Menggunakan Sifat-Sifat Sudut, Segitiga, dan Teorema Pythagoras

Sejauh ini dalam bab ini, kita berfokus pada penyelesaian soal cerita, yang serupa dengan banyak penerapan aljabar dalam kehidupan nyata. Dalam beberapa bagian berikutnya, kita akan menerapkan strategi pemecahan masalah pada beberapa soal geometri yang umum.

Menggunakan Sifat-Sifat Sudut

Pernahkah Anda mendengar ungkapan ‘berbalik $180 ’?$ Artinya, Anda berbalik sehingga menghadap ke arah yang berlawanan. Ungkapan ini berasal dari fakta bahwa besar sudut yang membentuk garis lurus adalah $180$ derajat. Lihat .

Gambar menunjukkan garis lurus dengan anak panah di kedua ujungnya. Terdapat sebuah titik di tengah. Sebuah anak panah melengkung dari satu sisi titik ke sisi lainnya, dan sudutnya ditandai 180 derajat.

Sebuah sudut terbentuk oleh dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama. Setiap sinar disebut sisi sudut, sedangkan titik pangkal yang sama disebut titik sudut. Sebuah sudut dinamai berdasarkan titik sudutnya. Pada , $∠ A$ adalah sudut dengan titik sudut di titik $A .$ Besar $∠ A$ ditulis $m ∠ A .$

Gambar menunjukkan sebuah sudut yang dibentuk oleh dua sinar. Sudut tersebut diberi label huruf A. — $∠ A$ adalah sudut dengan titik sudut di $titik A .$

Kita mengukur sudut dalam derajat dan menggunakan simbol $°$ untuk menyatakan derajat. Kita menggunakan singkatan $m$ untuk besar sudut. Jadi, jika $∠ A$ besarnya $27°,$ kita menulis $m ∠ A = 27 .$

Jika jumlah besar dua sudut adalah $180°,$ kedua sudut tersebut disebut sudut suplementer. Pada , setiap pasangan sudut merupakan sudut suplementer karena jumlah besarnya $180° .$ Setiap sudut merupakan sudut pelurus bagi sudut lainnya.

Bagian a menunjukkan sudut 120 derajat di sebelah sudut 60 derajat. Bersama-sama, kedua sudut membentuk garis lurus. Di bawah gambar tertulis 120 derajat ditambah 60 derajat sama dengan 180 derajat. Bagian b menunjukkan sudut 45 derajat yang berdekatan dengan sudut 135 derajat. Bersama-sama, kedua sudut membentuk garis lurus. Di bawah gambar tertulis 45 derajat ditambah 135 derajat sama dengan 180 derajat. — Jumlah besar sudut suplementer adalah $180° .$

Jika jumlah besar dua sudut adalah $90°,$ kedua sudut tersebut disebut sudut komplementer. Pada , setiap pasangan sudut merupakan sudut komplementer karena jumlah besarnya $90° .$ Setiap sudut merupakan sudut penyiku bagi sudut lainnya.

Bagian a menunjukkan sudut 50 derajat di sebelah sudut 40 derajat. Bersama-sama, kedua sudut membentuk sudut siku-siku. Di bawah gambar tertulis 50 derajat ditambah 40 derajat sama dengan 90 derajat. Bagian b menunjukkan sudut 60 derajat yang berdekatan dengan sudut 30 derajat. Bersama-sama, kedua sudut membentuk sudut siku-siku. Di bawah gambar tertulis 60 derajat ditambah 30 derajat sama dengan 90 derajat. — Jumlah besar sudut komplementer adalah $90° .$

Dalam bagian ini dan bagian berikutnya, Anda akan diperkenalkan dengan beberapa rumus geometri yang umum. Kita akan menyesuaikan Strategi Pemecahan Masalah untuk Penerapan Geometri. Rumus geometri akan menentukan nama variabel dan memberikan persamaan yang perlu kita selesaikan.

Selain itu, karena semua penerapan ini melibatkan bangun geometri, menggambar bangun lalu memberinya label berdasarkan informasi dalam soal akan sangat membantu. Kita akan menyertakan langkah ini dalam Strategi Pemecahan Masalah untuk Penerapan Geometri.

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan Strategi Pemecahan Masalah untuk Penerapan Geometri guna menjawab pertanyaan tentang sudut suplementer dan sudut komplementer.

