0: Tinjauan Konsep dari STAT 414
Gambaran Umum
Banyak konsep dari STAT 414: Pengantar Teori Peluang akan digunakan kembali dalam mata kuliah ini. Dalam unit ini, beberapa rumus dan teorema penting disajikan untuk ditinjau kembali.
Tujuan
Setelah menyelesaikan pelajaran ini, Anda diharapkan mampu mengingat dan menggunakan pengetahuan sebelumnya untuk:
- Mendefinisikan istilah dan teorema kunci yang berkaitan dengan peluang.
- Merangkum sifat dan penerapan peubah acak diskret.
- Membedakan peubah acak kontinu dari peubah acak diskret, serta memberikan contoh dan menjelaskan perbedaannya.
- Menjelaskan rumus dan definisi peubah acak yang berdistribusi bersama serta menerapkannya untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan distribusi peluang bersama.
- Menjelaskan konsep inferensi statistik dan perannya dalam menarik kesimpulan tentang populasi berdasarkan data sampel.
0.1: Peluang
Dalam bagian ini, kita meninjau beberapa definisi dan teorema penting dalam peluang. Sebaiknya Anda menyegarkan kembali pemahaman tentang konsep-konsep ini dan mengerjakan beberapa latihan.
Definisi 1 (Kejadian) Misalkan ruang hasil (atau ruang sampel) dinotasikan dengan \(\mathbf{S}\). Sebuah kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian sering dinotasikan dengan huruf kapital, \(A,B, C, \ldots\). Oleh karena itu, jika \(A\) merupakan kejadian dalam \(\mathbf{S}\), maka \(A\subset \mathbf{S}\).
Definisi 2 (Peluang) Peluang adalah kerangka logis untuk mengukur ketidakpastian atau keacakan secara berprinsip. Kerangka ini terutama digunakan untuk menjelaskan ketidakpastian atau keacakan dalam memperoleh data yang sedang diamati.
Definisi 3 (Kejadian Saling Lepas) Kejadian \(A\) dan \(B\) disebut saling lepas (atau tidak beririsan) jika \(A\cap B=\emptyset\).
Definisi 4 (Peluang Bersyarat) Peluang bersyarat suatu kejadian \(A\) dengan syarat bahwa kejadian \(B\) telah terjadi adalah: \[\begin{aligned} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{aligned}\] asalkan \(P(B)>0\).
Definisi 5 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian \(A\) dan \(B\) merupakan kejadian saling bebas jika terjadinya salah satu kejadian tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain. Dengan kata lain, dua kejadian saling bebas jika salah satu dari \[\begin{aligned} P(B|A)=P(B) \end{aligned}\] dengan syarat \(P(A)>0\). Kejadian \(A\) dan \(B\) merupakan kejadian saling bebas jika dan hanya jika \[\begin{aligned} P(A\cap B)=P(A)P(B) \end{aligned}\] Jika tidak, \(A\) dan \(B\) disebut kejadian saling bergantung.
0.2: Distribusi
Kita akan banyak menggunakan distribusi dalam mata kuliah ini. Karena itu, penting untuk meninjau kembali definisi dan ekspektasi peubah acak. Kita mulai dengan tinjauan singkat distribusi diskret, lalu beralih ke distribusi kontinu.
Distribusi Diskret
Definisi 6 (Fungsi Massa Peluang) Untuk peubah acak diskret, \(X\), fungsi massa peluang (pmf atau PMF) adalah fungsi yang memenuhi sifat-sifat berikut:
\(f(x)=P(X=x)>0\), untuk semua \(x\in\) himpunan dukungan \(S\)
\(\sum_{x\in S}f(x)=1\)
\(P(X\in A)=\sum_{x\in A}f(x)\), dengan kejadian \(A\)
Penting diperhatikan bahwa pmf adalah peluang bahwa \(X\) mengambil nilai tertentu, \(x\).
Definisi 7 (Fungsi Distribusi Kumulatif) Untuk peubah acak diskret, \(X\), fungsi distribusi kumulatif (cdf atau CDF), yang dinotasikan dengan \(F(x)\) didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} F(x)=P(X\le x) \end{aligned}\]
Cdf dari peubah acak \(X\) memiliki sifat-sifat berikut:
\(F_X(t)\) merupakan fungsi tak menurun terhadap \(t\), untuk \(-\infty<t<\infty\).
