Transformasi Fourier

Batas sumber. Bagian ini mengikat distributions.tex baris 1203-1776 pada sumber beku.

Transformasi Fourier

Jika $\displaystyle f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ , transformasi Fourier dari $f$ adalah fungsi yang didefinisikan oleh

$\mathcal{F}(f)(\boldsymbol{y}) \equiv \hat{f}(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \quad , \quad \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n \ ,$ di mana $\mu$ adalah ukuran Lebesgue $m$ dibagi dengan $\displaystyle(2\pi)^{n/2}$ . Agar hubungan antara transformasi Fourier dan konvolusi dapat dinyatakan dalam bentuk yang rapi, kita mendefinisikan ulang konvolusi dari dua fungsi $\displaystyle f,g \in L^1(\mathbb{R}^n)$ sebagai

$(f\ast g)\left(\boldsymbol{x}\right) = \int_{\mathbb{R}^n} f\left(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}\right) g\left(\boldsymbol{y}\right) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{y})}$ untuk setiap $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ yang integralnya konvergen. Kita telah menambahkan faktor $\displaystyle(2\pi)^{-n/2}$ pada definisi konvolusi sebelumnya. Definisi konvolusi ini hanya akan kita gunakan dalam bagian ini; di bagian lain buku, kita kembali menggunakan definisi sebelumnya. Karena itu, pembaca tidak perlu terkejut ketika faktor $\displaystyle(2\pi)^{n/2}$ muncul dalam rumus-rumus yang melibatkan konvolusi dan transformasi Fourier di bagian selanjutnya.

Contoh. Misalkan $f \in C_c^2(\mathbb{R})$ .

Mula-mula kita tunjukkan bahwa fungsi $\displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle g(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(x+ 2 \pi k)$ adalah fungsi periodik kelas $C^2$ dengan periode $2\pi$ . Karena $f$ berdukungan kompak, penjumlahan tersebut berhingga pada setiap himpunan terbuka terbatas. Karena keterdiferensialan bersifat lokal, diperoleh $g \in C^2(\mathbb{R})$ . Karena

$g(x+2\pi) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(x+2\pi(k+1)) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(x+2 \pi k) = g(x)$ untuk semua $x$ , fungsi $g$ periodik dengan periode $2 \pi$ .

Sekarang kita tunjukkan bahwa koefisien $a_n$ dari deret Fourier $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n e^{n x i}$ bagi $g$ diberikan oleh $\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \hat{f}(n)$ untuk semua $n$ . Hal ini diperoleh langsung dari definisi koefisien deret.

$\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) e^{- n x i} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2\pi} \sum_{k\in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+ 2 \pi k) e^{-n x i} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{k\in \mathbb{Z}} \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} f(y) e^{-n (y-2 \pi k) i} \,\mathrm{d}{y} = \frac{1}{2\pi} \sum_{k\in \mathbb{Z}} \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} f(y) e^{-n y i} \,\mathrm{d}{y} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{- n y i} \,\mathrm{d}{y} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \hat{f}(n) \end{aligned}$ untuk semua $n \in \mathbb{Z}$ . Perhatikan bahwa penjumlahan-penjumlahan di atas berhingga.

Karena $g$ periodik dan berkelas $C^2$ , deret Fourier-nya konvergen mutlak dan seragam. Dengan demikian,

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f(2\pi k) \ .$ Lebih umum lagi, kita mempunyai

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) e^{n x i} = \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n e^{n x i} = g(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} f(x+2\pi k)$ untuk semua $x$ . Jika $x = 0$ , kita memperoleh (6.6.2). Rumus (6.6.2) dikenal sebagai rumus penjumlahan Poisson.

Contoh 6.6.2. Sebagai contoh, kita hitung transformasi Fourier dari $\displaystyle f(\boldsymbol{x}) = e^{-\|\boldsymbol{x}\|^2}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ . Transformasi Fourier ini akan berperan penting dalam pembahasan persamaan panas. Karena

$\hat{f}(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} e^{-\|\boldsymbol{x}\|^2} \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} = \prod_{j=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-i x_j y_j - x_j^2} \,\mathrm{d}{x_j} \right) \ ,$ cukup kita hitung

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-i x y - x^2} \,\mathrm{d}{x} \ .$ Dengan substitusi $x = r/2$ , diperoleh