Sebuah sudut besarnya $40° .$ Tentukan ⓐ sudut pelurusnya dan ⓑ sudut penyikunya.

Solusi

Penyelesaian

ⓐ
Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun dan beri label dengan informasi yang diberikan.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.
Langkah 3. Nyatakan. Pilih sebuah variabel untuk menyatakannya.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai untuk situasi tersebut dan substitusikan informasi yang diberikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaan.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaan.

ⓑ
Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun dan beri label dengan informasi yang diberikan.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.
Langkah 3. Nyatakan. Pilih sebuah variabel untuk menyatakannya.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai untuk situasi tersebut dan substitusikan informasi yang diberikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaan.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaan.

Apakah Anda memperhatikan bahwa kata komplementer dan suplementer tersusun menurut abjad, sama seperti $90$ dan $180$ tersusun menurut urutan bilangan?

Dua sudut merupakan sudut suplementer. Sudut yang lebih besar adalah $30°$ lebih besar daripada sudut yang lebih kecil. Tentukan besar kedua sudut.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal. Gambarlah bangun dan beri label dengan informasi yang diberikan.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.
Langkah 3. Nyatakan. Pilih sebuah variabel untuk menyatakannya. Sudut yang lebih besar adalah 30° lebih besar daripada sudut yang lebih kecil.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai dan lakukan substitusi.
Langkah 5. Selesaikan persamaan.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaan.

Menggunakan Sifat-Sifat Segitiga

Apa yang sudah Anda ketahui tentang segitiga? Segitiga memiliki tiga sisi dan tiga sudut. Segitiga dinamai berdasarkan titik-titik sudutnya. Segitiga pada disebut $Δ A B C,$ yang dibaca ‘segitiga $ABC$ ’. Kita memberi label setiap sisi dengan huruf kecil yang sesuai dengan huruf besar pada titik sudut yang berhadapan.

Titik-titik sudut segitiga di sebelah kiri diberi label A, B, dan C. Sisi-sisinya diberi label a, b, dan c. — $Δ A B C$ memiliki titik-titik sudut $A, B, dan C$ serta sisi-sisi $a, b, dan c .$

Ketiga sudut sebuah segitiga memiliki hubungan khusus. Jumlah besar ketiganya adalah $180° .$

m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180°

Besar dua sudut sebuah segitiga adalah $55°$ dan $82° .$ Tentukan besar sudut ketiga.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soalnya. Gambarlah bentuknya dan beri label sesuai informasi yang diketahui.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai dan substitusikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.

Segitiga Siku-Siku

Beberapa segitiga memiliki nama khusus. Pertama, kita akan membahas segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku memiliki satu sudut $90°$ yang sering ditandai dengan simbol seperti pada .

Jika kita mengetahui bahwa sebuah segitiga adalah segitiga siku-siku, kita mengetahui bahwa salah satu sudutnya berukuran $90°$ . Oleh karena itu, kita hanya memerlukan besar salah satu sudut lainnya untuk menentukan besar sudut ketiga.

Salah satu sudut sebuah segitiga siku-siku berukuran $28° .$ Berapakah besar sudut ketiga?

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soalnya. Gambarlah bentuknya dan beri label sesuai informasi yang diketahui.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai dan substitusikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.

Dalam contoh-contoh sejauh ini, kita dapat langsung menggambar bentuk dan memberi label setelah membaca soal. Pada contoh berikutnya, kita harus menyatakan satu sudut berdasarkan sudut lainnya. Oleh karena itu, kita akan menunggu untuk menggambar bentuk hingga selesai menuliskan bentuk aljabar bagi semua sudut yang dicari.

Besar salah satu sudut sebuah segitiga siku-siku adalah $20°$ lebih besar daripada besar sudut terkecil. Tentukan besar ketiga sudutnya.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soalnya.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	besar ketiga sudut
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya. Sekarang gambarlah bentuknya dan beri label sesuai informasi yang diketahui.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai dan substitusikan ke dalam rumus tersebut.
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.