\(F_X(t)\) bernilai dari 0 sampai 1.
Jika \(X\) merupakan peubah acak diskret dengan nilai minimum \(a\), maka \[\begin{aligned} F_X(a)=P(X\le a)=P(X=a)=f_X(a) \end{aligned}\] Jika \(c\) lebih kecil daripada \(a\), maka \(F_X(c)=0\).
Jika nilai maksimum \(X\) adalah \(b\), maka \(F_X(b)=1\).
Disebut juga fungsi distribusi.
Semua peluang yang berkaitan dengan \(X\) dapat dinyatakan dalam \(F\).
Berikut adalah daftar beberapa distribusi diskret bernama dari mata kuliah sebelumnya. Anda perlu mengingat fungsi massa peluang, nilai harapan, dan varians dari distribusi-distribusi diskret ini.
Bernoulli: (p) dengan \(0<p<1\) \[\begin{aligned} & f(x)=p^x(1-p)^{1-x}, \qquad x=0, 1\\ & E(X)=p, \qquad \text{Var}(X)=p(1-p) \end{aligned}\]
Binomial: (n, p) dengan \(0<p<1\) \[\begin{aligned} & f(x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}, \qquad x=0, 1, \ldots, n\\ & E(X)=np, \qquad \text{Var}(X)=np(1-p) \end{aligned}\]
Geometrik: (p) dengan \(0<p<1\) \[\begin{aligned} & f(x)=p(1-p)^x, \qquad x=0, 1, 2, 3, \ldots\\ & E(X)=\frac{1}{p}, \qquad \text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2} \end{aligned}\]
Binomial Negatif: (r, p) dengan \(0<p<1\) dan \(r=1, 2, \ldots\) \[\begin{aligned} & f(x)={{x-1}\choose {r-1}}p^r(1-p)^{x-r}, \qquad x=r, r+1. r+2, \ldots\\ & E(X)=r\left(\frac{1}{p}\right), \qquad \text{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2} \end{aligned}\]
Hipergeometrik: (n, \(N_1\), \(N_2\)) dengan \(N_1>0\), \(N_2>0\), \(N=N_1+N_2\), \(1\le n\le N_1+N_2\) \[\begin{aligned} & f(x)=\frac{{N_1\choose x} {N_2\choose{n-x}}}{{N\choose n}}, \qquad x\le n, \;\; x\le N_1, \;\; n-x\le N-2\\ & E(X)=n\left(\frac{N_1}{N}\right), \qquad \text{Var}(X)=n\left(\frac{N_1}{N}\right)\left(\frac{N_2}{N}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right) \end{aligned}\]
Poisson: (\(\lambda\)) dengan \(\lambda>0\) \[\begin{aligned} & f(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \qquad x=0, 1, 2, 3, \ldots\\ & E(X)=\lambda, \qquad \text{Var}(X)=\lambda \end{aligned}\]
Distribusi Kontinu
Dalam bagian ini, kita menyajikan beberapa distribusi bernama untuk peubah acak kontinu.
Definisi 8 (Fungsi Kepadatan Peluang) Untuk peubah acak kontinu, \(X\), fungsi kepadatan peluang (pdf atau PDF) adalah fungsi yang memenuhi sifat-sifat berikut:
\(f(x)>0\), untuk semua \(x\in\) himpunan dukungan \(S\)
Luas di bawah kurva \(f(x)\) pada himpunan dukungan sama dengan 1. Yaitu: \[\begin{aligned} \int_{x\in S}f(x)=1 \end{aligned}\]
Jika \(A\) merupakan suatu interval, maka peluang bahwa \(x\) termasuk dalam \(A\) adalah: \[\begin{aligned} P(X\in A)=\int_{A}f(x)dx \end{aligned}\]
Penting diperhatikan bahwa, berbeda dengan fungsi massa peluang (pmf) dari peubah acak diskret, \(f(x)\ne P(X=x)\) untuk peubah acak kontinu, \(X\). Bahkan, \(P(X=x)=0\) jika \(X\) merupakan peubah acak kontinu.
