Metode D’Alembert

Persamaan Gelombang dalam Satu Dimensi

Bab ini membahas persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0 \ .$$ Konstanta $c>0$ disebut cepat rambat. Kita akan segera menjelaskan mengapa $c$ diberi nama ini. Kita juga akan mengasumsikan bahwa solusi persamaan gelombang memenuhi beberapa syarat awal dan syarat batas sesuai dengan domain persamaan gelombang tersebut.

Metode D’Alembert

Pada Garis Real

Perhatikan persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0 \quad , \quad t >0 \text{ dan } x \in \mathbb{R}\ ,$$(7.1.1) dengan syarat awal

$$u(x,0)= f(x) \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = g(x) \quad , \quad x \in \mathbb{R}\ ,$$(7.1.2) untuk dua fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Kemulusan fungsi $f$ dan $g$ akan ditentukan kemudian.

Seperti yang telah kita lihat pada Bagian 2.3.2, persamaan gelombang merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik. Kita dapat menggunakan suatu perubahan variabel untuk mereduksi persamaan gelombang menjadi bentuk standar bagi suatu persamaan hiperbolik. Sekarang kita ulangi proses reduksi ini. Persamaan gelombang berbentuk

$$L(x,t,\mathrm{D})u = a_{2,0} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} + 2 a_{1,1} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{} \partial t^{}} + a_{0,2} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0$$ dengan $a_{2,0} = 1$, $a_{1,1} = 0$ dan $\displaystyle a_{0,2}=-c^2$. Simbol utamanya adalah

$$p(x,t, \xi_1, \xi_2) = \begin{pmatrix} \xi_1 & \xi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{2,0} & a_{1,1} \\ a_{1,1} & a_{0,2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix} \ .$$ Persamaan gelombang bersifat hiperbolik pada $\displaystyle\mathbb{R}^2$ karena

$\displaystyle\det \begin{pmatrix} a_{2,0} & a_{1,1} \\ a_{1,1} & a_{0,2} \end{pmatrix} = -c^2 < 0$. Solusi persamaan diferensial

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{t}} = \frac{a_{1,1} + \sqrt{a_{1,1}^2 - a_{2,0} a_{0,2}}}{a_{2,0}} = c \quad \text{dan} \quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{t}} = \frac{a_{1,1} - \sqrt{a_{1,1}^2 - a_{2,0} a_{0,2}}}{a_{2,0}} =-c$$ berturut-turut adalah $x=ct+\eta$ dan $x=-ct+\xi$. Kurva level dari $\eta(x,t) = x-ct$ dan $\xi(x,t) = x +ct$ merupakan kurva karakteristik. Kita menggunakan perubahan koordinat $\eta = x-ct$ dan $\xi = x +ct$ untuk mereduksi persamaan gelombang.

Karena

$$\frac{\partial{u}}{\partial x} = \frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\eta}}{\partial x} + \frac{\partial{u}}{\partial \xi}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} = \frac{\partial{u}}{\partial \eta} + \frac{\partial{u}}{\partial \xi} \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial t} = \frac{\partial{u}}{\partial \eta}\frac{\partial{\eta}}{\partial t} + \frac{\partial{u}}{\partial \xi}\frac{\partial{\xi}}{\partial t} = -c\, \frac{\partial{u}}{\partial \eta} +c\, \frac{\partial{u}}{\partial \xi} \ ,$$ kita memperoleh

$$\begin{aligned} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} &= \frac{\partial}{\partial x}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial x}\right)} = \frac{\partial}{\partial \eta}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial \eta} + \frac{\partial{u}}{\partial \xi}\right)} \frac{\partial{\eta}}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial \eta} + \frac{\partial{u}}{\partial \xi}\right)} \frac{\partial{\xi}}{\partial x}\\ &= \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}}\frac{\partial{\eta}}{\partial x} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}\frac{\partial{\eta}}{\partial x} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}}\frac{\partial{\xi}}{\partial x} = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} + 2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} \end{aligned}$$ dan

