Faktorisasi Prima dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Menentukan Faktorisasi Prima dari Bilangan Komposit

Pada bagian sebelumnya, kita menentukan faktor-faktor suatu bilangan. Bilangan prima hanya memiliki dua faktor, yaitu bilangan $1$ dan bilangan prima itu sendiri. Bilangan komposit memiliki lebih dari dua faktor, dan setiap bilangan komposit dapat ditulis secara unik—selain urutan faktor—sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Bentuk ini disebut faktorisasi prima suatu bilangan. Ketika menuliskan faktorisasi prima suatu bilangan, kita menulis ulang bilangan tersebut sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan komposit akan berguna pada bagian-bagian selanjutnya dalam mata kuliah ini.

Saat mengerjakan bagian ini, Anda dapat merujuk pada daftar bilangan prima yang kurang dari $50$ berikut.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Faktorisasi Prima dengan Metode Pohon Faktor

Salah satu cara menentukan faktorisasi prima suatu bilangan adalah membuat pohon faktor. Kita mulai dengan menuliskan bilangan tersebut, lalu menuliskannya sebagai hasil kali dua faktor. Kita menuliskan kedua faktor di bawah bilangan itu dan menghubungkannya dengan ruas garis pendek—sebuah “cabang” pohon faktor.

Jika suatu faktor merupakan bilangan prima, kita melingkarinya (seperti kuncup pada pohon) dan tidak lagi memfaktorkan “cabang” tersebut. Jika suatu faktor bukan bilangan prima, kita mengulangi proses ini: menuliskannya sebagai hasil kali dua faktor dan menambahkan cabang-cabang baru pada pohon.

Kita lanjutkan hingga semua cabang berakhir pada bilangan prima. Setelah pohon faktor selesai, bilangan-bilangan prima yang dilingkari memberikan faktorisasi primanya.

Sebagai contoh, mari tentukan faktorisasi prima dari $36 .$ Kita dapat memulai dengan pasangan faktor apa pun, misalnya $3$ dan $12 .$ Kita tuliskan $3$ dan $12$ di bawah $36$ , lalu menghubungkannya dengan cabang.

Gambar menunjukkan pohon faktor dengan bilangan 36 di bagian atas. Dua cabang membelah dari bawah 36. Cabang kanan berakhir pada bilangan 3. Cabang kiri berakhir pada bilangan 12.

Faktor $3$ merupakan bilangan prima, jadi kita melingkarinya. Faktor $12$ merupakan bilangan komposit, jadi kita perlu menentukan faktor-faktornya. Mari gunakan $3$ dan $4 .$ Kita tuliskan kedua faktor ini pada pohon di bawah $12 .$

Gambar menunjukkan pohon faktor dengan bilangan 36 di bagian atas. Dua cabang membelah dari bawah 36. Cabang kanan berakhir pada bilangan 3 yang dilingkari, sedangkan cabang kiri berakhir pada bilangan 12. Dua cabang lagi membelah dari bawah 12. Cabang kanan berakhir pada bilangan 4 dan cabang kiri berakhir pada bilangan 3.

Faktor $3$ merupakan bilangan prima, jadi kita melingkarinya. Faktor $4$ merupakan bilangan komposit dan dapat difaktorkan menjadi $2 \cdot 2 .$ Kita tuliskan kedua faktor ini di bawah $4 .$ Karena $2$ merupakan bilangan prima, kita melingkari kedua bilangan $2 .$

Faktorisasi primanya adalah hasil kali bilangan-bilangan prima yang dilingkari. Biasanya, kita menuliskan faktorisasi prima dari yang terkecil hingga terbesar.

