9  Uji Hipotesis (Bagian I)

Solusi

Sebagaimana diuraikan dalam prosedur dasar pengujian hipotesis di atas, langkah pertama mencakup pernyataan asumsi awal dan penentuan parameter yang menjadi perhatian. Parameter yang menjadi perhatian di sini adalah \(p\), peluang memperoleh angka 4. Asumsinya adalah bahwa dadu itu seimbang. Jika dadu itu seimbang, setiap sisi (1, 2, 3, dan 4) memiliki peluang yang sama. Jadi, kita akan menganggap bahwa \(p\), peluang memperoleh angka 4, adalah 0.25.

Oleh karena itu, hipotesis nol, atau “status quo”, menyatakan bahwa parameter populasi \(p\) sama dengan 0.25. Secara simbolis: \[H_0:p=0.25\]

Dalam informasi yang diberikan, dipertanyakan apakah angka empat muncul lebih sering daripada yang diharapkan. Oleh karena itu, hipotesis alternatifnya adalah:

\[H_a:p>0.25\]

Langkah kedua adalah menentukan tingkat signifikansi, \(\alpha\). Pada umumnya, tingkat signifikansi yang paling sering digunakan adalah \(\alpha=0.05\). Oleh karena itu, mari kita pilih \(P(\text{Type I error})=\alpha=0.05\). Dengan demikian, peluang kita menolak hipotesis nol dengan syarat hipotesis nol benar adalah 5%.

Sekarang, langkah berikutnya menyatakan bahwa kita perlu mengumpulkan bukti (data) yang mendukung atau menentang asumsi awal. Dalam kasus ini, hal tersebut sudah dilakukan. Kita diberi tahu bahwa dadu dilempar \(n=1000\) kali, dan tercatat \(y=290\) untuk banyaknya kemunculan angka empat. Kita dapat menggunakan proporsi sampel untuk menduga parameter populasi. Dengan demikian, kita memperoleh:

\[\hat{p}=\frac{y}{n}=\frac{290}{1000}=0.29\]

Sekarang kita hanya perlu menyelesaikan langkah ketiga, yaitu memutuskan apakah akan menolak asumsi awal bahwa proporsi populasi adalah 0.25. Kita perlu menggunakan perangkat yang sejauh ini telah kita kembangkan dalam mata kuliah ini dan STAT 414. Ingat bahwa Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa proporsi sampel:

\[\hat{p}=\frac{Y}{n}\]

berdistribusi Normal secara hampiran dengan rataan (yang diasumsikan)

\[p_0=0.25\] dan simpangan baku (yang diasumsikan):

\[\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{1000}}=0.01369\]

Artinya:

\[Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}\]

mengikuti hukum \(N(0, 1)\) yang merupakan distribusi Normal baku. Kita dapat “memetakan” proporsi sampel teramati sebesar 0.29 ke skala \(Z\) berikut. Gambar berikut merangkum situasinya:

Jadi, kita menganggap proporsi populasi adalah 0.25, tetapi kita mengamati proporsi sampel sebesar 0.290 yang terletak jauh di ekor kanan distribusi Normal. Memperoleh proporsi sampel 0.29 jelas bukan hal yang mustahil. Namun, kita tetap harus memutuskan apakah proporsi sampel 0.290 lebih ekstrem daripada yang diharapkan jika proporsi populasi \(p\) memang sama dengan 0.25.

Langkah berikutnya adalah menentukan cara mengambil keputusan. Ada dua pendekatan untuk mengambil keputusan dalam pengujian hipotesis:

1. Salah satunya disebut pendekatan “daerah penolakan” (atau “nilai kritis” atau “daerah kritis”).
2. Pendekatan lainnya menggunakan “nilai-p” sebagai dasar pengambilan keputusan.

Pertama, mari kita perhatikan pendekatan daerah penolakan.

Baiklah, sekarang mari kita pikirkan. Kita mungkin tidak akan menolak asumsi awal bahwa proporsi populasi \(p=0.25\) jika proporsi sampel teramati sebesar 0.255. Kita mungkin juga masih belum cenderung menolak asumsi awal bahwa proporsi populasi \(p=0.25\) jika proporsi sampel teramati sebesar 0.27. Di sisi lain, kita hampir pasti ingin menolak asumsi awal bahwa proporsi populasi \(p=0.25\) jika proporsi sampel teramati sebesar 0.35. Ini menunjukkan adanya suatu nilai “ambang” yang, setelah “dilampaui”, membuat kita cenderung menolak asumsi awal. Singkatnya, itulah pendekatan nilai kritis. Pendekatan ini menetapkan nilai ambang yang disebut “nilai kritis”, sehingga jika “statistik uji” lebih ekstrem daripada nilai kritis, kita menolak hipotesis nol.

Ingatlah bahwa kita menetapkan tingkat signifikansi, \(\alpha\), sebesar 5%. Karena kita menggunakan distribusi Normal baku, kita akan mencari nilai \(Z\) yang lebih besar daripada 1.645. Dengan kata lain, kita memutuskan untuk menolak hipotesis nol \(H_0:p=0.25\) demi mendukung “hipotesis alternatif” \(H_a:p>0.25\) jika:

\[Z>1.645\Longleftrightarrow \hat{p}>0.272525\ldots\Longleftrightarrow Y\ge273\Longleftrightarrow \hat{p}\ge0.273\]

Berikut gambar dari “daerah penolakan” semacam itu (atau “daerah kritis”):

Dengan hampiran Normal yang digunakan di sini, ‘ukuran’ daerah kritis sekitar 0,05, bukan tepat 0,05. Untuk aturan diskret Y ≥ 273, ukuran Binomial eksaknya 0,0511947; tingkat eksak 0,05 memerlukan pengacakan pada Y = 273. Hal ini akan berkaitan dengan peluang galat yang dibahas di bawah.

Bagaimanapun, mari kembali memutuskan apakah proporsi sampel khusus kita tampak terlalu ekstrem. Tampaknya kita harus menolak hipotesis nol (asumsi awal kita bahwa \(p=0.25\)) karena:

\[\hat{p}=0.29>0.273\]

atau, secara ekuivalen, karena statistik uji kita:

\[Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\dfrac{0.29-0.25}{\sqrt{\dfrac{0.25(0.75)}{1000}}}=2.92\]

lebih besar daripada 1.645.

Kesimpulan kita: kita menyatakan bahwa terdapat bukti yang cukup untuk menyimpulkan \(H_a:p>0.25\), yaitu bahwa dadu tersebut tidak seimbang.

Sebagai tambahan, contoh ini melibatkan apa yang disebut uji satu sisi, atau lebih khusus lagi, uji sisi kanan, karena daerah kritis hanya terletak di salah satu dari dua ekor distribusi Normal, yaitu ekor kanan.