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-i x y - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(2 i r y + r^2)/4} \,\mathrm{d}{r} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/4} \int_{-\infty}^\infty e^{-(r+ y i)^2/4} \,\mathrm{d}{r} \ .$ Karena integral yang hendak dihitung merupakan fungsi genap dari $y$ , cukup kita meninjau $y\geq 0$ . Untuk menghitung integral tersebut, kita perhatikan bahwa $\displaystyle e^{-z^2/4}$ , dengan $z \in \mathbb{C}$ , adalah fungsi holomorfik di seluruh $\mathbb{C}$ . Teorema integral Cauchy pada lintasan tertutup memberikan $\displaystyle\int_{\Gamma} e^{-z^2/4} \,\mathrm{d}{z} = 0$ , dengan $\Gamma$ lintasan tertutup yang didefinisikan oleh $\displaystyle\Gamma = \Gamma_1 + \Gamma_2 - \Gamma_3 - \Gamma_4$ , dengan $\Gamma_1 = \{r + 0 i : -R \leq r \leq R\}$ , $\Gamma_2=\{R + s i : 0 \leq s \leq y \}$ , $\Gamma_3 = \{r + y i : -R \leq r \leq R\}$ , dan $\Gamma_4 = \{-R + s i : 0 \leq s \leq y\}$ (Gambar 6.1). Kita mempunyai

$\int_{\Gamma_1} e^{-z^2/4} \,\mathrm{d}{z} = \int_{-R}^R e^{-r^2/4} \,\mathrm{d}{r} \to \int_{-\infty}^\infty e^{-r^2/4} \,\mathrm{d}{r} = 2 \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = 2\sqrt{\pi} \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ ,$

$\int_{\Gamma_3} e^{-z^2/4} \,\mathrm{d}{z} = \int_{-R}^R e^{-(r+y i)^2/4} \,\mathrm{d}{r} \to \int_{-\infty}^\infty e^{-(r+yi)^2/4} \,\mathrm{d}{r} \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ ,$

$\left| \int_{\Gamma_2} e^{-z^2/4} \,\mathrm{d}{z} \right| \leq \int_0^y \left| e^{-(R+s i)^2/4}\right| \,\mathrm{d}{s} = e^{-R^2/4} \int_0^y e^{s^2/4} \,\mathrm{d}{s} \to 0 \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ ,$ dan, dengan cara serupa,

$\left| \int_{\Gamma_4} e^{-z^2/4} \,\mathrm{d}{z} \right| \leq \int_0^y \left| e^{-(-R+s i)^2/4}\right| \,\mathrm{d}{s} = e^{-R^2/4} \int_0^y e^{s^2/4} \,\mathrm{d}{s} \to 0 \quad \text{ketika} \quad R \to \infty \ .$ Jadi,

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(r+ y i)^2/4} \,\mathrm{d}{r} = 2 \sqrt{\pi} \ .$ Akhirnya, kita memperoleh

$\hat{f}(\boldsymbol{y}) = \prod_{j=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-y_j^2/4} \right) = \frac{1}{2^{n/2}} e^{-\|\boldsymbol{y}\|^2/4} \ .$

Secara lebih umum, kita dapat menghitung transformasi Fourier dari $\displaystyle g(\boldsymbol{x}) = e^{-a \|\boldsymbol{x}\|^2}$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ , dengan $a$ suatu konstanta positif. Kita mempunyai

$\hat{g}(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} e^{-a\|\boldsymbol{x}\|^2} \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \ .$ Dengan perubahan variabel $\boldsymbol{w} = \sqrt{a}\, \boldsymbol{x}$ , diperoleh

$\hat{g}(\boldsymbol{y}) = \frac{1}{a^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{w}\cdot (a^{-1/2}\boldsymbol{y})} e^{-\|\boldsymbol{w}\|^2} \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{w})} = \frac{1}{a^{n/2}} \hat{f}(a^{-1/2}\boldsymbol{y}) = \frac{1}{(2a)^{n/2}} e^{-\|\boldsymbol{y}\|^2/(4a)} \ .$

Kontur persegi panjang kompleks yang digunakan untuk menghitung transformasi Fourier fungsi Gauss.

Transformasi Fourier memiliki sifat-sifat berikut.

Proposisi 6.6.3.

