Prealgebra 2e — Edisi Bahasa Indonesia

Sifat Distributif

Menyederhanakan Bentuk Menggunakan Sifat Distributif

Misalkan tiga teman akan menonton film. Masing-masing memerlukan $9.25; yaitu 9 dolar dan 1 keping uang logam 25 sen. Berapa jumlah uang yang mereka perlukan? Anda dapat menghitung bagian dolar secara terpisah dari bagian keping 25 sen.

Gambar menunjukkan 3 kali 9 sama dengan 27 di atas susunan uang kertas satu dolar dalam 3 kolom yang masing-masing berisi 9 lembar, sehingga totalnya 27 lembar. Gambar menunjukkan 3 kali 25 sen sama dengan 75 sen di atas tiga keping uang logam 25 sen AS.

Mereka memerlukan 3 kali $9, yaitu $27, dan 3 kali 1 keping 25 sen, yaitu 75 sen. Jadi, mereka memerlukan total $27.75.

Ketika menghitung dengan cara ini, Anda menggunakan Sifat Distributif.

Kembali ke tiga teman yang akan menonton film, kita dapat menunjukkan langkah-langkah untuk menentukan jumlah uang yang mereka perlukan sebagai berikut:

3(9.25) 3(9+0.25) 3(9)+3(0.25) 27+0.75 27.75

Dalam aljabar, kita menggunakan Sifat Distributif untuk menghilangkan tanda kurung saat menyederhanakan bentuk. Misalnya, jika kita diminta menyederhanakan bentuk 3(x+4), urutan operasi menyatakan bahwa kita harus mengerjakan bagian dalam tanda kurung terlebih dahulu. Namun, kita tidak dapat menjumlahkan x dan 4, karena keduanya bukan suku sejenis. Oleh karena itu, kita menggunakan Sifat Distributif seperti yang ditunjukkan pada .

Sederhanakan: 3(x+4).

Solusi

Penyelesaian

Menunjukkan penyederhanaan bentuk 3(x + 4) menggunakan sifat distributif.
3(x+4)
Distribusikan. 3·x+3·4
Kalikan. 3x+12

Sebagian siswa merasa terbantu dengan menggambar panah sebagai pengingat cara menggunakan Sifat Distributif. Dengan demikian, langkah pertama pada akan tampak seperti berikut:

Gambar menunjukkan bentuk x + 4 di dalam tanda kurung dengan angka 3 di sebelah kiri tanda kurung. Dua panah berawal dari angka 3: satu menuju x dan satu lagi menuju 4. Gambar menunjukkan bentuk 3 kali x ditambah 3 kali 4.

Sederhanakan: 6(5y+1).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk 6(5y + 1) dengan dua panah biru yang menunjukkan distribusi 6 ke 5y dan 1.
Distribusikan. Bentuk 6 kali 5y ditambah 6 kali 1.
Kalikan. Bentuk 30y + 6.

Sifat distributif juga dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk yang sedikit berbeda dari a(b+c). Berikut dua bentuk lainnya.

Sederhanakan: 2(x−3).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk 2(x − 3) dengan dua panah biru yang menunjukkan distribusi 2 ke x dan 3.
Distribusikan. Bentuk 2 kali x dikurangi 2 kali 3.
Kalikan. Bentuk 2x − 6.

Ingatkah Anda cara mengalikan pecahan dengan bilangan cacah? Kita akan menggunakannya dalam dua contoh berikutnya.

Sederhanakan: 34(n+12).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk tiga per empat kali (n + 12) dengan panah biru muda yang menunjukkan distribusi tiga per empat ke n dan 12.
Distribusikan. Bentuk tiga per empat kali n ditambah tiga per empat kali 12.
Sederhanakan. Bentuk tiga per empat n ditambah 9.

Sederhanakan: 8(38x+14).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk 8(tiga per delapan x + satu per empat) dengan panah yang menunjukkan distribusi 8 ke setiap suku di dalam tanda kurung.
Distribusikan. Bentuk 8 kali tiga per delapan x ditambah 8 kali satu per empat.
Kalikan. Bentuk 3x + 2.

Penggunaan Sifat Distributif seperti yang ditunjukkan pada contoh berikutnya akan sangat membantu ketika nanti kita menyelesaikan soal penerapan yang berkaitan dengan uang.

Sederhanakan: 100(0.3+0.25q).