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Dalam kasus seperti ini, ketika beberapa faktor prima berulang, kita dapat menuliskan faktorisasi prima dalam bentuk eksponen.

\begin{matrix} 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 2^{2} \cdot 3^{2} \end{matrix}

Perhatikan bahwa kita dapat memulai pohon faktor dengan pasangan faktor apa pun dari $36 .$ Kita memilih $12$ dan $3,$ tetapi hasilnya akan tetap sama jika kita memulai dengan $2$ dan $18, 4$ dan $9, atau 6 dan 6 .$

Tentukan faktorisasi prima dari $48$ dengan metode pohon faktor.

Solusi

Penyelesaian

Kita dapat memulai pohon dengan pasangan faktor apa pun dari 48. Mari gunakan 2 dan 24. Kita melingkari 2 karena merupakan bilangan prima; cabang itu pun selesai.
Sekarang kita akan memfaktorkan 24. Mari gunakan 4 dan 6.
Kedua faktor bukan bilangan prima, jadi kita tidak melingkari keduanya. Kita faktorkan 4 menjadi 2 dan 2. Kita faktorkan 6 menjadi 2 dan 3. Kita melingkari bilangan-bilangan 2 dan bilangan 3 karena semuanya prima. Sekarang semua cabang berakhir pada bilangan prima.
Tuliskan hasil kali bilangan-bilangan yang dilingkari.	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
Tuliskan dalam bentuk eksponen.	$2^{4} \cdot 3$

Periksa sendiri dengan mengalikan semua faktornya. Hasilnya seharusnya $48 .$

Tentukan faktorisasi prima dari 84 dengan metode pohon faktor.

Solusi

Penyelesaian

Kita mulai dengan pasangan faktor 4 dan 21.

Keduanya bukan bilangan prima, jadi kita faktorkan lebih lanjut.

Pohon faktor menunjukkan bilangan 84 bercabang menjadi faktor 4 dan 21.

Sekarang semua faktornya merupakan bilangan prima, jadi kita melingkarinya.

Pohon faktorisasi prima menunjukkan bahwa 84 terurai menjadi faktor-faktor prima 2, 2, 3, dan 7.

Kemudian kita tuliskan 84 sebagai hasil kali semua bilangan prima yang dilingkari.

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Gambarlah pohon faktor dari $84 .$

Faktorisasi Prima dengan Metode Tangga

Metode tangga adalah cara lain untuk menentukan faktor-faktor prima dari bilangan komposit. Metode ini memberikan hasil yang sama dengan metode pohon faktor. Sebagian orang lebih menyukai metode tangga, sedangkan sebagian lainnya lebih menyukai metode pohon faktor.

Untuk mulai membangun “tangga”, bagilah bilangan yang diberikan dengan faktor prima terkecilnya. Sebagai contoh, untuk memulai tangga bagi $36,$ kita membagi $36$ dengan $2,$ yaitu faktor prima terkecil dari $36 .$

Gambar menunjukkan 36 dibagi 2 dengan hasil bagi 18. Pembagian ditulis memakai tanda pembagian panjang: 2 berada di sebelah kiri, 36 di dalam tanda, dan 18 di atas 36.

Untuk menambahkan satu “anak tangga”, kita terus membagi dengan bilangan prima yang sama hingga pembagiannya tidak lagi menghasilkan bilangan bulat.

Gambar menunjukkan pembagian bertingkat: 36 dibagi 2 menghasilkan 18, lalu 18 dibagi 2 menghasilkan 9. Setiap pembagian ditulis dengan tanda pembagian panjang.

Kemudian kita membagi dengan bilangan prima berikutnya; jadi kita membagi $9$ dengan $3 .$

Gambar menunjukkan pembagian bertingkat: 36 dibagi 2 menghasilkan 18, 18 dibagi 2 menghasilkan 9, lalu 9 dibagi 3 menghasilkan 3. Setiap pembagian ditulis dengan tanda pembagian panjang.

Kita terus membagi ke atas tangga dengan cara ini hingga hasil baginya merupakan bilangan prima. Karena hasil baginya, $3,$ merupakan bilangan prima, kita berhenti di sini.

Dapatkah Anda melihat mengapa metode tangga terkadang disebut pembagian bertingkat?