Jika $f$ dan $g$ berada dalam $\displaystyle L^1(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle(f\ast g)^\wedge = \hat{f}\,\hat{g}$ .
Jika $f$ berada dalam $\displaystyle L^1(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle(f_{\boldsymbol{z}})^\wedge(\boldsymbol{y}) = e^{-i \boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{y}} \hat{f}(\boldsymbol{y})$ .
Jika $\displaystyle f \in C_c^m(\mathbb{R}^n)$ , $\boldsymbol{\alpha}$ adalah suatu multiindeks sedemikian sehingga $|\boldsymbol{\alpha}|\leq m$ , dan $p$ adalah polinom $\displaystyle p(\boldsymbol{x}) = (-i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}$ , maka $\displaystyle(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f)^\wedge(\boldsymbol{y}) = (i\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{\alpha}}\hat{f}(\boldsymbol{y})$ dan $\displaystyle(p f)^\wedge = \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}\hat{f}$ .

Bukti. Diserahkan kepada pembaca. ◻

Dalam kuliah untuk mahasiswa teknik, transformasi Fourier dan “transformasi Fourier invers” sering diperkenalkan tanpa memperhatikan domain dan citra kedua transformasi tersebut. Teorema berikut menyatakan syarat-syarat berlakunya rumus inversi Fourier. Sebelum menyatakan teorema ini, kita perlu mendefinisikan ruang $\displaystyle C_0(\mathbb{R}^n)$ dari fungsi kontinu yang lenyap di tak hingga .

Ruang $\displaystyle C_0(\mathbb{R}^n)$ adalah ruang fungsi kontinu bernilai kompleks pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ yang memenuhi sifat berikut. Untuk setiap $\epsilon >0$ , terdapat himpunan kompak $K$ sedemikian sehingga $|f(\boldsymbol{x})|<\epsilon$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \setminus K$ .

Proposisi 6.6.4. Jika $\displaystyle f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ , maka $\hat{f} \in C_0(\mathbb{R}^n)$ dan $\|\hat{f}\|_\infty \leq \|f\|_1$ .

Proposisi 6.6.5. Jika $\displaystyle f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ , $\displaystyle\hat{f} \in L^1(\mathbb{R}^n)$ , dan

$g(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \, \hat{f}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})}$ untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ , maka $\displaystyle g \in C_0(\mathbb{R}^n)$ . Selain itu, $f = g$ hampir di mana-mana di $\displaystyle\mathbb{R}^n$ dan $\|f\|_\infty \leq \|\hat{f}\|_1$ .

Diberikan $\displaystyle f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ , misalkan

$\mathcal{F}^{-1}(f)(\boldsymbol{y}) \equiv \check{f}(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{i \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}} \, f(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \quad , \quad \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n \ .$ Teorema sebelumnya menyatakan bahwa $\displaystyle\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f)) = f$ hampir di mana-mana jika $\displaystyle f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle\hat{f} \in L^1(\mathbb{R}^n)$ .

Transformasi Fourier dapat diperluas ke $\displaystyle L^2(\mathbb{R}^n)$ . Hal ini akan berguna ketika kita membahas ruang Sobolev nanti.

Teorema 6.6.6. Kepada setiap $\displaystyle f\in L^2(\mathbb{R}^n)$ dapat dikaitkan suatu fungsi $\displaystyle\hat{f} \in L^2(\mathbb{R}^n)$ sedemikian sehingga

Untuk $\displaystyle f \in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)$ , $\hat{f}$ adalah transformasi Fourier yang diberikan dalam (6.6.1).
$\| f \|_2 = \|\hat{f}\|_2$ untuk semua $\displaystyle f \in L^2(\mathbb{R}^n)$ . Sesungguhnya, $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{x})\overline{g(\boldsymbol{x})} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\boldsymbol{y})\overline{\hat{g}(\boldsymbol{y})} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{y}}$ untuk semua $\displaystyle f,g \in L^2(\mathbb{R}^n)$ .
Pemetaan linear $\displaystyle\mathcal{F}: L^2(\mathbb{R}^n) \rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)$ yang didefinisikan oleh $\mathcal{F}(f) = \hat{f}$ untuk semua $\displaystyle f \in L^2(\mathbb{R}^n)$ adalah isomorfisme ruang Hilbert.

