Solusi Kuat

Solusi Kuat Persamaan Gelombang

Perhatikan persamaan diferensial parsial linear hiperbolik orde dua

$$L(\eta,\xi,\mathrm{D})u = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} + A_{1,0} \frac{\partial{u}}{\partial \eta} + A_{0,1} \frac{\partial{u}}{\partial \xi} + A_{0,0} u = 0$$(7.3.1) yang merupakan bentuk umum persamaan diferensial parsial linear homogen hiperbolik orde dua setelah direduksi menggunakan perubahan variabel yang diberikan oleh kurva level yang merupakan kurva karakteristik.

Adjoin dari $L(\eta,\xi,\mathrm{D})$ didefinisikan oleh

$$L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi = \frac{\displaystyle \partial^{2}{\phi}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} - \frac{\partial}{\partial \eta}{\left(A_{1,0}\phi\right)} - \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + A_{0,0} \phi$$ untuk $\displaystyle\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$.

Fungsi $u:\Omega \to \mathbb{R}$ dengan $\displaystyle u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ merupakan solusi kuat dari $L(\eta,\xi,\mathrm{D})u=0$ pada suatu himpunan terbuka $\displaystyle\Omega \subset \mathbb{R}^2$ jika

$$\int_\Omega u(\eta,\xi)\, L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} = 0$$(7.3.2) untuk setiap fungsi uji $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$. Hal ini dipenuhi jika $\displaystyle u \in C^2(\Omega)$ merupakan solusi dari (7.3.1), sebagaimana dapat ditunjukkan menggunakan integrasi parsial.

Misalkan $\Omega$ dilintasi oleh suatu kurva karakteristik $\Gamma$ yang menjadi tempat $u$ kehilangan kemulusannya. Karena kurva karakteristik merupakan kurva level dari perubahan variabel yang digunakan untuk memperoleh bentuk tereduksi persamaan hiperbolik, kita dapat mengasumsikan bahwa kurva karakteristik $\Gamma$ yang melintasi $\Omega$ adalah garis $\xi=0$ seperti pada Gambar 7.6.

Kita memiliki $\Omega = \Omega_+ \cup \Omega_0 \cup \Omega_-$, di mana $\displaystyle\Omega_+ = \left\{ (\eta,\xi) \in \Omega : \xi>0 \right\}$, $\displaystyle\Omega_- = \left\{ (\eta,\xi) \in \Omega : \xi<0 \right\}$ dan $\Omega_0 = \left\{ (\eta,\xi) \in \Omega : \xi=0 \right\}$.

Misalkan $u:\Omega \to \mathbb{R}$ merupakan solusi kuat yang juga memenuhi (7.3.1) dalam pengertian klasik pada $\Omega_+$ dan $\Omega_-$. Fakta bahwa $u$ merupakan solusi kuat memberlakukan beberapa syarat tambahan pada $u$ di sepanjang $\Omega_0$.

Kita dapat mengasumsikan bahwa $u(\eta,\xi) = 0$ untuk $(\eta,\xi) \not\in \Omega$. Kita juga dapat memandang fungsi uji $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ sebagai anggota $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^2)$ yang berdukungan kompak di dalam $\Omega$. Hal ini akan sering kita lakukan untuk menyederhanakan pembahasan ketika kita harus bekerja pada suatu subhimpunan terbuka dari $\displaystyle\mathbb{R}^n$.

Dengan menggunakan integrasi parsial, untuk $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ kita memperoleh

