6 Selang Kepercayaan

Selang Kepercayaan

Gambaran Umum

Dalam pelajaran ini, kita akan sejenak meninggalkan pembahasan penduga kemungkinan maksimum (MLE). Jangan khawatir! Kita akan kembali ke pendugaan kemungkinan maksimum.

Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari cara menyusun dan menghitung selang kepercayaan bagi parameter populasi. Seperti akan segera kita lihat, selang kepercayaan adalah selang (atau rentang) nilai yang diperoleh melalui prosedur dengan peluang cakupan tertentu bagi parameter populasi sejati yang tidak diketahui. Kita akan meluangkan waktu untuk memahami makna “kepercayaan” pada selang tersebut, sekaligus mempelajari faktor-faktor yang memengaruhi panjang selang.

Tujuan

Setelah menyelesaikan pelajaran ini, Anda diharapkan mampu:

Menafsirkan dengan benar selang kepercayaan yang diberikan dalam kaitannya dengan populasi,
Menyusun secara analitis selang kepercayaan bagi parameter yang tidak diketahui, dan
Menghitung secara numerik selang kepercayaan bagi parameter yang tidak diketahui berdasarkan sekumpulan data.

6.1 Pengantar Selang Kepercayaan

Sejauh ini, ketika membahas pendugaan, kita berfokus pada penentuan penduga titik; realisasinya setelah data diamati disebut nilai dugaan titik, dan keduanya berkaitan dengan suatu parameter. Pada bagian ini, kita akan memperkenalkan pendugaan selang.

Ketika kita menggunakan rataan sampel \(\bar{x}\) untuk menduga rataan populasi \(\mu\), dapatkah kita yakin bahwa \(\bar{x}\) dekat dengan \(\mu\)? Dan ketika kita menggunakan proporsi sampel \(\hat{p}\) untuk menduga proporsi populasi \(p\), dapatkah kita yakin bahwa \(\hat{p}\) dekat dengan \(p\)?
Apakah kita mengetahui seberapa dekat statistik sampel itu dengan parameter populasi?

Alih-alih hanya menggunakan nilai dugaan titik, kita dapat memakai prosedur yang, sebelum data diamati, menghasilkan selang acak dengan peluang cakupan tinggi bagi parameter populasi sejati yang tidak diketahui. Setelah data diamati, selang yang diperoleh tetap dan entah mencakup parameter tersebut atau tidak. Sebagai contoh, kita dapat menentukan batas bawah acak ( \(L\) ) dan batas atas acak ( \(U\) ) sehingga kejadian bahwa parameter populasi, \(\theta\), terletak di antara keduanya memiliki peluang yang tinggi:

\[L< \theta<U\]

Selang dari nilai-nilai tersebut disebut selang kepercayaan. Setiap selang memiliki koefisien kepercayaan (yang dinyatakan sebagai proporsi):

\[1-\alpha\]

atau tingkat kepercayaan (yang dinyatakan sebagai persentase):

\[(1-\alpha)100\%\]

Koefisien kepercayaan yang lazim adalah 0.90, 0.95, dan 0.99, dengan tingkat kepercayaan masing-masing 90%, 95%, dan 99%. Sebagai contoh, setelah menghitung selang kepercayaan bagi parameter \(\theta\) dengan tingkat kepercayaan, misalnya, 95%, kita dapat mengatakan:

“Prosedur ini memiliki peluang cakupan 95% dalam pengambilan sampel berulang; untuk sampel ini, batas selang yang diperoleh adalah \(L\) dan \(U.\)”

Sesuai dengan intuisi, makin tinggi tingkat kepercayaan, makin besar pula peluang cakupan prosedur selang kepercayaan bagi parameter populasi yang sebenarnya.