Faktorisasi primanya adalah hasil kali semua bilangan prima di sisi dan puncak tangga.

\begin{matrix} 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 2^{2} \cdot 3^{2} \end{matrix}

Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan yang kita peroleh melalui metode pohon faktor.

Tentukan faktorisasi prima dari $120$ dengan metode tangga.

Solusi

Penyelesaian

Bagilah bilangan tersebut dengan bilangan prima terkecil, yaitu 2.
Teruslah membagi dengan 2 hingga pembagiannya tidak lagi menghasilkan bilangan bulat.
Bagilah dengan bilangan prima berikutnya, yaitu 3.
Hasil bagi 5 merupakan bilangan prima, jadi tangganya selesai. Tuliskan faktorisasi prima dari 120.	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ $2^{3} \cdot 3 \cdot 5$

Periksa sendiri dengan mengalikan faktor-faktornya. Hasilnya seharusnya $120 .$

Tentukan faktorisasi prima dari $48$ dengan metode tangga.

Solusi

Penyelesaian

Bagilah bilangan tersebut dengan bilangan prima terkecil, yaitu 2.
Teruslah membagi dengan 2 hingga pembagiannya tidak lagi menghasilkan bilangan bulat.
Hasil bagi 3 merupakan bilangan prima, jadi tangganya selesai. Tuliskan faktorisasi prima dari 48.	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ $2^{4} \cdot 3$

Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Salah satu alasan kita mempelajari kelipatan dan bilangan prima adalah untuk menggunakan teknik-teknik ini dalam menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan. Hal ini akan berguna saat kita menjumlahkan dan mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda.

Metode Mendaftar Kelipatan

Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan yang merupakan kelipatan dari kedua bilangan tersebut. Misalkan kita ingin menentukan kelipatan persekutuan dari $10$ dan $25 .$ Kita dapat mendaftar beberapa kelipatan pertama dari setiap bilangan. Kemudian kita mencari kelipatan yang terdapat pada kedua daftar—itulah kelipatan persekutuannya.

\begin{matrix} 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, … \\ 25 : 25, 50, 75, 100, 125, … \end{matrix}

Kita melihat bahwa $50$ dan $100$ terdapat pada kedua daftar. Keduanya merupakan kelipatan persekutuan dari $10$ dan $25 .$ Jika kita melanjutkan daftar kelipatan setiap bilangan, kita akan menemukan lebih banyak kelipatan persekutuan.

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari dua bilangan disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Jadi, KPK dari $10$ dan $25$ adalah $50 .$

Tentukan KPK dari $15$ dan $20$ dengan mendaftar kelipatannya.

Solusi

Penyelesaian

Daftarkan beberapa kelipatan pertama dari $15$ dan $20 .$ Tentukan kelipatan persekutuan yang pertama.

$\begin{array}{l} 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 \\ 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 \end{array}$

Bilangan terkecil yang terdapat pada kedua daftar adalah $60,$ jadi $60$ merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari $15$ dan $20 .$

Perhatikan bahwa $120$ juga terdapat pada kedua daftar. Bilangan ini merupakan kelipatan persekutuan, tetapi bukan kelipatan persekutuan terkecil.

Metode Faktor Prima

Cara lain menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah menggunakan faktor-faktor primanya. Kita akan menggunakan metode ini untuk menentukan KPK dari $12$ dan $18 .$

Kita mulai dengan menentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan.

12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3

Kemudian kita tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, dengan menyejajarkan bilangan prima yang sama secara vertikal jika memungkinkan.

\begin{array}{l} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{array}

Sekarang kita turunkan bilangan-bilangan prima pada setiap kolom. KPK adalah hasil kali faktor-faktor ini.

Gambar menyusun faktorisasi prima 12, yaitu 2 kali 2 kali 3, di atas faktorisasi prima 18, yaitu 2 kali 3 kali 3. Faktor-faktor prima yang sama disejajarkan secara vertikal. Panah menurunkan setiap kolom ke hasil KPK sama dengan 2 kali 2 kali 3 kali 3.

