Persamaan Gelombang Nonhomogen

Batas sumber. Bagian ini mengikat wave_equ.tex baris 390-600 pada sumber beku.

Persamaan Gelombang Nonhomogen

Perhatikan persamaan gelombang nonhomogen

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = F(x,t) \quad , \quad t >0 \ \text{dan} \ x \in \mathbb{R}\ ,$ dengan syarat awal

$u(x,0)= f(x) \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = g(x) \quad , \quad x \in \mathbb{R}\ .$ Mulai sekarang, kita mengasumsikan bahwa $F$ , $f$ , dan $g$ cukup mulus.

Untuk mencari solusi persoalan ini, kita menggunakan rumus integral Green

$\iint_K \left( \frac{\partial{Q}}{\partial x} - \frac{\partial{P}}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{t} = \int_{\partial K} P \,\mathrm{d}{x} + Q \,\mathrm{d}{t} \ ,$ di mana $P$ dan $Q$ adalah fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu pada suatu himpunan terbuka yang memuat $\displaystyle K \subset \mathbb{R}^2$ , dan $\partial K$ merupakan batas berorientasi positif. Daerah $K = K_{x_0,t_0}$ yang kita tinjau digambarkan pada Gambar 7.5.

Daerah determinasi segitiga karakteristik K_(x_0,t_0) untuk persamaan gelombang nonhomogen.

Dari (7.2.1), kita memperoleh

$-\iint_{K_{x_0,t_0}} F(x,t) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{t} = \iint_{K_{x_0,t_0}} \left( c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} - \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} \right) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{t} = \int_{\Gamma} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} \ ,$ di mana kita telah menggunakan rumus integral Green (7.2.3) dengan $\displaystyle P = \frac{\partial{u}}{\partial t}$ dan $\displaystyle Q = c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x}$ , serta $\Gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3$ merupakan batas berorientasi positif dari $K_{x_0,t_0}$ seperti yang digambarkan pada Gambar 7.5.

Pada $\gamma_1$ , kita menggunakan representasi parametrik $(x,t) = (x,0)$ untuk $x_0-ct_0 \leq x \leq x_0+ct_0$ sehingga diperoleh

$\int_{\gamma_1} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} = \int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0} g(x) \,\mathrm{d}{x}$ karena $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = g(x)$ untuk $x\in \mathbb{R}$ . Pada $\gamma_2$ , kita menggunakan representasi parametrik $(x,t) = (-ct+x_0+ct_0,t)$ untuk $0 \leq t \leq t_0$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned} \int_{\gamma_2} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} & = -c \int_0^{t_0} \left( \frac{\partial{u}}{\partial t} - c \frac{\partial{u}}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{t} = -c \int_0^{t_0} \frac{\mathrm{d}u(-ct+x_0+ct_0,t)}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \\ & = -c \left( u(x_0,t_0) - u(x_0+ct_0,0) \right) = -c \left( u(x_0,t_0) - f(x_0+ct_0) \right) \end{aligned}$ karena $\displaystyle u(x,0) = f(x)$ untuk $x \in \mathbb{R}$ . Pada $\gamma_3$ , kita menggunakan representasi parametrik $(x,t) = (c(t_0-t)+x_0-ct_0,t_0-t)$ untuk $0 \leq t \leq t_0$ sehingga diperoleh

$\begin{aligned} \int_{\gamma_3} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} & = -c \int_0^{t_0} \left( \frac{\partial{u}}{\partial t} + c \frac{\partial{u}}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{t} = c \int_0^{t_0} \frac{\mathrm{d}u(c(t_0-t)+x_0-ct_0,t_0-t)}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \\ & = c \left( u(x_0-ct_0,0) - u(x_0,t_0) \right) = c \left( f(x_0-ct_0) -u(x_0,t_0) \right) \end{aligned}$ karena $\displaystyle u(x,0) = f(x)$ untuk $x \in \mathbb{R}$ .