$$\begin{aligned} \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} &= \frac{\partial}{\partial t}{\left(\frac{\partial{u}}{\partial t}\right)} = \frac{\partial}{\partial \eta}{\left(-c\frac{\partial{u}}{\partial \eta} + c\frac{\partial{u}}{\partial \xi}\right)}\frac{\partial{\eta}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \xi}{\left(-c\frac{\partial{u}}{\partial \eta} + c\frac{\partial{u}}{\partial \xi}\right)}\frac{\partial{\xi}}{\partial t}\\ &= -c\,\left( -c\, \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} + c\,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}}\right) + c\, \left( -c \,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{} \partial \eta^{}} + c\,\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} \right) = c^2\,\left(\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} - 2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} \right) \ . \end{aligned}$$ Dengan demikian, (7.1.1) menjadi

$$0 = \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = c^2\,\left(\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} - 2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} \right) - c^2 \left( \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{2}} + 2\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} + \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \xi^{2}} \right) = -4c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} \ .$$ Kita harus menyelesaikan persamaan diferensial parsial

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial \eta^{} \partial \xi^{}} = 0 \ .$$(7.1.3) Mengintegralkan (7.1.3) terhadap $\xi$ menghasilkan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \eta} = H(\eta)$ untuk suatu fungsi $H:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Mengintegralkan $\displaystyle\frac{\partial{u}}{\partial \eta} = H(\eta)$ terhadap $\eta$ menghasilkan $\displaystyle u(\eta,\xi) = \int H(\eta) \,\mathrm{d}{\eta} + G(\xi)$ untuk suatu fungsi $G:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Jika kita memperkenalkan fungsi $F$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle F(\eta) = \int H(\eta) \,\mathrm{d}{\eta}$, maka kita memperoleh solusi

$$u(\eta,\xi) = F(\eta) + G(\xi)$$ untuk (7.1.3). Dalam $x$ dan $t$, kita memperoleh solusi

$$u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct)$$(7.1.4) untuk (7.1.1).

Sekarang kita tinjau syarat awal dalam (7.1.2). Fungsi $F$ dan $G$ memenuhi persamaan

$$f(x) = F(x) + G(x) \quad \text{dan} \quad g(x) = -c F'(x) + c G'(x) \ .$$ Jika kita mengasumsikan bahwa $g$ terintegralkan lokal, kita dapat menulis

$$\int_0^x g(s)\,\mathrm{d}{s} = -c F(x) + c G(x) + c F(0) - c G(0) \ .$$ Kita memperoleh dua persamaan yang saling bebas linear untuk $F$ dan $G$.

$$\begin{aligned} F(x) + G(x) &= f(x) \end{aligned}$$(7.1.5)

dan

$$\begin{aligned} F(x) - G(x) &= F(0) - G(0) -\frac{1}{c} \int_0^x g(s)\,\mathrm{d}{s} \ . \end{aligned}$$(7.1.6) Dengan menjumlahkan (7.1.5) dan (7.1.6), lalu membaginya dengan $2$, kita memperoleh

$$F(x) = \frac{1}{2} f(x) - \frac{1}{2c} \int_0^x g(s)\,\mathrm{d}{s} + \frac{1}{2} \left(F(0) - G(0)\right) \ .$$ Dengan mengurangkan (7.1.6) dari (7.1.5), lalu membaginya dengan $2$, kita memperoleh

$$G(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2c} \int_0^x g(s)\,\mathrm{d}{s} - \frac{1}{2} \left(F(0) - G(0)\right) \ .$$ Akhirnya, kita memperoleh

$$u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) = \frac{1}{2} \left(f(x-ct) + f(x+ct)\right) + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,\mathrm{d}{s} \ .$$(7.1.7)

Jika $\displaystyle f \in C^2(\mathbb{R})$ dan $\displaystyle g \in C^1(\mathbb{R})$, maka (7.1.7) memberikan solusi berkelas $\displaystyle C^2(\mathbb{R}\times[0,\infty[)$ untuk (7.1.1) dengan syarat awal (7.1.2).

Jika $g = 0$, maka solusi persamaan gelombang adalah $\displaystyle u(x,t) = \frac{1}{2} \left(f(x-ct) + f(x+ct)\right)$. Pada Gambar 7.1, kita telah mengilustrasikan perilaku solusi ini terhadap waktu.