Perhatikan bahwa faktor-faktor prima dari $12$ dan faktor-faktor prima dari $18$ semuanya tercakup dalam KPK. Dengan menyejajarkan faktor-faktor prima yang sama, setiap faktor prima persekutuan hanya digunakan sekali. Hal ini memastikan bahwa $36$ merupakan kelipatan persekutuan terkecil.

Tentukan KPK dari $15$ dan $18$ dengan metode faktor prima.

Solusi

Penyelesaian

Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, dengan menyejajarkan bilangan prima yang sama secara vertikal jika memungkinkan.
Turunkan bilangan-bilangan prima pada setiap kolom.
Kalikan faktor-faktornya untuk memperoleh KPK.	$KPK = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ KPK dari 15 dan 18 adalah 90.

Tentukan KPK dari $50$ dan $100$ dengan metode faktor prima.

Solusi

Penyelesaian

Tuliskan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, dengan menyejajarkan bilangan prima yang sama secara vertikal jika memungkinkan.
Turunkan bilangan-bilangan prima pada setiap kolom.
Kalikan faktor-faktornya untuk memperoleh KPK.	$KPK = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ KPK dari 50 dan 100 adalah 100.

Konsep Utama

Menentukan faktorisasi prima dari bilangan komposit dengan metode pohon faktor.
1. Tentukan sembarang pasangan faktor dari bilangan yang diberikan, lalu gunakan kedua bilangan itu untuk membuat dua cabang.
2. Jika suatu faktor merupakan bilangan prima, cabang tersebut selesai. Lingkari bilangan prima itu.
3. Jika suatu faktor bukan bilangan prima, tuliskan faktor tersebut sebagai hasil kali sepasang faktor dan lanjutkan prosesnya.
4. Tuliskan bilangan komposit sebagai hasil kali semua bilangan prima yang dilingkari.
Menentukan faktorisasi prima dari bilangan komposit dengan metode tangga.
1. Bagilah bilangan tersebut dengan bilangan prima terkecil.
2. Teruslah membagi dengan bilangan prima itu hingga pembagiannya tidak lagi menghasilkan bilangan bulat.
3. Bagilah dengan bilangan prima berikutnya hingga pembagiannya tidak lagi menghasilkan bilangan bulat.
4. Lanjutkan hingga hasil baginya merupakan bilangan prima.
5. Tuliskan bilangan komposit sebagai hasil kali semua bilangan prima di sisi dan puncak tangga.
Menentukan KPK dengan mendaftar kelipatan.
1. Daftarkan beberapa kelipatan pertama dari setiap bilangan.
2. Carilah kelipatan yang terdapat pada kedua daftar. Jika belum ada kelipatan persekutuan, tambahkan kelipatan lain pada setiap daftar.
3. Carilah bilangan terkecil yang terdapat pada kedua daftar.
4. Bilangan ini adalah KPK.
Menentukan KPK dengan metode faktor prima.
1. Tentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
2. Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, dengan menyejajarkan bilangan prima yang sama secara vertikal jika memungkinkan.
3. Turunkan bilangan-bilangan prima pada setiap kolom.
4. Kalikan faktor-faktornya untuk memperoleh KPK.

Latihan Bagian

Latihan Menuju Mahir

Menentukan Faktorisasi Prima dari Bilangan Komposit

Dalam latihan berikut, tentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan dengan metode pohon faktor.

$86$

Solusi

2 ⋅ 43

$78$

$132$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11

$455$

$693$

Solusi

3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11

$420$

$115$

Solusi

5 ⋅ 23

$225$

$2475$

Solusi

3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11

1560

Dalam latihan berikut, tentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan dengan metode tangga.