Selanjutnya, kita akan meninjau distribusi-distribusi kontinu bernama. Sekali lagi, Anda perlu mengenali fungsi kepadatan peluang, nilai harapan, dan varians dari distribusi-distribusi kontinu ini.
Beta: (\(\alpha, \beta\)), dengan \(\alpha>0\) dan \(\beta>0\) \[\begin{aligned} &f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, \qquad 0<x<1\\ & E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \qquad \text{Var}(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2} \end{aligned}\]
Eksponensial: (\(\theta\)), dengan \(\theta>0\) \[\begin{aligned} &f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, \qquad 0<x\\ & E(X)=\theta, \qquad \text{Var}(X)=\theta^2 \end{aligned}\]
Khi-kuadrat: \(\chi^2\)(r), dengan \(r>0\) \[\begin{aligned} &f(x)=\frac{1}{\Gamma(r/2)2^{r/2}}x^{r/2-1}e^{-x/2}, \qquad 0<x\\ & E(X)=r, \qquad \text{Var}(X)=2r \end{aligned}\]
Gamma: (\(\alpha\), \(\theta\)) dengan \(\alpha>0\) dan \(\theta>0\) \[\begin{aligned} & f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha} x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, \qquad x>0\\ & E(X)=\alpha \theta, \qquad \text{Var}(X)=\alpha\theta^2 \end{aligned}\]
Normal: (\(\mu\), \(\sigma^2\)) dengan \(\sigma>0\) \[\begin{aligned} & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, \qquad -\infty<x<\infty\\ & E(X)=\mu, \qquad \text{Var}(X)=\sigma^2 \end{aligned}\]
Seragam: (\(a\), \(b\)) \[\begin{aligned} & f(x)=\frac{1}{b-a}, \qquad a<x<b\\ & E(X)=\frac{a+b}{2}, \qquad \text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned}\]
0.3: Ekspektasi Matematis
Anda harus mampu menentukan nilai harapan dan varians suatu peubah acak, serta nilai harapan fungsi dari peubah acak. Ekspektasi akan menjadi sangat penting ketika kita mempelajari sifat-sifat penaksir dalam beberapa pelajaran berikutnya.
Definisi 9 (Ekspektasi Matematis untuk peubah acak diskret) Jika \(f(x)\) merupakan fungsi massa peluang (pmf) dari peubah acak diskret \(X\) dengan himpunan dukungan \(S\), dan jika penjumlahan \[\begin{aligned} \sum_{x\in S} u(x)f(x) \end{aligned}\] ada (yaitu, nilainya lebih kecil dari \(\infty\)), maka jumlah yang dihasilkan disebut ekspektasi matematis atau nilai harapan dari fungsi \(u(X)\). Ekspektasi tersebut dinotasikan dengan \[\begin{aligned} E[u(X)]=\sum_{x\in S}u(x)f(x) \end{aligned}\]
Definisi 10 (Ekspektasi Matematis untuk peubah acak kontinu) Untuk peubah acak kontinu, \(X\), dengan fungsi kepadatan peluang (pdf), \(f(x)\), nilai harapan fungsi dari \(X\), \(u(X)\) adalah \[\begin{aligned} E(u(X))=\int_{-\infty}^\infty u(x)f(x)\;dx \end{aligned}\]
Ekspektasi matematis khusus:
- Jika \(u(x)=x\) maka \(E(u(X))=\mu\)
- Jika \(u(x)=(x-\mu)^2\), maka \(E(u(X))=\sigma^2=\text{Var}(X)\).
0.4: Distribusi Bivariat
Dalam mata kuliah ini, penting untuk mengingat kembali distribusi bivariat dan mampu memperluasnya ke distribusi multivariat. Sebuah distribusi peluang bersama (bivariat) menyatakan peluang bahwa suatu objek yang dipilih secara acak dari populasi memiliki dua karakteristik yang diminati.
Ingat kembali definisi fungsi massa peluang bersama (bivariat).