6.2 Rataan Populasi dari Distribusi Normal

Mari kita tunjukkan cara melakukan pendugaan selang (atau menyusun selang kepercayaan) bagi rataan populasi dari distribusi Normal dengan varians yang diketahui , yaitu \(\sigma^2.\)

Sebelum itu, kita perlu mendefinisikan notasi yang digunakan. Ingat bahwa \(z_{\alpha/2}\) adalah nilai kritis dari peubah acak \(Z\) ; nilai tersebut diperoleh dari tabel normal baku dan dipilih sedemikian rupa sehingga luas daerah di sebelah kanannya di bawah kurva normal baku adalah \(\frac{\alpha}{2}.\) Artinya:

\[P(Z\ge z_{\alpha/2})=\alpha/2\]

Demikian pula:

\[-z_{\alpha/2}\]

adalah nilai kritis dari peubah acak \(Z\); nilai tersebut diperoleh dari tabel normal baku dan dipilih sedemikian rupa sehingga luas daerah di sebelah kirinya di bawah kurva normal baku adalah \(\frac{\alpha}{2}.\) Artinya:

\[P(Z\le -z_{\alpha/2})=\alpha/2\]

Notasi ini dapat digambarkan dengan diagram kurva normal baku berikut:

Catatan koreksi Gambar 6.1: kedua titik batas adalah nilai kritis tetap −z_(α/2) dan +z_(α/2) (z huruf kecil), bukan peubah acak Z; masing-masing ekor mempunyai peluang α/2.

Setelah notasinya jelas, mari kita nyatakan rumus selang kepercayaan bagi rataan populasi.

Teorema 6.1 (Selang-Z untuk Rataan) \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) merupakan sampel acak dari distribusi normal dengan rataan yang tidak diketahui \(\mu\) dan varians yang diketahui , yaitu \(\sigma^2.\) Maka, selang kepercayaan dengan tingkat \((1-\alpha)100\%\) untuk rataan populasi \(\mu\) adalah:

\[\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Karena selang ini bergantung pada \(Z\), selang tersebut sering disebut selang- \(Z\)untuk rataan..

Karena pada tahap ini kita hanya ingin mempelajari dasar-dasar penurunan selang kepercayaan, untuk sementara kita akan mengabaikan kenyataan bahwa asumsi kedua, yaitu varians populasi diketahui, tidak realistis. Lagi pula, kapan kita pernah mengetahui nilai varians populasi \(\sigma^2\), tetapi tidak mengetahui rataan populasi \(\mu\)? Aneh juga! Nanti kita akan mencari selang kepercayaan yang praktis untuk rataan \(\mu\) di bagian selanjutnya. Untuk sekarang, mari kita turunkan selang yang satu ini.

Bukti:

Dari diagram kurva normal baku di atas, kita dapat melihat bahwa pernyataan peluang berikut benar:

\[P\left[-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\right]=1-\alpha\]

Kemudian, cukup dengan mengganti \(Z\), kita memperoleh:

\[P\left[-z_{\alpha/2}\le \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\le z_{\alpha/2}\right]=1-\alpha\]

Sekarang, untuk sementara mari kita berfokus hanya pada manipulasi pertidaksamaan di dalam tanda kurung siku. Karena kita melakukan operasi yang sama pada ketiga ruas pertidaksamaan, setiap pernyataan berikut ekuivalen:

\[\begin{align*} &-z_{\alpha/2}\le \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\le z_{\alpha/2}\\ &-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\le \bar{X}-\mu\le z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\\ &-\bar{X}-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\le -\mu\le -\bar{X}+z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\\ & \bar{X}-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\le \mu\le \bar{X}+z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \end{align*}\]

Jadi, sebagai ringkasan, dengan memanipulasi pertidaksamaan kita telah menunjukkan bahwa pernyataan peluang berikut benar:

\[P\left[\bar{X}-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\le \mu\le \bar{X}+z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\right]=1-\alpha\]

Sebenarnya, pada bagian berikutnya kita akan mempelajari mengapa rumus selang-Z untuk rataan, yang menggunakan \(Z\), tidak seharusnya (dan karena itu memang tidak) ditulis persis seperti itu. Sebagai gantinya, dengan tingkat kepercayaan \((1-\alpha)100\%\) , kita menyatakan hal berikut tentang rataan \(\mu\) : rataan tersebut berada dalam selang:

\[\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=\left[\bar{x}-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right), \bar{x}+z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\right]\]

6.3 Interpretasi

Topik interpretasi selang kepercayaan sering membuat ahli statistik frekuentis gerah. Mari kita pahami alasannya!

