Bilangan Rasional dan Irasional

Mengidentifikasi Bilangan Rasional dan Irasional

Selamat! Anda telah menyelesaikan enam bab pertama buku ini! Sekarang saatnya meninjau apa yang telah Anda pelajari sejauh ini dan memikirkan materi berikutnya. Anda telah belajar menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi bilangan cacah, pecahan, bilangan bulat, dan desimal. Anda telah mengenal bahasa dan simbol aljabar serta menyederhanakan dan menghitung nilai bentuk aljabar. Anda juga telah menyelesaikan berbagai jenis soal penerapan. Dengan demikian, Anda telah membangun dasar yang kokoh untuk berhasil dalam aljabar.

Dalam bab ini, kita akan memantapkan keterampilan tersebut. Kita akan meninjau kembali jenis-jenis bilangan yang telah digunakan dalam bab-bab sebelumnya. Kita akan mempelajari sifat-sifat bilangan yang membantu meningkatkan pemahaman bilangan, lalu berlatih menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan dan melakukan prosedur aljabar lainnya.

Kita telah mendeskripsikan bilangan sebagai bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat. Apakah Anda masih ingat perbedaan ketiganya?

bilangan asli	$1, 2, 3, 4…$
bilangan cacah	$0, 1, 2, 3, 4…$
bilangan bulat	$… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…$

Bilangan Rasional

Jenis bilangan apa yang diperoleh jika kita mulai dengan semua bilangan bulat, lalu menyertakan semua pecahan? Bilangan-bilangan tersebut membentuk himpunan bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat.

Semua pecahan, baik positif maupun negatif, merupakan bilangan rasional. Beberapa contohnya adalah

\frac{4}{5}, - \frac{7}{8}, \frac{13}{4}, dan - \frac{20}{3}

Setiap pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.

Kita perlu meninjau semua bilangan yang telah digunakan sejauh ini dan memastikan bahwa bilangan-bilangan tersebut rasional. Definisi bilangan rasional menunjukkan bahwa semua pecahan bersifat rasional. Sekarang kita akan meninjau bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, dan desimal untuk memastikan bahwa semuanya rasional.

Apakah bilangan bulat merupakan bilangan rasional? Untuk menentukannya, kita mencoba menuliskan sebuah bilangan bulat sebagai rasio dua bilangan bulat. Cara mudahnya adalah menuliskannya sebagai pecahan berpenyebut satu.

3 = \frac{3}{1} −8 = \frac{−8}{1} 0 = \frac{0}{1}

Karena setiap bilangan bulat dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat, semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Ingat bahwa semua bilangan asli dan bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat sehingga semuanya juga rasional.

Bagaimana dengan desimal? Apakah desimal bersifat rasional? Mari kita lihat beberapa contoh untuk menentukan apakah masing-masing dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat. Kita telah melihat bahwa bilangan bulat bersifat rasional. Bilangan bulat $−8$ dapat dituliskan sebagai desimal $−8.0 .$ Jadi, jelas bahwa beberapa desimal bersifat rasional.

Perhatikan desimal $7.3 .$ Dapatkah kita menuliskannya sebagai rasio dua bilangan bulat? Karena $7.3$ berarti $7 \frac{3}{10},$ kita dapat menuliskannya sebagai pecahan tidak wajar, yaitu $\frac{73}{10} .$ Jadi, $7.3$ adalah rasio bilangan bulat $73$ dan $10 .$ Dengan demikian, bilangan tersebut rasional.

Secara umum, setiap desimal berhingga, yaitu desimal yang berhenti setelah sejumlah digit (seperti $7.3$ atau $−1.2684)$ , merupakan bilangan rasional. Cukup tuliskan desimal tersebut sebagai pecahan campuran.

Tuliskan masing-masing sebagai rasio dua bilangan bulat: ⓐ $−15$ ⓑ $6.81$ ⓒ $−3 \frac{6}{7} .$

Solusi

Penyelesaian

Tabel ini menunjukkan cara menuliskan bilangan bulat sebagai pecahan berpenyebut 1.
ⓐ
	$−15$
Tuliskan bilangan bulat sebagai pecahan berpenyebut 1.	$\frac{−15}{1}$

Tabel ini menunjukkan cara mengubah bilangan desimal menjadi pecahan campuran, lalu menjadi pecahan tidak wajar.
ⓑ
	$6.81$
Tuliskan desimal sebagai pecahan campuran.	$6 \frac{81}{100}$
Kemudian ubah menjadi pecahan tidak wajar.	$\frac{681}{100}$

Tabel ini menunjukkan cara mengubah pecahan campuran −3 6/7 menjadi pecahan tidak wajar yang setara, yaitu −27/7.
ⓒ
	$−3 \frac{6}{7}$
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak wajar.	$- \frac{27}{7}$

Mari kita lihat bentuk desimal dari bilangan-bilangan yang kita ketahui bersifat rasional. Kita telah melihat bahwa setiap bilangan bulat merupakan bilangan rasional, karena $a = \frac{a}{1}$ untuk setiap bilangan bulat $a .$ Kita juga dapat mengubah setiap bilangan bulat menjadi desimal dengan menambahkan tanda desimal dan nol.