Segitiga Sebangun

Ketika menggunakan peta untuk merencanakan perjalanan, sketsa untuk membuat rak buku, atau pola untuk menjahit gaun, kita bekerja dengan bangun-bangun sebangun. Dalam geometri, jika dua bangun memiliki bentuk yang persis sama tetapi ukurannya berbeda, kita menyebutnya bangun sebangun. Salah satunya merupakan model berskala dari yang lain. Sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua bangun memiliki rasio yang sama, dan semua sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama.

Kedua segitiga pada sebangun. Setiap sisi $Δ A B C$ empat kali panjang sisi yang bersesuaian pada $Δ X Y Z$ , dan sudut-sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama.

Dua segitiga berbentuk sama ditampilkan, dengan segitiga di sebelah kanan berukuran lebih kecil. Titik-titik sudut segitiga kiri diberi label A, B, dan C; sisi di hadapan A, B, dan C berturut-turut berukuran 16, 20, dan 12. Titik-titik sudut segitiga kanan diberi label X, Y, dan Z; sisi di hadapan X, Y, dan Z berturut-turut berukuran 4, 5, dan 3. Di sampingnya tertulis m∠A = m∠X, m∠B = m∠Y, dan m∠C = m∠Z. Di bawahnya terdapat perbandingan 16/4 = 20/5 = 12/3. — $Δ A B C$ dan $Δ X Y Z$ adalah segitiga-segitiga sebangun. Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki rasio yang sama dan sudut-sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama.

Panjang sebuah sisi segitiga dapat dinyatakan dengan kedua titik ujungnya, yaitu dua titik sudut segitiga. Sebagai contoh, pada $Δ A B C :$

$\begin{matrix} panjang a juga dapat ditulis B C \\ panjang b juga dapat ditulis A C \\ panjang c juga dapat ditulis A B \end{matrix}$

Kita akan sering menggunakan notasi ini ketika menyelesaikan soal segitiga sebangun karena notasi tersebut membantu kita memasangkan panjang sisi-sisi yang bersesuaian.

$Δ A B C$ dan $Δ X Y Z$ adalah segitiga-segitiga sebangun. Panjang dua sisi dari setiap segitiga ditampilkan. Tentukan panjang sisi ketiga dari setiap segitiga.

Solusi

Penyelesaian

Tabel dua kolom memandu penyelesaian panjang sisi yang belum diketahui pada dua segitiga sebangun. Langkah 1 membaca soal dan menggunakan gambar yang tersedia. Langkah 2 mengidentifikasi panjang sisi-sisi segitiga sebangun sebagai hal yang dicari. Langkah 3 menetapkan a sebagai panjang sisi ketiga ΔABC dan y sebagai panjang sisi ketiga ΔXYZ. Langkah 4 memasangkan sisi-sisi yang bersesuaian dengan AB/XY = BC/YZ = AC/XZ, lalu menggunakan 4/3 = a/4.5 untuk mencari a dan 4/3 = 3.2/y untuk mencari y. Langkah 5 menyelesaikan 3a = 4(4.5) sehingga a = 6 dan 4y = 3(3.2) sehingga y = 2.4. Langkah 6 memeriksa kedua perbandingan dengan perkalian silang dan memperoleh kesamaan yang benar. Langkah 7 menyimpulkan bahwa sisi ketiga ΔABC adalah 6 dan sisi ketiga ΔXYZ adalah 2.4.
Langkah 1. Baca soalnya. Gambarlah bentuknya dan beri label sesuai informasi yang diketahui.	Gambarnya sudah tersedia.
Langkah 2. Identifikasi apa yang dicari.	Panjang sisi-sisi segitiga sebangun
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.	Misalkan a = panjang sisi ketiga $Δ A B C$ y = panjang sisi ketiga $Δ X Y Z$
Langkah 4. Terjemahkan.
Kedua segitiga sebangun, sehingga sisi-sisi yang bersesuaian memiliki rasio yang sama. Jadi, $\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z} = \frac{A C}{X Z}$ Karena sisi $A B = 4$ bersesuaian dengan sisi $X Y = 3$ , kita akan menggunakan rasio $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{3}$ untuk menentukan sisi-sisi lainnya. Pastikan Anda memasangkan sisi-sisi yang bersesuaian dengan tepat.
Langkah 5. Selesaikan persamaannya.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Sisi ketiga $Δ A B C$ adalah 6 dan sisi ketiga $Δ X Y Z$ adalah 2.4.