Meskipun penurunan selang-Z untuk rataan, yang didasarkan pada \(Z\), secara teknis berakhir pada pernyataan peluang berikut:

\[P\left[\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]=1-\alpha\]

pernyataan berikut tidak benar :

“Peluang bahwa rataan populasi \(\mu\) berada di antara batas bawah \(L\) dan batas atas \(U\) adalah \(1-\alpha.\)”

Namun, mengapa? Pernyataan peluang menyangkut peubah acak. Rataan populasi \(\mu\) adalah konstanta, bukan peubah acak. Tidak masuk akal membuat pernyataan peluang tentang konstanta yang nilainya tidak berubah.

Singkatnya, ahli statistik frekuentis tidak suka mendengar orang mencoba membuat pernyataan peluang tentang konstanta, padahal pernyataan peluang semestinya hanya dibuat tentang peubah acak. Jadi, jika pernyataan yang tampaknya jelas berdasarkan pernyataan peluang di atas ternyata tidak benar, bagaimana selang kepercayaan seharusnya dipahami? Berikut cara ahli statistik frekuentis ingin agar kita memandang selang kepercayaan:

Misalkan kita mengambil sejumlah besar sampel, katakanlah 1000.
Kemudian, kita menghitung selang kepercayaan 95% untuk setiap sampel.
Selanjutnya, “yakin 95%” berarti bahwa kita mengharapkan 95%, atau 950, dari 1000 selang tersebut benar, yakni memuat nilai rataan populasi sebenarnya yang belum diketahui, yaitu \(\mu.\)

Jadi, apa arti semua ini dalam praktik?

Dalam praktiknya, kita hanya mengambil satu sampel acak. Selang yang kita peroleh itu benar atau tidak benar. Artinya, selang yang diperoleh berdasarkan sampel yang kita ambil memuat parameter populasi yang sebenarnya atau tidak memuatnya. Karena kita tidak mengetahui nilai parameter populasi yang sebenarnya, kita tidak akan pernah tahu secara pasti apakah selang kita benar atau tidak. Kita hanya dapat sangat yakin bahwa kita memperoleh selang yang benar (karena 95% dari seluruh selang yang mungkin kita peroleh adalah benar).

Contoh 6.1 Mari kita pertimbangkan contoh lain yang mungkin mengharuskan kita mengingat kembali sebagian materi yang dipelajari dalam STAT 414.

Misalkan \(Y\) merupakan peubah acak berdistribusi Gamma dengan parameter yang diketahui \(\alpha=2\) dan parameter yang tidak diketahui, yaitu \(\theta.\) Kita ingin membentuk selang kepercayaan 90% untuk \(\theta.\)

Untuk melakukannya, kita perlu menemukan besaran pivot (pivotal quantity). Besaran pivot memiliki dua karakteristik:

Besaran tersebut merupakan fungsi dari nilai-nilai pengamatan sampel dan satu-satunya parameter yang tidak diketahui, yaitu \(\theta.\)
Distribusi besaran pivot tidak bergantung pada \(\theta.\)

Oleh karena itu, kita harus membentuk suatu fungsi dari \(Y\) dan \(\theta\) yang distribusinya tidak bergantung pada \(\theta.\) Jadi, kita perlu menemukan besaran pivot. Untuk itu, ada baiknya kita mengingat kembali distribusi fungsi peubah acak yang dipelajari dalam STAT 414.