$\begin{matrix} Bilangan bulat & −2, −1, 0, 1, 2, 3 \\ Desimal & −2.0, −1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 Desimal ini berhingga. \end{matrix}$

Kita juga telah melihat bahwa setiap pecahan merupakan bilangan rasional. Perhatikan bentuk desimal dari pecahan-pecahan yang baru saja dibahas.

$\begin{matrix} Rasio bilangan bulat & \frac{4}{5}, & - \frac{7}{8}, & \frac{13}{4}, & - \frac{20}{3} \\ Bentuk desimal & 0.8, & −0.875, & 3.25, & −6.666… & Desimal ini berhingga atau berulang. \\ −6 . \bar{66} \end{matrix}$

Apa yang ditunjukkan oleh contoh-contoh ini? Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai rasio bilangan bulat dan sebagai desimal berhingga atau berulang. Tabel berikut menyajikan bilangan-bilangan yang telah kita bahas dalam bentuk rasio bilangan bulat dan desimal.

Bilangan Rasional
	Pecahan	Bilangan Bulat
Bilangan	$\frac{4}{5}, - \frac{7}{8}, \frac{13}{4}, \frac{−20}{3}$	$−2, −1, 0, 1, 2, 3$
Rasio Bilangan Bulat	$\frac{4}{5}, \frac{−7}{8}, \frac{13}{4}, \frac{−20}{3}$	$\frac{−2}{1}, \frac{−1}{1}, \frac{0}{1}, \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}$
Bilangan desimal	$0.8, −0.875, 3.25, −6 . \bar{6}$	$−2.0, −1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$

Bilangan Irasional

Adakah bilangan desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang? Ada. Bilangan $π$ (huruf Yunani pi, dibaca “pi”), yang sangat penting untuk mendeskripsikan lingkaran, memiliki bentuk desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang.

π = 3.141592653589793…

Demikian pula, representasi desimal dari akar kuadrat bilangan cacah yang bukan kuadrat sempurna tidak pernah berakhir dan tidak pernah berulang. Sebagai contoh,

\sqrt{5} = 2.236067977499789…

Desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Kita menyebut jenis bilangan ini sebagai bilangan irasional.

Mari kita rangkum metode yang dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu bilangan rasional atau irasional.

Jika bentuk desimal suatu bilangan

berhingga atau berulang, bilangan tersebut rasional.
tidak berakhir dan tidak berulang, bilangan tersebut irasional.

Tentukan apakah setiap bilangan berikut rasional atau irasional. Untuk bilangan yang ditulis dengan elipsis tanpa garis pengulangan, elipsis di sini menyatakan bahwa perluasan desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang.

ⓐ $0.58 \bar{3}$
ⓑ $0.475$
ⓒ $3.605551275…$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ $0.58 \bar{3}$
Garis di atas digit $3$ menunjukkan bahwa digit tersebut berulang tanpa akhir. Oleh karena itu, $0.58 \bar{3}$ adalah desimal berulang sehingga merupakan bilangan rasional.

ⓑ $0.475$
Desimal ini merupakan desimal berhingga karena berakhir setelah digit $5$ , sehingga merupakan bilangan rasional.

ⓒ $3.605551275…$
Dalam soal ini, elipsis $(…)$ menyatakan bahwa perluasan desimal tersebut tidak berakhir dan tidak berulang. Oleh karena itu, bilangan tersebut irasional.

Sekarang mari kita pikirkan akar kuadrat. Akar kuadrat dari kuadrat sempurna selalu merupakan bilangan cacah, sehingga merupakan bilangan rasional. Namun, bentuk desimal dari akar kuadrat bilangan yang bukan kuadrat sempurna tidak pernah berakhir dan tidak pernah berulang, sehingga akar kuadrat tersebut irasional.

Tentukan apakah setiap bilangan berikut rasional atau irasional:

ⓐ $\sqrt{36}$
ⓑ $\sqrt{44}$

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Bilangan $36$ merupakan kuadrat sempurna karena $6^{2} = 36 .$ Jadi, $\sqrt{36} = 6 .$ Oleh karena itu, $\sqrt{36}$ merupakan bilangan rasional.

ⓑ Ingat bahwa $6^{2} = 36$ dan $7^{2} = 49,$ sehingga $44$ bukan kuadrat sempurna.

Artinya, $\sqrt{44}$ merupakan bilangan irasional.