Sesungguhnya, (2) dan (3) dalam Teorema 6.6.6 menyiratkan bahwa $\displaystyle\mathcal{F}: L^2(\mathbb{R}^n) \rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)$ adalah isometri.

Ruang $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dari fungsi yang meluruh cepat pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ (juga disebut kelas Schwartz ) adalah ruang semua fungsi $\displaystyle f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ sedemikian sehingga

$\sup_{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n} \left| \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} f(\boldsymbol{x}) \right| < \infty$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ . Topologi konveks lokal pada $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ didefinisikan dengan bantuan keluarga seminorma

$\sup_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq k} \sup_{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n} \left( 1 + \|\boldsymbol{x}\|_2^2\right)^k \left| \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x}) \right|$ untuk $k \geq 0$ . Kita tidak akan membahas pokok ini lebih lanjut, tetapi pembaca yang berminat dapat melihat RuFA; ReeSim untuk informasi lebih lengkap.

Jika $\displaystyle f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} f$ juga lenyap di tak hingga untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ . Selain itu, $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\alpha}}\mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ . Untuk membuktikannya, pilih $k > n/2$ dan $C>0$ . Karena fungsi $\displaystyle\boldsymbol{x}\mapsto \|\boldsymbol{x}\|^{2k}|f(\boldsymbol{x})|$ lenyap di tak hingga, terdapat $r>0$ sedemikian sehingga $\displaystyle\|\boldsymbol{x}\|^{2k}\, \left| f(\boldsymbol{x}) \right| < C$ untuk semua $\|\boldsymbol{x}\| > r$ . Jadi,

$\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} \left| f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} &= \int_{\|\boldsymbol{x}\|\leq r} \left| f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} + \int_{\|\boldsymbol{x}\|> r} \left| f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &= \int_{\|\boldsymbol{x}\|\leq r} \left| f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} + \int_{\|\boldsymbol{x}\|> r} \|\boldsymbol{x}\|^{2k}\,\left| f(\boldsymbol{x})\right| \|\boldsymbol{x}\|^{-2k} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} \\ &\leq \int_{\|\boldsymbol{x}\|\leq r} \left| f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} + C \int_{\|\boldsymbol{x}\|> r} \|\boldsymbol{x}\|^{-2k} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} < \infty \end{aligned}$ karena $f$ terintegralkan lokal, integral $|f|$ pada $\{ \boldsymbol{x} : \|\boldsymbol{x}\| \leq r \}$ berhingga, dan
$\displaystyle\int_{\|\boldsymbol{x}\|> r} \|\boldsymbol{x}\|^{-2k} \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$ karena $2k >n$ . Untuk semua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ , penalaran ini dapat diterapkan pada $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} f$ sebagai pengganti $f$ untuk menunjukkan bahwa $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ .

Dengan demikian, transformasi Fourier dari fungsi-fungsi yang meluruh cepat beserta turunannya terdefinisi.

Proposisi 6.6.7. Jika $\displaystyle f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ berdukungan kompak, maka $\hat{f}$ adalah pembatasan pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ dari suatu fungsi holomorfik di seluruh $\displaystyle\mathbb{C}^n$ . Jika $\displaystyle f\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , maka $\hat{f}$ adalah fungsi yang meluruh cepat pada setiap himpunan berbentuk $\displaystyle\left\{ \boldsymbol{z}\in \mathbb{C}^n : \| \operatorname{Im}\boldsymbol{z} \|_2 \leq c \right\}$ untuk $c>0$ . Ingat bahwa

$\displaystyle\operatorname{Im}\boldsymbol{z} = \begin{pmatrix} \operatorname{Im}z_1 & \operatorname{Im}z_2 & \ldots & \operatorname{Im}z_n \end{pmatrix}^\top$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{z} \in \mathbb{C}^n$ .

Bukti. Integral

$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{z}\cdot \boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \ ,$ konvergen untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{z} \in \mathbb{C}^n$ karena $f$ berdukungan kompak. Dengan demikian, integrasi berlangsung pada himpunan terbatas dan faktor eksponensial terbatas pada himpunan tersebut. Karena itu, kita dapat mendefinisikan $\hat{f}(\boldsymbol{z})$ untuk $\displaystyle\boldsymbol{z} \in \mathbb{C}^n$ melalui

$\hat{f}(\boldsymbol{z}) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{z}\cdot \boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \ .$ $\hat{f}$ holomorfik di seluruh $\mathbb{C}^n$ karena $\displaystyle\boldsymbol{z} \mapsto e^{-i \boldsymbol{z}\cdot \boldsymbol{x}}$ holomorfik di seluruh $\mathbb{C}^n$ dan, untuk setiap multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ , turunan kompleks $\displaystyle\mathrm{D}_{\boldsymbol{z}}^{\boldsymbol{\alpha}}$ dapat dipertukarkan dengan integrasi.