Perhatikan besaran \(U=\frac{2Y}{\theta}.\) Bagaimana distribusi \(U\)? Mari kita gunakan metode fungsi pembangkit momen (MGF) untuk memperoleh distribusi \(U.\)

\[\begin{align*} &M_Y(t)=E(e^{tY})=\frac{1}{(1-\theta t)^2}\\ &M_U(t)=E(e^{tU})=E(e^{t\left(\frac{2Y}{\theta}\right)})=E(e^{\left(\frac{2t}{\theta}\right)Y})=\frac{1}{\left(1-\theta\left(\frac{2t}{\theta}\right)\right)^2}=\frac{1}{(1-2t)^2} \end{align*}\]

Berdasarkan sifat ketunggalan fungsi pembangkit momen, kita dapat melihat bahwa \(U\) berdistribusi Gamma dengan parameter bentuk \(\alpha=2\) dan parameter skala \(\theta=2.\) Lebih berguna lagi, kita dapat melihat bahwa \(U\) mengikuti distribusi khi-kuadrat dengan \(r=4\) derajat kebebasan. Menyatakan distribusi ini sebagai distribusi khi-kuadrat sangat berguna karena kita dapat memanfaatkan perangkat lunak dan tabel untuk menghitung peluang.

Sekarang, mari kita bentuk selang kepercayaannya.

Dengan konvensi bahwa subskrip p pada kuantil khi-kuadrat menyatakan peluang ekor bawah p, kita menginginkan selang yang memenuhi:

\[q_p=F_{\chi^2_4}^{-1}(p),\qquad P\left[q_{0.05}\le \frac{2Y}{\theta}\le q_{0.95}\right]=0.90\]

Sekali lagi, dengan hanya meninjau pertidaksamaan di dalam tanda kurung, kita memperoleh:

\[\frac{1}{q_{0.95}}\le \frac{\theta}{2Y}\le \frac{1}{q_{0.05}}\]

\[\frac{2Y}{q_{0.95}}\le \theta \le \frac{2Y}{q_{0.05}}\]

Oleh karena itu, selang kepercayaan 90% untuk \(\theta\) adalah:

\[\left[\frac{2Y}{q_{0.95}}, \frac{2Y}{q_{0.05}}\right]\]

Terakhir, mari kita hitung selang kepercayaan menggunakan data. Misalkan kita mengamati \(y=1.261552\) dari distribusi Gamma dengan parameter bentuk \(\alpha=2\) dan parameter skala \(\theta.\) Mari kita tentukan dan tafsirkan selang kepercayaan 90% untuk \(\theta.\)

\[\left[\frac{2(1.261552)}{9.4877}, \frac{2(1.261552)}{0.7107}\right]=\left[0.2659, 3.5502\right]\]

Kita yakin 90% bahwa nilai sebenarnya dari \(\theta\) berada di antara 0.2659 dan 3.5502.

Tantangan terbesar dalam membentuk selang kepercayaan adalah menemukan besaran pivot. Dalam contoh-contoh di kelas ini, besaran pivot akan diberikan atau tersedia petunjuk yang membantu Anda menemukannya. Jangan khawatir, Anda akan memperoleh banyak latihan membentuk selang kepercayaan melalui tugas.

6.4 Selang Kepercayaan Sampel Besar

Misalkan kita memiliki penduga, \(\hat{\theta}\), dengan galat baku \(\sigma_{\hat{\theta}}\) . Untuk sampel besar, dengan syarat yang sesuai (dibahas kemudian), statistik terstandardisasi berikut:

\[T_n=\frac{\hat{\theta}-\theta}{\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{\theta})}\xrightarrow{d}N(0,1)\]

konvergen dalam distribusi ke distribusi normal baku. Selain itu, \(T_n=\frac{\hat{\theta}-\theta}{\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{\theta})}\), merupakan besaran pivot hampiran yang dapat digunakan untuk membentuk selang kepercayaan bagi parameter yang tidak diketahui, \(\theta.\)