Mengklasifikasikan Bilangan Real

Kita telah melihat bahwa semua bilangan asli merupakan bilangan cacah, semua bilangan cacah merupakan bilangan bulat, dan semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Bilangan irasional merupakan kategori tersendiri. Ketika kita menggabungkan bilangan rasional dan bilangan irasional, kita memperoleh himpunan bilangan real.

mengilustrasikan hubungan di antara himpunan-himpunan bilangan tersebut.

Gambar menunjukkan sebuah persegi panjang besar berlabel “Bilangan Real”. Persegi panjang tersebut dibagi dua secara vertikal. Bagian kanan berlabel “Bilangan Irasional”. Bagian kiri berlabel “Bilangan Rasional” dan memuat tiga persegi panjang bersarang. Persegi panjang terluar berlabel “Bilangan Bulat”, persegi panjang berikutnya berlabel “Bilangan Cacah”, dan persegi panjang terdalam berlabel “Bilangan Asli”. — Diagram ini mengilustrasikan hubungan di antara berbagai jenis bilangan real.

Apakah istilah “bilangan real” terdengar aneh bagi Anda? Adakah bilangan yang tidak “real” dan, jika ada, bilangan apakah itu? Selama berabad-abad, bilangan yang dikenal manusia hanyalah bilangan yang sekarang kita sebut bilangan real. Kemudian, matematikawan menemukan himpunan bilangan imajiner. Anda tidak akan menjumpai bilangan imajiner dalam mata kuliah ini, tetapi akan mempelajarinya kelak dalam studi aljabar.

Tentukan apakah setiap bilangan dalam daftar berikut merupakan ⓐ bilangan cacah, ⓑ bilangan bulat, ⓒ bilangan rasional, ⓓ bilangan irasional, dan ⓔ bilangan real.

−7, \frac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, - \sqrt{64}

Solusi

Penyelesaian

ⓐ Bilangan cacah adalah $0, 1, 2, 3,…$ Bilangan $8$ adalah satu-satunya bilangan cacah yang diberikan.

ⓑ Bilangan bulat terdiri atas bilangan cacah, lawan dari bilangan cacah, dan $0 .$ Dari bilangan-bilangan yang diberikan, $−7$ dan $8$ merupakan bilangan bulat. Perhatikan juga bahwa $64$ adalah kuadrat dari $8$ , sehingga $- \sqrt{64} = −8 .$ Jadi, bilangan bulatnya adalah $−7, 8, - \sqrt{64} .$

ⓒ Karena semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional, bilangan $−7, 8, dan - \sqrt{64}$ juga merupakan bilangan rasional. Bilangan rasional juga mencakup pecahan serta desimal yang berhenti atau berulang, sehingga $\frac{14}{5} dan 5.9$ merupakan bilangan rasional.

ⓓ Bilangan $5$ bukan kuadrat sempurna, sehingga $\sqrt{5}$ merupakan bilangan irasional.

ⓔ Semua bilangan dalam daftar tersebut merupakan bilangan real.

Kita akan merangkum hasilnya dalam sebuah tabel.

Bilangan	Cacah	Bulat	Rasional	Irasional	Real
$−7$		$✓$	$✓$		$✓$
$\frac{14}{5}$			$✓$		$✓$
$8$	$✓$	$✓$	$✓$		$✓$
$\sqrt{5}$				$✓$	$✓$
$5.9$			$✓$		$✓$
$- \sqrt{64}$		$✓$	$✓$		$✓$

Konsep Utama

Bilangan Real

Latihan Membentuk Kemahiran

Bilangan Rasional

Dalam latihan berikut, tuliskan setiap bilangan sebagai rasio dua bilangan bulat.

ⓐ $5$
ⓑ $3.19$

Solusi

ⓐ $\frac{5}{1}$
ⓑ $\frac{319}{100}$

ⓐ $8$
ⓑ $−1.61$

ⓐ $−12$
ⓑ $9.279$

Solusi

ⓐ $\frac{−12}{1}$
ⓑ $\frac{9279}{1000}$

ⓐ $−16$
ⓑ $4.399$

Dalam latihan berikut, tentukan mana di antara bilangan-bilangan yang diberikan yang rasional dan mana yang irasional.

$0.75$ , $0.22 \bar{3}$ , $1.39174…$ (kelanjutannya tidak berhenti dan tidak berulang)

Solusi

Rasional: $0.75, 0.22 \bar{3}$ . Irasional: $1.39174…$ , dengan kelanjutan yang tidak berhenti dan tidak berulang.

$0.36$ , $0.94729…$ (kelanjutannya tidak berhenti dan tidak berulang), $2.52 \bar{8}$

$0 . \bar{45}$ , $1.919293…$ (kelanjutannya tidak berhenti dan tidak berulang), $3.59$

Solusi

Rasional: $0 . \bar{45}$ , $3.59$ . Irasional: $1.919293…$ , dengan kelanjutan yang tidak berhenti dan tidak berulang.