$56$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7

$72$

$168$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

$252$

$391$

Solusi

17 ⋅ 23

$400$

$432$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

$627$

$2160$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

$2520$

Dalam latihan berikut, tentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan dengan metode apa pun.

$150$

Solusi

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5

$180$

$525$

Solusi

3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7

$444$

$36$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

$50$

$350$

Solusi

2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7

$144$

Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Dalam latihan berikut, tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dengan mendaftar kelipatannya.

$8, 12$

Solusi

24

$4, 3$

$6, 15$

Solusi

30

$12, 16$

$30, 40$

Solusi

120

$20, 30$

$60, 75$

Solusi

300

$44, 55$

Dalam latihan berikut, tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dengan metode faktor prima.

$8, 12$

Solusi

24

$12, 16$

$24, 30$

Solusi

120

$28, 40$

$70, 84$

Solusi

420

$84, 90$

Dalam latihan berikut, tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dengan metode apa pun.

$6, 21$

Solusi

42

$9, 15$

$24, 30$

Solusi

120

$32, 40$

Matematika Sehari-hari

Berbelanja bahan makanan Sosis hot dog dijual dalam kemasan berisi sepuluh, sedangkan roti hot dog dijual dalam kemasan berisi delapan. Berapa jumlah terkecil sosis dan roti hot dog yang dapat dibeli agar jumlah keduanya sama? (Petunjuk: jawabannya adalah KPK!)

Solusi

40

Berbelanja bahan makanan Piring kertas dijual dalam kemasan berisi $12$ , sedangkan gelas pesta dijual dalam kemasan berisi $8 .$ Berapa jumlah terkecil piring dan gelas yang dapat dibeli agar jumlah keduanya sama? (Petunjuk: jawabannya adalah KPK!)

Latihan Menulis

Apakah Anda lebih suka menentukan faktorisasi prima dari bilangan komposit dengan metode pohon faktor atau metode tangga? Mengapa?

Apakah Anda lebih suka menentukan KPK dengan mendaftar kelipatan atau menggunakan metode faktor prima? Mengapa?

Pemeriksaan Mandiri

ⓐ Setelah menyelesaikan latihan, gunakan daftar periksa ini untuk menilai penguasaan Anda terhadap tujuan bagian ini.

Tabel penilaian diri untuk keterampilan matematika: faktorisasi prima dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Pengguna dapat menilai pemahamannya sebagai Yakin, Dengan sedikit bantuan, atau Tidak—saya belum mengerti!

ⓑ Secara keseluruhan, setelah melihat daftar periksa, apakah Anda merasa telah siap untuk bab berikutnya? Mengapa atau mengapa tidak?

Latihan Tinjauan Bab

Menggunakan Bahasa Aljabar

Menggunakan Variabel dan Simbol Aljabar

Dalam latihan berikut, terjemahkan bentuk aljabar ke dalam kata-kata.

$3 \cdot 8$

Solusi

3 kali 8, hasil kali tiga dan delapan.

$12 - x$

$24 \div 6$

Solusi

24 dibagi 6, hasil bagi dua puluh empat dan enam.

$9 + 2 a$

$50 \geq 47$

Solusi

50 lebih besar daripada atau sama dengan 47

$3 y < 15$

$n + 4 = 13$

Solusi

Jumlah n dan 4 sama dengan 13

$32 - k = 7$

Mengidentifikasi Ekspresi dan Persamaan

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap bentuk merupakan ekspresi atau persamaan.

$5 + u = 84$

Solusi

persamaan

$36 - 6 s$

$4 y - 11$

Solusi

ekspresi

$10 x = 120$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Eksponen

Dalam latihan berikut, tuliskan dalam bentuk eksponen.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Solusi

2³

$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Solusi

x⁶

$10 \cdot 10 \cdot 10$

Dalam latihan berikut, tuliskan dalam bentuk uraian.

$8^{4}$

Solusi

8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8

$3^{6}$

$y^{5}$

Solusi

y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y

$n^{4}$

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi.