Syarat-syarat yang relevan adalah:

Nilai harapan penduga \(\hat{\theta}\) boleh berbeda dari \(\theta.\) Namun, selisih ini harus dapat diabaikan secara asimtotik dibandingkan dengan galat bakunya; ketakbiasan eksak tidak diperlukan.
Galat baku penduga \(\sigma_{\hat{\theta}}\) harus diketahui atau dapat dihitung. Jika digunakan taksiran galat baku, taksiran itu harus konsisten, atau hasil studentisasi yang ekuivalen harus berlaku.
Statistik terstudentisasi harus konvergen dalam distribusi ke distribusi normal baku. Teorema Limit Pusat, bersama syarat yang sesuai bagi taksiran galat baku, merupakan salah satu cara untuk memperoleh hasil tersebut.

Contoh 6.2 Waktu berbelanja dari \(n=64\) pelanggan yang dipilih secara acak di sebuah pasar swalayan setempat dicatat. Rataan dan varians dari 64 waktu berbelanja tersebut adalah 33 menit dan 256 \(\text{minutes}^2\), secara berturut-turut. Dugalah rataan sebenarnya waktu berbelanja per pelanggan dengan koefisien kepercayaan 0.9.

Penyelesaian

Selang kepercayaan hampiran tersebut berbentuk:

\[\hat{\theta}\pm z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}}\]

Kita ingin menduga rataan populasi waktu berbelanja, \(\mu.\) Kita memiliki nilai dugaan untuk \(\mu\), yaitu \(\hat{\mu}=33.\) Taksiran galat baku rataan sampel adalah 2. Secara eksplisit, \(\widehat{\mathrm{SE}}(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2.\) Selang hampiran tersebut adalah:

\[\hat{\mu}\pm z_{\alpha/2}\left(\hat{\sigma}_{\hat{\mu}}\right)=\left(33\pm 1.645\left(\frac{16}{8}\right)\right)=(29.71, 36.29)\]

6.5 Ringkasan

Dalam pelajaran ini, kita beralih dari nilai dugaan titik ke sesuatu yang lebih informatif—selang kepercayaan. Alih-alih hanya memberikan satu angka sebagai nilai dugaan (seperti rataan sampel), kini kita memberikan rentang nilai yang kita yakini, pada tingkat kepercayaan tertentu, memuat parameter populasi yang sebenarnya.

Kita telah menguraikan arti sebenarnya dari tingkat kepercayaan tersebut. Selang kepercayaan 95% tidak berarti bahwa parameter memiliki peluang 95% untuk berada di dalam selang yang diperoleh—sebab parameter itu tetap. Artinya, jika prosedur ini diulang berkali-kali, 95% dari selang yang dihasilkan akan memuat nilai sebenarnya.

Anda telah mempelajari cara membentuk selang tersebut menggunakan distribusi yang diketahui, besaran pivot, dan hampiran sampel besar.

Inti keseluruhannya? Selang kepercayaan membantu kita mengomunikasikan ketidakpastian dengan jelas dan jujur, serta merupakan salah satu alat penting bagi statistikawan.

Pokok-Pokok Utama:

Bentuk umum selang kepercayaan adalah: \(\text{Point Estimate }\pm \text{(Critical Value)}\times \text{Standard Error}\)
Selang kepercayaan untuk rataan populasi ketika varians distribusi Normal diketahui adalah: \(\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
Untuk sampel yang saling bebas dan berdistribusi identik (iid) dari distribusi Normal, selang kepercayaan eksak bagi rataan populasi ketika varians tidak diketahui, dengan df = n − 1, adalah: \(\bar{X}\pm t_{\alpha/2,n-1}\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\)
Ukuran sampel, tingkat kepercayaan, dan variabilitas memengaruhi lebar selang.