Menggunakan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah sifat khusus segitiga siku-siku yang telah digunakan sejak zaman dahulu. Teorema ini dinamai menurut filsuf dan matematikawan Yunani Pythagoras, yang hidup sekitar $500$ SM.

Ingatlah bahwa segitiga siku-siku memiliki sudut $90°$ , yang biasanya kita tandai dengan sebuah persegi kecil di titik sudutnya. Sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut $90°$ disebut sisi miring (hipotenusa), sedangkan dua sisi lainnya disebut sisi-sisi siku-siku. Lihat .

Tiga segitiga siku-siku dengan orientasi berbeda. Pada setiap segitiga, kedua sisi yang membentuk sudut siku-siku diberi label kaki, sedangkan sisi di hadapan sudut siku-siku diberi label hipotenusa. — Pada segitiga siku-siku, sisi yang berhadapan dengan sudut $90°$ disebut sisi miring (hipotenusa), sedangkan masing-masing sisi lainnya disebut sisi siku-siku.

Teorema Pythagoras menjelaskan hubungan antara panjang ketiga sisi segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa pada setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya.

Untuk menyelesaikan soal yang menggunakan Teorema Pythagoras, kita perlu mencari akar kuadrat. Dalam Menyederhanakan dan Menggunakan Akar Kuadrat, kita memperkenalkan notasi $\sqrt{m}$ dan mendefinisikannya sebagai berikut:

Jika m = n^{2}, maka \sqrt{m} = n untuk n \geq 0

Sebagai contoh, kita memperoleh bahwa $\sqrt{25}$ adalah $5$ karena $5^{2} = 25 .$

Kita akan menggunakan definisi akar kuadrat ini untuk menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku.

Gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi miring.

Segitiga siku-siku dengan kedua sisi siku-siku berturut-turut berlabel 3 dan 4.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal.
Langkah 2. Identifikasi yang dicari.	panjang sisi miring segitiga
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.	Misalkan $c = panjang sisi miring$
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaan.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Panjang sisi miring adalah 5.

Gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi siku-siku yang lebih panjang.

Segitiga siku-siku dengan satu sisi siku-siku berlabel 5 dan sisi miring berlabel 13.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal.
Langkah 2. Identifikasi yang dicari.	Panjang sisi siku-siku segitiga
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.	Misalkan $b = panjang sisi siku-siku segitiga$ Beri label b pada sisi tersebut.
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaan. Isolasi suku variabel. Gunakan definisi akar kuadrat. Sederhanakan.
Langkah 6. Periksa:
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Panjang sisi siku-siku adalah 12.

Kelvin sedang membangun gazebo dan ingin memperkuat setiap sudutnya dengan memasang penyangga kayu sepanjang $10 inci$ secara diagonal seperti pada gambar. Seberapa jauh di bawah sudut itu ia harus memasang penyangga jika jarak dari sudut ke kedua ujung penyangga harus sama? Bulatkan hingga persepuluhan inci terdekat.

Gazebo dengan atap abu-abu, balok dan tiang berwarna krem, serta dua penyangga diagonal. Penyangga kiri panjangnya 10 inci. Jarak vertikal dari balok atap ke titik sambungan penyangga pada tiang diberi label x.

Solusi

Penyelesaian

Langkah 1. Baca soal.
Langkah 2. Identifikasi yang dicari.	jarak dari sudut tempat penyangga harus dipasang
Langkah 3. Nyatakan. Pilih variabel untuk menyatakannya.	Misalkan x = jarak dari sudut
Langkah 4. Terjemahkan. Tuliskan rumus yang sesuai. Substitusikan.
Langkah 5. Selesaikan persamaan. Isolasi variabel. Gunakan definisi akar kuadrat. Sederhanakan. Bulatkan hingga persepuluhan terdekat.
Langkah 6. Periksa: Ya.
Langkah 7. Jawab pertanyaannya.	Kelvin harus memasang setiap penyangga sekitar 7.1 inci dari sudut.