Solusi

Penyelesaian

Ilustrasi sifat distributif untuk bentuk 100(0.3 + 0.25q); panah menunjukkan bahwa 100 mengalikan 0.3 dan 0.25q.
Distribusikan. Bentuk aljabar 100 · 0.3 + 100 · 0.25q.
Kalikan. Bentuk matematika 30 + 25q.

Pada contoh berikutnya, kita akan mengalikan dengan sebuah variabel. Hal ini akan kita perlukan di bab selanjutnya.

Sederhanakan: m(n−4).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk aljabar m(n − 4) dengan dua panah biru yang menunjukkan bahwa m mengalikan n dan −4.
Distribusikan. Bentuk matematika m · n − m · 4.
Kalikan. Bentuk matematika mn − 4m.

Perhatikan bahwa kita menulis m·4sebagai4m. Hal ini dapat dilakukan karena Sifat Komutatif Perkalian. Jika suatu suku merupakan hasil kali sebuah bilangan dan sebuah variabel, kita menulis bilangannya terlebih dahulu.

Contoh berikutnya akan menggunakan bentuk “terbalik” dari Sifat Distributif, (b+c)a=ba+ca.

Sederhanakan: (x+8)p.

Solusi

Penyelesaian

Bentuk aljabar (x + 8)p dengan panah yang menunjukkan bahwa p mengalikan x dan 8.
Distribusikan. Bentuk matematika px + 8p.

Ketika mendistribusikan bilangan negatif, Anda harus lebih berhati-hati agar tanda-tandanya benar.

Sederhanakan: −2(4y+1).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk aljabar −2(4y + 1) dengan panah biru yang menunjukkan bahwa −2 mengalikan 4y dan 1.
Distribusikan. Bentuk matematika −2 · 4y + (−2) · 1.
Sederhanakan. Bentuk matematika −8y − 2.

Sederhanakan: −11(4−3a).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk matematika −11(4 − 3a).
Distribusikan. Bentuk matematika −11 · 4 − (−11) · 3a.
Kalikan. Bentuk matematika −44 − (−33a).
Sederhanakan. Bentuk matematika −44 + 33a.

Hasilnya juga dapat ditulis sebagai 33a−44. Tahukah Anda mengapa?

Pada contoh berikutnya, kita akan menunjukkan cara menggunakan Sifat Distributif untuk menentukan lawan suatu bentuk. Ingatlah, −a=−1·a.

Sederhanakan: −(y+5).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk matematika −(y + 5), yaitu lawan dari jumlah y dan 5.
Mengalikan dengan −1 menghasilkan lawannya. Bentuk matematika −1(y + 5), yaitu −1 dikalikan dengan jumlah y dan 5.
Distribusikan. Bentuk matematika −1 · y + (−1) · 5.
Sederhanakan. Bentuk matematika −y + (−5), yaitu penjumlahan negatif y dan negatif 5.
Sederhanakan. Bentuk matematika −y − 5.

Terkadang kita perlu menggunakan Sifat Distributif sebagai bagian dari urutan operasi. Mulailah dengan memperhatikan tanda kurung. Jika bentuk di dalam tanda kurung tidak dapat disederhanakan, langkah berikutnya adalah melakukan perkalian dengan sifat distributif sehingga tanda kurung hilang. Dua contoh berikutnya akan mengilustrasikan hal ini.

Sederhanakan: 8−2(x+3).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk matematika 8 − 2(x + 3).
Distribusikan. Bentuk matematika 8 − 2 · x − 2 · 3.
Kalikan. Bentuk matematika 8 − 2x − 6.
Gabungkan suku-suku sejenis. Bentuk matematika −2x + 2.

Sederhanakan: 4(x−8)−(x+3).

Solusi

Penyelesaian

Bentuk matematika 4(x − 8) − (x + 3).
Distribusikan. Bentuk matematika 4x − 32 − x − 3.
Gabungkan suku-suku sejenis. Bentuk matematika 3x − 35.

Menghitung Nilai Bentuk Menggunakan Sifat Distributif

Sebagian siswa perlu diyakinkan bahwa Sifat Distributif selalu berlaku.

Pada contoh-contoh berikut, kita akan berlatih menghitung nilai beberapa bentuk dari contoh sebelumnya; pada bagian ⓐ, kita akan menghitung nilai bentuk yang menggunakan tanda kurung, dan pada bagian ⓑ kita akan menghitung nilai bentuk yang diperoleh setelah menerapkan sifat distributif. Jika nilai kedua bentuk dihitung dengan benar, hasilnya akan menunjukkan bahwa keduanya memang sama.