Jika $\displaystyle f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ , pilih $r$ cukup besar sedemikian sehingga $\operatorname{supp}f \subset \{ \boldsymbol{x} : \|\boldsymbol{x}\| < r \}$ . Maka, untuk setiap multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ ,

$\begin{aligned} \left| \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \hat{f}(\boldsymbol{z}) \right| &= \left| (i)^{|\boldsymbol{\alpha}|} \big(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f\big)^\wedge(\boldsymbol{z}) \right| = \left| \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i \boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \right| \\ &\leq \int_{\|\boldsymbol{x}\| < r} \left| e^{-i \boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{x}}\right|\, \left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \leq e^{r \|\operatorname{Im}\boldsymbol{z}\|_2}\,\int_{\|\boldsymbol{x}\| < r} \left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \\ & = e^{r \|\operatorname{Im}\boldsymbol{z}\|_2}\,\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} \end{aligned}$ untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{z} \in \mathbb{C}^n$ . Dengan demikian, untuk $\|\operatorname{Im}\boldsymbol{z} \|_2 \leq c$ , kita mempunyai

$\left| \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \hat{f}(\boldsymbol{z}) \right| \leq e^{r c} \int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} f(\boldsymbol{x})\right| \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} < \infty \ .$

Untuk sebarang dua multiindeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ , untuk membuktikan bahwa $\displaystyle\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \hat{f}(\boldsymbol{z})$ terbatas seragam untuk $\|\operatorname{Im}\boldsymbol{z} \|_2 \leq c$ , kita menggunakan hubungan

$\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \mathrm{D}^{\boldsymbol{\beta}} \hat{f}(\boldsymbol{z}) = \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \big( (-i \boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\beta}} f\big)^{\wedge} (\boldsymbol{z}) = (-i)^{|\boldsymbol{\beta}|} \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\alpha}} \left(\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\beta}} f \right)^{\wedge}(\boldsymbol{z})$ untuk mereduksi masalah ini menjadi kasus sebelumnya dengan $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\beta}} f$ sebagai pengganti $f$ , dengan $\displaystyle\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\beta}} f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ . ◻

Transformasi Fourier hanya dapat didefinisikan pada suatu subruang dari ruang $\displaystyle\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ yang terdiri atas distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Proposisi 6.6.8.

$\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dan pemetaan inklusi $\displaystyle i:\mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \to \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ kontinu.
$\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ rapat dalam $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ .

Dalam pernyataan proposisi sebelumnya, topologi pada $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ adalah topologi yang didefinisikan dalam Bagian 6.2, sedangkan topologi pada $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ adalah topologi konveks lokal yang disebutkan di atas.

Jika $u$ adalah fungsional linear kontinu pada $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , maka $u \circ i$ adalah fungsional linear kontinu pada $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ ; dengan kata lain, $u\circ i \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ . Karena $\displaystyle\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ rapat dalam $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , setiap fungsional linear kontinu pada $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dengan cara ini dikaitkan dengan tepat satu unsur $\displaystyle\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ . Distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ adalah distribusi pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ yang berkaitan dengan fungsional linear kontinu pada $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Karena alasan ini, ruang semua distribusi temper dinotasikan dengan $\displaystyle\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ . Cara lain memandang distribusi temper adalah dengan mengatakan bahwa $\displaystyle u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ merupakan distribusi temper jika dapat diperluas menjadi fungsional linear kontinu pada $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ .

Contoh. Berikut adalah beberapa contoh distribusi temper.