Konsep Kunci

Sudut Pelurus dan Sudut Penyiku
- Jika jumlah besar dua sudut adalah 180°, kedua sudut tersebut saling berpelurus.
- Jika $∠ A$ dan $∠ B$ saling berpelurus, maka $m ∠ A + m ∠ B = 180$ .
- Jika jumlah besar dua sudut adalah 90°, kedua sudut tersebut saling berpenyiku.
- Jika $∠ A$ dan $∠ B$ saling berpenyiku, maka $m ∠ A + m ∠ B = 90$ .
Menyelesaikan Penerapan Geometri
1. Baca soal dan pastikan Anda memahami semua kata dan gagasannya. Gambarlah sebuah bangun dan beri label sesuai informasi yang diberikan.
2. Identifikasi apa yang hendak Anda cari.
3. Nyatakan apa yang hendak Anda cari dan pilih variabel untuk menyatakannya.
4. Terjemahkan menjadi persamaan dengan menuliskan rumus atau model yang sesuai untuk situasi tersebut. Substitusikan informasi yang diberikan.
5. Selesaikan persamaan menggunakan teknik aljabar yang baik.
6. Periksa jawaban pada soal dan pastikan jawaban tersebut masuk akal.
7. Jawab pertanyaan dengan kalimat lengkap.
Jumlah Besar Sudut-Sudut Segitiga
- Untuk setiap $Δ A B C,$ jumlah besar ketiga sudutnya adalah 180°
- $m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180$
Segitiga Siku-Siku
- Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut 90°, yang sering ditandai dengan simbol $⦜$ .
Sifat-Sifat Segitiga Sebangun
- Jika dua segitiga sebangun, besar sudut-sudut yang bersesuaian sama dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki rasio yang sama.

Latihan untuk Menjadi Mahir

Menggunakan Sifat-Sifat Sudut

Dalam latihan berikut, tentukan ⓐ sudut pelurus dan ⓑ sudut penyiku dari sudut yang diberikan.

$53°$

Solusi

ⓐ 127°
ⓑ 37°

$16°$

$29°$

Solusi

ⓐ 151°
ⓑ 61°

$72°$

Dalam latihan berikut, gunakan sifat-sifat sudut untuk menyelesaikan soal.

Tentukan sudut pelurus dari sudut $135°$ .

Solusi

45°

Tentukan sudut penyiku dari sudut $38°$ .

Tentukan sudut penyiku dari sudut $27.5°$ .

Solusi

62.5°

Tentukan sudut pelurus dari sudut $109.5°$ .

Dua sudut saling berpelurus. Sudut yang lebih besar adalah $56°$ lebih besar daripada sudut yang lebih kecil. Tentukan besar kedua sudut.

Solusi

62°, 118°

Dua sudut saling berpelurus. Sudut yang lebih kecil adalah $36°$ lebih kecil daripada sudut yang lebih besar. Tentukan besar kedua sudut.

Dua sudut saling berpenyiku. Sudut yang lebih kecil adalah $34°$ lebih kecil daripada sudut yang lebih besar. Tentukan besar kedua sudut.

Solusi

62°, 28°

Dua sudut saling berpenyiku. Sudut yang lebih besar adalah $52°$ lebih besar daripada sudut yang lebih kecil. Tentukan besar kedua sudut.

Menggunakan Sifat-Sifat Segitiga

Dalam latihan berikut, selesaikan soal menggunakan sifat-sifat segitiga.

Besar dua sudut sebuah segitiga adalah $26°$ dan $98° .$ Tentukan besar sudut ketiga.

Solusi

56°

Besar dua sudut sebuah segitiga adalah $61°$ dan $84° .$ Tentukan besar sudut ketiga.

Besar dua sudut sebuah segitiga adalah $105°$ dan $31° .$ Tentukan besar sudut ketiga.

Solusi

44°

Besar dua sudut sebuah segitiga adalah $47°$ dan $72° .$ Tentukan besar sudut ketiga.

Salah satu sudut lancip sebuah segitiga siku-siku berukuran $33° .$ Berapa besar sudut lancip lainnya?

Solusi

57°

Salah satu sudut lancip sebuah segitiga siku-siku berukuran $51° .$ Berapa besar sudut lancip lainnya?

Salah satu sudut lancip sebuah segitiga siku-siku berukuran $22.5 ° .$ Berapa besar sudut lancip lainnya?

Solusi

67.5°

Salah satu sudut lancip sebuah segitiga siku-siku berukuran $36.5 ° .$ Berapa besar sudut lancip lainnya?

Dua sudut lancip sebuah segitiga siku-siku memiliki besar yang sama. Tentukan besar ketiga sudutnya.