$3^{4}$

Solusi

81

$10^{6}$

$2^{7}$

Solusi

128

$4^{3}$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Urutan Operasi

Dalam latihan berikut, sederhanakan.

$10 + 2 \cdot 5$

Solusi

20

$(10 + 2) \cdot 5$

$(30 + 6) \div 2$

Solusi

18

$30 + 6 \div 2$

$7^{2} + 5^{2}$

Solusi

74

${(7 + 5)}^{2}$

$4 + 3 (10 - 1)$

Solusi

31

$(4 + 3) (10 - 1)$

Menghitung Nilai, Menyederhanakan, dan Menerjemahkan Ekspresi

Menghitung Nilai Ekspresi Aljabar

Dalam latihan berikut, hitung nilai setiap ekspresi.

$9 x - 5 ketika x = 7$

Solusi

58

$y^{3} ketika y = 5$

$3 a - 4 b ketika a = 10, b = 1$

Solusi

26

$b h ketika b = 7, h = 8$

Mengidentifikasi Suku, Koefisien, dan Suku Sejenis

Dalam latihan berikut, identifikasi suku-suku dalam setiap ekspresi.

$12 n^{2} + 3 n + 1$

Solusi

12n²,3n, 1

$4 x^{3} + 11 x + 3$

Dalam latihan berikut, identifikasi koefisien dari setiap suku.

$6 y$

Solusi

6

$13 x^{2}$

Dalam latihan berikut, identifikasi suku-suku sejenis.

$5 x^{2}, 3, 5 y^{2}, 3 x, x, 4$

Solusi

3 dan 4; 3x dan x

$8, 8 r^{2}, 8 r, 3 r, r^{2}, 3 s$

Menyederhanakan Ekspresi dengan Menggabungkan Suku Sejenis

Dalam latihan berikut, sederhanakan setiap ekspresi dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

$15 a + 9 a$

Solusi

24a

$12 y + 3 y + y$

$4 x + 7 x + 3 x$

Solusi

14x

$6 + 5 c + 3$

$8 n + 2 + 4 n + 9$

Solusi

12n + 11

$19 p + 5 + 4 p - 1 + 3 p$

$7 y^{2} + 2 y + 11 + 3 y^{2} - 8$

Solusi

10y² + 2y + 3

$13 x^{2} - x + 6 + 5 x^{2} + 9 x$

Menerjemahkan Frasa Verbal Menjadi Ekspresi Aljabar

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap frasa menjadi ekspresi aljabar.

selisih $x$ dan $6$

Solusi

x − 6

jumlah $10$ dan dua kali $a$

hasil kali $3 n$ dan $9$

Solusi

3n ⋅ 9

hasil bagi $s$ dan $4$

$5$ kali jumlah $y$ dan $1$

Solusi

5(y + 1)

nilai yang $10$ lebih kecil daripada hasil kali $5$ dan $z$

Jack membeli roti lapis dan kopi. Harga roti lapis itu $$3$ lebih mahal daripada harga kopi. Nyatakan harga kopi dengan $c .$ Tuliskan ekspresi untuk harga roti lapis.

Solusi

c + 3

Jumlah buku puisi di rak Brianna adalah $5$ lebih sedikit daripada dua kali jumlah novel. Nyatakan jumlah novel dengan $n .$ Tuliskan ekspresi untuk jumlah buku puisi.