Dengan demikian,

$\begin{aligned} -\iint_{K_{x_0,t_0}} F(x,t) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{t} & = \int_{\gamma_1} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} + \int_{\gamma_2} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} + \int_{\gamma_3} \frac{\partial{u}}{\partial t} \,\mathrm{d}{x} + c^2 \frac{\partial{u}}{\partial x} \,\mathrm{d}{t} \\ &= \int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0} g(x) \,\mathrm{d}{x} + c \left( f(x_0-ct_0) + f(x_0+ct_0) \right) -2c u(x_0,t_0) \ . \end{aligned}$ Jika kita menyelesaikannya untuk $u(x_0,t_0)$ , maka kita memperoleh

$u(x_0,t_0) = \frac{1}{2} \left(f(x_0-ct_0) + f(x_0+ct_0)\right) + \frac{1}{2c} \int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0} g(x)\,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2c} \iint_{K_{x_0,t_0}} F(x,t) \,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{t}$

Hasil ini menyarankan solusi $u = u_1 + u_2$ untuk (7.2.1) dan (7.2.2), di mana

$u_1(x,t) = \frac{1}{2} \left(f(x-ct) + f(x+ct)\right) + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,\mathrm{d}{s}$ merupakan solusi persamaan gelombang homogen (7.1.1) dengan (7.1.2), sedangkan

$u_2(x,t) = \frac{1}{2c} \iint_{K_{x,t}} F(z,s) \,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{s} = \frac{1}{2c} \int_0^t \int_{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)} F(z,s)\,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{s} \ .$

Untuk membuktikan bahwa $u$ benar-benar merupakan solusi persamaan gelombang nonhomogen kita, kita perlu membuktikan bahwa $u_2$ memenuhi (7.2.1) dengan syarat awal $\displaystyle u_2(x,0)= 0$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u_2}}{\partial t}(x,0) = 0$ untuk $x \in \mathbb{R}$ . Untuk membuktikannya, kita perlu menggunakan Teorema Dasar Kalkulus beberapa kali. Jelas bahwa $u_2(x,0) =0$ . Kita juga memiliki

$\begin{aligned} \frac{\partial{u_2}}{\partial t}(x,t) &= \frac{1}{2c} \int_{x}^{x} F(z,t)\,\mathrm{d}{z} + \frac{1}{2} \int_0^t \big( F(x+c(t-s),s) + F(x-c(t-s),s) \big) \,\mathrm{d}{s} \\ &= \frac{1}{2} \int_0^t \big( F(x+c(t-s),s) + F(x-c(t-s),s) \big) \,\mathrm{d}{s} \ . \end{aligned}$ Jadi, $\displaystyle\frac{\partial{u_2}}{\partial t}(x,0) = 0$ sebagaimana diinginkan. Lebih lanjut,

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u_2}}{\displaystyle \partial t^{2}}(x,t) = F(x,t) + \frac{c}{2} \int_0^t \left( \frac{\partial{F}}{\partial x}(x+c(t-s),s) - \frac{\partial{F}}{\partial x}(x-c(t-s),s) \right) \,\mathrm{d}{s} \ .$ Dengan cara yang sama,

$\frac{\partial{u_2}}{\partial x}(x,t) = \frac{1}{2c} \int_0^t \left( F(x+c(t-s),s) - F(x-c(t-s),s) \right) \,\mathrm{d}{s}$ dan

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u_2}}{\displaystyle \partial x^{2}}(x,t) = \frac{1}{2c} \int_0^t \left( \frac{\partial{F}}{\partial x}(x+c(t-s),s) - \frac{\partial{F}}{\partial x}(x-c(t-s),s) \right) \,\mathrm{d}{s} \ .$ (7.2.1) diperoleh dari (7.2.4) dan (7.2.5).

Catatan.

Pada Bagian 8.6 (rujukan ke bab mendatang), kita akan memperkenalkan metode lain, yaitu prinsip Duhamel, untuk menyelesaikan persamaan gelombang nonhomogen.