Solusi

45°, 45°, 90°

Besar sudut terkecil sebuah segitiga siku-siku adalah $20°$ kurang dari besar sudut lancip lainnya. Tentukan besar ketiga sudutnya.

Sudut-sudut sebuah segitiga sedemikian rupa sehingga besar salah satu sudut adalah dua kali besar sudut terkecil, sedangkan besar sudut ketiga adalah tiga kali besar sudut terkecil. Tentukan besar ketiga sudutnya.

Solusi

30°, 60°, 90°

Sudut-sudut sebuah segitiga sedemikian rupa sehingga besar salah satu sudut adalah $20°$ lebih besar daripada besar sudut terkecil, sedangkan besar sudut ketiga adalah tiga kali besar sudut terkecil. Tentukan besar ketiga sudutnya.

Menentukan Panjang Sisi yang Belum Diketahui

Dalam latihan berikut, $Δ A B C$ sebangun dengan $Δ X Y Z .$ Tentukan panjang sisi yang ditunjukkan.

Dua segitiga ditampilkan. Keduanya tampak memiliki bentuk yang sama, tetapi segitiga di sebelah kanan lebih kecil. Titik-titik sudut segitiga di sebelah kiri berlabel A, B, dan C. Sisi di seberang A berlabel 9, sisi di seberang B berlabel b, dan sisi di seberang C berlabel 15. Titik-titik sudut segitiga di sebelah kanan berlabel X, Y, dan Z. Sisi di seberang X berlabel x, sisi di seberang Y berlabel 8, dan sisi di seberang Z berlabel 10.

sisi $b$

Solusi

sisi $x$

Pada sebuah peta, San Francisco, Las Vegas, dan Los Angeles membentuk segitiga dengan sisi-sisi seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Jarak sebenarnya dari Los Angeles ke Las Vegas adalah $270$ mil.
Sebuah segitiga ditampilkan. Titik-titik sudutnya berlabel San Francisco, Las Vegas, dan Los Angeles. Sisi di seberang San Francisco berlabel 1 inci, sisi di seberang Las Vegas berlabel 1.3 inci, dan sisi di seberang Los Angeles berlabel 2.1 inci.

Tentukan jarak dari Los Angeles ke San Francisco.

Solusi

351 mil

Tentukan jarak dari San Francisco ke Las Vegas.

Menggunakan Teorema Pythagoras

Dalam latihan berikut, gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang hipotenusa.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Salah satu kaki berlabel 9 dan kaki lainnya berlabel 12.

Solusi

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Salah satu kaki berlabel 16 dan kaki lainnya berlabel 12.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Salah satu kaki berlabel 15 dan kaki lainnya berlabel 20.

Solusi

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Salah satu kaki berlabel 5 dan kaki lainnya berlabel 12.

Menentukan Panjang Sisi yang Belum Diketahui

Dalam latihan berikut, gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi yang belum diketahui. Bulatkan ke persepuluhan terdekat jika perlu.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 10 dan salah satu kaki berlabel 6.

Solusi

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 17 dan salah satu kaki berlabel 8.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 13 dan salah satu kaki berlabel 5.

Solusi

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 20 dan salah satu kaki berlabel 16.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 13 dan salah satu kaki berlabel 8.

Solusi

10.2

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Kedua kakinya masing-masing berlabel 6.

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Hipotenusa berlabel 17 dan salah satu kaki berlabel 5.

Solusi

16.2

Sebuah segitiga siku-siku ditampilkan. Sudut siku-sikunya ditandai dengan kotak. Kedua kaki masing-masing berlabel 7 dan 5; hipotenusanya tidak berlabel.

Dalam latihan berikut, selesaikan soalnya. Bulatkan ke persepuluhan terdekat jika perlu.

Seuntai lampu sepanjang $13 kaki$ akan dipasang dari puncak sebuah tiang setinggi $12 kaki$ untuk dekorasi hari raya. Seberapa jauh dari pangkal tiang ujung untaian lampu tersebut harus ditambatkan?

Tiang vertikal setinggi 12 kaki. Untaian lampu sepanjang 13 kaki membentang dari puncak tiang ke tanah sehingga membentuk segitiga siku-siku.

