Bukti.

Untuk membuktikan teorema ini, cukup ditunjukkan bahwa semua deret berikut

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ , \\ \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{n\pi}{L} \left(-a_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ , \\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}}(x,t) &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2\pi^2}{L^2} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ , \\ \frac{\partial{u}}{\partial x}(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{n\pi}{L} \left(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ , \\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x,t) &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2\pi^2}{L^2} \left(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \\ &\text{dan}\\ \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{} \partial x^{}}(x,t) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2\pi^2}{L^2} \left(-a_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \end{aligned}$$ konvergen seragam pada $[0,L]\times[0,T]$ untuk setiap $T>0$.

Dengan mengasumsikan kekonvergenan seragam deret-deret di atas, $u$ kontinu pada $[0,L]\times [0,\infty[$ karena pada setiap himpunan $[0,L]\times [0,T]$, fungsi tersebut merupakan limit seragam dari fungsi-fungsi kontinu dalam (7.4.1). Kita juga dapat mempertukarkan penjumlahan pada (7.4.1) dengan turunan $\displaystyle\frac{\partial{}}{\partial t}$, $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{}}{\displaystyle \partial t^{2}}$, $\displaystyle\frac{\partial{}}{\partial x}$, $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{}}{\displaystyle \partial x^{2}}$, dan $\displaystyle\frac{\displaystyle \partial^{2}{}}{\displaystyle \partial t^{} \partial x^{}}$. Karena setiap suku deret pada (7.4.1) dapat didiferensialkan dua kali, hal yang sama berlaku bagi $u$. Dengan demikian, $\displaystyle u\in C^2(]0,L[\times]0,\infty[)$. Selain itu, $u$ memenuhi (7.4.2) karena setiap suku deret pada (7.4.1) memenuhi (7.4.2). Syarat batas juga dipenuhi oleh setiap suku deret pada (7.4.1). Syarat awal dipenuhi karena $a_n$ dan $n\pi b_n/L$ masing-masing merupakan koefisien deret Fourier sinus dari $f$ dan $g$ pada interval $[0,L]$.

Untuk membuktikan kekonvergenan semua deret di atas, cukup dibuktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2|a_n|$ dan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2|b_n|$ konvergen.

Dengan menggunakan integrasi parsial, kita memperoleh

$$a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} = -\frac{2}{L} \left( \frac{L}{n\pi}\right)^3 \int_0^L \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \ .$$ Dengan demikian, untuk $N>0$, kita memiliki

$$\begin{aligned} 0 &\leq \frac{2}{L} \int_0^L \left( \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) + \left(\frac{\pi}{L}\right)^3 \sum_{n=1}^N n^3 a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)^2 \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{2}{L} \int_0^L \left( \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) \right)^2 \,\mathrm{d}{x} + \frac{4}{L} \left(\frac{\pi}{L}\right)^3 \sum_{n=1}^N n^3 a_n \underbrace{\int_0^L \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}}_{=-(a_n L/2)(n \pi/L)^3} \\ &\qquad \qquad + \frac{2}{L}\left(\frac{\pi}{L}\right)^6 \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N n^3 a_n m^3 a_m \underbrace{\int_0^L \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x}}_{= \begin{cases} 0 &\text{ jika } n\neq m\\ L/2 & \text{ jika } n = m \end{cases}} \\ &= \frac{2}{L} \int_0^L \left( \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) \right)^2 \,\mathrm{d}{x} - 2 \left(\frac{\pi}{L}\right)^6 \sum_{n=1}^N n^6 a_n^2 + \left(\frac{\pi}{L}\right)^6 \sum_{n=1}^N n^6 a_n^2 \ . \end{aligned}$$ Akibatnya,

$$S_N \equiv \sum_{n=1}^N n^6 a_n^2 \leq \frac{2}{L} \left(\frac{L}{\pi}\right)^6 \int_0^L \left( \frac{\mathrm{d}^{3}{f}}{\mathrm{d}{x}^{3}}(x) \right)^2 \,\mathrm{d}{x} < \infty$$ untuk setiap $N>0$. Karena $\displaystyle\left\{ S_N \right\}_{N=1}^\infty$ merupakan barisan tak menurun yang terbatas, barisan tersebut konvergen. Dengan kata lain, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^6 a_n^2$ merupakan deret konvergen dengan suku-suku tak negatif.

Dengan menggunakan integrasi parsial, kita memperoleh

$$b_n = \frac{2}{n\pi} \int_0^L g(x) \, \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} = -\frac{2}{L} \left( \frac{L}{n\pi}\right)^3 \int_0^L \frac{\mathrm{d}^{2}{g}}{\mathrm{d}{x}^{2}}(x) \, \sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}{x} \ .$$ Penalaran yang serupa dengan penalaran sebelumnya menunjukkan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^6 b_n^2$ merupakan deret konvergen dengan suku-suku tak negatif.

Karena

$$n^2 |a_n| = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} + n^6 a_n^2\right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - n^3 |a_n| \right)^2 \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} + n^6 a_n^2\right)$$ untuk setiap $n>0$, kita dapat menggunakan uji perbandingan untuk deret dengan suku-suku tak negatif guna menyimpulkan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2 |a_n|$ konvergen. Demikian pula, kita memiliki $\displaystyle n^2 |b_n| \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} + n^6 b_n^2\right)$ dan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2 |b_n|$ konvergen.

$\square$