atau kontrak keluaran. Kode ini hanya memakai fungsi R dasar dari paket stats. Edisi turunan harus menjalankannya dalam runtime R yang dipatok dan mencatat R.version.string, platform, sessionInfo(), hash setiap blok kode, serta kecocokan numerik keluaran. Blok pengoptimalan dan dua keluarannya adalah koreksi terdaftar D019.
10.5 Ringkasan
Dalam pelajaran ini, kita memperdalam perangkat pengujian hipotesis dengan menghubungkan selang kepercayaan secara eksplisit dengan uji pasangannya, menelaah tarik-menarik antara galat tipe I dan II melalui kuasa uji, serta mengenal uji Wald—metode serbaguna untuk sampel besar yang dibangun di atas penduga kemungkinan maksimum (MLE). Anda juga akan melihat bagaimana pilihan rancangan seperti ukuran sampel, tingkat signifikansi (α), dan ukuran efek saling berinteraksi ketika merencanakan penelitian.
Pokok-pokok utama:
- Dengan selang kepercayaan tertutup dan aturan nilai-p < α yang lazim, nilai parameter pada hipotesis nol dalam uji dua sisi ditolak tepat ketika berada di luar selang pasangannya; aturan nilai-p ≤ α memerlukan perlakuan titik ujung yang eksplisit.
- Memperbesar ukuran sampel mempersempit selang kepercayaan dan meningkatkan kuasa uji tanpa mengubah α.
- Perhitungan kuasa uji memungkinkan Anda memilih ukuran sampel yang memiliki peluang tinggi untuk mendeteksi efek yang bermakna.
- Uji Wald menyediakan uji-z hampiran untuk setiap parameter yang MLE-nya secara asimtotik berdistribusi Normal, sehingga memperluas perangkat pengujian hipotesis ke model-model yang rumus klasiknya sulit digunakan.