Def. 11 (Fungsi Massa Peluang Bersama) Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak diskret, dan misalkan \(S\) menyatakan himpunan dukungan dua dimensi bagi \(X\) dan \(Y\). Fungsi \(f(x,y)=P(X=x, Y=y)\) merupakan fungsi massa peluang bersama (PMF) jika memenuhi tiga syarat berikut:
\(0\le f(x,y)\le 1\)
\(\sum_{(x,y)\in S} f(x,y)=1\)
\(P[(X,Y)\in A]=\sum_{(x,y)\in A}f(x,y)\), dengan \(A\) merupakan subhimpunan dari himpunan dukungan \(S\).
Def. 12 (Fungsi Kepadatan Peluang Bersama) Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak kontinu, dan misalkan \(S\) menyatakan himpunan dukungan dua dimensi bagi \(X\) dan \(Y\). Maka fungsi \(f(x,y)\) merupakan fungsi kepadatan peluang bersama (PDF) jika memenuhi tiga syarat berikut:
\(f(x,y)\ge 0\)
\(\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dxdy=1\)
\(P[(X,Y)\in A]=\int \int_A f(x,y)dxdy\)
dengan \(\{(X,Y)\in A\}\) merupakan kejadian pada bidang \(xy\).
Def. 13 (Fungsi Massa Peluang Marginal) Misalkan \(X\) adalah peubah acak diskret dengan himpunan dukungan \(S_1\), dan misalkan \(Y\) adalah peubah acak diskret dengan himpunan dukungan \(S_2\). Misalkan \(X\) dan \(Y\) memiliki fungsi massa peluang bersama \(f(x,y)\) dengan himpunan dukungan \(S\). Maka fungsi massa peluang \(X\) saja, yang disebut fungsi massa peluang marginal \(X\) , didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} f_X(x)=\sum_{y}f(x,y)=P(X=x), \qquad x\in S_1 \end{aligned}\] dengan penjumlahan, untuk setiap \(x\) dalam himpunan dukungan \(S_1\), dilakukan atas semua nilai yang mungkin dari \(y\).
Demikian pula, fungsi massa peluang \(Y\) saja, yang disebut fungsi massa peluang marginal \(Y\) , didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} f_Y(y)=\sum_{x}f(x,y)=P(Y=y), \qquad y\in S_2 \end{aligned}\] dengan penjumlahan, untuk setiap \(y\) dalam himpunan dukungan \(S_2\), dilakukan atas semua nilai yang mungkin dari \(x\).
Def. 14 (Fungsi Kepadatan Peluang Marginal) Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan himpunan dukungan \(S_1\), dan misalkan \(Y\) adalah peubah acak kontinu dengan himpunan dukungan \(S_2\). Misalkan \(X\) dan \(Y\) memiliki fungsi kepadatan peluang bersama \(f(x,y)\) dengan himpunan dukungan \(S\). Maka fungsi kepadatan peluang \(X\) saja, yang disebut fungsi kepadatan peluang marginal \(X\) , didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} f_X(x)=\int_{y}f(x,y)dy, \qquad x\in S_1 \end{aligned}\]
Demikian pula, fungsi kepadatan peluang \(Y\) saja, yang disebut fungsi kepadatan peluang marginal \(Y\) , didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} f_Y(y)=\int_{x}f(x,y)dx, \qquad y\in S_2 \end{aligned}\]
Misalkan kita ingin menentukan apakah dua peubah acak saling bebas berdasarkan distribusi peluang bersama dan distribusi marginalnya. Peubah acak \(X\) dan \(Y\) adalah saling bebas jika dan hanya jika \[\begin{aligned} f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \end{aligned}\] untuk semua \(x \in S_1, \; y\in S_2\). Jika tidak, \(X\) dan \(Y\) dikatakan saling bergantung.
Distribusi Bersyarat
Distribusi bersyarat perlu diingat kembali karena akan sangat berguna dalam mata kuliah ini, khususnya ketika kita membahas statistika Bayes.
Sebuah distribusi peluang bersyarat adalah distribusi peluang untuk suatu subpopulasi. Dengan kata lain, distribusi bersyarat menyatakan peluang bahwa objek yang dipilih secara acak dari suatu subpopulasi memiliki satu karakteristik yang diminati.