$0.1 \bar{3}, 0.42982…$ (kelanjutan 0.42982… tidak berhenti dan tidak berulang), $1.875$

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap bilangan merupakan bilangan rasional atau irasional.

ⓐ $\sqrt{25}$
ⓑ $\sqrt{30}$

Solusi

ⓐ rasional
ⓑ irasional

ⓐ $\sqrt{44}$
ⓑ $\sqrt{49}$

ⓐ $\sqrt{164}$
ⓑ $\sqrt{169}$

Solusi

ⓐ irasional
ⓑ rasional

ⓐ $\sqrt{225}$
ⓑ $\sqrt{216}$

Mengklasifikasikan Bilangan Real

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap bilangan termasuk bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan real.

$−8$ , $0, 1.95286....$ (kelanjutan desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang), $\frac{12}{5}$ , $\sqrt{36}$ , $9$

Solusi

$−9$ , $−3 \frac{4}{9}$ , $- \sqrt{9}$ , $0.4 \bar{09}$ , $\frac{11}{6}$ , $7$

$- \sqrt{100}$ , $−7$ , $- \frac{8}{3}$ , $−1$ , $0.77$ , $3 \frac{1}{4}$

Solusi

Tabel memiliki tujuh baris dan enam kolom: Bilangan, Cacah, Bulat, Rasional, Irasional, dan Real. Tanda centang menunjukkan klasifikasi setiap bilangan. Negatif akar kuadrat dari 100, negatif 7, dan negatif 1 masing-masing termasuk Bulat, Rasional, dan Real. Negatif delapan per tiga, 0.77, dan tiga satu per empat masing-masing termasuk Rasional dan Real.

Matematika Sehari-hari

Karyawisata Semua siswa kelas $5$ di Sekolah Dasar Lincoln akan mengikuti karyawisata ke museum sains. Jika semua anak, guru, dan pendamping dihitung, jumlahnya adalah $147$ orang. Setiap bus dapat menampung $44$ orang.

ⓐ Berapa bus yang diperlukan?

ⓑ Mengapa jawabannya harus berupa bilangan cacah?

Penitipan anak Serena ingin membuka pusat penitipan anak berizin. Negara bagiannya menetapkan bahwa setiap guru boleh mendampingi paling banyak $12$ anak. Ia ingin pusat penitipan anaknya melayani $40$ anak.

ⓐ Berapa guru yang diperlukan?
ⓑ Mengapa jawabannya harus berupa bilangan cacah?

Solusi

ⓐ 4
ⓑ Guru tidak dapat dibagi menjadi bagian-bagian

Latihan Menulis

Dengan kata-kata Anda sendiri, jelaskan perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irasional.

Jelaskan hubungan antara himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan real.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi.

Pemeriksaan Diri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan-tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri dengan dua tujuan: mengidentifikasi bilangan rasional dan irasional, serta mengklasifikasikan berbagai jenis bilangan real. Setiap tujuan dinilai dengan salah satu dari tiga pilihan: Dengan percaya diri, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum paham!

ⓑ Jika sebagian besar tanda centang Anda berada pada kategori:

…Dengan percaya diri. Selamat! Anda telah mencapai tujuan-tujuan bagian ini. Renungkan keterampilan belajar yang Anda gunakan agar Anda dapat terus menerapkannya. Apa yang Anda lakukan hingga yakin akan kemampuan Anda mengerjakan hal-hal ini? Jelaskan secara spesifik.

…Dengan sedikit bantuan. Hal ini harus segera ditangani karena topik yang tidak Anda kuasai akan menjadi lubang di jalan menuju keberhasilan. Dalam matematika, setiap topik dibangun di atas materi sebelumnya. Pastikan Anda memiliki dasar yang kuat sebelum melanjutkan. Kepada siapa Anda dapat meminta bantuan? Teman sekelas dan pengajar Anda merupakan sumber bantuan yang baik. Apakah ada tempat di kampus yang menyediakan tutor matematika? Dapatkah keterampilan belajar Anda ditingkatkan?

…Tidak—saya belum paham! Ini merupakan tanda peringatan dan tidak boleh Anda abaikan. Segeralah mencari bantuan agar Anda tidak cepat kewalahan. Temui pengajar Anda sesegera mungkin untuk membahas keadaan Anda. Bersama-sama, Anda dapat menyusun rencana agar memperoleh bantuan yang diperlukan.

bilangan irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat. Bentuk desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang.

bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk

\frac{p}{q}

, dengan p dan q bilangan bulat serta

q \neq 0

. Bentuk desimalnya berhenti atau berulang.

bilangan real

Bilangan real adalah bilangan rasional atau bilangan irasional.