Solusi

5 kaki

Pam ingin memasang spanduk melintang pada pintu garasinya untuk memberi selamat kepada putranya atas kelulusan kuliah. Pintu garasi itu tingginya $12$ kaki dan lebarnya $16$ kaki. Berapa panjang spanduk agar pas pada pintu garasi tersebut?

Rumah dengan garasi berbentuk persegi panjang yang tingginya 12 kaki dan lebarnya 16 kaki. Sebuah spanduk bertuliskan SELAMAT terbentang secara diagonal pada pintu garasi.

Chi berencana membuat jalan setapak dari batu pijakan melintasi taman bunganya. Taman bunga itu berbentuk persegi dengan panjang sisi $10$ kaki. Berapa panjang jalan setapak tersebut?

Taman berbentuk persegi ditampilkan. Salah satu sisinya berlabel 10 kaki. Jalan setapak diagonal dari batu-batu bundar biru membentang dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas.

Solusi

14.1 kaki

Brian meminjam tangga sambung sepanjang $20 kaki$ untuk mengecat rumahnya. Jika ia meletakkan pangkal tangga sejauh $6$ kaki dari rumah, seberapa tinggi ujung atas tangga akan mencapai dinding?

Sebuah rumah ditampilkan dengan tangga yang disandarkan pada dindingnya. Tangga berlabel 20 kaki. Jarak mendatar dari rumah ke pangkal tangga adalah 6 kaki.

Matematika Sehari-hari

Membuat model berskala Joe ingin membuat rumah boneka untuk putrinya. Ia ingin rumah boneka itu tampak persis seperti rumahnya. Rumahnya memiliki lebar $30$ kaki dan tinggi $35$ kaki pada titik tertinggi atap. Jika lebar rumah boneka itu $2.5$ kaki, berapa tinggi titik tertingginya?

Solusi

2.9 kaki

Pengukuran Seorang insinyur kota berencana membangun jembatan pejalan kaki melintasi danau dari titik $X$ ke titik $Y,$ seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Untuk menentukan panjang jembatan, ia menggambar segitiga siku-siku $XYZ,$ dengan sudut siku-siku di $X .$ Ia mengukur jarak dari $X$ ke $Z, 800$ kaki, dan dari $Y$ ke $Z, 1,000$ kaki. Berapa panjang jembatan tersebut?

Sebuah danau ditampilkan. Titik Y berada di satu sisi danau, tepat berseberangan dengan titik X. Titik Z berada di sisi danau yang sama dengan titik X.

Latihan Menulis

Tuliskan tiga sifat segitiga dari bagian ini, lalu jelaskan masing-masing dengan kata-kata Anda sendiri.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Jelaskan bagaimana gambar di bawah ini menunjukkan Teorema Pythagoras untuk segitiga dengan panjang kaki $3$ dan $4 .$

Tiga persegi ditampilkan dan membentuk sebuah segitiga siku-siku di tengah. Setiap persegi dibagi menjadi persegi-persegi yang lebih kecil. Persegi terkecil dibagi menjadi 9 persegi kecil, persegi berukuran sedang menjadi 16 persegi kecil, dan persegi terbesar menjadi 25 persegi kecil.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

ⓑ Apa yang disampaikan daftar periksa ini tentang penguasaan Anda terhadap bagian ini? Langkah apa yang akan Anda lakukan untuk meningkatkannya?

sudut

Sudut dibentuk oleh dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama. Setiap sinar disebut sisi sudut.

sudut penyiku

Jika jumlah besar dua sudut adalah

90°

, kedua sudut tersebut disebut sudut penyiku.

hipotenusa

Sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut 90° disebut hipotenusa.

kaki segitiga siku-siku

Sisi-sisi segitiga siku-siku yang berdekatan dengan sudut siku-siku disebut kaki.

segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut

90°

bangun sebangun

Dalam geometri, jika dua bangun memiliki bentuk yang persis sama tetapi ukurannya berbeda, kedua bangun tersebut disebut sebangun.

sudut pelurus

Jika jumlah besar dua sudut adalah

180°

, kedua sudut tersebut disebut sudut pelurus.

segitiga

Segitiga adalah bangun geometri yang memiliki tiga sisi dan tiga sudut.

titik sudut

Ketika dua sinar bertemu untuk membentuk sudut, titik pangkal yang sama disebut titik sudut.