Jika $\nu$ adalah ukuran positif pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ sedemikian sehingga $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1 + \|\boldsymbol{x}\|^2)^{-k} \,\mathrm{d}{\nu} < \infty$ untuk suatu bilangan bulat positif $k$ , maka $\nu$ mendefinisikan distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ . Lebih tepatnya, $\displaystyle u : \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{C}$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle u(\phi) = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\nu(\boldsymbol{x})}$ untuk $\displaystyle\phi\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ adalah distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Jika $\displaystyle g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ adalah fungsi terukur sedemikian sehingga $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \left| (1+\|\boldsymbol{x}\|^2)^{-k} g(\boldsymbol{x}) \right|^p \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$ untuk suatu bilangan bulat positif $k$ dan bilangan real $p \geq 1$ , maka $g$ mendefinisikan distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ . Lebih tepatnya, $\displaystyle u : \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{C}$ yang didefinisikan oleh $\displaystyle u(\phi) = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{x}) g(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ untuk $\displaystyle\phi\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ adalah distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Setiap $\displaystyle g \in L^p(\mathbb{R}^n)$ untuk $1 \leq p \leq \infty$ mendefinisikan distribusi temper pada $\displaystyle\mathbb{R}^n$ .

Proposisi berikut menyatakan bahwa semua distribusi berdukungan kompak juga merupakan distribusi temper, tetapi tidak semua distribusi temper berdukungan kompak.

Proposisi. $\displaystyle\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n) \subset \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) \subset \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ .

Transformasi Fourier dari fungsi yang meluruh cepat memiliki sifat-sifat berikut.

Proposisi 6.6.11.

Transformasi Fourier (6.6.1) adalah bijeksi linear kontinu dari $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ke dirinya sendiri, dan inversnya kontinu.
Jika $\phi$ dan $\psi$ berada dalam $\displaystyle\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle\phi \ast \psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle(\phi\ast \psi)^\wedge = \hat{\phi}\,\hat{\psi}$ .

Konvolusi dari distribusi temper $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ dengan fungsi $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ didefinisikan oleh

$(u \ast \phi)(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\left\langle{u},{(\phi^\vee)_{\boldsymbol{x}}}\right\rangle$ untuk semua $\displaystyle\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ . Faktor $\displaystyle(2\pi)^{-n/2}$ mempertahankan normalisasi konvolusi yang digunakan dalam bagian ini. Transformasi Fourier dari distribusi temper $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ adalah distribusi $\hat{u}$ yang didefinisikan oleh

$\left\langle{\hat{u}},{\phi}\right\rangle = \left\langle{u},{\hat{\phi}}\right\rangle \quad , \quad \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \ .$ Seperti pada distribusi biasa, kita menggunakan notasi $\left\langle{u},{\phi}\right\rangle = u(\phi)$ untuk $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ .

Proposisi 6.6.12.

Transformasi Fourier (6.6.5) adalah bijeksi linear kontinu dari $\displaystyle\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ ke dirinya sendiri, dan inversnya kontinu.
Jika $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ , $\boldsymbol{\alpha}$ adalah suatu multiindeks, dan $p$ adalah polinom $\displaystyle p(\boldsymbol{x}) = (i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}$ , maka $\displaystyle(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)^\wedge = p\, \hat{u}$ dan $\displaystyle(p^\vee u)^\wedge = \mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}}\hat{u}$ .
Jika $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle u\ast \phi \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle u\ast \phi \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ .
Jika $\displaystyle u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ dan $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , maka $\displaystyle(u\ast \phi)^\wedge = \hat{\phi}\,\hat{u}$ dan $\displaystyle\hat{u}\ast \hat{\phi} = (\phi\,u)^\wedge$ .

Bukti. Kita hanya akan membuktikan bagian pertama dari (2). Untuk bukti hasil-hasil lainnya, pembaca dipersilakan melihat pustaka acuan.

Menurut definisi, kita mempunyai $\displaystyle(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)(\phi) = (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} u(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \phi)$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Jadi,

$\begin{aligned} (\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)^\wedge (\phi) &= (\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)(\hat{\phi}) \\ &= (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} u\big(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} \hat{\phi}\big) \\ &= (-1)^{|\boldsymbol{\alpha}|} u\left(\big((-i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}\phi\big)^\wedge\right) \\ &= u\left(\big((i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}\phi\big)^\wedge\right) \\ &= \hat{u}\big((i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}\phi\big) \\ &= \big((i\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}\hat{u}\big)(\phi) \end{aligned}$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Dengan demikian, $\displaystyle(\mathrm{D}^{\boldsymbol{\alpha}} u)^\wedge = p \hat{u}$ dalam pengertian distribusi. ◻