Nilai $u$ pada titik tetap $x$ dan waktu $t$ ditentukan oleh nilai $f$ pada $x\pm ct$ dan nilai $g$ di antara $x-ct$ dan $x+ct$. Karena alasan ini, interval $[x-ct,x+ct]$ disebut daerah determinasi bagi $u$ pada $(x,t)$. Sebaliknya, nilai $f$ dan $g$ pada interval $[a,b]$ hanya memengaruhi nilai $u(x,t)$ untuk $a-ct \leq x \leq b+ct$ dan $t>0$. Daerah $\left\{ (x,t) : t>0 \ \text{dan} \ a-ct \leq x \leq b+ct \right\}$ disebut jangkauan pengaruh dari interval $[a,b]$. Definisi-definisi ini diilustrasikan pada Gambar 7.2. Diskontinuitas syarat awal untuk $u$ pada $(x_0,0)$ merambat seketika sepanjang garis-garis karakteristik yang berasal dari $(x_0,0)$.

Pada Interval Setengah Takhingga

Dalam bagian ini, kita meninjau persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0 \quad , \quad t >0 \text{ dan } x > 0 \ ,$$ dengan syarat batas

$$u(0,t) = 0 \quad , \quad t>0 \ ,$$(7.1.8) dan syarat awal

$$u(x,0) = f(x) \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = g(x) \quad , \quad x > 0 \ .$$

Seperti pada bagian sebelumnya, kita dapat menggunakan perubahan koordinat $\eta = x-ct$ dan $\xi = x +ct$ untuk mereduksi persamaan gelombang menjadi (7.1.3). Pengintegralan persamaan ini menghasilkan

$$u(\eta,\xi) = F(\eta) + G(\xi)$$(7.1.9) untuk fungsi $F$ dan $G$ tertentu. Dalam variabel $x$ dan $t$, kita memperoleh solusi

$$u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct)$$ selama $x-ct>0$. Dengan bantuan syarat awal seperti pada bagian sebelumnya, kita memperoleh

$$u(x,t) = \frac{1}{2} \left(f(x-ct) + f(x+ct)\right) + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s)\,\mathrm{d}{s}$$(7.1.10) untuk $x-ct > 0$.

Sekarang kita meninjau apa yang terjadi ketika $x-ct <0$. Kita menggunakan syarat batas (7.1.8) untuk memperoleh $0 = F(-ct) + G(ct)$ untuk $t>0$. Jadi, $F(w) = -G(-w)$ untuk $w<0$. Sekarang kita dapat melanjutkan seperti yang kita lakukan untuk kasus $x-ct>0$.

$$\begin{aligned} u(x,t) &= F(x-ct) + G(x+ct) = -G(ct-x) + G(x+ct) \\ &= -\left( \frac{1}{2} f(ct-x) + \frac{1}{2c} \int_0^{ct-x} g(s)\,\mathrm{d}{s} - \frac{1}{2} \left(F(0) - G(0)\right) \right) \\ &\qquad + \left( \frac{1}{2} f(x+ct) + \frac{1}{2c} \int_0^{x+ct} g(s)\,\mathrm{d}{s} - \frac{1}{2} \left(F(0) - G(0)\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} (f(x+ct) - f(ct-x)) + \frac{1}{2c} \int_{ct-x}^{ct+x} g(s) \,\mathrm{d}{s} \end{aligned}$$(7.1.11) untuk $x-ct < 0$.

Untuk $x-ct>0$, nilai $u$ pada titik $x$ dan waktu $t$ yang tetap ditentukan oleh nilai $f$ di $x\pm ct$ dan nilai $g$ di antara $x-ct$ dan $x+ct$. Untuk $x-ct<0$, nilai $u$ pada titik $x$ dan waktu $t$ yang tetap ditentukan oleh nilai $f$ di $ct\pm x$ dan nilai $g$ di antara $ct-x$ dan $ct+x$. Interval $[ct-x,ct+x]$ adalah daerah determinasi untuk $u$ di $(x,t)$ ketika $x-ct <0$.

Pada Interval Berhingga

Pertama-tama kita menurunkan metode grafis untuk menentukan solusi $u$ dari persamaan gelombang

$$\frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial t^{2}} - c^2 \frac{\displaystyle \partial^{2}{u}}{\displaystyle \partial x^{2}} = 0 \quad , \quad t>0 \text{ dan } 0<x<L \ ,$$ dengan syarat batas

$$u(0,t) = A(t) \quad \text{dan} \quad u(L,t) = B(t) \quad , \quad t>0 \ ,$$ dan syarat awal

$$u(x,0) = f(x) \quad \text{dan} \quad \frac{\partial{u}}{\partial t}(x,0) = g(x) \quad , \quad 0 < x < L \ .$$ Fungsi-fungsi $A$, $B$, $f$, dan $g$ diberikan.