Ketika y=10, hitung nilai: ⓐ 6(5y+1) ⓑ 6·5y+6·1.

Solusi

Penyelesaian

ⓐ
6(5y+1)
Teks ‘Substitusikan 10 untuk y.’; angka 10 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk matematika 6(5 · 10 + 1), dengan angka 10 berwarna merah.
Sederhanakan bagian dalam tanda kurung. 6(51)
Kalikan. 306
ⓑ
Bentuk yang telah didistribusikan, 6 · 5y + 6 · 1.
Teks ‘Substitusikan 10 untuk y.’; angka 10 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk 6 · 5 · 10 + 6 · 1, dengan angka 10 berwarna merah.
Sederhanakan. Bentuk 300 + 6.
Jumlahkan. Bilangan 306.

Perhatikan bahwa kedua jawabannya sama. Ketika y=10,

6(5y+1)=6·5y+6·1.

Cobalah sendiri dengan memberikan nilai yang berbeda untuk y.

Ketika y=3, hitung nilai ⓐ −2(4y+1)ⓑ −2·4y+(−2)·1.

Solusi

Penyelesaian

ⓐ
−2(4y+1)
Teks ‘Substitusikan 3 untuk y.’; angka 3 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk −2(4 · 3 + 1), dengan angka 3 berwarna merah.
Sederhanakan bagian dalam tanda kurung. −2(13)
Kalikan. −26
ⓑ
−2·4y+(−2)·1
Teks ‘Substitusikan 3 untuk y.’; angka 3 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk −2 · 4 · 3 + (−2) · 1, dengan angka 3 berwarna merah.
Kalikan. −24−2
Kurangkan. −26
Kedua jawabannya sama. Ketika y=3, −2(4y+1)=−8y−2

Ketika y=35, hitung nilai ⓐ −(y+5) dan ⓑ −y−5 untuk menunjukkan bahwa −(y+5)=−y−5.

Solusi

Penyelesaian

ⓐ
−(y+5)
Teks ‘Substitusikan 35 untuk y.’; angka 35 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk −(35 + 5), dengan angka 35 berwarna merah.
Jumlahkan bagian dalam tanda kurung. −(40)
Sederhanakan. −40
ⓑ
−y−5
Teks ‘Substitusikan 35 untuk y.’; angka 35 berwarna merah dan variabel y dicetak miring. Bentuk −35 − 5, dengan −35 berwarna merah.
Sederhanakan. −40
Kedua jawabannya sama ketika y=35, yang menunjukkan bahwa −(y+5)=−y−5

Konsep Utama

  • Sifat Distributif:
    • Jika a,b,c merupakan bilangan real, maka
      • a(b+c)=ab+ac
      • (b+c)a=ba+ca
      • a(b−c)=ab−ac

Latihan Membentuk Kemahiran

Menyederhanakan Bentuk Menggunakan Sifat Distributif

Dalam latihan berikut, sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif.

4(x+8)

3(a+9)

Solusi

3a + 27

8(4y+9)

9(3w+7)

Solusi

27w + 63

6(c−13)

7(y−13)

Solusi

7y − 91

7(3p−8)

5(7u−4)

Solusi

35u − 20

12(n+8)

13(u+9)

Solusi

13u+3

14(3q+12)

15(4m+20)

Solusi

45m+4

9(59y−13)

10(310x−25)

Solusi

3x − 4

12(14+23r)

12(16+34s)

Solusi

2 + 9s

r(s−18)

u(v−10)

Solusi

uv − 10u

(y+4)p

(a+7)x

Solusi

ax + 7x

−2(y+13)

−3(a+11)

Solusi

−3a − 33

−7(4p+1)

−9(9a+4)

Solusi

−81a − 36

−3(x−6)

−4(q−7)

Solusi

−4q + 28

−9(3a−7)

−6(7x−8)

Solusi

−42x + 48

−(r+7)

−(q+11)

Solusi

−q − 11

−(3x−7)

−(5p−4)

Solusi

−5p + 4

5+9(n−6)

12+8(u−1)

Solusi

8u + 4

16−3(y+8)

18−4(x+2)

Solusi

−4x + 10

4−11(3c−2)