Contoh. Fungsi delta Dirac $\delta$ , yang dipandang sebagai distribusi, berdukungan kompak, sehingga kita dapat menghitung transformasi Fourier-nya. Karena

$\left\langle{\hat{\delta}},{\phi}\right\rangle = \left\langle{\delta},{\hat{\phi}}\right\rangle = \hat{\phi}(\boldsymbol{0}) = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} = \left\langle{f},{\phi}\right\rangle$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ , di mana $\displaystyle f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ adalah distribusi temper yang didefinisikan oleh ukuran $\mu$ ; yaitu, $\displaystyle f(\phi) = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\mu(\boldsymbol{x})} = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \phi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}{\boldsymbol{x}}$ untuk semua $\displaystyle\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Dengan demikian, $\hat{\delta} = f$ .

Perhatikan bahwa dalam pustaka sering dinyatakan bahwa $\hat{\delta} = 1$ . Perbedaan dengan pernyataan kita muncul karena pustaka tersebut tidak menggunakan faktor $\displaystyle(2\pi)^{-n/2}$ dalam definisi transformasi Fourier, sedangkan kita telah memasukkannya melalui ukuran $\mu$ .

Contoh. Dengan menggunakan Contoh 6.3.8, kita juga dapat membuktikan bahwa $\hat{\delta} = \mu$ dalam $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ . Ini merupakan bukti yang sering diberikan untuk hasil tersebut.

Transformasi Fourier kontinu pada $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ . Selain itu, argumen dalam Contoh 6.3.8 berlaku tanpa perubahan bagi setiap fungsi uji $\phi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ , sehingga $\chi_a$ konvergen menuju $\delta$ dalam $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ ketika $a \to 0$ . Bagian (1) dari Proposisi 6.6.8 mencatat inklusi kontinu $\mathcal{D}(\mathbb{R})\to\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ; kesimpulan tentang konvergensi dalam $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ di sini diperoleh dari penerapan langsung argumen tersebut. Oleh karena itu, $\displaystyle(\chi_a)^\wedge$ konvergen menuju $\hat{\delta}$ dalam $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ .

Karena $\displaystyle\chi_a \in L^1(\mathbb{R})$ , transformasi Fourier-nya diberikan oleh

$(\chi_a)^\wedge(x) = \frac{1}{2a \sqrt{2\pi}}\int_{-a}^a e^{-ix y}\,\mathrm{d}{y} = \frac{-1}{2a \sqrt{2\pi}\, i x}\, e^{-i x y}\bigg|_{-a}^a = \frac{\sin(a x)}{a x \sqrt{2\pi}}$ untuk $x \neq 0$ , dan

$(\chi_a)^\wedge(x) = \frac{1}{2a \sqrt{2\pi}}\int_{-a}^a \,\mathrm{d}{y} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ untuk $x = 0$ . Dengan demikian, $\displaystyle\lim_{a\to 0} (\chi_a)^\wedge(x) = 1/\sqrt{2\pi}$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$ .

Kita telah menunjukkan bahwa $\displaystyle(\chi_a)^\wedge$ konvergen secara titik demi titik menuju fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ yang didefinisikan oleh $f(x) = 1/\sqrt{2\pi}$ untuk semua $x$ . Selain itu, $\displaystyle|(\chi_a)^\wedge(x)|\leq 1/\sqrt{2\pi}$ untuk semua $a>0$ dan $x\in\mathbb{R}$ . Karena setiap $\phi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ berada dalam $L^1(\mathbb{R})$ , Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue memberikan

$\lim_{a\to0}\int_{\mathbb{R}}(\chi_a)^\wedge(x)\phi(x)\,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\phi(x)\,\mathrm{d}{x}=f(\phi).$ Dengan demikian, $(\chi_a)^\wedge\to f$ dalam $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ . Dari ketunggalan limit dalam $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ diperoleh $\hat{\delta}=f$ , sebagaimana diharapkan.

Atribusi dan hak. Karya sumber oleh Benoit Dionne dilisensikan berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Terjemahan dan perubahan yang dicatat menggunakan lisensi komponen yang sama. Produksi terjemahan dan edisi dibantu OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; semua kredit penulis dan kontributor manusia tetap dipertahankan. Ini bukan terbitan atau dukungan resmi Benoit Dionne maupun University of Ottawa.