Menyelesaikan Persamaan dengan Sifat Pengurangan dan Penjumlahan pada Kesamaan

Menentukan Apakah Suatu Bilangan Merupakan Solusi Persamaan

Dalam latihan berikut, tentukan apakah setiap bilangan merupakan solusi persamaan.

y + 16 = 40

ⓐ $24$
ⓑ $56$

Solusi

ⓐ ya
ⓑ tidak

d - 6 = 21

ⓐ $15$
ⓑ $27$

4 n + 12 = 36

ⓐ $6$
ⓑ $12$

Solusi

ⓐ ya
ⓑ tidak

20 q - 10 = 70

ⓐ $3$
ⓑ $4$

15 x - 5 = 10 x + 45

ⓐ $2$
ⓑ $10$

Solusi

ⓐ tidak
ⓑ ya

22 p - 6 = 18 p + 86

ⓐ $4$
ⓑ $23$

Memodelkan Sifat Pengurangan pada Kesamaan

Dalam latihan berikut, tuliskan persamaan yang dimodelkan oleh amplop dan keping hitung, lalu selesaikan persamaan tersebut menggunakan Sifat Pengurangan pada Kesamaan.

Gambar terbagi menjadi dua bagian. Bagian pertama menunjukkan sebuah amplop dan 3 keping hitung; bagian kedua di sebelahnya menunjukkan lima keping hitung.

Solusi

x + 3 = 5; x = 2

Gambar terbagi menjadi dua bagian. Bagian pertama menunjukkan sebuah amplop dan 4 keping hitung; bagian kedua di sebelahnya menunjukkan 9 keping hitung.

Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat Pengurangan pada Kesamaan

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan menggunakan Sifat Pengurangan pada Kesamaan.

$c + 8 = 14$

Solusi

c = 6

$v + 8 = 150$

$23 = x + 12$

Solusi

x = 11

$376 = n + 265$

Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat Penjumlahan pada Kesamaan

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan menggunakan Sifat Penjumlahan pada Kesamaan.

$y - 7 = 16$

Solusi

y = 23

$k - 42 = 113$

$19 = p - 15$

Solusi

p = 34

$501 = u - 399$

Menerjemahkan Kalimat Verbal Menjadi Persamaan Aljabar

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap kalimat menjadi persamaan aljabar.

Jumlah $7$ dan $33$ sama dengan $40 .$

Solusi

7 + 33 = 40

Selisih $15$ dan $3$ sama dengan $12 .$

Hasil kali $4$ dan $8$ sama dengan $32 .$

Solusi

4 ⋅ 8 = 32

Hasil bagi $63$ dan $9$ sama dengan $7 .$

Dua kali selisih $n$ dan $3$ menghasilkan $76 .$

Solusi

2(n − 3) = 76

Jumlah lima kali $y$ dan $4$ adalah $89 .$

Menerjemahkan Menjadi Persamaan dan Menyelesaikannya

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap kalimat menjadi persamaan aljabar, lalu selesaikan persamaan tersebut.

Nilai yang delapan lebih besar daripada $x$ sama dengan $35 .$

Solusi

x + 8 = 35; x = 27

Nilai yang $21$ lebih kecil daripada $a$ adalah $11 .$

Selisih $q$ dan $18$ adalah $57 .$

Solusi

q − 18 = 57; q = 75

Jumlah $m$ dan $125$ adalah $240 .$

Latihan Campuran

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan.

$h - 15 = 27$

Solusi

h = 42

$k - 11 = 34$

$z + 52 = 85$

Solusi

z = 33

$x + 93 = 114$

$27 = q + 19$

Solusi

q = 8

$38 = p + 19$

$31 = v - 25$

Solusi

v = 56

$38 = u - 16$

Menentukan Kelipatan dan Faktor

Mengidentifikasi Kelipatan Bilangan

Dalam latihan berikut, daftarkan semua kelipatan yang kurang dari $50$ untuk setiap bilangan yang diberikan.

$3$

Solusi

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48

$2$

$8$

Solusi

8, 16, 24, 32, 40, 48

$10$

Menggunakan Uji Keterbagian yang Umum

Dalam latihan berikut, gunakan uji keterbagian untuk menentukan apakah setiap bilangan habis dibagi $2, 3, 5, 6, dan 10 .$

$96$

Solusi

2, 3, 6

$250$

$420$

Solusi

2, 3, 5, 6, 10

$625$

Menentukan Semua Faktor Suatu Bilangan

Dalam latihan berikut, tentukan semua faktor dari setiap bilangan.