Persamaan (7.1.4) tetap berlaku untuk $0 \leq x-ct < x+ct \leq L$. Perhatikan Gambar 7.3. Kita mengetahui bahwa $F$ konstan di sepanjang garis $x=ct+x_1$ dan $x=ct+x_2$, sedangkan $G$ konstan di sepanjang garis $x=-ct+x_3$ dan $x=-ct+x_4$. Oleh karena itu,

$$\begin{aligned} u(\boldsymbol{a}) + u(\boldsymbol{c}) &= F(x_1) + G(x_4) + F(x_2) + G(x_3) \\ &= F(x_1) + G(x_3) + F(x_2) + G(x_4) = u(\boldsymbol{d}) + u(\boldsymbol{b}) \ . \end{aligned}$$ Dengan demikian,

$$u(\boldsymbol{a}) = u(\boldsymbol{d}) + u(\boldsymbol{b}) - u(\boldsymbol{c}) \ .$$(7.1.12)

Contoh 7.1.3.

Perhatikan Gambar 7.4. Nilai-nilai $u$ di dalam daerah $R_1$ diberikan oleh (7.1.7). Untuk mencari nilai $u$ di $\boldsymbol{a}$ dalam $R_3$, kita menggunakan (7.1.12). $u(\boldsymbol{b})$ diberikan oleh syarat batas pada $x=L$, sedangkan $u(\boldsymbol{c})$ dan $u(\boldsymbol{d})$ diberikan oleh nilai-nilai $u$ pada batas $R_1$. Dengan melanjutkan secara rekursif, kita dapat menentukan $u$ di setiap daerah $R_i$.

Apakah solusi yang telah kita definisikan kontinu? Di dalam daerah $R_i$, $u$ akan selalu kontinu jika kita mengasumsikan bahwa $f\in C(]0,L[)$ dan $\displaystyle g\in L^1(]0,L[)$. Kita hanya perlu meninjau $u$ di sepanjang garis-garis karakteristik. Dengan merujuk pada Gambar 7.4, kita memperoleh

$$u(\boldsymbol{a}) \rightarrow u(\boldsymbol{d}) + B(0) - f(L)$$(7.1.13) ketika $\boldsymbol{a}$ mendekati garis $x=-ct+L$. Jika $B(0)=f(L)$, maka $u$ akan kontinu di sepanjang $x=-ct+L$ yang membatasi $R_3$. Demikian pula, agar $u$ kontinu di sepanjang garis $x=ct$ yang membatasi daerah $R_1$, kita memerlukan $A(0)=f(0)$. Kita mengetahui bahwa $A,B \in C([0,\infty[)$, $\displaystyle g \in L^1(]0,L[)$, dan $f\in C([0,L])$ dengan $B(0)=f(L)$ dan $A(0) = f(0)$ cukup untuk menjamin bahwa $u$ kontinu pada domain $\{ (x,t) : t\geq 0, \ 0 \leq x \leq L \}$.

Solusi $u$ akan berkelas $\displaystyle C^1$ di dalam setiap $R_i$ jika $\displaystyle f\in C^1(]0,L[)$ dan $g \in C(]0,L[)$. Solusi $u$ bahkan akan berkelas $\displaystyle C^2$ di dalam setiap $R_i$ jika $\displaystyle f\in C^2(]0,L[)$ dan $\displaystyle g \in C^1(]0,L[)$. Persoalan kemulusan solusi terletak di sepanjang garis $x= ct$ dan $x=-ct+L$, serta pantulannya pada garis batas $x=0$ dan $x=L$.

Jika $\displaystyle A,B \in C^2([0,\infty[)$, $\displaystyle g\in C^1([0,L])$, $\displaystyle f\in C^2([0,L])$, $A(0)=f(0)$, $A'(0)=g(0)$, $\displaystyle A''(0)= c^2 f''(0)$, $B(0)=f(L)$, $B'(0)=g(L)$, dan $\displaystyle B''(0)= c^2 f''(L)$, maka solusi $u$ akan berkelas $\displaystyle C^2$ pada seluruh domain. Syarat pada turunan orde kedua diperlukan agar persamaan gelombang dipenuhi pada garis-garis karakteristik. Syarat-syarat di atas merupakan syarat konsistensi untuk memperoleh solusi klasik persamaan gelombang.