Def. 15 (Fungsi Massa Peluang Bersyarat) Fungsi massa peluang bersyarat dari \(X\), dengan diketahui \(Y=y\) , didefinisikan sebagai: \[\begin{aligned} g(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}, \qquad \text{provided }f_Y(y)>0 \end{aligned}\]
Distribusi Jumlah Beberapa Peubah Acak
Dalam mata kuliah ini, kita perlu menentukan distribusi fungsi dari satu maupun beberapa peubah acak. Teorema-teorema berikut berguna untuk menentukan distribusi jumlah beberapa peubah acak.
Fungsi Acak yang Berkaitan dengan Distribusi Normal
Ada banyak teorema dari mata kuliah statistika sebelumnya yang perlu diingat kembali karena akan berguna pada semester ini.
Def. 16 (Distribusi t) Jika \(Z\sim N(0,1)\) dan \(U\sim \chi^2(r)\) saling bebas, maka peubah acak \[\begin{aligned}
T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{r}}}
\end{aligned}\] mengikuti distribusi \(t\)dengan \(r\) derajat kebebasan.
0.5: Contoh Tinjauan
Pada bagian ini, kami menyajikan beberapa contoh untuk membantu Anda mengingat kembali materi dari mata kuliah Pengantar Peluang.
Contoh 1 Seorang perempuan yang semula diperkirakan memiliki risiko kanker sebesar 1% memperoleh hasil mamogram positif. Mamogram mengklasifikasikan dengan tepat sekitar 80% tumor ganas dan 90% tumor jinak. Berapakah peluang perempuan tersebut mengidap kanker jika diketahui hasil mamogramnya positif?
Penyelesaian Misalkan kejadian \(C\) menyatakan kanker dan kejadian \(P\) menyatakan hasil positif. Kita mengetahui: \(P(C)=0.01\) dan dengan demikian \(P(C^\prime)=1-P(C)=1-0.01=0.99\). Selain itu, \(P(P|C)=0.8\) dan \(P(P^\prime|C^\prime)=0.9\), yang menyiratkan \(P(P|C^\prime)=0.1\). Dengan menggabungkan semuanya, kita memperoleh: \[P(C|P)=\frac{P(P|C)P(C)}{P(P|C)P(C)+P(P|C^\prime)P(C^\prime)}=\frac{0.8(0.01)}{0.8(0.01)+0.1(0.99)}=0.075\]
Contoh 2 Ketika Anda memasukkan uang ke mesin kopi di Student Center, sebuah gelas kertas turun lalu diisi kopi. Anda seharusnya memperoleh 8 oz kopi. Namun, banyaknya kopi yang benar-benar dikeluarkan merupakan peubah acak normal dengan nilai harapan yang sama dengan setelan mesin dan varians sebesar 0,0625 oz.
Berapakah setelan mesin yang diperlukan agar, dalam jangka panjang, hanya 2% minuman berisi kurang dari 8 oz?
Penyelesaian
\[\begin{align*} & P(X\le 8)=P\left(Z\le \frac{8-\mu}{\sqrt{0.0625}}\right)=0.02, \qquad \text{table value -2.0537}\\ & -2.0537= \frac{8-\mu}{\sqrt{0.0625}}\qquad \Rightarrow \mu=8.513425 \end{align*}\]
Contoh 3 Misalkan peubah acak \(X\) memiliki fungsi kepadatan peluang (pdf) berikut \[\begin{align*} f(x)=\begin{cases} cx^2, & -1\le x<0\\ cx, & 0\le x\le 2\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}\] dengan \(c\) merupakan suatu konstanta.
Tentukan nilai \(c\) agar fungsi di atas merupakan fungsi kepadatan peluang yang sah.
Tentukan nilai harapan peubah acak tersebut.
Tentukan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari \(X\).
Tentukan median peubah acak tersebut.