$30$

Solusi

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

$70$

$180$

Solusi

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

$378$

Mengidentifikasi Bilangan Prima dan Komposit

Dalam latihan berikut, identifikasi setiap bilangan sebagai bilangan prima atau komposit.

$19$

Solusi

prima

$51$

$121$

Solusi

komposit

$219$

Faktorisasi Prima dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Menentukan Faktorisasi Prima dari Bilangan Komposit

Dalam latihan berikut, tentukan faktorisasi prima dari setiap bilangan.

$84$

Solusi

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

$165$

$350$

Solusi

2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7

$572$

Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Dua Bilangan

Dalam latihan berikut, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari setiap pasangan bilangan.

$9, 15$

Solusi

45

$12, 20$

$25, 35$

Solusi

175

$18, 40$

Matematika Sehari-hari

Jelaskan bagaimana Anda telah menggunakan dua topik dari bab Bahasa Aljabar dalam kehidupan di luar kelas matematika selama sebulan terakhir.

Solusi

Jawaban dapat bervariasi

Tes Latihan Bab

Dalam latihan berikut, terjemahkan bentuk aljabar ke dalam frasa verbal.

$6 \cdot 4$

$15 - x$

Solusi

15 dikurangi x, selisih lima belas dan x.

Dalam latihan berikut, identifikasi setiap bentuk sebagai ekspresi atau persamaan.

$5 \cdot 8 + 10$

$x + 6 = 9$

Solusi

persamaan

$3 \cdot 11 = 33$

ⓐ Tuliskan $n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n$ dalam bentuk eksponen.
ⓑ Tuliskan $3^{5}$ dalam bentuk uraian, lalu sederhanakan.

Solusi

ⓐ n⁶
ⓑ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243

Dalam latihan berikut, sederhanakan dengan menggunakan urutan operasi.

$4 + 3 \cdot 5$

$(8 + 1) \cdot 4$

Solusi

36

$1 + 6 (3 - 1)$

$(8 + 4) \div 3 + 1$

Solusi

5

${(1 + 4)}^{2}$

$5 [2 + 7 (9 - 8)]$

Solusi

45

Dalam latihan berikut, hitung nilai setiap ekspresi.

$8 x - 3 ketika x = 4$

$y^{3} ketika y = 5$

Solusi

125

$6 a - 2 b ketika a = 5, b = 7$

$h w ketika h = 12, w = 3$

Solusi

36

Sederhanakan dengan menggabungkan suku-suku sejenis.

ⓐ $6 x + 8 x$
ⓑ $9 m + 10 + m + 3$

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap frasa menjadi ekspresi aljabar.

nilai yang $5$ lebih besar daripada $x$

Solusi

x + 5

hasil bagi $12$ dan $y$

tiga kali selisih $a dan b$

Solusi

3(a − b)

Caroline memakai $3$ anting lebih sedikit di telinga kirinya daripada di telinga kanannya. Nyatakan jumlah anting di telinga kanannya dengan $r .$ Tuliskan ekspresi untuk jumlah anting di telinga kirinya.

Dalam latihan berikut, selesaikan setiap persamaan.

$n - 6 = 25$

Solusi

n = 31

$x + 58 = 71$

Dalam latihan berikut, terjemahkan setiap kalimat menjadi persamaan aljabar, lalu selesaikan persamaan tersebut.

Nilai yang $15$ lebih kecil daripada $y$ adalah $32 .$

Solusi

y − 15 = 32; y = 47

jumlah $a$ dan $129$ adalah $164 .$

Daftarkan semua kelipatan $4$ yang kurang dari $50 .$

Solusi

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48

Tentukan semua faktor dari $90 .$

Tentukan faktorisasi prima dari $1080 .$

Solusi

2³ ⋅ 3³ ⋅ 5

Tentukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari $24$ dan $40 .$