$$\begin{aligned} & \int_\Omega u(\eta,\xi)\, L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &= \int_{\Omega_+} u(\eta,\xi)\, L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} +\int_{\Omega_-} u(\eta,\xi)\, L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &= \int_0^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} u \left( \frac{\displaystyle \partial^{2}{\phi}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} -\frac{\partial}{\partial \eta}{\left(A_{1,0}\phi\right)} - \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ & \quad + \int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^{+\infty} u \left( \frac{\displaystyle \partial^{2}{\phi}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}-\frac{\partial}{\partial \eta}{\left(A_{1,0}\phi\right)} - \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + A_{0,0}\phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &= \int_0^{+\infty} \left( u \frac{\partial{\phi}}{\partial \xi}\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\phi}}{\partial \xi} \,\mathrm{d}{\eta} \right) \,\mathrm{d}{\xi} - \int_0^{+\infty} \left( u A_{1,0} \phi\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0} \phi \,\mathrm{d}{\eta}\right) \,\mathrm{d}{\xi} \\ & \quad + \int_0^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} u \left(-\frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & \quad + \int_{-\infty}^0 \left( u \frac{\partial{\phi}}{\partial \xi}\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\phi}}{\partial \xi} \,\mathrm{d}{\eta} \right) \,\mathrm{d}{\xi} - \int_{-\infty}^0 \left( u A_{1,0} \phi\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0} \phi \,\mathrm{d}{\eta}\right) \,\mathrm{d}{\xi} \\ & \quad + \int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^{+\infty} u \left(-\frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_0^{+\infty} \left( - \frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\phi}}{\partial \xi} + \frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0} \phi - u \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + u A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\xi}\,\mathrm{d}{\eta} \\ &\quad + \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^0 \left( -\frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\phi}}{\partial \xi} + \frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0} \phi - u \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(A_{0,1}\phi\right)} + u A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\xi}\,\mathrm{d}{\eta} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( -\frac{\partial{u}}{\partial \eta} \phi\bigg|_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} \phi \,\mathrm{d}{\xi} \right) \,\mathrm{d}{\eta} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left( u A_{0,1} \phi\bigg|_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \frac{\partial{u}}{\partial \xi} A_{0,1} \phi \,\mathrm{d}{\xi}\right) \,\mathrm{d}{\eta} \\ &\quad + \int_0^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0}\phi + u A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &\quad + \int_{-\infty}^{+\infty} \left( -\frac{\partial{u}}{\partial \eta} \phi\bigg|_{-\infty}^0 + \int_{-\infty}^0 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} \phi \,\mathrm{d}{\xi} \right) \,\mathrm{d}{\eta} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left( u A_{0,1} \phi\bigg|_{-\infty}^0 - \int_{-\infty}^0 \frac{\partial{u}}{\partial \xi} A_{0,1} \phi \,\mathrm{d}{\xi}\right) \,\mathrm{d}{\eta} \\ &\quad + \int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\partial{u}}{\partial \eta} A_{1,0}\phi + u A_{0,0} \phi \right) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &= \int_{\Omega_+} \left( L(\eta,\xi,\mathrm{D}) u(\eta,\xi)\right)\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} + \int_{\Omega_-} \left(L(\eta,\xi,\mathrm{D}) u(\eta,\xi)\right)\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} \\ &\quad +\int_{\Omega_0} \left( u_+(\eta,0) A_{0,1}(\eta,0) \phi(\eta,0) + \frac{\partial{u_+}}{\partial \eta}(\eta,0)\phi(\eta,0) \right) \,\mathrm{d}{\eta} \\ &\quad - \int_{\Omega_0} \left( u_-(\eta,0) A_{0,1}(\eta,0) \phi(\eta,0) + \frac{\partial{u_-}}{\partial \eta}(\eta,0)\phi(\eta,0) \right) \,\mathrm{d}{\eta} \\ &=\int_{\Omega_0} \left(u_+(\eta,0) -u_-(\eta,0)\right) A_{0,1}(\eta,0) \phi(\eta,0)\,\mathrm{d}{\eta} +\int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial{u_+}}{\partial \eta}(\eta,0) - \frac{\partial{u_-}}{\partial \eta}(\eta,0) \right)\phi(\eta,0) \,\mathrm{d}{\eta} \end{aligned}$$ di mana $\displaystyle u_\pm(\eta,0) = \lim_{\xi\rightarrow 0^\pm} u(\eta,\xi)$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u_\pm}}{\partial \eta}(\eta,0) = \lim_{\xi\rightarrow 0^\pm} \frac{\partial{u}}{\partial \eta}(\eta,\xi)$. Kita mengasumsikan bahwa limit-limit ini ada.

Agar $\displaystyle\int_\Omega u(\eta,\xi)\, L^\ast(\eta,\xi,\mathrm{D})\phi(\eta,\xi) \,\mathrm{d}{\eta}\,\mathrm{d}{\xi} =0$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$, harus berlaku

$$\int_{\Omega_0} \big(u_+(\eta,0) - u_-(\eta,0)\big) A_{0,1}(\eta,0) \phi(\eta,0) \,\mathrm{d}{\eta} +\int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial{u_+}}{\partial \eta}(\eta,0) - \frac{\partial{u_-}}{\partial \eta}(\eta,0)\right) \phi(\eta,0) \,\mathrm{d}{\eta} = 0$$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$. Inilah syarat transmisi untuk memperoleh solusi kuat.

Jika kita meninjau persamaan gelombang $\displaystyle L(\eta,\xi,\mathrm{D})u = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} = 0$, syarat transmisi agar $u$ menjadi solusi kuat adalah

$$\int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial{u_+}}{\partial \eta}(\eta,0) - \frac{\partial{u_-}}{\partial \eta}(\eta,0)\right) \phi(\eta,0) \,\mathrm{d}{\eta} = 0$$(7.3.3) untuk setiap $\displaystyle\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$. Karena hal ini berlaku untuk setiap fungsi uji $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$, harus berlaku

$$\frac{\partial{u_+}}{\partial \eta}(\eta,0) - \frac{\partial{u_-}}{\partial \eta}(\eta,0) = 0$$ untuk hampir setiap $\eta \in I_\Omega$, dengan $\displaystyle I_\Omega=\{\eta\in\mathbb{R}:(\eta,0)\in\Omega\}$. Jika pembatasan $u$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \eta}$ dari masing-masing sisi dapat diperluas secara kontinu hingga sumbu $\eta$, maka hal ini menunjukkan bahwa $\displaystyle u_+(\eta,0) - u_-(\eta,0)$ konstan pada setiap komponen terhubung dari $I_\Omega$.