Contoh.

Selesaikan persamaan gelombang nonhomogen

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - 4 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = e^x + \sin(t) \quad , \quad x\in \mathbb{R}\ \text{dan} \ t>0 \ ,$ dengan syarat awal $\displaystyle u(x,0) = 0$ dan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = \frac{1}{1+x^2}$ untuk $x \in \mathbb{R}$ .

Solusinya diberikan oleh

$u(x,t) = \frac{1}{2} \left(f(x-ct) + f(x+ct)\right) + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,\mathrm{d}{s} + \frac{1}{2c} \int_0^t \int_{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)} F(z,s)\,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{s} \ ,$ dengan $c=2$ , $f(x)=0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x) = 1/(1+x^2)$ untuk semua $x\in \mathbb{R}$ , dan $\displaystyle F(x,t) = e^x + \sin(t)$ . Kita memperoleh

$\begin{aligned} u(x,t) &= \frac{1}{4} \int_{x-2t}^{x+2t} \frac{1}{1+s^2} \,\mathrm{d}{s} + \frac{1}{4} \int_0^t \int_{x-2(t-s)}^{x+2(t-s)} (e^z + \sin(s)) \,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{s} \\ &= \frac{1}{4} \arctan(s) \bigg|_{x-2t}^{x+2t} + \frac{1}{4} \int_0^t \left(e^{x+2(t-s)} - e^{x-2(t-s)} + 4(t-s)\sin(s) \right) \,\mathrm{d}{s} \\ &= \frac{1}{4} \left( \arctan(x+2t) - \arctan(x-2t) \right) + \frac{1}{8} \left( e^{x+2t} + e^{x-2t} \right) - \frac{e^x}{4} + t - \sin(t) \ . \end{aligned}$

Catatan.

Untuk contoh sebelumnya, terdapat pendekatan yang lebih langsung untuk menyelesaikan persamaan gelombang nonhomogen.

Mudah dilihat bahwa $u_1(x,t)=-\sin(t)$ merupakan solusi dari

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - 4 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = \sin(t) \quad , \quad x\in \mathbb{R}\text{ dan } t>0 \ ,$ dan $\displaystyle u_2(x,t)= - e^x/4$ merupakan solusi dari

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - 4 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = e^x \quad , \quad x\in \mathbb{R}\ \text{dan} \ t>0 \ .$ Oleh karena itu, solusi masalah nonhomogen pada contoh sebelumnya adalah $u = u_1 + u_2 + u_3$ , dengan $u_3$ merupakan solusi persamaan gelombang homogen

$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - 4 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0 \quad , \quad x\in \mathbb{R}\ \text{dan} \ t>0 \ ,$ dengan syarat awal

$\begin{aligned} u(x,0) &= 0 - u_1(x,0) - u_2(x,0) = \frac{e^x}{4} \\ &\text{dan}\\ \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) &= \frac{1}{1+x^2} - \frac{\partial{u_1}}{\partial t}(x,0) - \frac{\partial{u_2}}{\partial t}(x,0) = \frac{1}{1+x^2} + 1 \ . \end{aligned}$ Kita memperoleh

$\begin{aligned} u_3(x,t) &= \frac{1}{2}\left( \frac{e^{x-2t}}{4} + \frac{e^{x+2t}}{4} \right) + \frac{1}{4} \int_{x-2t}^{x+2t} \left( \frac{1}{1+s^2} + 1 \right)\,\mathrm{d}{s} \\ &= \frac{e^{x-2t}}{8} + \frac{e^{x+2t}}{8} + \frac{1}{4} \left(\arctan(s) + s\right)\bigg|_{x-2t}^{x+2t} \\ &= \frac{e^{x-2t}}{8} + \frac{e^{x+2t}}{8} + \frac{1}{4} \left(\arctan(x+2t) - \arctan(x-2t)\right) + t \ . \end{aligned}$

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.