9−6(7n−5)

Solusi

−42n + 39

22−(a+3)

8−(r−7)

Solusi

−r + 15

−12−(u+10)

−4−(c−10)

Solusi

−c + 6

(5m−3)−(m+7)

(4y−1)−(y−2)

Solusi

3y + 1

5(2n+9)+12(n−3)

9(5u+8)+2(u−6)

Solusi

47u + 60

9(8x−3)−(−2)

4(6x−1)−(−8)

Solusi

24x + 4

14(c−1)−8(c−6)

11(n−7)−5(n−1)

Solusi

6n − 72

6(7y+8)−(30y−15)

7(3n+9)−(4n−13)

Solusi

17n + 76

Menghitung Nilai Bentuk Menggunakan Sifat Distributif

Dalam latihan berikut, hitung nilai kedua bentuk untuk nilai yang diberikan.

Jika v=−2, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ 6(4v+7)
  2. ⓑ 6·4v+6·7
Jika u=−1, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ 8(5u+12)
  2. ⓑ 8·5u+8·12
Solusi
  1. ⓐ 56
  2. ⓑ 56
Jika n=23, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ 3(n+56)
  2. ⓑ 3·n+3·56
Jika y=34, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ 4(y+38)
  2. ⓑ 4·y+4·38
Solusi
  1. ⓐ 92
  2. ⓑ 92
Jika y=712, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −3(4y+15)
  2. ⓑ −3·4y+(−3)·15
Jika p=2330, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −6(5p+11)
  2. ⓑ −6·5p+(−6)·11
Solusi
  1. ⓐ −89
  2. ⓑ −89
Jika m=0.4, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −10(3m−0.9)
  2. ⓑ −10·3m−(−10)(0.9)
Jika n=0.75, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −100(5n+1.5)
  2. ⓑ −100·5n+(−100)(1.5)
Solusi
  1. ⓐ −525
  2. ⓑ −525
Jika y=−25, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −(y−25)
  2. ⓑ −y+25
Jika w=−80, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −(w−80)
  2. ⓑ −w+80
Solusi
  1. ⓐ 160
  2. ⓑ 160
Jika p=0.19, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −(p+0.72)
  2. ⓑ −p−0.72
Jika q=0.55, hitung nilai kedua bentuk berikut.
  1. ⓐ −(q+0.48)
  2. ⓑ −q−0.48
Solusi
  1. ⓐ −1.03
  2. ⓑ −1.03

Matematika Sehari-hari

Membeli Sedus Joe dapat membeli teh dingin favoritnya di minimarket seharga $1.99 per botol. Di toko bahan makanan, ia dapat membeli satu dus berisi 12 botol seharga $23.88.

  1. ⓐ Gunakan sifat distributif untuk menentukan harga 12 botol jika dibeli satu per satu di minimarket. (Petunjuk: perhatikan bahwa $1.99 sama dengan $2−$0.01.)

  2. ⓑ Apakah lebih hemat membeli teh dingin sedus di toko bahan makanan?

Pembelian Paket Isi Tiga Sampo Adele dijual seharga $3.97 per botol di apotek. Di toko grosir, sampo yang sama dijual dalam paket isi 3 seharga $10.49.

  1. ⓐ Tunjukkan bagaimana Anda dapat menggunakan sifat distributif untuk menentukan harga 3 botol jika dibeli satu per satu di apotek.

  2. ⓑ Berapa banyak yang dapat dihemat Adele dengan membeli paket isi 3 di toko grosir?

Solusi
  1. ⓐ 3(4 − 0.03) = 11.91
  2. ⓑ $1.42

Latihan Menulis

Sederhanakan 8(x−14) menggunakan sifat distributif dan jelaskan setiap langkah.

Jelaskan bagaimana Anda dapat mengalikan 4($5.97) tanpa kertas atau kalkulator dengan menuliskan $5.97 sebagai 6−0.03, lalu menggunakan sifat distributif.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan pembelajaran pada bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan dua tujuan: menyederhanakan bentuk menggunakan sifat distributif; serta menghitung nilai bentuk menggunakan sifat distributif. Setiap tujuan dinilai dengan salah satu dari tiga kategori: Dengan percaya diri, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Apa yang ditunjukkan daftar periksa ini tentang penguasaan Anda terhadap bagian ini? Langkah apa yang akan Anda ambil untuk meningkatkan penguasaan Anda?