Penyelesaian
\(\begin{align*}& \frac{1}{c}=\int_{-1}^0x^2\;dx+\int_0^2x\; dx=\frac{1}{3}x^3\mid_{-1}^0+\frac{1}{2}x^2\mid_0^2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}, \qquad c=\frac{3}{7} \end{align*}\)
\(\begin{align*} E(X)=\int_{-1}^0\frac{3}{7}x^3\; dx+\int_0^2\frac{3}{7}x^2\; dx=\frac{3}{28}x^4\mid_{-1}^0+\frac{1}{7}x^3\mid_0^2=-\frac{3}{28}+\frac{8}{7}=\frac{29}{28} \end{align*}\)
\(\begin{align*} F(x)=\begin{cases} \int_{-1}^x\frac{3}{7}x^2dx=\frac{1}{7}x^3\mid_{-1}^x=\frac{1}{7}(x^3+1), & -1\le x<0\\ \frac{1}{7}+\int_0^x \frac{3}{7}xdx=\frac{1}{7}+\frac{3}{14}x^2, & 0\le x<2\\ 1, & x\ge 2 \end{cases} \end{align*}\)
\(\begin{align*} 0.5=\frac{1}{7}+\frac{3}{14}x^2, \qquad \Rightarrow \frac{5}{14}=\frac{3}{14}x^2, \qquad \Rightarrow x=\sqrt{\frac{5}{3}}\approx 1.29 \end{align*}\)
Contoh 4 Masa pakai (dalam bulan) dua komponen sebuah mesin memiliki fungsi kepadatan peluang bersama \[\begin{align*} f(x,y)=c(50-x-y), \qquad 0<x<50-y<50 \end{align*}\] dan bernilai nol untuk kasus lainnya.
Tentukan konstanta \(c\), agar \(f(x,y)\) merupakan fungsi kepadatan peluang bersama yang sah. Anda boleh membiarkan konstanta tersebut dalam bentuk \(c\).
Tentukan distribusi marginalnya.
Tentukan distribusi bersyarat dari \(X\) jika diketahui \(Y=y\). Jika memudahkan, Anda boleh membiarkan konstanta tersebut dalam bentuk \(c\).
Penyelesaian
- \(\begin{align*}\
& \frac{1}{c}=\int_0^{50}\int_0^{50-y} 50-x-y\;dx\;dy=\int_0^{50} \left[50x-\frac{1}{2}x^2-yx\mid_0^{50-y}\right] dy\\
& =\int_0^{50} \frac{1}{2}y^2-50y+1250dy=\frac{1}{6}y^3-25y^2+1250y\mid_0^{50}=\frac{125000}{6}\\
& \Rightarrow c=\frac{6}{125000}
\end{align*}\)
2. \(\begin{align*}\
& f(x)=c\int_0^{50-x} 50-x-y\;dy=\frac{c}{2}(x-50)^2, \qquad 0\le x\le 50\\
& f(y)=c\int_0^{50-y} 50-x-y\;dx=\frac{c}{2}(y-50)^2, \qquad 0\le y\le 50
\end{align*}\)
3. \(\begin{align*}\
f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}=\frac{c(50-x-y)}{\frac{c}{2}(y-50)^2}=\frac{2(50-x-y)}{(y-50)^2}, \qquad 0<x<50-y
\end{align*}\)
Contoh 5 Misalkan cdf dari peubah acak diskret \(X\) adalah \[\begin{aligned} F(x)=\frac{x(x+1)}{20}, \qquad x=1,2,3,4. \end{aligned}\]
Tentukan fungsi massa peluang (pmf) dari \(X\). Anda boleh menyajikannya dalam bentuk tabel.
Tentukan persentil \(30^{th}\) dari \(X\).
Tentukan nilai harapan dari \(X\).
Tentukan simpangan baku dari \(X\).
Penyelesaian
Ingat bahwa cdf didefinisikan sebagai \(F(x)=P(X\le x)\). Mulailah dengan \(x=1\). Kita mengetahui \(F(1)=P(X\le 1)\). Karena tidak ada nilai yang lebih kecil dari 1, diperoleh \[\begin{aligned} & F(1)=P(X\le 1)=P(X=1)=\frac{1(2)}{20}=\frac{2}{20}\\ & f(1)=P(X=1)=\frac{1}{10} \end{aligned}\] Selanjutnya, tinjau \(x=2\). \[\begin{aligned} & F(2)=P(X\le 2)=\frac{2(3)}{20}=\frac{3}{10}=0.3 \end{aligned}\] Kita juga mengetahui bahwa \[\begin{aligned} & F(2)=P(X\le 2)=P(X=1)+P(X=2) \end{aligned}\]
Oleh karena itu,
\[\begin{aligned} & 0.3=P(X=1)+P(X=2)\\ & \Rightarrow P(X=2)=0.3-P(X=1)=0.3-0.1=0.2 \end{aligned}\]Dengan demikian, \(f(2)=P(X=2)=0.2\). Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan untuk menentukan pmf bagi nilai-nilai \(x\)lainnya. Bentuk tabel pmf dari \(X\) adalah:
\(x\) 1 2 3 4 \(f(x)\) 0.1 0.2 0.3 0.4 Tentukan persentil \(30^{th}\) dari \(X\). \[\begin{aligned} & 0.3=\frac{x(x+1)}{20}\Rightarrow 6=x^2+x\Rightarrow x^2+x-6=0\\ & =(x+3)(x-2)=0\Rightarrow x=2 \end{aligned}\]
Tentukan nilai harapan dari \(X\). \[\begin{aligned} E(X)=0\left(0\right)+1\left(\frac{2}{20}\right)+2\left(\frac{4}{20}\right)+3\left(\frac{6}{20}\right)+4\left(\frac{8}{20}\right)=\frac{60}{20}=3 \end{aligned}\]
Tentukan simpangan baku dari \(X\). \[\begin{aligned} & E(X^2)=0\left(0\right)+1\left(\frac{2}{20}\right)+4\left(\frac{4}{20}\right)+9\left(\frac{6}{20}\right)+16\left(\frac{8}{20}\right)=\frac{200}{20}=10\\ & \text{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2=10-3^2=10-9=1\\ & \text{SD}(X)=\sqrt{1}=1 \end{aligned}\]
0.6: Garis Besar STAT 415
Misalkan kita memperoleh data \(x\) dari suatu model statistik dengan parameter yang tidak diketahui \(\theta\). Bayangkan bahwa \(\theta\) mengindeks suatu keluarga distribusi yang mungkin bagi \(x\), dan bahwa nilai sebenarnya dari \(\theta\) menentukan proses pembangkitan data yang sebenarnya. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan seperti:
Estimasi Titik: Apa yang dimaksud dengan penaksir yang baik untuk \(\theta\)? Jawabannya bergantung pada definisi ‘baik’, dan kita akan memperkenalkan beberapa kriteria untuk menilai penaksir. Menyajikan penaksir titik \(\hat{\theta}\)saja tanpa gambaran mengenai ketidakpastiannya biasanya tidak memuaskan. Karena itu, inferensi statistik menekankan agar penaksir titik disertai informasi mengenai ketidakpastiannya; misalnya, kita mungkin dapat menjelaskan distribusi \(\hat{\theta}\) atau setidaknya menyebutkan simpangan bakunya. Simpangan baku suatu penaksir disebut galat baku.
Estimasi Interval: Secara intuitif, pernyataan seperti “Saya menaksir \(\theta\) sebesar 2,5” akan jauh lebih informatif jika disertai suatu interval, misalnya dengan mengatakan:
“Saya yakin 95% bahwa \(\theta\) berada dalam interval tertutup antara 2,3 dan 2,8.”
Namun, apa arti ‘yakin’ di sini? Dalam mata kuliah ini, kita akan mendefinisikan secara tepat makna pemberian estimasi interval dan mempelajari berbagai cara untuk menyusun estimasi tersebut.
Jika \(\theta\) merupakan konstanta, maka nilainya pasti berada atau tidak berada dalam interval \([2.3, 2.8]\); jadi, apa arti 95% tersebut?
Uji Hipotesis (evaluasi model): Dalam banyak penerapan di bidang ilmu fisik, biologi, dan sosial, seorang peneliti ingin menguji hipotesis yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\theta=\theta_0\) atau, secara lebih umum, sebagai \(\theta\in H_0\) untuk suatu himpunan \(H_0\). Uji hipotesis berkaitan erat dengan estimasi interval—dan dapat dikatakan bahwa estimasi interval lebih berguna—serta dapat ditinjau dari berbagai sudut pandang.